文档文本内容
知识解构
知识点1 平面向量数量积的有关概念 知识点2 平面向量数量积的运算律
知识点3 平面向量数量积的性质及其坐标表示 知识点4 平面几何中的向量方法
题型破译 (含超链接）
题型
1 求平面向量的数量积
题型
2 平面向量的模长
【方法技巧】计算平面向量数量积的方法 【方法技巧】求平面向量的模的方法
题型
3 平面向量的夹角
题型
4 垂直的综合运算
题型
5 投影向量
题型
6 求参数值或取值范围问题
题型
7 求数量积的取值范围问题
【方法技巧】数量积最值（范围）的解法
题型
8 向量在几何中的应用
题型
9 向量在物理中的应用
题型
10
平面向量的新定义问题
题型
11
平面向量与圆、三角函数等融合交汇
第03 讲 平面向量数量积及其应用
内容导航
命题透视·考情前瞻
——
素养，研判高考命
对标
题趋势
01
命题透视·考情前瞻
素养，研判高考命
对标
题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
04
真题溯源·考向感知
溯源真
，感知高考考向
题逻辑
05
课本典例·高考素材
立足
本典例，挖掘高考素材
课
核心考点
2026 年
2025 年
2024 年
求平面向量的数量积
全国Ⅱ卷T3（5 分）
向量垂直的坐标表示
全国二卷T12（5 分）
全国Ⅰ卷T3（5 分）
已知数量积求模
全国Ⅱ卷T3（5 分）
考情分析
平面向量数量积的运算是高考必考的内容，一般以选择、填空形式出现．交汇命
题时，向量一般与解析几何、三角函数、平面几何等相结合考查.
三年考情显示，主要考查平面向量数量积的几何意义及坐标运算，同时与三角函
数及解析几何相结合的解答题也是热点．
复习目标
1 会计算平面向量的数量积
2 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系
3 能用坐标表示平面向量的数量积，并会表示及计算两个平面向量的夹角
4 会用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题.
思维建模·脉络梳理
——搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
知●识●解●构
知识点1 平面向量数量积的有关概念
1．向量的夹角
已知两个非零向量a，b，O 是平面上的任意一点，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ 叫做向量a 与b 的夹角，
向量夹角的取值范围是[0，π].
当θ＝时，a 与b 垂直，记作a⊥b；当θ＝0 时，a 与b 共线且同向；当θ＝π 时，a 与b 共线且反向．
2．平面向量的数量积
定义：已知两个非零向量a 与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ 叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记
作a·b，即a·b＝| a||b
|·cos
θ . 规定：0·a＝0.
3．投影向量
设a，b 是两个非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，AB＝a，CD＝b，过AB的起点A
和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到A1B1，我们称上述变换
为向量a 向向量b 投影，A1B1叫做向量a 在向量b 上的投影向量，记为| a |cos
θ e .
【注意】设a，b 是非零向量，它
的
角
们
夹
为θ，则a 在b 上的投影向量为|a|cos θ＝.
自主检测（多选）关于平面向量
，
，，下列说法不正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，且
，则
D．
【答案】CD
【详解】对于A，由向量的运算法则，得A 正确；
对于B，向量数量积满足分配律，B 正确；
对于C，由
，得
，当
时，满足题设，C 错误；
对于D，
是与共线的向量，
是与
共线的向量，而
与无任何关系，D 错误.
故选：CD
知识点2 平面向量数量积的运算律
（1）a·b＝b · a (交换律).
（2）λa·b＝λ(a·b)＝a ·( λ b ) (结合律).
（3）(a＋b)·c＝a · c ＋
b · c (分配律).
必记结论
1．平面向量数量积运算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.
(3)|a＋b|2＋|a－b|2＝2(|a|2＋|b|2)． (4)a·b＝[(a＋b)2－(a－b)2](
式又称作极化恒等式
该
)．
2．有关向量夹角的两个结论
两个向量a，b 的
角
角
夹
为锐
⇔a·b＞0 且a，b 不共线；
两个向量a，b 的夹角为钝角⇔a·b＜0 且a，b 不共线.
自主检测（多选）已知
是三个向量，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若
，则
【答案】AB
【分析】根据向量的数量积的运算公式，以及向量的数量积的运算律，结合向量数量积的几何意义，逐项
判定，即可求解.
【详解】对于A 中，由数量积的运算公式，可得
，
所以
，所以A 正确；
对于B 中，由向量数量积的运算律，可得
，所以B 正确；
对于C 中，
，
，
所以
与
不一定相等，所以C 错误；
对于D 中，由
，若向量
，此时
，而
与不一定相等，所以D 错误.
故选：AB.
知识点3 平面向量数量积的性质及其坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为向量a 与b 的夹角．
（1）数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
（2）模：|a|＝＝.
（3）夹角：cos θ＝＝.
（4）a⊥b 的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
（5）|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b 时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤·.
自主检测（多选）若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
与
的夹角为
D．
在
方向上的投影向量为
【答案】AC
【详解】对于选项A，
，故选项A 正确；
对于选项B，
，
，
，故选项B 错误；
对于选项C，
，结合
与
的夹角范围为
，故
与
的夹角为
，选项C 正确；
对于选项D，
在
方向上的投影向量为
，故选项D 错误.
故答案为：AC.
知识点4 平面几何中的向量方法
（1）用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系.
自主检测已知非零平面向量
、
、，满足
，
，若
与
的夹角为
，则
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】明确
的几何意义，根据圆外的点到圆上的点的距离的取值范围求解.
【详解】如图：令
，
，
.则
，
.又
，所以
点
在以
为圆心，2 为半径的圆上.所以
的最小值为：
.又
，
，所以当
时，
取得最小值为
.所以
的最小值为：
.即
的最小值为
.
故选：A.
题●型●破●译
题型1 求平面向量的数量积
例1-1（2026·山西临汾·一模）已知向量
，
满足
，
，
，则
（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【详解】
故选：B
例1-2（2026·陕西榆林·一模）在直角坐标系xOy 中，点A，B 满足
，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．4
【答案】C
【详解】由题意知
是等边三角形，所以
，则
．
故选：C
例1-3【新考法已知平面向量
，
，均为单位向量，若
与
的夹角为60°，则
的最大值
为（ ）
A．
B．4
C．
D．5
【答案】C
【分析】根据
，把问题转化为求
的最小值，进一步转化为求
的值，利用向量的数量积的运算法则求解即可.
【详解】由题意：
，
.
因为
.
又
，当
时取“
”.
又
，所以
.所以
.
故选：C
例1-4【新思维】如图，在四边形
中，
，
，
，
为线段
的中点，
，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】在
中，由余弦定理可得
，在
中易得
，
，即可
利用数量积的定义求解.
【详解】在
中，由余弦定理可得
，
则
，由
，可得
，又
为线段
中点，则
，
又
，则
，
，且
，所以
.
故选：D.
方法技巧 计算平面向量数量积的方法
(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.
(3)利用基底法求数量积.
(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义.
【变式训练1-1】已知向量
，
，均为单位向量，且
，则
（ ）
A．0
B．
C．2
D．
【答案】D
【分析】由数量积的运算律变形
为
和
，再分别平方后可得.
【详解】由
，
，
，有
，
又由
，
，
，有
，故
.
故选：D
【变式训练1-2】（2026·北京延庆·一模）矩形
中，
，
，且
，则
（ ）．
A．
B．
C．6
D．3
【答案】C
【分析】根据平面向量基本定理及数量积定义计算求解.
【详解】因为
，所以
，
，
所以
.
故选：C
【变式训练1-3·变载体】如图，已知矩形
的边长满足
，以
为圆心的圆与
相切于
，则
（ ）
A．
B．
C．8 D．
【答案】A
【分析】由
，根据等面积可得
，由
及向量数量积几何意义求解即可.
【详解】由已知条件可知，
，因此
．
故
．
故选：A
【变式训练1-4·变载体】已知平面向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据向量的数乘和加法运算求出
与
的坐标，再利用向量数量积的坐标运算公式计
算它们的数量积，最后通过化简得到
与
的关系式．
【详解】
，即
．
故选：A.
【变式训练1-5】已知向量
，且向量
与向量
的夹角为
，则
．
【答案】6
【分析】由题意，根据平面向量数量积的定义计算即可求解.
【详解】
向量
，且
与
的夹角为
，则
，
.
故答案为：6
题型2 平面向量的模长
例2-1（2026·四川巴中·一模）若
是夹角
的单位向量，
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】C
【分析】结合向量的模及数量积的公式即可求解.
【详解】因为
是夹角
的单位向量，所以
，
.
故选：C
例2-2（2026·山西朔州·一模）已知向量
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由
可得
，由
可得
，最后应
用模长公式即可求解.
【详解】因为
，所以
，展开整理得
，
由
得
，即
，
所以
，即
，所以
.
故选：C.
方法技巧 求平面向量的模的方法
①公式法：利用|a|=❑√a·a及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2；
②几何法：利用向量的几何意义.
【变式训练2-1】已知
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】D
【分析】利用数量积可求
.
【详解】
，故
.
故选: D.
【变式训练2-2】已知向量
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据向量的数量积坐标公式计算得出
，最后应用模长公式计算求解.
【详解】因为
，所以
，所以
.
故选：C.
【变式训练2-3】已知向量
与
的夹角为
，
，
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求
，再根据模长的平方关系结合数量积的运算律运算求解.
【详解】因为向量
与
的夹角为
，
，
，则
，
可得
，所以
.
故选：D.
【变式训练2-4·变考法】（2026·山东德州·一模）若平面向量
两两夹角相等，且
，
则
（ ）
A．
B．36
C．
或6
D．3 或36
【答案】C
【分析】依题意可得夹角为
或
，再分夹角为
和
两种情况讨论，结合数量积的运算律即可得
解.
【详解】因为平面向量
，
，两两夹角相等，所以夹角有两种情况，即
，
，两两夹角为
或
，
当夹角为
时，
；当夹角为
时，
，则
；综上所述：
或
.
故选: C
题型3 平面向量的夹角
例3-1（2026·新疆·一模）设向量
为单位向量，且
，则向量
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】本题考查的是平面向量的模和夹角的问题，通过平方展开计算即可。
【详解】因为
,
，又因为向量
为单位向量，代入可得
，
得
，又
，所以
,因为
,所以
.
故选：D
例3-2 平面向量
满足
，且
，则向量
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据平面向量的数量积公式及运算律计算求解.
【详解】平面向量
满足
，且
，所以
，即得
，
，设向量
的夹角为
，则
，则向量
的
夹角为
.
故选：B.
例3-3（2026·广东江门·一模·变角度）在
中，
是
边的中点，
是
边
上的点，且
，则向量
与向量
的夹角的余弦值为___________.
【答案】
【详解】
如图，以
为原点，分别以
为
轴建系，
，
，
，
，
，
，所以
.
故答案为：
【变式训练3-1】（2026·湖北黄石·一模）已知向量
，则向量
与
夹角的余弦值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】易知向量
，显然
，所以
.
故选：A
【变式训练3-2】（2026·河北石家庄·一模）已知平面向量
满足
，且
，则
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，两边同时平方得
，
整理得：
，
，所以
与
的夹角为
.
故选：C
【变式训练3-3·原创题】已知
是两个垂直的单位向量．若
，设向量
的夹角为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先求出向量的数量积，然后求出向量
的模，最后根据向量夹角的余弦公式即可求出答案.
【详解】因为
是两个垂直的单位向量，所以
.
因为
，所以
.
而
，
.
所以
.
故选：D.
【变式训练3-4】已知向量
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据已知向量
，
，利用向量减法求出
和
，再通过点积计算求出
，通过模长计算求出
和
，利用向量夹角的余弦公式
求解.
【详解】
，
.
.
.
.
.
.
故选：C.
【变式训练3-5·原创题】已知非零向量
与
不共线，且满足
，
与
的夹角为
，则向量
与向量
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设向量
与向量
的夹角为
，设
，进而利用向量的夹角公式列出等式，解方程即可
求得答案.
【详解】设向量
与向量
的夹角为
，
,
设
，则
，
则
，
与
的夹角为
，所以
，则
，即
，
可得
,解得
（舍）或
，则
．
故选：A．
题型4 垂直的综合运算
例4-1（2026·湖南岳阳·一模）已知向量
，若
，则
（ ）
A．-2
B．0
C．2
D．4
【答案】D
【分析】根据向量垂直的坐标运算求解.
【详解】因为
，所以
，若
，则
，
解得
.
故选：D.
例4-2 已知向量
，
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用向量线性运算的坐标表示及向量垂直的坐标表示，列式求解.
【详解】由向量
，
，得
，
由
，得
，所以
.
故选：B
【变式训练4-1·变载体】（2026·广西南宁·一模）已知向量
，
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据平面向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求出
的值.
【详解】由题可知，
，解得
.
故选：D.
【变式训练4-2·变载体】已知平面向量
，
，若
，则实数
（ ）
A．
B．1
C．
或1
D．4
【答案】C
【分析】根据向量垂直的坐标表示即可求出
的值.
【详解】因为
，所以
.因为
，所以
所以
.解得
.
故选：C.
题型5 投影向量
例5-1（2026·安徽宿州·一模）已知向量
满足
，且
，则向量
在向量
上的投影向量为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】直接根据投影向量的定义计算可得.
【详解】因为
，且
，由投影向量的定义，向量
在
上的投影向量为：
.
故选：A.
例5-2 如图，在
中，
，
于
，
，
，则
在
上的投影向量为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据已知及余弦定理得
，再由投影向量的求法求
在
上的投影向量.
【详解】由题设，
，则
，
，故
，
所以
，
所以
在
上的投影向量为
.
故选：A.
【变式训练5-1】（2026·山东菏泽·一模）已知向量
，
，
，则在
上的投影向
量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据投影向量的定义计算得解.
【详解】因为
，所以在
上的投影向量为
.
故选：D.
【变式训练5-2】（2026·湖南邵阳·一模）已知非零向量
，
满足
，
，则向量
在
向量
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先根据
得到
，再根据投影向量的概念求解.
【详解】由
，
所以
.所以向量
在向量
上的投影向量为
.故选：A
【变式训练5-3·原创题】平面向量
，
满足
，
，
与
的夹角为
，则
在
方向上的
投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】只需求出
，再结合投影向量的定义即可求解.
【详解】由题意
，
，
与
的夹角为
，所以
，
在
方向上的投影向量为
.
故选：A.
【变式训练5-4 变载体】已知平面内三点
，则向量
在
上的投影向量为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出
，求出
即可求出向量
在
上的投影向量.
【详解】因为
，所以
，所以
，
，
所以向量
在
上的投影向量为
.
故选：D.
【变式训练5-5·变情境】（2026·安徽马鞍山·一模）两个粒子
从同一发射源发射出来，在某一时刻，
它们的位移分别为
，设此时粒子
相对粒子
的位移为，则在
上的投影向量为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，求得
，结合向量的数量积的公式和投影向量的公式计算，即可求解.
【详解】由向量
，可得粒子
相对粒子
的位移为
，
可得
且
，
所以在
上的投影向量为
.
故选：B.
题型6 求参数值或取值范围问题
例6-1（2026·河北承德·一模）已知向量
，
，若
与
的夹角的余弦值为
，则
的
值为（ ）
A．
B．
C．
或
D．无法确定
【答案】A
【详解】因为
，
，所以
，
，
所以
，
，又因为
与
的夹角的余弦值为
，
所以
，解得
或
（因
，舍）.
故选：A.
例6-2 在
中，向量
，
，若
为锐角，则实数x 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意
且
与
不共线，然后利用数量积的坐标运算及共线的向量坐标运算列不
等式求解即可.
【详解】因为
为锐角，则
且
与
不共线．
由
得
，
，
则
，解得
．
若
与
共线，则
，即
，
解得
或
，所以
且
，即x 的取值范围是
．
故选：A
【变式训练6-1】已知向量
，向量
在向量
上的投影向量是
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】B
【分析】由投影向量的公式
可求
的值，将
转化为
，则可代入
的
值进行计算求得结果。
【详解】由
得
，
因为
在
上的投影向量为
， 所以
，
，即
，
代入
与
得
，解得
.
故选：B.
【变式训练6-2·变考法】已知向量
，若
在上的投影向量相等，则
的最小值为（ ）
A．2
B．1
C．
D．
【答案】A
【分析】由投影向量的定义及向量相等得
，再应用向量数量积的坐标表示得
，最后应用
基本不等式求目标式的最小值.
【详解】由题意
，可得
，故
，即
，
所以
，当且仅当
时取等号，所以
的最小值为2.
故选：A
【变式训练6-3·变题型】已知两个非零向量
的夹角为
，且
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先应用平面向量的数量积公式及运算律化简，再设
，再分类讨论计算求解.
【详解】
.
由
，得
，
即
.设
，则关于
的方程
有正实根.
当
时，
不符合条件；当
时，
符合条件；
当
时，
或
，解得
.
综上可得
.
故选：C
题型7 求数量积的取值范围问题
例7-1 已知
中，
，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由正弦定理求
外接圆半径，在其外接圆
中连接
，由
，讨论
的位置情况确定范围.
【详解】由题设，
外接圆半径为
，
如下图，外接圆
中连接
，可得，
，
所以
，
当
反向共线时最小，最小值为
；当
同向共线时最大，最大值为20，
所以
.
故选：D
例7-2（2026·天津河西·一模）已知
是边长为2 的等边三角形，点D 在边
上，且
，则
______；若平面内动点P 满足
，则
的最小值为_____．
【答案】
；
【分析】建立平面直角坐标系，写出
点的坐标和
的坐标，利用数量积的坐标计算公式可
求得
，再设出点
，根据
，用
来表示
，再将
表示成关于
的函
数表达式,然后求解最小值.
【详解】建系如图所示
因为
是边长为2 的等边三角形，
，
.
.
设
，
.
.
，
，
.
，
.
当
时，
取得最小值，最小值为
.
故答案为：
；
方法技巧 数量积最值（范围）的解法
（1）坐标法，通过建立直角坐标系，运用向量的坐标运算转化为代数问题处理.
（2）向量法，运用向量数量积的定义、不等式、极化恒等式等有关向量知识解决.
【变式训练7-1 变载体】已知
三点在单位圆上运动，且
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
的中点为
，得
，
，将
化为
，根据
可得结果.
【详解】设
的中点为
，因为
，
，所以
，
，
，
因为
，所以
.
故选：A
【变式训练7-2·变载体】（2026·辽宁抚顺·一模）已知菱形
的边长为2，
，点
在线段
上，点
在线段
上，
，则
的最大值为（ ）
A．
B．2
C．
D．－2
【答案】A
【分析】根据给定条件，用基底向量
分别表示
，再利用数量积的运算律列式求出最大值.
【详解】在边长为2 的菱形
中，由
，得
，由点
在线段
上，
令
，由点
在线段
上，
，得
，
则
，
而
，因此
，当且仅当
时取等号，所以
的最大值为
.
故选：A
【变式训练7-3·变情境】（2026·广东·一模）已知下图是一个边长为3 的九宫格（由9 个边长为1 的小正方
形构成），九宫格中有16 个节点（如图加黑的16 个点），从这16 个点中任选互不相同的三个点
，
则
的最大值为（ ）
A．12
B．13
C．15
D．18
【答案】C
【详解】建立如图所示的直角坐标系，
16 个点的坐标为
若
点在原点，任取两点作为向量坐标，发现
或
取得最大值，故
的最
大值为
. 经检验可知，当
，
取其他坐标时，
的值均不会超过
.
故选：C
【变式训练7-4·变考法】已知向量
，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由向量夹角的公式变形后再讨论
夹角范围可得.
【详解】设向量
的夹角为
，则
，
设
的起点在原点，
与
轴正方向的夹角为
由
可得
与
轴正方向的夹角为
，
由
可得
的终点在第四象限，当两向量反向共线时，夹角最大，
当
的终点趋于
正方向时，夹角趋近于
，
所以
，则
，所以
．
故选：A.
【变式训练7-5·新情境】（多选）（2026·宁夏吴忠·二模）青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青
花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷
则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边
形的边长为
，圆
的圆心为正六边形的中心，半径为，若点
在正六边形的边上运动，动点
，
在
圆
上运动且关于圆心
对称，则
的取值可以是（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】BC
【分析】根据题意，利用向量的线性运算，化简得到
，即可求得
的取值范围.
【详解】连接
、
，如图，
由动点
关于圆心
对称可得
，且
，
因为点
在正六边形的边上运动，且正六边形的边长为
，
所以当点
位于正六边形各边的中点时，此时
取最小值为
，
当点
位于正六边形的顶点时，此时
取最大值为
，所以
,
所以
，因此
，
因为
、
，
，
，故符合题意的有B、C.
故选：BC
题型8 向量在几何中的应用
例8-1【新思维】已知
是平面向量，是单位向量，若非零向量
与的夹角为
，向量
满足
，则
的最小值是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由
，可得
，则
与
垂直，设
共起点，数形结合
画出相应图象，结合向量减法的几何意义计算即可得解.
【详解】设
共起点，由
，可得
，
所以
与
垂直，如图，
由向量减法的几何意义可知，向量
的终点落在图中的圆上，由题意可知
的终点在图中所示的射线上，
所以
是从圆上的点到射线上的点形成的向量，
要求
的最小值，只需求圆心到射线的距离减去圆的半径，故
的最小值为
．
故选：A．
例8-2【新模型】（2026·江苏盐城·二模）已知向量
满足
，则
取值范围是
_______.
【答案】
【分析】先通过
换元，再根据向量线性运算的几何意义及椭圆的定义及几何性质可得.
【详解】设
，则
，代入
得
，根据向量的几何意义知，
向量
表示的点到
表示的点和
的距离和为常数8，根据椭圆的定义知向量
表示的点在以长轴为
，焦距为
的椭圆上，所以
，所以
表示椭
圆上的点到椭圆中心的距离，由椭圆的几何性质可知
，即
，如图：
所以
取值范围是
.
【变式训练8-1·变载体】已知
，则
的最大值
为 ．
【答案】
【分析】由题意首先得出
为两外切的圆和椭圆上的两点间的距离，再由三角形三边关系将问题转换
为椭圆上点到另一个圆的圆心的最大值即可.
【详解】如图所示：
不妨设
，
满足
，
，
，
又
，即
，
由椭圆的定义可知点
在以
为焦点，长轴长为4 的椭圆上运动，
，
所以该椭圆方程为
，
而
，即
，即
，
这表明了点
在圆
上面运动，其中点
为圆心，
为半径，
又
，等号成立当且仅当
三点共线，
故只需求
的最大值即可，
因为点
在椭圆上面运动，所以不妨设
，
所以
，
所以当
且
三点共线时，
有最大值
.
故答案为：
【变式训练8-2·变考法】在边长为1 的正方形ABCD 中，点E 为线段CD 上靠近C 的三等分点，
，则
，F 为线段BE 上的动点，G 为AF 中点，则
的最小值为
.
【答案】
【分析】由向量对应线段的位置及数量关系用
表示出
，即可得参数值，令
，
，
根据已知得
并应用向量数量积的运算律求最值.
【详解】由题设
，则
，
所以
，
，
令
，
，则
，
所以
，
当
时，
的最小值为
.
故答案为：
，
题型9 向量在物理中的应用
例9-1（2026·安徽阜阳·二模）如图，无弹性的细绳OA，OB 的一端分别固定在A，B 处，同样的细绳
下端系着一个秤盘，且OB
OC
，绳子OA受力的大小为40 N，OB 受力的大小为30 N，则绳子OC 受力
的大小为（ ）
A．50 N
B．40 N
C．30 N
D．10 7 N
【答案】D
【详解】设OA，OB ，OC 三根绳子所受的力分别为, ,
a b c，则
0
a
b
c
，因为,a b的合力c
a
b
，所
以c
c
，如图，在平行四边形OBC A中，|
| 40,|
| 30
a
b
，
因为OB
OC
，所以
2
2
2
2
|
|
40
30
10 7
c
a
b
，所以绳子OC 受力的大小为10 7 N .
故选：D.
例9-2 一条东西方向的河流两岸平行，河宽
，河水的速度为向正东
．一艘小货船准备从河
南岸码头P 处出发，航行到河对岸Q（
与河的方向垂直）的正西方向并且与Q 相距
的码头M 处卸
货，若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为
，则当小货船的航程最短时，小货船航行
速度的大小为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由已知条件求解直角三角形，根据向量的平行四边形法则，结合向量的模长公式，即可求解小货
船航行速度的大小．
【详解】解：由题意，当小货船的航程最短时，航线路线为线段
，设小货船航行速度为，水流的速
度为
，水流的速度与小货船航行的速度的合速度为
，作出示意图如下：
，
，在
中，有
，所以
，
，
，
所以
，所以
，
所以小货船航行速度的大小为
，
故选：C.
【变式训练9-1 变载体】某货船执行从A 港口到B 港口的航行任务，B 港口在A 港口的正北方向．已知河
水的速度为向东2m/s．若货船在静水中的航速为4m/s，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则
该船完成此段航行的实际速度为（ ）
A．2m/s
B．
m/s
C．4m/s
D．
m/s
【答案】B
【分析】利用船实际航行速度与水流速度垂直，结合向量数量积求出夹角及模长即可求解.
【详解】设船在静水中的速度为
，水流速度为
，船实际航行速度为
，则
，
则
，设
，由船需要准确到达正北方向的B 点，得
，
则
，解得
，而
，于是
，
，所以该船完成此段航行的实际速度为
m/s.
故选：B.
【变式训练9-2 变载体】如图所示，支座A 受
，
两个力的作用，已知
，与水平线成
角，
，沿水平方向，两个力的合力F 的大小
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用平行四边形法则及向量夹角公式求解.
【详解】依题意，
，则
，
即
，所以
.
故选：D
题型10 平面向量的新定义问题
例10-1【新定义】（2026·福建龙岩·一模）如图，设
是平面内相交成
角的两条数轴，
分别
是与
轴，
轴正方向同向的单位向量.若向量
，则有序实数对
叫做向量
在坐标系
中的坐标.若在该坐标系
中，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．0
【答案】D
【详解】由平面向量数量积的定义可得
，由题意可知
，
，所以
.
故选：D
【变式训练10-1·新运算】已知
，
，定义新运算
，记
，
，满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题中定义、诱导公式以及二倍角的正弦公式化简可得出
的取值范围.
【详解】因为
，
，
根据题中定义可得
，故
.
故选：A.
【变式训练10-2·新运算】（2026·广东江门·一模）人脸识别就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦
距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点
为坐标原点，定义余弦
相似度为
（其中
为向量
的夹角），余弦距离为
.已知
，若
的余弦距离为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先代入余弦距离公式，结合向量数量积坐标表示求得三角函数值，最后代入二倍角公式求解.
【详解】因
，
由定义可知，
，则
，
.
故选：C
【变式训练10-3·新运算】已知向量
，且
，定义向量的新运算：
．
（1）若向量
，且
，求
；
（2）证明：
是
的充要条件，
【答案】（1）
（2）证明见解析
【分析】（1）利用向量垂直求得
，进而利用定义计算
即可；
（2）利用充分条件、必要条件的定义结合向量共线的性质及定义向量的新运算
可证明.
【详解】（1）因为
，且
，所以
，
解得
，则
，所以
．
（2）证明：若
，则
．又
，所以
，即
，
所以
．故
是
的充分条件．若
，则
，
整理得
，所以
．故
是
的必要条件．
综上所述，
是
的充要条件．
题型11 平面向量与圆、三角函数等融合交汇
例11-1（2026·北京密云·一模）已知向量
，则
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．-2
D．
【答案】D
【详解】向量
，则
，
当
时，
取最小值
.
故选：D.
例11-2（2026·广东梅州·一模）在平面直角坐标系
中，点
的坐标为
，点
为圆
上的动点，则
的最小值为______.
【答案】
【分析】由
，应用向量数量积的运算律及数形结合确定
的最小值.
【详解】由题设，如下图有
，且
，
所以
，
要使
最小，只需
反向共线，此时
，所以
的最小值为
.
故答案为：
【变式训练11-1 变载体】（2026·湖北十堰·一模）若向量
，
，记
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由向量线性关系及夹角的坐标运算求得
，再由二倍角余弦公式求值.
【详解】由题设
，
所以
，所以
.
故选：A
【变式训练11-2·融合三角】（2026·湖南常德·一模）已知平面向量
，
为单位向量，且
，若
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【分析】根据平面向量数量积的运算律，利用夹角计算公式先求出余弦值，再求出正切值即可.
【详解】由向量
，
为单位向量，又
，知
.
因为
，则
，
所以
.
又
，得
，则
，
故选：A.
【变式训练11-3·融合圆】（2026·湖北黄冈·一模）在平面直角坐标系
中，
，
，
，则
的最大值为（ ）
A．5
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据题意建立坐标系后，画出图形，通过平面向量基本定理分析，可设点E 为AB 的四等分点
（靠近点A），通过计算得出
，通过计算可知
为定值，故知点E 在以O 为圆心，以
为半径的圆上，所以当点E 在CO 的延长线与圆的交点时，
最长，即
取最大值.
【详解】由已知，
，
，在
中，由余弦定理得
，即向量
与
的夹角为
.取
，所以
，
所以
.同理可知，
，
所以
，
所以点E 在以O 为圆心，以
为半径的圆上，如图所示，所以点E 在CO 的延长线与圆的交点位置时，
最大，此时
，易知
，
所以
，即
的最大值为
.
.
故选：D.
【变式训练11-4·变载体】（（2026·江西南昌·一模）已知向量
，
，
，若向量满足
，则
的最大值为________.
【答案】
【分析】由向量数量积可得夹角为60°，通过坐标化将条件转化为圆的标准方程，圆心为
，半径
为
，从而
的模表示圆上的点到原点的距离，进而求出
的最大值.
【详解】由题可知
，设
夹角为
，则
，
，设
，
，
，代入坐标化简得：
，故
的
最大值为原点到圆上的点
最大距离，如下图所示，
又圆心
，半径
，
，故
.
答案为：
真题溯源·考向感知
——溯源真
，感知高考考向
题逻辑
1.（2026·全国二卷·高考真题）已知
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，得
，所以
，即
；由
，得
，
所以
，即
.两式相减，得
，
所以
.
2.（2024·全国甲卷·高考真题）设向量
，则（ ）
A．“
”是“
”的必要条件
B．“
”是“
”的必要条件
C．“
”是“
”的充分条件
D．“
”是“
”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当
时，则
，
所以
，解得
或
，即必要性不成立，故A 错误；
对C，当
时，
，故
，
所以
，即充分性成立，故C 正确；
对B，当
时，则
，解得
，即必要性不成立，故B 错误；
对D，当
时，不满足
，所以
不成立，即充分性不立，故D 错误.
故选：C.
3.（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知向量
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】由
得
，结合
，得
，由此即可得解.
【详解】因为
，所以
，即
，又因为
，
所以
，从而
.
故选：B.
4．（2023·北京·高考真题）已知向量
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】向量
满足
，所以
.
故选：B
5．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形
的边长是2，
是
的中点，则
（ ）
A．
B．3
C．
D．5
【答案】B
【分析】方法一：以
为基底向量表示
，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，
利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求
，进而根据数量积的定义运算求解.
【详解】方法一：以
为基底向量，可知
，
则
，
所以
；
方法二：如图，以
为坐标原点建立平面直角坐标系，
则
，可得
，
所以
；
方法三：由题意可得：
，
在
中，由余弦定理可得
，
所以
.
故选：B.
6.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知向量
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出
，
，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为
，所以
，
，
由
可得，
，
即
，整理得：
．
故选：D．
7.（2022·全国乙卷·高考真题）已知向量
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】C
【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.
【详解】解：∵
，又∵
∴9
，
∴
故选：C.
8.（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量
若
，则
【答案】
【分析】根据向量坐标化运算得
，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可.
【详解】
，因为
，则
，
则
，解得
.
则
，则
.
故答案为：
.
9.（2026·上海·高考真题）在
中，
、
在边
上，且
，
，
与
所成的
夹角为
，则
的最大值为____________.
【答案】
【分析】先利用
与
表示
、
，再将
转化为
与
的计算，进而求解.
【详解】
,
与
所成的夹角为
令
，则
当
时，
的最大值为
.
故答案为：
.
10.（2025·上海·高考真题）在平面中，
和
是互相垂直的单位向量，向量
满足
，向量
满
足
，求
在
方向上的数量投影的最大值__________．
【答案】
【分析】设
，根据题意，求得
所在圆的圆心和半径；再根据数量投影的意义，数形结
合即可求得结果.
【详解】根据题意不妨设
，
，
，
，
则
，
由
可得
，由
可得
；
设
，故
在以
为圆心，
为半径的圆上；
在以
为圆心，1 为半径的圆上；
过
作
于
，则
即为
在
上的数量投影，如下所示：
因为
分别为两圆上任意动点，不妨固定
，则
为定长，
设
，即
，故
，
因为此时
为定长，且
，
故随着
的减小，
增大，直至
恰好与圆
相切时，
取得最大值，如下所示：
在
与圆
相切的基础上，移动点
，过
作
于
，故
；
在△
中，
，
，
故
，因为
,
故在直角三角形
中，
，则
，即
；
在四边形
中，因为
，故
，
当且仅当
时等号成立，从而
.
综上所述：
在
方向上的数量投影的最大值为
.
故答案为：
.
11.（2022·全国甲卷·高考真题）设向量
，
的夹角的余弦值为
，且
，
，则
_________．
【答案】
【分析】设
与
的夹角为
，依题意可得
，再根据数量积的定义求出
，最后根据数量积的
运算律计算可得．
【详解】解：设
与
的夹角为
，因为
与
的夹角的余弦值为
，即
，
又
，
，所以
，
所以
．
故答案为：
．
12.（2021·全国乙卷·高考真题）已知向量
，若
，则
__________．
【答案】
【分析】根据平面向量数量积的坐标表示以及向量的线性运算列出方程，即可解出．
【详解】因为
，所以由
可得，
，解得
．
故答案为：
．
课本典例·高考素材
——立足
本典例，挖掘高考素材
课
1.如果a，b 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是( ).
A.
B.
C.
D.
【答案】D.
【详解】因为a，b 是两个单位向量，所以
，因此
，也即
，故C 项错误，D 项正
确；两个单位向量尽管长度相等，但方向不一定相同，故A 项错误；
，只有a，b 的夹
角
为0 时，才有
，故B 项错误.
故选：D
2.若
，
是夹角为60°的两个单位向量，则
与
的夹角为( ).
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
【答案】C
【详解】
，
，
，
.
设向量a 与向量b 的夹角为
，则
.又
，所以
，
故选C.
3.已知等边三角形ABC 的边长为1，
，
，
，那么
( ).
A.3
B.-3
C.
D.
【答案】D
【详解】
.
故选D.
4.若平面向量a，b，c 两两的夹角相等，且
，
，
，则
( ).
A.2
B.5
C.2 或5
D.
或
【答案】C
【详解】由向量a，b，c 两两所成的角相等，故向量a，b，c 两两所成的角都等于0 或
.当a，b，c 两
两所成的角为
时，
，
，
.
则
，
.当a，b，c 唡两所成的角为0 时，
.
故选C.
5.已知向量a 与b 的夹角为30°，
，
，求
，
的值.
【答案】
，
【详解】
，
，
.
6.已知
的顶点坐标分别为
，
，
，求
，
，
的值.
【答案】
，
，
【详解】由
，
，
可知
，
，所以
，即
，
所以
，
，
，所以
，故
，
，
.
7.如图，支座A 受
，
两个力的作用，已知
与水平线成
角，
，
沿水平方向，
，
与
的合力F 的大小为100N，求
以及F 与
的夹角
的余弦值.
【答案】
，
【详解】
，
，即
.
，解得
.又
，
，即
，
，解得
.
8.已知
，向量
，
，
满足条件
，
.求证：
是等边三角形.
【详解】由已知，可得
，
两边平方得
，
令
，
，
，
.
同理
，
.
故
是等边三角形.
