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3.2 利用导数研究函数的单调性考点一 函数与导函数图像的关系
【例1】（2024内蒙古包头） 的图象如图所示，则 的图象最有可能是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024云南）设 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023·浙江绍兴·模拟预测）如图是函数 的导函数 的图象，若 ，则 的
图象大致为（ ）A． B． C． D．
3．（2024·黑龙江齐齐哈尔）已知函数 的图象如图所示（其中 是函数 的导函数），下面
四个图象中可能是 图象的是（ ）
A． B． C． D．
考点二 无参函数单调区间
【例2】（2024广东东莞）（1）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2024重庆·阶段练习）函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
（3）（2024北京）已知函数 ，则 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】1．（2024广东东莞）函数 的单调减区间为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024重庆长寿）函数 的单调递减区间为（ ）
A．（0，2） B．（2，3）
C．（1，3） D．（3，+∞）
3．（2024·浙江·模拟预测）函数 的单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
考点三 某区间上单调求参
【例3-1】（2024江西南昌）已知函数 在区间 上单调递减，则实数m的取
值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】（2024江苏南京）已知函数 在区间 上单调递增，则实数a的最小值为（
）
A．0 B．1 C．2 D．3
【例3-3】（2024海南海口）已知函数 在 上为减函数，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例3-4】（2024浙江）已知函数 在区间 上是减函数，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024·广东茂名·一模）（多选）若 是区间 上的单调函数，则实数
的值可以是（ ）
A． B． C．3 D．42．（2024福建南平）已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023高三·全国·专题练习）已知函数 的单调递减区间为 ，则（ ）.
A． B．
C． D．
4．（2024安徽宿州）已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
考点四 某区间存在单调求参
【例4-1】（2024福建泉州·阶段练习）若函数 在 上存在单调递增区间，则实数 的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在区间 上，函数 存在单调递增区间，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2024内蒙古锡林郭勒盟·期末）若函数 在 上存在单调递减区间，则 的取值范围是
（ ）
A． B．C． D．
2．（2024重庆江北·期中）若函数 在区间 内存在单调递减区间，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024江西萍乡）已知函数 在区间 上存在单调递增区间，则实数 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024江苏常州）若函数 存在单调递减区间，则实数 的取值范围为是 .
考点五 某区间上不单调求参
【例5-1】（23-24高三上·福建三明·期中）已知函数 ，则 在 上不单调的一个充
分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【例5-2】（2024江苏苏州·期末）（多选）若函数 在区间 上不单调，则实数 的
值可能是（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【一隅三反】
1．（2024四川绵阳）已知函数 ，则 在 上不单调的一个充分不必要条件是
（ ）
A． B．C． D．
2．（2024山东德州）若函数 在(0，1)上不单调，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024北京）已知函数 ．若 在 内不单调，则实数a的取值范围是
．
考点六 含参函数的单调性分类讨论
【例6-1】（2024·福建漳州·一模）已知函数 ， 且 ．
(1)证明：曲线 在点 处的切线方程过坐标原点．
(2)讨论函数 的单调性．
【例6-2】（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，讨论 的单调性.【例6-3】（2024高三·全国·专题练习）已知 ，讨论 的单调性.
【一隅三反】1．（2024浙江杭州·期末）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)已知 时，直线 为曲线 的切线，求实数 的值．
2．（2024安徽）已知函数 .
(1)若 ，求曲线 在点 处的切线；
(2)讨论 的单调性；
3．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ． ，讨论函数 的单调区间；4．（2024湖南）已知 ，讨论函数 的单调性.
5．（2024广东湛江）设函数 （ ），讨论 的单调性.考点七 单调性的应用之比较大小
【例6-1】（2024·云南贵州·二模）已知 ，则 的大关系为（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2024·全国·模拟预测）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川成都·模拟预测）已知函数 ，若 ， ， ，
则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·全国·模拟预测）若 ， ， ，则 ， ， 的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
考点八 单调性的应用之解不等式
【例8-1】（2024·北京延庆·一模）已知函数 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【例8-2】（2024·陕西西安·二模）已知函数 .若 ，则 的取值范围是
（ ）A． B． C． D．
【例8-3】（2024·湖南邵阳·二模）已知函数 的定义域为 为 的导函数.若 ，且
在 上恒成立，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2024·贵州贵阳·一模）已知 是定义在 上的偶函数，且 也是偶函数，若 ，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，对任意 ，有 ，则“ ”是
“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分又不必要条件 D．充要条件
3．（2024·贵州贵阳·一模）已知定义域为 的函数 ，其导函数为 ，且满足 ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·陕西西安·模拟预测）定义在 上的函数 的导函数为 ，且有
，且对任意 都有 ，则使得 成立的 的取值范围
是 .5．（2024·四川成都·二模）已知函数 ，若 ，则实数 的取值范围为
.
一.单选题
1．（2023春·四川乐山）函数 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D． ，
2．（2023春·吉林长春）若函数 在区间 上是增函数，则实数a的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2024广东深圳·期末） 是函数 的导函数， 的图象如图所示，则 的图象最有
可能是下列选项中的（ ）
A． B． C． D．
4．2024广西河池·期末）已知函数 在区间 上不单调，则实数a的取值范围为（ ）A． B．
C． D．
5．（2024·宁夏·一模）设定义在R上的函数 满足对 都有 ，且当 时，
，若 ， ， ，则a、b、c的大小关系是（ ）.
A． B． C． D．
6．（2024·辽宁·模拟预测）已知 是定义在 上的奇函数， 也是定义在 上的奇函数，
则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·全国·模拟预测）已知函数 在 上单调递减，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·四川遂宁·二模）已知a，b，c均为正数，且 ， ， ，则
a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
二．多选题
9．（2023春·河南）函数 的图象如图所示，则以下结论正确的有
（ ）A． B．
C． D．
10．（2024春重庆）=已知函数 在 上有三个单调区间，则实数 的取值可以是
（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·辽宁抚顺·三模）已知定义在 上的奇函数 连续，函数 的导函数为 ．当 时，
，其中 为自然对数的底数，则（ ）
A． 在 上为减函数 B．当 时，
C． D． 在 上有且只有1个零点
三．填空题
12．（2024·贵州毕节·模拟预测）定义在 上的可导函数 满足 ，若 ，则
的取值范围为 ．
13．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知函数 在区间 上不单调，则
m的取值范围是 ．
14．（2023·广东深圳·统考模拟预测）已知函数 ， ，若 ，
则实数 的取值范围为______．
四．解答题
15．（2024福建）已知函数 .（1） 时，求函数 的单调递增区间；
（2）若函数 在区间 上不单调，且 时，不等式 恒成立，求实数a的取值范围.
16．（2024·山东青岛·一模）已知函数 ．
(1)若 ，曲线 在点 处的切线斜率为1，求该切线的方程；
(2)讨论 的单调性．
17．（23-24高三下·河北保定·开学考试）已知 .
(1)当 时，求 的零点个数；(2)讨论 的单调性.
18．（2023·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
19．对下面函数的单调性进行分类讨论
（1）（2024·广西）已知函数 ，讨论 的单调性；（2）．（2024·安徽）已知函数 ，讨论函数 的单调性；
（3）（2024福建）已知函数 ，讨论f（x）的单调性；（4）（2024·福建 ）设函数 ， ，讨论函数 的单调性；
（5）（2024湖北）已知函数 ， ，讨论函数 的单调性；
