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7.1 排列组合考点一 相邻--捆绑法
【例1】（2024·重庆渝中·模拟预测）甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已
知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（ ）种不同的情况.
A．18 B．24 C．36 D．48
【一隅三反】
1．（2024·重庆九龙坡·三模）用1，2，3，4，5，6这六个数组成无重复数字的六位数，则在数字1，3相邻的
条件下，数字2，4，6也相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·四川成都·模拟预测）某次文艺汇演，要将 这六个不同节目编排成节目单．如果
两个节目要相邻，且都不排在第3个节目的位置，那么节目单上不同的排序方式有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
3．（2024·广西贵港·模拟预测）2024年4月6号岳阳马拉松暨全国半程马拉松锦标赛（第三站）开赛，比赛结
束后，其中5男3女共8位运动员相约在赛道旁站成前后两排合影，每排各4人，若男运动员中恰有2人左右
相邻，则不同的排列方法共有（ ）
A．732种 B．2260种 C．4320种 D．8640种
4．（23-24 山西晋城·阶段练习）我国铁路百年沧桑巨变，从尚无一寸高铁，到仅用十几年高铁建设世界领先，
见证了中华民族百年复兴伟业.某家庭两名大人三个孩子乘坐高铁出行，预定了一排五个位置的票（过道一边
有三个座位且相邻，另一边两个座位相邻）则三个孩子座位正好在过道同一侧的概率为（ ）
A． B． C． D．
考点二 不相邻--插空法
【例2】（2024·安徽合肥·模拟预测）甲乙丙丁戊5名同学坐成一排参加高考调研，若甲不在两端且甲乙不相邻
的不同排列方式的个数为（ ）
A．36种 B．48种 C．54种 D．64种
【一隅三反】
1．（2024·江西新余·二模）两个大人和4个小孩站成一排合影，若两个大人之间至少有1个小孩，则不同的站
法有（ ）种.
A．240 B．360 C．420 D．480
2．（2024·湖北·模拟预测）互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，
白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法（ ）A．24种 B．36种 C．42种 D．48种
3．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）二项式 的展开式中，把展开式中的项重新排列，则有理项互不
相邻的排法种数为（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
考法三 特殊--优先法
【例3】（2025·四川内江·模拟预测）有4名学生和2名老师站成一排拍照，若2名老师不站两端，则不同排列
方式共有（ ）
A．72种 B．144种 C．288种 D．576种
【一隅三分】
1．（2024·四川攀枝花·三模）某公园有如图所示A至F共6个座位，现有2个男孩2个女孩要坐下休息，要求
相同性别的孩子不坐在同一行也不坐在同一列（ ）
A．24 B．36 C．72 D．81
2．（2024·安徽合肥·三模）北京时间2024年4月26日5时04分，神舟十七号航天员乘组（汤洪波，唐胜杰，
江新林3人）顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟十八号航天员乘组（叶光富、李聪、李广苏3人）入驻
“天宫”．随后，两个航天员乘组拍下“全家福”，共同向全国人民报平安．若这6名航天员站成一排合影留
念，叶光富不站最左边，汤洪波不站最右边，则不同的排法有 ．
考法四 定序--倍缩法
【例4】（23-24湖北武汉·期中）三根绳子上共挂有8只气球，绳子上的球数依次为2，3，3，每枪只能打破一
只球，而且规定只有打破下面的球才能打上面的球，则将这些气球都打破的不同打法数是（ ）
A．350 B．140 C．560 D．280
【一隅三反】
1．（2024·新疆·一模）在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干接连下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，
最后还需要加入精心熬制的鸡汤，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ）种
A．72 B．36 C．12 D．6
2．（2024·青海海西·模拟预测）现在六个人并排站成一排，则甲、乙、丙三人不相邻，且甲在乙的左边，乙在
丙的左边的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024安徽合肥 ）一班有5名棋手，出场次序已经排定，二班有2名棋手，现要排出这7人的出场顺序，
如果不改变一班棋手出场次序，那么不同排法有（ ）种
A．12 B．20 C．30 D．42
4（2024·广东东莞·阶段练习）如图，有两串桃子挂在树枝上，其中一串有4个桃子，另外一串有3个桃子，一
只猴子自下而上地依次摘桃子，每次只摘一个桃子，直至把所有7个桃子全部摘完，共有（ ）种不同的摘法．
A．70 B．35 C．21 D．14
考法五 相同元素--隔板法
【例5-1】（2024·辽宁抚顺·三模）将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班，每个班至少有1个名额，则不
同的分配方案种数为（ ）
A．15 B．35 C．56 D．70
【例5-2】（2024高三·全国·专题练习）已知正整数 ， ， ， ， 满足 ，则不同
的有序实数对 有 种可能．
【一隅三反】
1．（2024·湖南永州·三模）为迎接2024年在永州举行的中国龙舟公开赛，一位热情好客的永州市民准备将9
份一样的永州特产分给甲、乙、丙三名幸运观众，若每人至少分得一份，且甲、乙两人分得的份数不相同，则
不同的分法总数为（ ）
A．26 B．25 C．24 D．232．（23-24高三下·云南昆明·阶段练习）把分别写有1，2，3，4，5，6的六张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，
每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（ ）
A．60 B．36 C．30 D．12
3．（23-24高三上·江苏南京·期中）20个不加区别的小球放入编号为1、2、3的三个盒子中，要求每个盒内的
球数不小于它的编号数，则不同的放法种数共有（ ）
A．120种 B．240种 C．360种 D．720种
考法六 分组分配
【例6-1】（24-25高三上·山西大同·期末）五一小长假期间，某旅游公司为助力大同旅游事业的发展，计划将
2名金牌导游和5名银牌导游分别派往云冈石窟､古城华严寺､北岳恒山三个景区承担义务讲解任务，要求每个
景区都要有银牌导游前往，则不同的分配方法种数有（ ）
A．360 B．640 C．1350 D．1440
【例6-2】（2024河南省 ）现有包含 两本书的六本不同的书，分给甲､乙､丙三个人，要求每人至少一本，
其中 两本书被分给甲的概率为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024·贵州贵阳·三模）第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运
会将新增霹雳舞、滑板、攀岩、冲浪四个比赛项目及两个表演项目.现有三个场地 ，B，C分别承担这6个新
增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，其中两个表演项目不在一个场地举办，则不同的安排方法
有（ ）
A．462种 B．300种 C．402种 D．390种
2．（2024浙江·期中）2024年伊始，随着“广西砂糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出，哈尔滨火爆出圈，
成为旅游城市中的“顶流”．某班级六位同学也准备共赴一场冰雪之约，制定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”
的出游计划，这六位同学准备在行程第一天在圣索菲亚教堂、冰雪大世界、中央大街三个景点中选择一个去游
玩，已知每个景点至少有一位同学会选，六位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学生甲和学生
乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是（ ）
A．132 B．144 C．150 D．168
3．（2024·宁夏银川·三模）现有5名来自清华、北大的选调生前往A，B，C三个城市任职工作，若每位选调
生只能去其中的一个城市，且每个城市至少安排1名选调生，其中甲和乙两人必须去同一个城市，则不同的安
排方法数是（ ）
A．18 B．24 C．36 D．48考法七 涂色问题
【例7-1】（2024重庆·期末）国际数学家大会（ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的国际数学界规模最大
也是最重要的会议，每四年举行一次，被誉为数学界的奥林匹克盛会.2002年第24届国际数学家大会在北京召
开，其会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，由一个正方形和四个全等的直角三角形构成（如图）.
现给图中5个区域涂色，要求相邻的区域不能涂同一种颜色，且每个区域只涂一种颜色.若有5种不同的颜色可
供使用，则不同的涂色方案有（ ）
A．120种 B．360种 C．420种 D．540种
【例7-2】（2024·全国·模拟预测）如图，A，B，C，D为四个不同的区域，现有红、黄、蓝、黑4种颜色，对
这四个区域进行涂色，要求相邻区域涂不同的颜色（A与C不相邻，B与D不相邻），则使用2种颜色涂色的
概率为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024重庆）如图，为我国数学家赵爽验证勾股定理的示意图，用五种颜色（其中一种为黄色）对图中四
个区域 进行染色，每个区域只能用一种染色.若必须使用黄色，则四个区域中有且只有一组相邻区域
同色的染色方法有 种；若不使用黄色，则四个区域中所有相邻区域都不同色的染色方法有
种.
2．（2024天津南开·期中）某年某月某日，老师们在校园留下美好合影，然而美好常伴遗憾，当我们回看这张照片（如下左图），才想起那日若我们各手执鲜花当更美丽．现在，你有一次携7种颜色花朵回到过去的机会，
请你帮老师们弥补遗憾，为每位老师送上一朵花，若每位老师仅可得到一种颜色的花，而你手中每种颜色的花
均足够分配，要求相邻老师不能拿到同色花朵．则你有 种分配花朵的方式．（请用数字作答）
注：各位老师相邻情况如下右图所示．
3．（2024·重庆·模拟预测）重庆位于中国西南部、长江上游地区，地跨青藏高原与长江中下游平原的过渡地带．
东邻湖北、湖南，南靠贵州，西接四川，北连陕西．现用4种颜色标注6个省份的地图区域，相邻省份地图颜
色不相同，则共有 种涂色方式．
考法八 数字问题
【例8-1】（2024·河北·模拟预测）用 能组成没有重复数字且比32000小的数字（ ）个.
A．212 B．213 C．224 D．225
【例8-2】（2024·四川雅安·三模）从 五个数字组成的没有重复数字的四位数中任取一个数，则该数为
偶数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（23-24高三下·广东广州·阶段练习）在 中不重复地选取4个数字，共能组成（ ）个不同的四位
数.A．96 B．18 C．120 D．84
2．（2024高三·全国·专题练习）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中比4 000大的偶
数共有（ ）
A．48个 B．56个
C．60个 D．72个
3．（2024·湖北·模拟预测）能被3整除，且各位数字不重复的三位数的个数为（ ）
A．228 B．210 C．240 D．238
4 ．（2024·全国·模拟预测）“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当142857
与1至6中任意1个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这6个数字组成．若从1，4，2，8，5，7这6
个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于5200的偶数个数是（ ）
A．87 B．129 C．132 D．138
5．（2024·河南新乡·二模）从 这5个数字中任取2个偶数和1个奇数，组成一个三位数，则不同的三
位数的个数为（ ）
A．16 B．24 C．28 D．36
一．单选题
1．（2024北京东城 ） ， ， 三所大学发布了面向高二学生的夏令营招生计划，每位学生只能报一所大学.
某中学现有四位学生报名.若每所大学都有该中学的学生报名，则不同的报名方法共有（ ）
A．30种 B．36种 C．72种 D．81种
2 ．（2024·湖南岳阳·模拟预测）甲､乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分
组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲､乙两人恰好选择同一岗位
的选择方法有（ ）种.
A．18 B．27 C．36 D．72
3．（2024高三·全国·专题练习）随着国潮的兴起，大众对汉服的接受度日渐提高．目前中国大众穿汉服的场
景主要有汉服活动、艺术拍摄、传统节日、旅游观光、舞台表演、日常活动、婚庆典礼7类．某自媒体博主准
备从图片网站上精选8张中国大众穿汉服的照片，要求每类场景至多选2张，则不同的选择方案的种数为（
）
A．252 B．162 C．357 D．324
4．（2024江苏·阶段练习）习近平总书记强调：“要在学生中弘扬劳动精神，教育引导学生崇尚劳动、尊重
劳动，懂得劳动最光荣、劳动最崇高、劳动最伟大、劳动最美丽的道理，长大后能够辛勤劳动、诚实劳动、创
造性劳动．”这一重要论述，突出了劳动教育对于新时代立德树人的重要意义，是我们开展劳动教育工作的重
要遵循．为了积极落实习近平总书记讲话的精神，高中课程中安排劳动课，我校高二（1）班本周星期五下午要上4节课，若把语文、数学、劳动、体育这4门课安排在星期五下午，劳动课必须比数学课先上，则不同的
排法有（ ）
A．24种 B．18种 C．12种 D．6种
5．（2024山东烟台·期中）某次数学竞赛获奖的6名同学上台领奖，若甲、乙、丙三人上台的先后顺序已确
定，则不同的上台顺序种数为（ ）．
A．20 B．120 C．360 D．720
6．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）某学校组队参加辩论赛，在1名男生和4名女生中选出4人分别担任一、
二、三、四辩，在男生入选的条件下，男生担任一辩的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·全国·模拟预测）今有2个红球，3个黄球，同色球不加以区分，将这5个球排成一行，则不同的排
法种数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·湖南长沙 ）郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安
排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（ ）
A．168种 B．156种 C．172种 D．180种
二．多选题
9．（2024四川广安·期中）现有6本不同的书，则（ ）
A．分给甲乙丙三人，每人2本，则共有90种分法
B．分成三份，每份2本，则共有90种分法
C．分成三份，一份1本，一份2本，一份3本，则共有60种分法
D．分给甲乙丙三人，其中甲4本，乙1本，丙1本，则共有15种分法
10．（2024高三·全国·专题练习）下列说法正确的有（ ）
A．将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有 种不同的分法
B．将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，有 种不同的分法
C．将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有360种不同的分法
D．将6本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10种不同的分法
11．（2024江苏南京 ）现安排甲､乙､丙､丁､戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译､导
游､礼仪､司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（ ）
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C．每项工作至少有1人参加，甲､乙不会开车但能从事其他三项工作，丙､丁､戊都能胜任四项工作，则不
同安排方案的种数是
D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
三．填空题
12．（2024·新疆喀什·三模）小明设置六位数字的手机密码时，计划将 的前6位数字3，1，
4，1，5，9进行某种排列得到密码．若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间一个数字，则小明可以设
置的不同密码种数为 ．
13．（2025·甘肃张掖·模拟预测）春节期间，小明一家3口､姑姑一家3口和爷爷，奶奶围坐圆桌聚餐，则在爷
爷､奶奶相邻的前提下，小明一家3口均不相邻的概率为 ．
14．（23-24 新疆喀什·期中）如图，某水果店门前用3根绳子挂了6串香蕉，从左往右的串数依次为1，2，3.
到了晚上，水果老板要收摊了，假设每次只取1串（挂在一列的只能先收下面的），则将这些香蕉都取完的不
同取法种数？ .（结果用数字表示）
四．解答题
15．（2023甘肃）把6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子中，求下列方法的种数．
(1)每个盒子都不空；
(2)恰有一个空盒子；
(3)恰有两个空盒子．16．（2024河南）3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数．
(1)选5名同学排成一排；
(2)全体站成一排，甲、乙不在两端；
(3)全体站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端；
(4)全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；
(5)全体站成一排，男生排在一起；
(6)全体站成一排，男生彼此不相邻；
(7)全体站成一排，男生各不相邻、女生各不相邻；
(8)全体站成一排，甲、乙中间有2个人；
(9)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(10)全体站成一排，乙不能站在甲左边，丙不能站在乙左边．
17．（2024河北石家庄·阶段练习）（1）如图，从左到右有5个空格.
（i）若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多
少不同的填法？
（ii）若给这5个空格涂上颜色，要求相邻格子不同色，现有红黄蓝3颜色可供使用，问一共有多少不同的涂
法？（iii）若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？
（2）如图，用四种不同的颜色给三棱柱 的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色.
（i）若每个底面的顶点涂色所使用的颜色不相同，则不同的涂色方法共有多少种？
（ii）若每条棱的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有多少种？
（注：最终结果均用数字作答）
18（2024天津静海·阶段练习）现有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9共十个数字.
（1）可以组成多少个无重复数字的三位数？
（2）组成无重复数字的三位数中，315是从小到大排列的第几个数？
（3）可以组成多少个无重复数字的四位偶数？
（4）选出一个偶数和三个奇数，组成无重复数字的四位数，这样的四位数共有多少个？
（5）如果一个数各个数位上的数字从左到右按由大到小的顺序排列，则称此正整数为“渐减数”， 那么由这
十个数字组成的所有“渐减数”共有多少个？19（2023北京海淀·阶段练习）若A，A，…，Am为集合A＝{1，2，…，n}（n≥2且n∈N*）的子集，且满足两
1 2
个条件：
①A∪A∪…∪Am＝A；
1 2
②对任意的{x，y} A，至少存在一个i∈{1，2，3，…，m}，使Ai∩{x，y}＝{x}或{y}．则称集合组A，A，…，
1 2
Am具有性质P．⊆
如图，作n行m列数表，定义数表中的第k行第l列的数为akl ．
a a … am
11 12 1
a a … am
21 22 2
… … … …
an an … anm
1 2
（1）当n＝4时，判断下列两个集合组是否具有性质P，如果是请画出所对应的表格，如果不是请说明理由；
集合组1：A＝{1，3}，A＝{2，3}，A＝{4}；
1 2 3
集合组2：A＝{2，3，4}，A＝{2，3}，A＝{1，4}．
1 2 3
（2）当n＝7时，若集合组A，A，A 具有性质P，请先画出所对应的7行3列的一个数表，再依此表格分别
1 2 3
写出集合A，A，A；
1 2 3
（3）当n＝100时，集合组A，A，…，At是具有性质P且所含集合个数最小的集合组，求t的值及|A|+|A|
1 2 1 2
+…|At|的最小值．（其中|Ai|表示集合Ai所含元素的个数）
