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3.1 导数的几何意义及运算（精讲）考向一 导数的运算
【例1】（24-25山东淄博）求下列函数的导数.
(1) (2) ； (3) ； (4)
(5) ； (6) ； (7) .
【一隅三反】
（24-25湖北）求下列函数的导数：
(1) ； (2) ； (3) ； (4) ；
(5) ． (6) ； (7) ； (8) ；
(9) ； (10) ．考向二 导数值
【例2-1】（24-25江苏扬州）已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则 （ ）
A． B．-1 C． D．
【例2-2】（24-25山东聊城）若 在 上可导， ，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
【一隅三反】
1．（24-25安徽蚌埠）已知函数 ，则 等于（ ）
A．0 B．3 C．4 D．6
2.（2024山东）如图，函数 的图象在点 处的切线是 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．1
3．（2024·上海黄浦）已知函数 ，则 ．
考向三 导数定义及几何意义
【例3-1】（24-25江苏盐城）已知函数 在 处可导，且 则 （ ）
A． B． C． D．2
【例3-2】（2025·河北唐山）已知曲线 在 处的切线为 ，则 的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．
【例3-3】（2025·福建莆田·二模）曲线 在点 处切线的斜率为 ，则 的坐标为（ ）A． B． C． D．
【例3-4】（2024春·河南）点P在曲线 上移动，设点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围
是
【一隅三反】
1.（24-25山西吕梁）已知函数 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（24-25安徽合肥）若曲线 在点 处的切线斜率为2，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
3（2025·甘肃兰州·一模）若函数 （e为自然对数的底）的一条切线与x轴平行，则切点的坐标为
（ ）
A． B． C． D．
4.（2024·新疆阿克苏）若直线 与曲线 相切，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5（24-25山东济宁）点 在曲线 上，设曲线在点 处切线的倾斜角为 ，则角 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
考向四 在型切线
【例4-1】（24-25高三上·河南·期末）函数 的图象在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．【一隅三反】
1．（2025·广东·一模）曲线 在点 处的切线方程为 .
2（2025·重庆·模拟预测）已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为 .
3（2025·四川·模拟预测）已知函数 ，则曲线 在点 处的切线方程为
．
考向五 过型切线
【例5】（2025·新疆·模拟预测）曲线 过点 的切线方程为 .
【一隅三反】
1.（2024·陕西西安·一模）已知直线l为曲线 过点 的切线．则直线l的方程为 ．
2（2024四川绵阳·期末）过点 作曲线 的切线，则切线方程为 ．
3.（2025四川雅安·期中）已知 ，则经过点 的曲线 的切线方程为
.
考向六 切线求参数
【例6-1】（2024·山西·模拟预测）已知函数 ，若 的图象在 处的切线
方程为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【例6-2】（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知 ， ， 成等差数列，若直线 与曲线
相切，则 ．
【一隅三反】
1.（24-25高三下·广东惠州·阶段练习）若直线 与曲线 相切，则 （ ）
A． B．1 C． D．
2（2024·陕西榆林·模拟预测）已知曲线 在点 处的切线与曲线 相切，则 （ ）A． B． C． D．
3（2024·陕西西安·模拟预测）已知直线 与曲线 相切，则 ．
考向七 公切线
【例7-1】（2024·山东）已知 （e为自然对数的底数）， ，请写出 与 的一
条公切线的方程 .
【例7-2】（2024·广东茂名·一模）曲线 与曲线 有公切线，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1.（24-25高三上·江西抚州·阶段练习）与曲线 和 都相切的直线l的方程为 .
2.（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）若直线 是曲线 的切线，也是曲线
的切线，则 .
3.（2024·湖南长沙·三模）斜率为1的直线 与曲线 和圆 都相切，则实数 的值为
4.（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）一条直线与函数 和 的图象分别相切于点 和点
，则 的值为 ．
5.（2024·广东江门·二模）若曲线 与曲线 存在公切线，则a的最大值 ．
考向八 切线的数量
【例8】（2025·河南）若过点 作曲线 的切线，则这样的切线共有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【一隅三反】
1．（2024·全国·模拟预测）过坐标原点作曲线 的切线，则切线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
2（24-25高三上·河北承德·开学考试）过点 可作曲线 的切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．03．（2024北京）已知函数 ，则过点 与曲线 相切的直线有 条.
考向九 已知切线的条数求参数
【例9-1】（2024·山东·模拟预测）若过点 可以作 的三条切线，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例9-2】（2024·四川内江·模拟预测）若过点 可以作两条直线与曲线 相切，则下列选项
正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1.（23-24辽宁本溪）若过点 可以作曲线 的两条切线，则（ ）
A． B．
C． D．
2（2025·黑龙江·模拟预测）若过点 可作出曲线 的三条切线，则 的取值范围是
3（24-25高三上·广西·期中）已知函数 ，过点 可作2条与曲线 相切的直线，则实
数 的取值范围是 .
考向十 切线方程的应用
【例10-2】（2024·河南）直线 分别与曲线 ， 直线 交于 两点， 则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【例10-2】（23-24山东枣庄）若点 是曲线 上任意一点，则点 到直线 的最小距离为
（ ）
A．1 B． C． D．
【例10-3】（2023·四川·校考模拟预测）若函数 恰有2个零点，则实数a的取值范围为（）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1.（2025海南）已知P是曲线 （ ）上的动点，点Q在直线 上运动，则当 取
最小值时，点P的横坐标为（ ）
A． B． C． D．
2（2024·陕西）设 是曲线 上的动点，且 .则 的取值范围是 .
3.（2024·江苏淮安）已知函数 ， ，若函数 恰有2个零点，
则实数m的取值范围为 .
