文档文本内容
第03 讲 基本不等式
目录
第一部分：基础知识....................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾.............................................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过.........................................................................................................2
高频考点一：基本不等式的内容及辨析................................................................................2
高频考点二：利用基本不等式比较大小................................................................................3
高频考点三：利用基本不等式求最值...................................................................................4
角度1：利用基本不等式求积最大值..............................................................................4
角度2：利用基本不等式求和最小值..............................................................................4
角度3：二次与二次（一次）的商式的最值...................................................................5
角度4：“1”的妙用求最值...........................................................................................6
角度5：条件等式求最值.................................................................................................7
高频考点四：基本不等式的恒成立问题................................................................................7
高频考点五：利用基本不等式解决实际问题........................................................................8
第四部分：典型易错题型.................................................................................................... 10
第一部分：基础知识
1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
①如果
，
，
，当且仅当
时，等号成立．
②其中
叫做正数
，
的几何平均数；
叫做正数
，
的算数平均数．
2、两个重要的不等式
①
（
）当且仅当
时，等号成立．
②
（
）当且仅当
时，等号成立．
3、利用基本不等式求最值
①已知
，
是正数，如果积
等于定值
，那么当且仅当
时，和
有最小值
；
②已知
，
是正数，如果和
等于定值
，那么当且仅当
时，积
有最大值
；
4、常用技巧
利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次
数））、代（1 的代入）、解（整体解）.
①凑：凑项，例：
；
凑系数，例：
；
②拆：例：
；
③除：例：
；
④1 的代入：例：已知
，求
的最小值.
解析：
.
⑤整体解：例：已知
,
是正数，且
，求
的最小值.
解
析
：
，
即
，
解
得
.
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·北京·高考真题）已知
，
是函数
的图象上两个不同的点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：基本不等式的内容及辨析
典型例题
例题1．（多选）（23-24 高三上·广东揭阳·阶段练习）下列有关说法正确的是（ ）
A．当
时，
B．当
，
时，
恒成立
C．当
时，
D．当
时，
的最小值为
友情提醒：使用基本不等式时需注意①一正②二定③三相等；特别是“一正，三相等”很容易被忽略而造
成错解，如本题A 选项，当
时，
不满足“一正”这个前提；再如D 选项，
当且仅当
，即
等号成立，而
。
例题2．（多选）（23-24 高三上·江苏南通·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．函数
的最大值为
B．函数
的最小值为2
C．函数
的最小值为6
D．若
，则
的最大值为4
精练高频考点
1．（多选）（24-25 高三上·安徽·期中）下列几个不等式中，能取到等号的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（多选）（23-24 高三上·重庆南岸·期中）下列说法正确的是（ ）
A．函数
的最大值是
B．函数
的最小值是2
C．函数
的最小值是6D．若
，则
的最小值是8
高频考点二：利用基本不等式比较大小
典型例题
例题1．（多选）（24-25 高三上·江苏盐城·阶段练习）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（多选）（24-25 高三上·湖南·阶段练习）已知正数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
精练高频考点
1．（多选）（24-25 高三上·四川成都·阶段练习）若正数
，
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（多选）（24-25 高三上·陕西榆林·期中）已知正数a，b 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
高频考点三：利用基本不等式求最值
角度1：利用基本不等式求积最大值
典型例题
例题1．（24-25 高三下·云南玉溪·开学考试）已知
，
，且
，则
的最大值为 ．
例题2．（2025·湖北·模拟预测）已知实数
，
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
精练高频考点
1．（2025·山东菏泽·二模）已知
，
，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．1
C．4
D．16
2．（24-25 高三下·上海·阶段练习）设
，
，若
，则
的最大值为 .
角度2：利用基本不等式求和最小值
典型例题
例题1．（24-25 高三下·广东东莞·阶段练习）若
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．
D．6
精练高频考点
1．（24-25 高三下·江苏常州·阶段练习）已知
，则
的最小值是（ ）
A．0
B．
C．
D．1
2．（24-25 高三下·河南·阶段练习）已知
，则
的最小值为 ．
角度3：二次与二次（一次）的商式的最值
典型例题
例题1．（24-25 高三上·河北唐山·阶段练习）利用基本不等式求以下最值：
求
在
时的最小值．
例题2．（23-24 高三上·广东汕头·阶段练习）
的最大值为 .
方法总结：形如：
或者
解题时可以优先考虑换元法，换元
时将低次式换元；令
再带入二次式中，通过换元化繁为简。
精练高频考点
1．（24-25 高三上·广东江门·期末）若
，则
的最小值是 .
2．（23-24 高三上·福建泉州·期中）函数
在
上的最大值为 ．
3．（24-25 高三上·全国·课后作业）求下列函数的最值．
已知
，求
的最小值．
4．（24-25 高三上·安徽六安·期中）（1）已知
，求
的最小值；
角度4：“1”的妙用求最值
典型例题
例题1．（2025 届安徽省皖江名校高三下学期5 月联考数学试题）若
，则
的最
小值是 ．
例题2．（2025·重庆·模拟预测）若
，且
，则
的最小值为 ．
精练高频考点
1．（24-25 高三下·湖南长沙·期中）已知
，且
，则
的最小值是 ．
2．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知
，
，
，则
的最小值为 .
3．（24-25 高三下·天津滨海新·期中）已知
，且
，则
的最小值为
角度5：条件等式求最值
典型例题
例题1．（24-25 高三上·云南玉溪·期中）若正数a，b 满足
，则
的最小值是
（ ）
A．15
B．18
C．24
D．36
例题2．（24-25 高三下·江苏常州·阶段练习）已知
，则
的最小值是
（ ）
A．0
B．
C．
D．1
精练高频考点
1．（25-26 高三上·全国·课后作业）已知
，且
，则
的最小值是
．
2．（24-25 高三下·浙江湖州·阶段练习）已知正实数x，y 满足
，则
的最大值为 ．
高频考点四：基本不等式的恒成立问题
典型例题
例题1．（2025·吉林延边·一模）已知正实数
，
满足
，且不等式
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2025 高三·全国·专题练习）已知
，且
，若
恒成立，则实数t 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例题3．（23-24 高三上·天津南开·期中）已知
，若不等式
恒成立，则
的
最大值是 .
精练高频考点
1．（24-25 高三上·江西宜春·期末）已知
，且
，若
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024 高三·全国·专题练习）已知
，若不等式
恒成立，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．5
3．（24-25 高三上·四川成都·期中）若不等式
在区间
上恒成立，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
高频考点五：利用基本不等式解决实际问题
典型例题
例题1．（2025·上海青浦·模拟预测）道路通行能力指单位时间（1 小时）内通过道路上指定断面的最大车
辆数，是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究
某城市道路通行能力，现给出如下假设：
假设1：车身长度均为4.8 米；
假设2：所有车辆以相同的速度（单位：千米／小时）匀速行驶；
假设3：安全距离
（单位：米）与车辆速度近似满足
.
该城市道路通行能力的最大值约为 .（结果保留整数）
例题2．（24-25 高三上·安徽铜陵·阶段练习）美国国家海洋和大气管理局
最近发布的一则预测引
发全球关注：预计在
年
月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以
逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成：
①固定成本(与生产产品的数量无关)：
万元；
②生产所需材料成本：
万元，
(单位：万套)为每月生产产品的套数．
(1)该企业每月产量
为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？
(2)若每月生产
万套产品，每万套售价为：
万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制
定计划，才能确保该套装每月的利润不低于
万元．
精练高频考点
1．（2025·江西·模拟预测）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫
在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度
（单位：米）满足
，则该类昆虫的最
大跳跃高度为（ ）
A．0.25 米
B．0.5 米
C．0.75 米
D．1 米
2．（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g 的砝码放在天平
左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些中
药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（ ）
A．等于200g
B．大于200g
C．小于200g
D．以上都有可能
3．（2026 高三·全国·专题练习）某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形
，如图）上设计三
个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积
之和为
．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为
．当直角梯形的高
为 cm 时，用纸量最少（即矩形
的面积最小）．
第四部分：典型易错题型
备注：利用基本不等式解题容易忽视“一正”，“三相等”
1．（多选）（2024·江苏南通·一模）下列函数中最小值为4 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（多选）（24-25 高三上·浙江温州·期中）下列为真命题的是（ ）
A．函数
的最小值为2
B．函数
的最小值为3
C．函数
的最大值为1
D．函数
的最小值为2
