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专题二 函数专题归纳总结与测试
一．单选题：本题共8 小题，每题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的。
1．（2025·河南·模拟预测）已知
为偶函数，则实数
（ ）
A．0
B．1
C．
D．
【答案】C
【解析】易得函数
的定义域为
，由
是偶函数，得
恒成立，
可得
，故
.
故选：C
2．（24-25 高三上·贵州六盘水·阶段练习）若
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
是
上的增函数，
所以
，即
，
又因为
是增函数，所以
，
又
是
上的增函数，
所以
，即
，
综上所述，a，b，c 的大小关系为
.
故选：A.
3．（2024·江西·模拟预测）下列关于幂函数
的描述正确的是（ ）
A．函数
为偶函数
B．函数
为奇函数
C．函数
为
上的减函数
D．
【答案】A
【解析】因为
是幂函数，所以
，即
∵
是
上的单调增函数，
∵
， ∴
有唯一的零点
，
因此，由
，得
，所以
，
函数
为偶函数，不是奇函数；在
上单调递减，在
上单调递增；
，故A 正确，B、C、D 错误.
故选：A.
4．（2024·广西·模拟预测）设函数
，则不等式
的解集为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】函数
的定义域为
，
且
，即
为偶函数，
当
时
与
，
与
均在
上单调递增，
所以
与
均在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，则不等式
等价于
，
即
，解得
或
，
即不等式
的解集为
.
故选：B.
5．（23-24 黑龙江大庆 ）已知函数
的定义域为
，且
，若
，则下
列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．函数
是偶函数
D．函数
是减函数
【答案】C
【解析】对于A，令
、
，则有
，
又
，故
，即
，
令
、
，则有
，
即
，由
，可得
，
又
，故
，故A 正确；
对于C，令
，则有
，
则
，故函数
是奇函数，故C 错误；
对于D，有
，即
，
则函数
是减函数，故D 正确；
对于B，由
，令
，有
，故B 正确．
故选：C.
6．（2025·浙江绍兴·二模）已知函数
，则（ ）
A．当
时，
是偶函数，且在区间
上单调递增
B．当
时，
是奇函数，且在区间
上单调递减
C．当
时，
是偶函数，且在区间
上单调递减
D．当
时，
是奇函数，且在区间
上单调递增
【答案】D
【解析】对AB：当
时，
，其定义域为
，
，故
为偶函
数；
又
，当
时，令
，
因为
在
单调递增，
在
单调递增，故
在
单调递增，
故
在
单调递减，故AB 都错误；
对CD：当
时，
，其定义域为
，
，故
为奇函数；
又
，当
时，
均为减函数，故
为
上的减函数，
故
为
上的增函数，故C 错误，D 正确.
故选：D.
7．（2024·重庆·模拟预测）已知函数
，若
，
，则
当
时，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设
，则直线
与函数
的图象有三个交点，
由图象可知，
，
由
，则有
，
则有
，解得
，有
，
又
，所以
，
得
．
故选：A.
8．（2025·山西·二模）已知函数
的定义域为
，函数
是奇函数，函数
的图象关于直线
对称，则（ ）
A．
是偶函数
B．
是奇函数
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
是奇函数，所以
为偶函数，
所以
，即
，故
的图象关于直线
对称，
由
的图象关于直线
对称得
，
即
，
即
，所以
关于
对称，
所以
，所以
，
故
是奇函数，所以B 选项正确；
因为
，又
，所以
，
即
，所以
，故C 选项错误；
不能得到
的奇偶性与
的值，故A，D 选项错误.
故选：B
二．多选题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选
对得6 分，不分选对的得部分分，有选错的得0 分。
9．（2025·河北秦皇岛·二模）已知函数
的定义域为
，若满足
，且函数
是奇函
数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】函数
的定义域为
，由函数
是奇函数，得
，
对于A，由
，得
，由
，
得
，则
，A 正确；
对于B，由
，
，得
，
，B 错误；
对于C，
，而
，即
，因此
，C 错误；
对于D，由
，得
，
则
，D 正确.
故选：AD
10．（2025·广东佛山·二模）已知函数
，则
（ ）
A．最小正周期为
B．是奇函数
C．在
上单调递增
D．最大值为1
【答案】BD
【解析】由
，显然
不是
的周期，A 错；
由
的定义域为R，且
，所以
为奇函数，B 对；
由解析式，易得
，显然在
上不是单调递增，C 错；
由
，
令
，则
，且
，
若
，则
，又
在
、
上都单调递减，
在
上
，
，在
上
，
，
所以
的最大值为1，D 对.
故选：BD
11．（2025·山西晋城·二模）设
均是定义在
上的函数，且
，则下列说法正确的
是（ ）
A．若
是偶函数，则
的图象关于直线
对称
B．若
是最小正周期为1 的函数，则
是最小正周期为3 的函数
C．若
是偶函数，则
的图象关于直线
对称
D．若
是奇函数，则
【答案】BCD
【解析】对于A，因为
是偶函数，所以
，
所以
，即
的图象关于直线
对称，故A 错误；
对于B，因为
是最小正周期为1 的函数，所以
是最小正周期为1 的函数，
设
的最小正周期为
，由
，得
，故B 正确；
对于C，由
，得
，
又
是偶函数，所以
，
所以
，则
的图象关于直线
对称，故C 正确；
对于D，由C 项可知，
，
因为
是奇函数，所以
，即
，
则
，所以
，
因此
的图象关于点
对称，且
，
所以
，故D 正确．
故选：BCD．
三．填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．（2025·江苏·模拟预测）已知函数
（
且
）是偶函数，则
.
【答案】
【解析】因为
对任意的
恒成立，可知函数
的定义域为
，
因为函数
是偶函数，则
，即
，
整理可得
，即
，
可得
，
即
，可知
是偶函数，
符合题意，
所以
.
故答案为：
.
13．（2025·广东汕头·模拟预测）已知函数
设
，若函数
仅有一
个零点，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为函数
仅有一个零点，
所以函数
的图象与函数
的图象只有一个交点.
函数
恒过定点
，
，
同一坐标系内作出两函数图象，如图所示，
两个函数图象已经有一个交点
.
时，
，其导函数
，
当直线
与函数
在
处相切时，只有一个交点
，
此时
，解得
，则当
时，有两个交点.
时，
，其导函数
，
当直线
与函数
在
处相切时，只有一个交点
，
此时
，解得
，则当
时，有两个交点.
综上，要使函数
仅有一个零点，则实数
的取值范围是
.
故答案为：
.
14．（2025·北京海淀·一模）已知函数
（
且
）．若
的值域为
，
则
的一个取值为 ；若
的值域为
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】第一空：当
时，易知
的值域为
，
若
的值域为
，则当
时，
的最大值需满足小于或等于2，
因为
在
上单调递增，故需满足：
即
，解得：
，故
的
一个取值为
；
第二空：当
时，易知
的值域为
，
若
的值域为
，则需满足当
时，
的最小值需满足小于或等于2，
又
在
上单调递增，则需满足
即
，解得：
，所以
的取值
范围是
.故答案为：
，
四．解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤；15 题13 分，16、17 题各
15 分，18、19 题各17 分
15．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
在区间
上有最大值4 和最小值
1．
(1)求
，
的值；
(2)若存在
，使
对任意的
都成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为
，且
，
可知
的图象开口向上，对称轴为
，可知
在
上单调递增，
则
，解得
.
（2）由（1）得
，
因为存在
，使
对任意的
都成立，
由（1）可知：
在
内单调递增，则
，
可得
，即
对任意的
都成立，
可得
，解得
或
，
故实数
的取值范围为
．
16．（2025 高三·全国·专题练习）定义在
上的奇函数有最小正周期为2，且
时，
．
(1)求
在
上的解析式；
(2)
取何值时，方程
在
上有解．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）
时，
，则
，
因
为奇函数，则
；
因
的最小正周期为
，则
，
又
，则
，
则
（2）
，且
，则
，
因
，则
，
，
则
，即
，则
在
上单调递减，则
；
利用奇函数性质可得，
在
上也单调递减，且
，
画出图象如图所示，
由图象可知，则
或
或
时，
与
的图象有交点，
即方程
在
上有解，故
．
17．（2026 高三·全国·专题练习）对于定义域为
的函数
，如果同时满足以下三个条件：①对任意的
，总有
；②
；③若
，
，
，都有
成立，
则称函数
为理想函数．
(1)若函数
为理想函数，求
的值；
(2)判断函数
是不是理想函数，并予以证明．
【答案】(1)
(2)
为理想函数，证明见解析
【解析】（1）若函数
为理想函数，取
，由条件③可得
，即
．
由条件①对任意的
，总有
，得
．
（2）函数
为理想函数，证明如下：
函数
在
上满足
，即满足条件①．
，
满足条件②．
若
，
，
，
则
，即满足条件③．
综上所述，
同时满足理想函数的三个条件，故
为理想函数．
18．（2025·上海青浦·模拟预测）对于函数
，其中
.
(1)若函数
的图像过点
，求
的解集；
(2)求证：当
时，存在
使得
成等差数列.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【解析】（1）已知函数
的图像过点
，
所以
，即
，因为
，所以
，
则
.
函数
的定义域为
，且在定义域上单调递增.
由
可得
，
解得
，所以不等式的解集为
.
（2）当
时，
，
.
若
成等差数列，则
，
即
.
所以
，
即
，
即
，则
，移项可得
.
对于一元二次方程
，
，
所以方程有实数解，即存在
使得
成等差数列.
19．（24-25 高三上·云南·阶段练习）对于定义域
的函数
，若存在区间
，使得当
时，函数
的值域恰为
，则称函数
是
上的 “
倍值函数”，区间
叫做“
倍值区间”.
(1)已知函数
是
上的“
倍值函数”，求
的值；
(2)若函数
是“
倍值函数”，求
的取值范围；
(3)设函数
是“ 倍值函数”，且存在唯一的“ 倍值区间”，求
的值.
【答案】(1)2
(2)
(3)1
【解析】（1）因为函数
在
上单调递增，且是 “
倍值函数”.
所以
，
，其值域为
.
则
，又
，解得
.
（2）函数
，对称轴为
.
设
的 “
倍值区间” 为
.
若
，
在
上单调递减，
则
，两式相减得：
，
，
.
因为
，所以
，
，即
.
若
，
在
上单调递增，
则
，
即
有两个不同的大于的根.
令
，则
，
解
得
或
，
解
得
，解
得
，此时无解.
若
，
，
，
与
矛盾.
综上，
的取值范围是
.
（3）因为函数
是 “ 倍值函数”，
设其 “ 倍值区间”为
开口向下，对称轴为
.
若
，
在
上单调递减，
则
，两式相减得:
，
，
，
代入
得
，
，
，无解.
若
，
在
上单调递增，
则
，
即
有两个不同的小于
的根.
令
，则
，解得
.
因为存在唯一的 “ 倍值区间”，
由
，根据韦达定理
，
.
两根为
，
要使区间唯一，则
，此方程无解.
再考虑
在
上不单调的情况，因为对称轴
，
所以
，且
，则
，得
且
.
又
，
，
消去
得
（无解），
或者
，解得
或
（舍去）.
所以
.
