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专题六 不等式、函数与导数
第1 讲 不等式
【探究真题.明确方向】
1.(2025·全国Ⅱ卷，T4)不等式x−4
x−1 ≥2 的解集是( )
A.{x|-2≤x≤1}
B.{x|x≤-2}
C.{x|-2≤x<1}
D.{x|x>1}
2.(2025·北京，T6)已知a>0，b>0，则( )
A.a2+b2>2ab
B.1
a+1
b≥1
ab
C.a+b>❑√ab
D.1
a+1
b≤2
❑√ab
3.(2021·新高考全国Ⅰ卷，T5)已知F1，F2是椭圆C：x
2
9 + y
2
4 =1 的两个焦点，点M 在C 上，则|MF1|·|MF2|的
最大值为( )
A.13
B.12
C.9
D.6
4.(2021·全国乙卷，文T8)下列函数中最小值为4 的是( )
A.y=x2+2x+4
B.y=|sin x|+
4
|sin x|
C.y=2x+22-x
D.y=ln x+ 4
ln x
5.(多选)(2020·新高考全国Ⅰ卷，T11)已知a>0，b>0，且a+b=1，则( )
A.a2+b2≥1
2
B.2a-b>1
2
C.log2a+log2b≥-2
D.❑√a+❑√b≤❑√2
6.(多选)(2022·新高考全国Ⅱ卷，T12)若x，y 满足x2+y2-xy=1，则( )
A.x+y≤1
B.x+y≥-2
C.x2+y2≤2
D.x2+y2≥1
【命题预测】本讲是历年高考命题常考的内容，特别是基本不等式经常和函数、数列、三角函数、解析几
何等相结合考查，高中低档题目都有考查，主要以选择题或填空题的形式进行考查，分值约为5~6 分.
【考向预测】一是不等式的解法，主要是结合集合考查一元二次、分式、绝对值不等式的解法；二是三个
一元二次之间的关系，不等式恒成立的问题；三是基本不等式，主要考查利用基本不等式求最值，以及基
本不等式的应用.
考点一 不等式的解法
【典例】1 (1)设集合A={x||x-a|<1}，B={x|
4
x−5 <−1}.若A∩B=∅，则实数a 的取值范围是( )
A.{a|0≤a≤6}
B.{a|4≤a≤6}
C.{a|a≤0 或a≥6}
D.{a|2≤a≤4}
(2)(2025·济南模拟)已知关于x 的不等式组{
x
2−2 x−8>0，
2 x
2+(2k +7)x +7 k <0仅有一个整数解，则实数k 的取值范
围为( )
A.[-5，3)
B.[2，3)
C.[2，3)∪[4，5)
D.[-5，3)∪(4，5]
【变式训练】1 (2025·南通模拟)已知关于x 的一元二次不等式x2-bx+2b-3<0 的解集为(x1，x2)，1
x1
+ 1
x2
<2，则实数b 的取值范围是 .
考点二 基本不等式
【典例】2 (1)(多选)(2025·曲靖模拟)已知正数a，b 满足a+2b=1，则( )
A.ab 的最大值为1
8
B.a2+4b2的最小值为1
2
C.❑√a+❑√2b的最大值为2
D.2a+4b的最小值为2❑√2
(2)(2025·重庆模拟)已知x2+y2=2x2y2(xy≠0)，则2-x2-9y2的最大值为( )
A.6
B.-6
C.8
D.-8
【变式训练】2 (1)若x>0，y>0，x+2y=5，则1
xy 的最小值为( )
A. 8
25
B.8
5
C. 4
25
D.4
5
(2)(2025·泉州模拟)若x≥0，y≥0，且1
x +1+
1
2 x + 4 y =1，则3x+4y 的最小值为( )
A.2
B.3
C.4
D.8
考点三 不等式的综合应用
【典例】3 (2025·昭通模拟)已知a>0，b∈R，若关于x 的不等式(ax-1)(x2+bx-8)≥0 在(0，+∞)上恒成
立，则b+3
a的最小值为 .
【变式训练】3 (多选)(2024·邢台模拟)如图，曲线C 的形状是一个斜椭圆，其方程为x2+y2-xy=6，点
P(m，n)是曲线C 上的任意一点，点O 为坐标原点，则下列说法正确的是( )
A.曲线C 关于直线y=x 对称
B.m+n 的最大值为2❑√6
C.该椭圆的离心率为
❑√2
2
D.n 的最大值为2❑√2
【限时训练】（限时：60 分钟）
一、单项选择题(每小题5 分，共40 分)
1.(2025·广安模拟)不等式3
x +1≥1 的解集是( )
A.{x|x<-1 或-1<x≤2}
B.{x|-1≤x≤2}
C.{x|x≤2}
D.{x|-1<x≤2}
2.(2025·石家庄模拟)如果ab>0，那么“a>b”是“1
a<1
b”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.(2025·菏泽模拟)已知a>1，b>1，且ab=4，则log2a·log2b 的最大值为( )
A.1
4
B.1
C.4
D.16
4.若对x∈[1，4]，不等式x2+ax-1≥0 有解，则实数a 的取值范围是( )
A.{a|a>−15
4 }
B.{a|−15
4 ≤a≤0}
C.{a|a≥0}
D.{a|a≥−15
4 }
5.(2025·北京朝阳区模拟)已知向量a=(x，1)，b=(3，-y)，c=(1，1)，若a，b 在c 上的投影向量相等，则
x2+y2的最小值为( )
A.2
B.1
C.1
2
D.❑√2
6.(2025·临沂模拟)已知{an}为正项等差数列，若4a3-a7=8，则a1a3的最大值为( )
A.4
B.6
C.8
D.10
7.(2025·哈尔滨模拟)已知圆柱的底面半径为r，圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，若圆柱和圆台的高和
体积都相等，则( )
A.2r<r1+r2
B.2r>r1+r2
C.r2=r1r2
D.r2<r1r2
8.(2025·萍乡模拟)若不等式x(x+a)ln(x+a)≥0 恒成立，则a 的取值集合为( )
A.{1}
B.(0，1]
C.[
1
e ，1]
D.[1，+∞)
二、多项选择题(每小题6 分，共18 分)
9.(2025·汕头模拟)若关于x 的不等式ax2-bx+c>0 的解集为M={x|-1<x<2}，则下列选项正确的是( )
A.a<0
B.不等式cx2+bx+a>0 的解集为{x|1<x≤2}
C.4a+2b+c<0
D.函数y=ax2+bx+c 在(−∞，−1
2]上单调递增
10.(2025·临沂模拟)已知a>b>c，则下列不等式正确的是( )
A.
1
a−c <
1
a−b
B.ab2>cb2
C.a+b>c
D.a2+c2>b2
11.已知a>0，b>0，a2+b2-ab=2，则下列不等式恒成立的是( )
A.1
a+1
b≤❑√2
B.ab≤2
C.a+b≤2❑√2
D.a2+b2≥4
三、填空题(每小题5 分，共15 分)
12.(2025·合肥模拟)已知F1，F2是椭圆C：x
2
9 + y
2
4 =1 的两个焦点，点M 在C 上，则
1
|M F1|+
1
|M F2|的最小
值为 .
13.(2025·赣州模拟)若关于x 的不等式x2+2(m-1)x+m2-m<0 的解集为(x1，x2)，且1
x1
+ 1
x2
=2，则实数m 的值为
.
14.(2025·白银模拟)若正实数a，b 满足a+b=1，则a
2
a+1+ b
2
b+2的最小值是 .
【拓展训练】(15 题5 分，16 题6 分，共11 分)
15.(2025·鞍山模拟)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y=ax(a>1)的图象上两个不同的点，则( )
A.loga y1+ y2
2
< x1+ x2
2
B.loga y1+ y2
2
> x1+ x2
2
C.loga y1+ y2
2
<x1+x2
D.loga y1+ y2
2
>x1+x2
16.(多选)(2025·成都模拟)已知集合S={(x，y)|x>0，y>0，x+y=6，且xy-3k≥0}(k>0)，则称集合S 为k-分集.
下列说法正确的是( )
A.当k=3 时，{(3，3)}是唯一的k-分集
B.对任意k>3，总存在至少一个k-分集
C.若S 是2-分集，则|x-y|>2❑√3
D.若S 是1-分集，则(x-2)2+(y-4)2<24
