文档文本内容
4.4 正余弦定理（精讲）考向一 边角互换
【例1-1】（24-25广东东莞）在 中，角 的对边为 ，已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在 中，因 ，由正弦定理可得 ，
因 ，所以 ，故 ，即 ，又因 ，所以 ，
故选：A
【例1-2】（2025·福建福州·模拟预测）已知 分别为 的三个内角 的对边，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据已知条件 ，得 ， ，， ,故选：C.
【例1-3】（2025·湖南·三模）在 中，角 的对边分别为 ，若 .则角 的大
小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，得到 ，
又 ， ，则 ，所以 ，
又 ，则 ，所以 ，得到 ，所以 ，即 ，
故选：B.
【例1-4】（2025·浙江·模拟预测）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 及正弦定理可得 ，
因为 ，所以 ，整理得 ，
所以 ，
因为 ，则 ，由题意知 ， ，故 ，
因为 ，因此， .
故选：B.
【例1-5】（2025·黑龙江辽宁·模拟预测）已知 的内角 的对边分别为 ，若 ，
，则角 （ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，由正弦定理可得 ，
又 ，所以 ，
又 ，由正弦定理可得 ，即 ，
由余弦定理 ，所以 ，所以 为锐角，
所以 ，
所以 ，
又 ，所以 .故选：C
【一隅三反】
1．（2025·福建泉州·模拟预测）已知 分别为 三个内角 的对边， ，且
，则
【答案】
【解析】解法一：因为 为锐角，所以 ，
又在 中， ，所以 ，则
所以 ，解得 ， ，所以 ．
故选：B．
解法二：又在 中， ，
因为 ，所以所以 ， ，所以 ，
又因为 ， ，
所以 ．
2.（2025高三·全国·专题练习）记 的内角 的对边分别为 ，若 ，则
．
【答案】 /
【解析】因为 ，由正弦定理得 ，
所以 ，即 ，
所以 或 （舍去），即 ，
又因为 ，则 ，解得 ．
故答案为： .
3．（2025·河南·模拟预测）在 中，内角 所对边分别为 ，若
，则 .
【答案】
【解析】在 中，由 及正弦定理，
得 ，则 ，
整理得 ，于是 ，
则 ，因此 ，当且仅当 时取等号，而 ，
解得 ，即 ，此时 ，所以 .
故答案为：4．（2024·四川攀枝花·二模） 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且 ，则
．
【答案】
【解析】由 ，
由余弦定理得 ，
由正弦定理得 ，
因为 ，
即 ，
即 ，
因为 ，则 ，
因为 ，故 .
故答案为：
5．（2025·福建泉州·模拟预测） 的内角 的对边分别为 ，且
.
则角 =
【答案】
【解析】因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
所以 .
化简得：根据正弦定理得： .
因为 ，所以 ，
所以 .解得 ，又 ，所以 .
6．（2025·甘肃定西·模拟预测）记 的内角 所对的边分别为 ，已知
，则B=
【答案】 ；
【解析】因为 ，
所以 ，
即 .
由正弦定理得 .
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，故 .
考向二 判断三角形的形状
【例2-1】（24-25江苏无锡·期中）已知 的内角 所对的边分别为 ，若 ，则
的形状为（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】C
【解析】由 ，可得 ，
， ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 是等腰三角形.
故选：C.
【例2-2】（24-25湖北·期中）设 的面积为 ，角 所对的边分别为 ，且 ，若
，则此三角形的形状为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
则 ，因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
由 ，所以 ， ，
所以 为等腰直角三角形.
故选：D.
【例2-3】（24-25安徽芜湖·期中）在 中，若 ，且 ，那么 一定
是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．等边三角形
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，
又根据余弦定理可知 ，所以 ，
因为 ，所以 .又由 ，得 ，
所以 ，所以 ，
因为A和B是三角形的内角，所以 ，即 ，所以 是等腰三角形，又因为 ，所以， 是等边三角形.故选：D.
【一隅三反】
1．（2025·内蒙古赤峰·三模）在 中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且 ， ，则
的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定的
【答案】A
【解析】由余弦定理可得 ，则 .
因为 ，所以 ，所以 是等腰三角形.
故选：A
2．（2024·河北秦皇岛·三模）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ， ，则
（ ）
A． 为直角三角形 B． 为锐角三角形
C． 为钝角三角形 D． 的形状无法确定
【答案】A
【解析】由 ，可得 ，则 ，
， ，即
，
由 ，故 只能为锐角，可得 ，因为 ，所以 ， .故选：A.
3．（2024·陕西渭南·三模）已知 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若 ，且
，则 是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【解析】 ，即 ，故 ，
，因为 ，所以 ，故 ，因为 ，所以 ，故 为等腰直角三角形.
故选：D
4．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知 的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 ，
且 ，则 的形状为（ ）
A．等边三角形 B．顶角为 的等腰三角形
C．顶角为 的等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【解析】由正弦定理可得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
即 ，因为 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，
即 ，因为 ，所以 ，所以 ，
因为 .所以 ，
所以 的形状为顶角为 的等腰三角形.
故选：B.
5．（23-24浙江·期中）（多选）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中正确的是
（ ）
A．若 ，则 是直角三角形
B．若 ，则 是锐角三角形
C．若 ，则 是等腰三角形
D．若 ，则 是等边三角形
【答案】AD【解析】对于A，由正弦定理可得 ，
又 ，因此可得 ，
又因为 ，所以可得 ，又 ，可得 ，
所以 是以 为直角的直角三角形，即A正确；
对于B，若 ，可得 ，可得 为锐角，
但不能确定 是否为锐角，所以 不一定是锐角三角形，即B错误；
对于C，若 ，由正弦定理可得 ，
即 ，因此可得 或 ，
可得 或 ，所以 是等腰三角形或直角三角形，即C错误；
对于D，由 根据正弦定理可得 ，
由 可得 ，即 ，所以 ；
同理由 可得 ，因此 ，所以 是等边三角形，即D正确；
故选：AD
考向三 三角形的外接圆
【例3-1】（2025河南）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，且
，则该三角形外接圆的半径为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【解析】 .
,设该三角形外接圆的半径为
由正弦定理得
故选：A.
【例3-2】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若
，且 ，则 的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由 ，
得 ，所以 ．
又因为 ，结合正弦定理 （其中 为 的外接圆的半径），
所以 ，解得 ，
则 的外接圆的面积为 ．
故选：B
【一隅三反】
1．（2024·广东肇庆·一模）在 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边， ， ， ，则
的外接圆半径是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由余弦定理，得 ，所以 舍负 ，
设 的外接圆半径为 ，根据正弦定理，可得 ，所以 ．
故选：D．
2．（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，
，则 外接圆的半径为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得 ，所以 ，
设 外接圆的半径为 ，则由正弦定理得 ，
所以 ，
故选：B.
3．（2024·陕西西安·模拟预测）已知 的内角 所对的边分别为 ，若 ，函数
的最小值为 ，则 的外接圆的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】要使 ，取得最小值 ，
只需 ，即 ，又 .
设 的外接圆的半径为 ，
根据正弦定理， ，解得 .
所以 的外接圆的周长为 .
故选:B.
考向四 三角形的面积公式
【例4-1】（2025·山西·三模）在 中， ， ， ，则 的面积是（ ）
A． B． C．3 D．12
【答案】C【解析】由余弦定理 ，
得 ，解得 ，则 ．
所以 的面积为 ．
故选：C.
【例4-2】（2024·贵州 ）在锐角三角形 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ，
， ，则 的面积为______.
【答案】
【解析】因为 ，所以由正弦定理可得
所以 ，
因为 所以
因为 ，则 ，则 ，所以 为等边三角形，故 的面积
故答案为：
【一隅三反】
1．（2025·湖南邵阳·三模）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．已知 ， ，
且 ，则此 的面积为（ ）
A．176 B．88 C．44 D．22
【答案】B
【解析】由 ，则 ，易知 为锐角，
由正弦定理知 ，而 ，即 ，故 ，
所以 ，故 ，由 ，
由正弦定理知 ，可得 ，故 .
故选：B
2．（2025·广东广州·三模）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
，则 的面积为 ．
【答案】
【解析】由 ，根据余弦定理，则 ，解得 ，
同理，由 ，则 ，
通分可得 ，
由 ，则 ，
化简可得 ，易知 ，则 ，
所以 的面积 .
故答案为： .
3．（2025·北京昌平·二模）在 中， 为锐角， ．
(1)求 ；
(2)若 ，求 的面积．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）由 及正弦定理 ，得 ．
因为在 中， ，所以 ．
因为 ，所以 ．
因为 为锐角，所以 ．
（2）由 ，且 ，解得 ．
由余弦定理 ，得 ，解得 或 （舍）．
所以 的面积 ．
考向五 三角形个数的判断
【例5-1】（2025·江西·二模）在 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】D
【解析】A： ， ， ， 为钝角且 ，有一解，故A错误；
B： ， ， ， 为锐角， ，则无解，故B错误；
C： ， ， ， 为钝角且 ，则无解，故C错误；
D： ， ， ， 为锐角， ，因 ，故有两解，故D正确.
故选：D
【例5-2】（2025·四川达州·模拟预测）在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .下列条件中能使
唯一确定的是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】C
【解析】对于选项A：因为三个内角确定，但三边不确定，可知 不能确定，故A错误；
对于选项B：因为 ，可知 ，所以满足条件的 有2个，故B错误；
对于选项C：因为 ，所以满足条件的 有1个，故C正确；
对于选项D：因为 为最大角，但 ，不满足大角对大边，
所以 不存在，故D错误；
故选：C.
【例5-3】（2025·河北秦皇岛·一模）已知 的内角 的对边分别为 ，且满足 的三
角形有两个，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在 中， ，由 有两解，得 ，即 ，解得
，
所以 的取值范围为 .故选：D
【一隅三反】
1．（2025河南）在 中，内角 所对的边分别为 ，则下列条件能确定三角形有两解的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A：由正弦定理可知，
∵ ，∴ ，故三角形 有一解；
对于B：由正弦定理可知， ，∵ ，∴ ，故三角形 有两解；
对于C：由正弦定理可知，
∵ 为钝角，∴B一定为锐角，故三角形 有一解；
对于D：由正弦定理可知， ，故故三角形 无解.
故选：B.
2．（2024·湖北·模拟预测）在 中，已知 ， ， ，若存在两个这样的三角形 ，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由正弦定理 可得 ，
由题意可知：关于A的方程： 在 有两解，
在同一坐标系内分别作出曲线 ， 和水平直线 ，
因为它们有两个不同的交点，所以 ，所以 .
故选：C.
3．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知 的内角A，B，C的对边分别为 ，则能使同时满足条件
的三角形不唯一的a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】因为 ，则 ，要使满足条件的三角形不唯一，则 ，即 .
故选：A.
考向六 正余弦定理在几何中的应用
【例6-1】（2025·福建泉州·模拟预测）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且
．
(1)求 ；
(2)如图所示， 为 外一点， ， ， ，求 ．
【答案】(1) (2)
【解析】（1） ，
在 中，由正弦定理得， ，
由 ，
，
即 ，
， ， ，
即 ，
又 ，
，即 .
（2）因为 ，令 ， ，
在 中，由正弦定理得，， ，
在 中，由正弦定理得， ，
因为 ， ，
，
，
解得 ，即 ．
【例6-2】（2025·湖北·模拟预测）已知 的角A，B，C所对的边为a，b，c，且 ， ，
延长 到点D.
(1)若 ，求 的长；
(2)若 ， ，求 的长.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）在 中，由 及正弦定理，得
，整理得 ，
而 ，则 ，又 ，因此 ，
在 中，由余弦定理得 .
（2）由（1）得： ， ，
由 ，得 ，在 中，由正弦定理得： ，则 ，
在 中，由正弦定理得： ，而 ，
则 ， ，
因此 ， ，
即 ，而 ，解得 ，
所以
【一隅三反】
1．（2025·河南许昌·三模）（多选）如图，在平面四边形 中， ， ， ，
.则下列结果正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若 ，则 中 边上高的长度为
【答案】ACD
【解析】在 中，由余弦定理得 ，即 ，即 ，
或 （舍去）， ，故A正确；
在 中，由正弦定理得 ，
即 ，解得 ，故B不正确；
， 为锐角， ，
又 ， .故C正确；
由 ，
在 中，由余弦定理得：
，
解得 ，
又 的面积为 ，
设 中 边上高的长度为 ，可得 ，可得 ，
的边 上高的大小为 .故D正确.
故选：ACD.
2.（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，在平面四边形 中， ， ， ， ，
， ，求：(1)四边形 的面积；
(2) 的值；
(3) 的面积.
【答案】(1) (2) (3)
【解析】（1）因为 ，在 中， ，
在 中， ， ，则 ，所以 ，
所以 .
（2）以 为原点，分别以 、 的方向为 、 轴正方向，建立平面直角坐标系 ，如图所示，
所以 、 、 、 ，
所以 ， ，
所以 .
（3）因为 ，解得 ，
故 .3．（2024·北京大兴·三模）如图，平面四边形 中，对角线 与 相交于点 ， ，
， ， .
(1)求 的面积；
(2)求 的值及 的长度.
【答案】(1)
(2) ，
【解析】（1）∵ ， ，
， ， ;
（2） ， ， ，则 .
， ，
， ，
又 ，在 中，
，
由正弦定理可知， ，
.考向七 正余弦定理在实际生活中的应用
【例7】（24-25湖北武汉·期中）享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山之巅，濒临
万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度 ，在黄鹤楼的正东方向找
到一座建筑物 ，高约为 ，在地面上点 处（ ， ， 三点共线）测得建筑物顶部 ，黄鹤楼顶部
的仰角分别为30°和45°，在 处测得楼顶部 的仰角为15°，则黄鹤楼的高度约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得 ， ，
在 中， ， ，则 ，
在 中， ，
则 ，
由正弦定理得 ， ，得 ，
在 中， ，则 ，
所以 .
故选：C
【一隅三反】
1．（24-25重庆·阶段练习）2025年蛇年春晚，电视剧《新白娘子传奇》两位主演的出场，瞬间唤醒了无数人
的记忆．剧中的雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国首
座彩色铜雕宝塔．某同学为测量雷峰塔的高度AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，
D（其中A，B，C，D四点在同一个铅垂平面内），在点C处测得点A的仰角为 ，在点D处测得点A，B的
仰角分别为 ， ，测得 ，则按此法测得的雷峰塔塔高为（ ）A．68m B．70m C．72m D．74m
【答案】C
【解析】令直线 的延长线交于点 ，则 .
依题意， ， ，
而 ,
所以 ，解得 ，
又 ，
所有 ，
而 ，
所以 .
故选：C.
2．（24-25高三下·山东·开学考试）墙上挂着一幅高为1m的画，画的上端到地面的距离为2m，某摄像机在地
面上拍摄这幅画．将画上端一点A、下端一点B与摄像机连线的夹角称为视角（点A，B与摄像机在同一竖直
平面内），且把最大的视角称为最佳视角．若墙与地面垂直且摄像机高度忽略不计，则当摄像机在地面上任意
移动时，最佳视角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】
如图所示： 最佳视角,且 当 最大时， 最大，
且 最大，又 ，
又设 所以
当且仅当 时取等号，
此时
解得：
故选：A.
3．（2024·湖南·模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常
在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限
制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已知点A为塔底， 在水平地面上，来雁塔
AB和建筑物DE均垂直于地面（如图所示）.测得 ，在C点处测得E点的仰角为30°，在E
点处测得B点的仰角为60°，则来雁塔AB的高度约为（ ）（ ，精确到 ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】过点 作 ，交 于点 ，
在直角三角形 中，因为 ，
所以 ，
在直角三角形 中，因为 ，
所以 ，
则 .
故选：B.
考向八 三角形中周长与面积的最值
【例8-1】（2025·宁夏石嘴山·三模）在 中， .
(1)求 ；
(2)若 ，求 的周长的最大值.
【答案】(1)
(2)6
【解析】（1）在 中，令内角 所对边分别为 ，由 ，
得 ，由正弦定理得 ，
由余弦定理，得 ，而 ，所以 .
（2）由已知及（1）得， ，
解得 ，当且仅当 时取等号，
所以求 的周长的最大值为6.
【例8-2】（2025·河北沧州·模拟预测）在锐角三角形 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
．
(1)求角C的大小；
(2)若 ，求 周长的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）在锐角三角形 中，因为 ，
所以由正弦定理得 ，
故 ，即 ，即 ，即 ，
所以 ，即 ，
由余弦定理得 ，因为 ，所以 ．
（2）因为 ，由正弦定理 ，所以 ， ，
设 的周长为 ，
则
，
因为在锐角三角形 中，所以 ， ，
所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
故 ，则 ，即 ，
故 周长的取值范围为 ．
【例8-3】（2025·新疆喀什·模拟预测） 的内角 的对边分别为 ，已知 .
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形，且 ，求 面积的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为 ，则 ，又 ，
所以 ，则 ，又 ，所以 ，
因为 ，解得 ．
（2）因为 是锐角三角形，又 ，
所以 ，
所以
，
因为 ，所以 ，则 ，
从而 ，
故 面积的取值范围是 .
【一隅三反】
1．（2025·广东·模拟预测）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 .
(1)求A；
(2)若 ，求 周长的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）因为 ，所以 ，
即 ，解得 ，
又 ，所以 .
（2）由余弦定理 ，
即 ，故 ，当且仅当 时取等号，
又 ，故 ，即 周长的取值范围是 .
2．（2025·重庆·模拟预测）已知锐角 的内角 的对边分别为 ，且 成等
差数列.
(1)若 ，求 面积的最大值；
(2)若 ，求 周长的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由 成等差数列知 ，故 ；
由余弦定理： ，
故 （当且仅当 时等号成立），
故 （当且仅当 时等号成立），
故 面积的最大值是 ．
（2）由正弦定理： ， ，
则
；
由 为锐角三角形， ，则 ，解得 ，则 ；
由 在 上单调递增，故 ，
故 ，即 周长的取值范围为 ．
3．（23-24辽宁·期中）已知函数 ．
(1)求函数 的最小正周期及其单调递增区间，
(2)若 为锐角 的内角，且 ，求 面积的取值范围．
【答案】(1)最小正周期为 ；单调递增区间为
(2)
【解析】（1）函数 ，
所以函数 的最小正周期为 ，
由 ，可得 ，
即有函数 的单调递增区间为 .
（2）若 为锐角 的内角，且 ，
可得 ，由 ，可得 ，
则 ，即 .
由正弦定理得， ，
所以 ，
所以 面积
又因为 为锐角三角形，则 ，即 ，解得 ，
所以 ，所以 ，所以 .故 面积的取值范围是 .
考向九 三角形的中线、角平分线与高
【例9-1】（2025·江西·二模）在 中，内角 所对的边分别是 ，已知
.
(1)求角 ；
(2)已知角 的平分线与边 相交于点 ，且 ，求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为 ，
由正弦定理知 ，即 ，
由余弦定理知 ，
所以 .
（2）由已知 ，
则 ，所以 .
在 中，由余弦定理 ，
即 ，
所以 ，解得 ，
.
【例9-2】（2025·河北石家庄·三模）设 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知
．
(1)求角 的大小；(2)若 ，且 ，求 边上中线 的长．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）在 中，由 及正弦定理得
，
即 ，
因为 、 ，则 ，即 ，可得 ，故 .
（2）由正弦定理可得 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
所以， ，
因为 为 边上的中线，所以 ，
所以
，故 ，
因此， 边上的中线 的长为 .
【例4-3】（2025·河南郑州·一模）记 的内角A，B，C的对边为a，b，c，已知 ，
(1)求
(2)设 ，求 边上的高.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）在 中，
， ，而A为三角形内角，
，
，
整理得 ，得 ，
又 ，且 ，
（2）由正弦定理得 ，
得 ，
由（1）得， ， ，
，
设 边上的高为h，则 ，
边上的高为
【一隅三反】
1.（2025·辽宁沈阳·一模） 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 的平分线交 于点 ，
为 的中线．若 ， ， ．
(1)求 的长；
(2)求 的长.
【答案】(1)
(2)【解析】（1）由
所以 ，又 ，所以 .
因为 为 中点，所以 ，
所以 .
所以 ，即 .
（2）因为 平分 ，所以 .
设 ，
由 .
所以 .
故 .
2.（24-25贵州·阶段练习） 的内角 ， ， 的对边分别是 ， ， ， ， ，____________.
(1)若在横线处填入 ，求 ；
(2)给出两个条件：
①内角 的平分线长为 ；
②BC边上的中线长为 .
从条件①②中选择一个填入横线，求 的面积 .（若选择①②分别作答，则按选择①给分）.
【答案】(1) (2)【解析】（1）由 ，得 ，
因为 中， ，所以 或 ，
又因为 ，所以 ，所以 .
（2）选择①：设 的平分线交BC于点 ，则 ， ，
， ，
，即 ，
在 中，由余弦定理 ，
， ， ，
， ， .
选择②：以AB、AC为邻边作平行四边形，记作平行四边形 ，
则有 ，两式平方相加得： ，
即
又结合已知： ， ，可解得 ，即 ，
在 中，由余弦定理得： ，
将 ， ， 代入解得： ，
.
3.（2025·湖北武汉·模拟预测）记 的内角 的对边分别为 ，已知 ．
(1)求 ；
(2)在 边上存在一点 ，使得 ，连接 ，若 的面积为 的平分线交 于 点，
求 的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由 及正弦定理得 ，
又 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以
（2）因为 ，所以 ，
则 ，
所以 ，
又由余弦定理得 ，可得 ，
联立方程解得 ，
由角平线定理得4．（2025·四川·模拟预测）在 中，内角 的对边分别为 的面积 满足：
(1)求 ；
(2)若 平分 ，且 ，求 ．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）已知 ，根据三角形面积公式 ，将其代入已知条件可得：
由正弦定理得：
因为 ，所以 ， ，等式两边同时除以 得
因为 ，所以 ，等式两边同时除以 得：
即 ，所以 .又因为 ，所以 .
（2）因为 ，所以 .
又因为CD平分 ，所以 .
根据三角形面积公式，可得 ，即 .
在 中，根据余弦定理，将 ， 代入可得： ，化简得在 中，根据余弦定理，将 ， 代入可得： ，即
，
在 中，根据余弦定理，将 代入可得： ，即 ，
因为 ，所以 ，即 ，则有：
，即 ，即 ，
解得 .将 代入 可得 ，所以 .
考向十 三角形的取值范围
【例10-1】（2025·吉林·模拟预测）在 中，角 的对边分别为 ，且 ， .
(1)若 ，求 的周长；
(2)若 内切圆，外接圆的半径分别为 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1） ， ，由余弦定理得， ，
，解得， 或 （舍去）
，
的周长为 .
（2）由余弦定理得， ，整理得， ，
，
，即 ，由正弦定理得， ， ，
， ，
，
令 ， ， ，
函数 在 上单调递增，
，即 的取值范围是 .
【例10-2】（2025·江苏·模拟预测）在 中，内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且
.
(1)求角 ；
(2)若 是锐角三角形，且 ，求 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
因为 、 ，则 ，所以， ，
则有 ，故 .
（2）因为 为锐角三角形，则 ，所以， ，
所以， ，则 ，
由正弦定理可得 ，所以， ，
即 的取值范围是 .
【例10-3】（2025·辽宁·二模）已知锐角 ，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 ，
．
(1)求 ；
(2)求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为 ， ，则 ，
由正弦定理得 ，
，所以， ，
因为 、 ，则 ，
所以， ，即 ．
（2）在锐角 中，由 ，可得 ，
则 ，
又 ，则 ，
所以， 的取值范围为 ，又 ，设 ，设 ，其中 ，
，
由 可得 ，由 可得 ，
所以， 在 上递减，在 上递增，
所以， ，
又因为 ， ，故 的取值范围为 ，
即 的取值范围为 .
【一隅三反】
1．（2025·黑龙江·二模）记 中，内角 所对的边分别为 .已知
.
(1)求 ；
(2)若 ，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意得 ，
所以 ，即 ，
所以 ，因为 为三角形的内角，所以 .
（2）由（1）知 ，由余弦定理得 ，
所以 ，即 ，
又因为 ，
所以 ，即 ，
当且仅当 时等号成立，
所以 .
所以 的最大值为 .
2．（2024·广东·模拟预测）在 中，角 的对边分别是 ，且 ．
(1)证明： ．
(2)若 是锐角三角形，求 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【解析】（1）由题设 ，
所以 ，
则 ，即 ，
又 ，则 ，且 ，
所以 ，得证.（2）由题设 ，即 ，得 ，
由 ，而 ，故 .
3（2025·新疆喀什·二模）记 的内角 所对的边分别为 ，已知 ．
(1)证明： ；
(2)若 ，求 的取值范围．
【答案】(1)证明见详解
(2)
【解析】（1） ， ，
两边同时乘以 得， ，
由正弦定理得， ；
在 中， ， ，
， ，
又 ， ， ，
或 ，
若 ，且 ，则 ， ，不合题意，舍去.
.
（2）由(1)可知 ，又 ， ，
， ，
又由已知可得 ， ， ，
，，
， ，
， ，
的取值范围是 .
4．（2025山东枣庄·期中） 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知
.
(1)求 的值；
(2)若BD是 的角平分线.
（i）证明： ；
（ii）若 ，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）
【解析】（1）因为 中， ，
故
，
因为 ，故 ；
（2）（i）证明： 中，由正弦定理得 ①，
又 ②，同理在 中， ③，
④，
BD是 的角平分线，则 ，
则 ，
又 ，故 ，
故①÷③得 ⑤，即 ，
由 ② ④得，
，
则
，
即 ；
（ii）因为 ，故 ，
则由⑤得 ，则 ，
由 以及（i）知 ，
即 ，则 ，
当且仅当 ，结合 ，即 时等号成立，
故 ，即 的最大值为 .
