文档内容
专题 9-3 排列组合 19 种归类
目录
讲高考................................................................................................................................................................................1
题型全归纳.......................................................................................................................................................................2
【题型一】基础方法1：人坐座位..........................................................................................................................2
【题型二】基础模型2：球放盒子..........................................................................................................................2
【题型三】基本方法3：插书保序型.....................................................................................................................3
【题型四】基本模型4：最短路径字母化法.......................................................................................................4
【题型五】基础方法5：相同元素法.....................................................................................................................5
【题型六】基础方法6：相邻与不相邻型............................................................................................................6
【题型七】小大顺序型................................................................................................................................................7
【题型八】左右鞋配对型...........................................................................................................................................7
【题型九】放球与盒子编号......................................................................................................................................8
【题型十】平均分组型................................................................................................................................................8
【题型十一】染色型....................................................................................................................................................9
【题型十二】立体几何型染色...............................................................................................................................10
【题型十三】逻辑电路型.........................................................................................................................................11
【题型十四】斐波那契数列型...............................................................................................................................12
【题型十五】空座位型.............................................................................................................................................13
【题型十六】函数解析几何型...............................................................................................................................14
【题型十七】不定方程型.........................................................................................................................................14
【题型十八】数列中的排列组合...........................................................................................................................14
【题型十九】综合难题.............................................................................................................................................15
专题训练.........................................................................................................................................................................16
讲高考
1．（2020·山东·统考高考真题）现从4名男生和3名女生中，任选3名男生和2名女生，
分别担任5门不同学科的课代表，则不同安排方法的种数是（ ）
A．12 B．120 C．1440 D．17280
2．（2020·山东·统考高考真题）在 的二项展开式中，第 项的二项式系数是
（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·山东·统考高考真题）现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听
课，则恰好全都进入同一间教室的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·全国·统考高考真题）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰
球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿
者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
5．（2021·全国·高考真题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（
）
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
6．（2021·全国·统考高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率
为（ ）A． B． C． D．
题型全归纳
【题型一】基础方法1：人坐座位
【讲题型】
例题1.一排11个座位，现安排甲、乙2人就座，规定中间的3个座位不能坐，且2人不能
相邻，则不同排法的种数是（ ）
A．28 B．32 C．38 D．44
例题2.．2022年2月4日北京冬奥会顺利开幕.在开幕式当晚，周明约李亮一家一起观看.周
明一家四口相邻而坐，李亮一家四口也相邻而坐，已知他们两家人的8个座位连在一起
（在同一排且一人一座），且周明与李亮也相邻而坐，则他们不同的坐法有（ ）
A．432种 B．72种 C．1152种 D．144种
【讲技巧】
人坐座位，要考虑以下情况：
1、一人一位；
2、有顺序；
3、座位可能空；
4、人是否都来？来的是谁；
5、必要时，座位拆迁，剩余空座位随人排列
【练题型】
1.3．现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在
一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有
选座方法有（ ）．
A．6种 B．8种 C．12种 D．16种
2．共有编号分别为1，2，3，4，5的五个座位，在甲同学不坐2号座位，乙同学不坐5号
座位的条件下，甲、乙两位同学的座位号相加是偶数的概率为
A． B． C． D．
【题型二】基础模型2：球放盒子
【讲题型】
例题1.将4个不同的球放到3个不同的盒子里，每个盒子中至少放一个球，则放法种数有
（ ）．
A．72 B．60 C．48 D．36
例题2.将7个相同的球放入4个不同的盒子中，则每个盒子都有球的放法种数为（ ）
A．22 B．25 C．20 D．48
【讲技巧】
球放盒子，要考虑以下情况是否存在：
类型一：球不同，盒子不同（主要的）
类型二：球相同，盒子不同
方法技巧：不受限制，则指数幂形式，受限制，则“先分组再排列”【练题型】
1.7个相同的小球放入 ， ， 三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（ ）种不同的
放法．
A．60种 B．36种 C．30种 D．15种
2．将A，B，C，D四个小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，若每个盒子中至少放一个
球且A，B不能放入同一个盒子中，则不同的放法种数为（ ）
A．15 B．30 C．20 D．42
3．3．把3个相同的红球和2个不同的白球放在四个不同的盒子中，每个盒子中至少放一
个球，则不同的放法有（ ）
A．24 B．28 C．48 D．52
【题型三】基本方法3：插书保序型
【讲题型】
例题1.某校高一学生进行演讲比赛，原有5名同学参加比赛，后又增加两名同学参赛，如
果保持原来5名同学比赛顺序不变，那么不同的比赛顺序有（ ）
A．12种 B．30种 C．36种 D．42种
例题2.班会课上原定有3位同学依次发言，现临时加入甲，乙2位同学也发言，若保持原
来3位同学发言的相对顺序不变，且甲，乙的发言顺序不能相邻，则不同的发言顺序种数
为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【讲技巧】
插书保序型，主要是保持某些元素的顺序不改变，增加新元素的种数，要考虑以下情
况：
（1）书架上原有书的顺序不变；（
（2）新书要一本一本插；
【练题型】
1.为引领广大家庭和少年儿童继承党的光荣传统、弘扬党的优良作风，进一步增强听党话、
感党恩、跟党走的思想自觉性和行动自觉性，某市文明办举行“少年儿童心向党”主题活
动，献礼中国共产党成立100周年原定表演6个节目，已排成节目单，开演前又临时增加
了2个互动节目．如果保持原节目的顺序不变，那么不同排法的种数为（ ）
A．42 B．56 C．30 D．72
2.书架上某一层有5本不同的书，新买了3本不同的书插进去，要保持原来5本书的顺序不
变，则不同的插法种数为（ ）.
A．60 B．120 C．336 D．504
3.书架上某层有6本不同的书，新买了3本不同的书插进去，要保持原来6本书的原有顺序，
则不同的插法共有______种．
【题型四】基本模型4：最短路径字母化法【讲题型】
例题1.如图，小明从街道的 处出发，先到 处与小红会合，再一起到位于 处的老年公
寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．35
例题2.如图，一只蚂蚁从点 出发沿着水平面的线条爬行到点 ，再由点 沿着置于水平
面的正方体的棱爬行至顶点 ，则它可以爬行的不同的最短路径有（ ）条
A．40 B．60 C．80 D．120
【讲技巧】
类似这类左右上下移动的最短距离，可以把移动方向看做字母，比如，向右是字母A，
向上是字母B，则移动几步就是几个A，与B相同元素排列
字母化法：标记元素为数字或字母，重新组合，特别适用于“相同元素”
【练题型】
1.如图，小芳从街道B处出发先到C处与小明会合，再一起到位于D处的社区参加志愿者
活动，则小芳到社区的最短路径的条数为（ ）
A．9 B．12 C．18 D．24
2．方形是中国古代城市建筑最基本的形态，它体现的是中国文化中以纲常伦理为代表的社
会生活规则，中国古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各种方形建筑.如图，用大小
相同的竹棍构造一个大正方体（由 个大小相同的小正方体构成），若一只蚂蚁从 点出
发，沿着竹棍到达 点，则蚂蚁选择的不同的最短路径共有（ ）A． 种 B． 种
C． 种 D． 种
3．夏老师从家到学校，可以选择走锦绣路、杨高路、张杨路或者浦东大道，由于夏老师不
知道杨高路有一段在修路导致第一天上班就迟到了，所以夏老师决定以后要绕开那段维修
的路，如图，假设夏老师家在 处，学校在 处， 段正在修路要绕开，则夏老师从家
到学校的最短路径有（ ）条．
A．23 B．24 C．25 D．26
【题型五】基础方法5：相同元素法
【讲题型】
例题1. 的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有（ ）
A．72项 B．75项 C．78项 D．81项
例题2.把6个相同的小球放入4个不同的箱子中，每个箱子都不空，共有多少种放法（
）
A．10种 B． 种 C． 种 D．60种
【讲技巧】
相同元素，一般多以“三好学生”指标分配，相同小球方盒子等题型出现，可以有两种思
维方法：
1.挡板法
2.字母化法
【练题型】
1.把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有（ ）
A．4种 B．6种 C．21种 D．35种
2.某高级中学将2022年获得省级表彰的6个三好学生的名额分给本校高三年级的4个班级，
则这4个班级中每个班级至少获得一个三好学生名额的概率为（ ）
A． B． C． D．3.
4. 7个相同的小球放入 ， ， 三个盒子，每个盒子至少放一球，共有（ ）种不同
的放法．
A．60种 B．36种 C．30种 D．15种
【题型六】基础方法6：相邻与不相邻型
【讲题型】
例题1.某班班会准备从含甲、乙、丙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有
一个发言，且甲、乙都发言时丙不能发言，则甲、乙两人都发言且发言顺序不相邻的概率
为
A． B． C． D．
例题2.甲､乙､丙等七人相约到电影院看电影《长津湖》，恰好买到了七张连号的电影票，
若甲､乙两人必须相邻，且丙坐在七人的正中间，则不同的坐法的种数为（ ）
A．240 B．192 C．96 D．48
【讲技巧】
相邻不相邻
1.相邻元素捆绑法，要注意捆绑在一起的元素，是否还需要排列
2.不相邻元素排列，一般是插空法， 不相邻者最后插孔排
【练题型】
1.某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、化学、生物六门课，如果数学只能排
在第一节或者最后一节，物理和化学必须排在相邻的两节，则共有（ ）种不同的排法
A． B． C． D．
2.甲、乙等5人去北京天安门游玩，在天安门广场排成一排拍照留念，则甲和乙相邻且都
不站在两端的排法有（ ）
A．12种 B．24种 C．48种 D．120种
3.现有三名学生与两名教师随机地排一排照相，则每名学生都至少与一名教师相邻的概率
为（ ）
A． B． C． D．
【题型七】小大顺序型
【讲题型】
例题1.．验证码就是将一串随机产生的数字或符号，生成一幅图片，图片里加上一些干扰
象素（防止 ），由用户肉眼识别其中的验证码信息，输入表单提交网站验证，验证成
功后才能使用某项功能.很多网站利用验证码技术来防止恶意登录，以提升网络安全.在抗疫
期间，某居民小区电子出入证的登录验证码由0，1，2，…，9中的五个数字随机组成.将
中间数字最大，然后向两边对称递减的验证码称为“钟型验证码”（例如：如14532，
12543），已知某人收到了一个“钟型验证码”，则该验证码的中间数字是7的概率为
__________.
例题2.从A，B，C，D，a，b，c，d中任选5个字母排成一排，要求按字母先后顺序排列
（即按 先后顺序，但大小写可以交换位置，如 或 都可以），
这样的情况有__________种．（用数字作答）【讲技巧】
小大顺序，一般是比较常见的“波浪数”型。
“波浪数”主要方法是分类讨论。不重复不遗漏
【练题型】
1.设 是 ， ， ．．． 的一个排列，把排在 的左边且比 小的数的个数称为
， ， 的顺序数，如在排列 ， ， ， ， ， 中， 的顺序数为 ， 的顺
序数为 ，则在 至 这 个数的排列中， 的顺序数为 ， 的顺序数为 ， 的顺序数为
的不同排列的种数为（ ）
A． B． C． D．
2.几只猴子在一棵枯树上玩耍，假设它们均不慎失足下落，已知：（1）甲在下落的过程中
依次撞击到树枝A，B，C；（2）乙在下落的过程中依次撞击到树枝D，E，F；（3）丙在
下落的过程中依次撞击到树枝G，A，C；（4）丁在下落的过程中依次撞击到树枝B，D，
H；（5）戊在下落的过程中依次撞击到树枝I，C，E,则这九棵树枝从高到低不同的顺序共
有（ ）
A．23 B．24 C．32 D．33
3.2020年疫情期间，某县中心医院分三批共派出6位年龄互不相同的医务人员支援武汉六
个不同的方舱医院，每个方舱医院分配一人.第一批派出一名医务人员的年龄为 ，第二批
派出两名医务人员的年龄最大者为 ，第三批派出三名医务人员的年龄最大者为 ，则满
足 的分配方案的概率为（ ）
A． B． C． D．
【题型八】左右鞋配对型
【讲题型】
例题1.柜子里有3双不同的鞋，随机地取出2只，取出的鞋一只是左脚的，一只是右脚的，
但它们不成对的概率是 （ ）
A． B． C． D．
例题2.从6双不同鞋子中任取4只，使其中至少有2只鞋配成一双的概率是（ ）.
A． B． C． D．
【练题型】
1.从不同号码的 双鞋中任取 只，其中恰好有 双的取法种数为（ ）
A． B． C． D．
2.甲、乙、丙、丁、戊五位妈妈相约各带一个小孩去观看花卉展，她们选择共享电动车出
行，每辆电动车只能载两人，其中孩子们表示都不坐自己妈妈的车，甲的小孩一定要坐戊
妈妈的车，则她们坐车不同的搭配方式有
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
3..新冠疫情期间，网上购物成为主流．因保管不善，五个快递ABCDE上送货地址模糊不
清，但快递小哥记得这五个快递应分别送去甲乙丙丁戊五个地方，全部送错的概率是（
）A． B． C． D．
【题型九】放球与盒子编号
【讲题型】
例题1.把16个相同的小球放到三个编号为1，2，3的盒子中，且每个盒子内的小球数要多
于盒子的编号数，则共有多少种放法（ ）
A．18 B．28 C．36 D．42
例题2.将12个相同的小球分给甲、乙、丙三个人，其中甲至少1个，乙至少2个，丙至少
3个，则共有（ ）种不同的分法.
A．24 B．26 C．28 D．30
【练题型】
1.把 个相同的小球放到三个编号为 的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的
编号数，则共有多少种放法
A． B． C． D．
2.把20个相同的小球装入编号分别为①②③④的4个盒子里，要求①②号盒每盒至少3个
球，③④号盒每盒至少4个球，共有种方法.
A． B． C． D．
3.将10个相同的小球装入3个编号分别为1、2、3的盒子内（每次要把10个球装完），
要求每个盒子里球的个数不少于盒子的编号数，这样的装法共有（ ）种.
A．9 B．12 C．15 D．18
【题型十】平均分组型
【讲题型】
例题1.甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有 三个小区可
供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在 小区
的概率为（ ）
A． B． C． D．
例题2.将6名志愿者分配到3个社区参加服务工作，每名志愿者只分配到1个小区，每个
小区至少分配1名志愿者，则分配到3个小区的志愿者人数互不相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
【讲技巧】
平均分成几组，就除以几组数的阶乘，如果既有平均分组又有不平均分组的，也要除以相同组的组数
的阶乘
【练题型】
1.某社区为了做好疫情防控工作，安排6名志愿者进行核酸检测，需要完成队伍组织､信息
录入､采集核酸三项任务，每项任务至少安排一人但至多三人，则不同的安排方法有（
）
A．450种 B．72种 C．90种 D．360种2.第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张
家口市联合举行．某校安排甲、乙、丙、丁、戊五名大学生分别做冰球、冰壶和短道速滑
三个比赛项目的志愿者，每个比赛项目至少安排1人，学生甲被单独安排到冰球比赛项目
做志愿者的概率为（ ）
A． B． C． D．
3.从今年8月开始，南充高中教师踊跃报名志愿者参加各街道办、小区、学校的防疫工作，
彰显师者先行、师德担当的精神，防疫工作包含扫描健康码、取咽拭子、后勤协调三项工
作，现从6名教师志愿者中，选派4人担任扫描健康码、取咽拭子、后勤协调工作，要求
每项工作都有志愿者参加，不同的选派方法共有（ ）种
A．90 B．270 C．540 D．1080
【题型十一】染色型
【讲题型】
例题1.用四种不同的颜色为正六边形（如图）中的六块区域涂色，要求有公共边的区域涂
不同颜色，一共有__________种不同的涂色方法．
例题2.五边形 中，若把顶点 、 、 、 、 染上红、黄、绿三种颜色中的一种，
使得相邻顶点所染的颜色不相同，则不同的染色方法有__________种．
【讲技巧】
染色问题，要从“颜色用了几种”，“地图有没有公用区域”方向考虑：
1.用了几种颜色。如果颜色没有全部用完，就要有选色的步骤
2.尽量先从公共相邻区域开始。所以要观察“地图”是否可以“拓扑”转化
染色的地图，还要从“拓扑结构”来转化
以下这俩图，就是“拓扑”一致的结构
【练题型】
1.在一个如图所示的6个区域栽种观赏植物，要求同一块区域中种同一种植物，相邻的两
块区域中种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择，则不同的栽种方案的总数为____．2.随机给如图所示的四块三角形区域涂色，有红、黄、蓝、绿、黑这5种颜色供选择，则
“任意两个有公共边的三角形所涂颜色不同”的概率为（ ）
A． B． C． D．
3..如图，用 种不同的颜色把图中 、 、 、 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一
种颜色，则不同的涂法共有（ ）种
A． B． C． D．
【题型十二】立体几何型染色
【讲题型】
例题1.在如图所示的十一面体 中，用 种不同颜色给这个几何体各个顶点染
色，每个顶点染一种颜色，要求每条棱的两端点异色，则不同的染色方案种数为
__________．
例题2..用五种不同颜色给三棱台 的六个顶点染色，要求每个点染一种颜色，且
每条棱的两个端点染不同颜色.则不同的染色方法有___________种.
【讲技巧】
立体型结构，可以“拍扁了”，“拓扑”为平面型染色，这是几何体染色的一个小技巧
所以注意这类图形之间的互相转化【练题型】
1.以平行六面体 的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角
形，则这两个三角形不共面的概率 为（ ）
A． B． C． D．
2.将一个四棱锥 的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，如果只有5
种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数是
A．540 B．480 C．420 D．360
3.用4种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，同一条棱的两个顶点涂不同的颜色，则符合条
件的所有涂法共有
A．24种 B．48种 C．64种 D．72种
【题型十三】逻辑电路型
【讲题型】
例题1.如图所示为一电路图，从A到B共有条不同的线路可通电（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例题2.如图，电路中共有 个电阻与一个电灯A，若灯A不亮，则因电阻断路的可能性的
种数为（ ）
A． B． C． D．
【练题型】
1.如图所示,电路中有4个电阻和一个电流表A,若没有电流流过电流表A,其原因仅为电阻断
路的可能情况共有
A．9种 B．10种 C．11种 D．12种
2.如图，一条电路从 处到 处接通时，可构成的通路有（ ）A．8条 B．6条 C．5条 D．3条
3.如图，在由开关组 与 组成的电路中，闭合开关使灯发光的方法有（ ）种
A． B． C． D．
【题型十四】斐波那契数列型
【讲题型】
例题1.从一楼到二楼共有12级台阶，可以一步迈一级也可以一步迈两级，要求8步从一楼
到二楼共有走法．
A．12 B．8 C．70 D．66
例题2.欲登上第10级楼梯，如果规定每步只能跨上一级或两级，则不同的走法共有
A．34种 B．55种
C．89种 D．144种
【讲技巧】
上台阶，一般可以有如下思维：
1.斐波那契数列数列构造求解
2.可以把台阶转化为数字化型，一次一阶，记为数字1，一步两阶记为数字2，以此类推，这样上台阶
转化为数字1,2，。。排列，注意重复元素的排列
【练题型】
1.某幢楼房从2楼到3楼共10个台阶，上楼可以一步上1个台阶，也可以一步上2个台阶.
若规定从2楼到3楼用8步走完，则上楼的方法有（ ）.
A．14种 B．16种 C．21种 D．28种
2.某人从上一层到二层需跨10级台阶. 他一步可能跨1级台阶，称为一阶步，也可能跨2
级台阶，称为二阶步，最多能跨3级台阶，称为三阶步. 从一层上到二层他总共跨了6步，
而且任何相邻两步均不同阶. 则他从一层到二层可能的不同过程共有（ ）种.
A．6 B．8 C．10 D．12
【题型十五】空座位型
【讲题型】
例题1.某停车场行两排空车位，每排4个，现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车，若每排
都有车辆停泊，且甲、乙两车停泊在同一排，则不同的停车方案有（ ）
A．288种 B．336种 C．384种 D．672种
例题2.某公司门前有一排9个车位的停车场，从左往右数第三个，第七个车位分别停着A车和B车，同时进来C，D两车．在C，D不相邻的情况下，C和D至少有一辆与A和B
车相邻的概率是（ ）
A． B． C． D．
【讲技巧】
空座位型，
1.单独空座位，可以看成相同元素无排列，字母化法处理。
2.2个或者3个或者更多空座位相连型，与单独空座位则属于不同元素
【练题型】
1.停车站划出一排12个停车位置，今有8辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个车位连
在一起，则不同的停车方法有（ ）
A． B． C． D．
2.某单位有8个连在一起的车位，现有4辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车
位中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为（ ）
A．240 B．360 C．480 D．720
3.某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车位
中恰好有3个连在一起，则不同的停放方法的种数为
A．16 B．18 C．32 D．72
【题型十六】函数解析几何型
【讲题型】
例题1.已知直线 （ ， 是非零常数）与圆 有公共点，且公共点的横
坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有__________条（用数字作答）.
例题2.圆周上有10个等分点，以这10个等分点的4个点为顶点构成四边形，其中梯形的
个数为（ ）
A．10 B．20 C．40 D．60
【练题型】
1.在圆上有6个不同的点，将这6个点两两连接成弦，这些弦将圆分割成的区域数最多为
（ ）
A．32 B．15 C．16 D．31
用）
2.方程 中的 ，且 互不相同，在所有这些方程所表
示的曲线中，不同的抛物线共有_____条．
【题型十七】不定方程型
【讲题型】
例题1.有三个盒子，每个盒子里有若干大小形状都相同的卡片.第一个盒子中有三张分别标
号为 的卡片；第二个盒子中有五张分别标号为 的卡片；第三个盒子中有七张
分别标号为 的卡片.现从每个盒子中随机抽取一张卡片，设从第 个盒子中取出的卡片的号码为 ，则 为奇数的概率是（ ）
A． B． C． D．
例题2.方程 的非负整数解的组数为_________
【练题型】
1.若集合 ，则集合 中元素有
______个.
2.若方程 ，其中 ，则方程的正整数解得个数为______.
【题型十八】数列中的排列组合
【讲题型】
例题1.定义数列 如下：存在 ，满足 ，且存在 ，满足 ，已
知数列 共4项，若 且 ，则数列 共有（ ）
A．190个 B．214个 C．228个 D．252个
例题2.定义域为集合{1，2，3，…，12}上的函数 满足：
（1） ；（2） （ ）；（3） 、 、
成等比数列；
这样的不同函数 的个数为（ ）
A．155 B．156 C．157 D．158
【练题型】
1.设整数数列 ， ，…， 满足 ， ，且 ，
，则这样的数列的个数为___________.
2.已数列 ，令 为 ， ， ， 中的最大值 2， ， ，则称数列 为“控
制数列”，数列 中不同数的个数称为“控制数列” 的“阶数” 例如： 为1，
3，5，4，2，则“控制数列” 为1，3，5，5，5，其“阶数”为3，若数列 由1，
2，3，4，5，6构成，则能构成“控制数列” 的“阶数”为2的所有数列 的首项和
是______．
.已知数列 共16项，且 ，记关于x的函数，
，若 是函数 的极值点，且曲线
在点 处的切线的斜率为15，则满足条件的数列 的个数_____ .
【题型十九】综合难题
【讲题型】
例题1.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是（ ）
A．每人都安排一项工作的不同方法数为54
B．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为
C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同
方法数为
D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项
工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
例题2.如图，在某海岸P的附近有三个岛屿Q，R，S，计划建立三座独立大桥，将这四个
地方连起来，每座桥只连接两个地方，且不出现立体交叉形式，则不同的连接方式有（
）.
A．24种 B．20种 C．16种 D．12种
【练题型】
1.．某人有两盒火柴,每盒都有 根火柴,每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根,
求他发现用完一盒时另一盒还有 根( )的概率_____.
2.一辆单向行驶的汽车，满载为25人，全程共设14个车站，途中每个车站均可上下乘客，
由不同的起点到达不同的终点的乘客应购买不同的车票，在一次单程行驶中，车上最多卖
出不同的车票的个数是（ ）
A．63 B．65 C．67 D．69
3.如图所示，将 方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个
数相等.若相邻两个小方格的颜色不同，称他们的公共边为“分割边”，则分割边条数的最
小值为
A．33 B．56 C．64 D．78练
一、单选题
1．甲、乙、丙、丁四名教师带领学生参加校园植树活动，教师随机分成三组，每组至少一
人，则甲、乙在同一组的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．2022年11月初，新冠疫情突袭昭通市鲁甸县，昭通市统一指挥、众志成城，构筑起抗
击疫情的坚固堡垒.现有甲、乙等5名医务人员参加某小区社区志愿服务活动，他们被分派
到核酸检验和扫码两个小组，且这两个组都至少需要2名医务人员，则甲、乙两名医务人
员不在同一组的分配方案有（ ）
A．8种 B．10种 C．12种 D．14种
3．某中学举行歌唱比赛，要求甲、乙、丙三位参赛选手从《难却》《兰亭序》《许愿》等
首歌曲中任意选 首作为参赛歌曲，其中甲和乙都没有选《难却》，丙选了《兰亭序》，
但他不会选《许愿》，则甲、乙、丙三位参赛选手的参赛歌曲的选法共有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
4．某校有5名大学生观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名大学生且至多
2名大学生观看，则这5人观看比赛的方案种数为（ ）
A．150 B．90 C．60 D．15
5．“宫、商、角、徵、羽”（读音为gōng shāng jué zhǐ yǔ）是我国五声音调中五个不同
音的名称，类似现在简谱中的1，2，3，5，6，即宫等于1（Do），商等于2（Re），角等
于3（Mi），徵等于5（So），羽等于6（La），亦称作五音．现在我们有三个徵，两个宫，
两个羽，一共7个音符，把它们任意排列，恰好能组成《小星星》的旋律“宫宫徵徵羽羽
徵”（即1155665）的概率是（ ）A． B． C． D．
6．“省刻度尺”问题由英国数学游戏大师杜登尼提出：一根 长的尺子，要能够量出
长度为 到 且边长为整数的物体，至少需要6个刻度（尺子头尾不用刻）．现有一
根 的尺子，要能够量出长度为 到 且边长为整数的物体，尺子上至少需要有
（ ）个刻度
A．3 B．4 C．5 D．6
7．在空间直角坐标系 中， ，则三棱锥 内部
整点（所有坐标均为整数的点，不包括边界上的点）的个数为（ ）
A． B． C． D．
8．设集合 ，定义：集合 ，集合
，集合 ，分别用 ， 表示集合S，T中元
素的个数，则下列结论可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个方位，分别是东岳泰山，
西岳华山，南岳衡山，北岳恒山，中岳嵩山，某家庭一家三口计划在假期出游，每人选一
个地方，则（ ）
A．恰有 人选一个地方的方法总数为
B．恰有 人选一个地方的方法总数为
C．恰有 人选泰山的概率是
D．恰有 人选泰山的概率是
10．一个布袋内装除颜色外完全相同的4个红球和3个蓝球.现从袋中摸出4个球，则（
）
A．摸出4个红球的概率是
B．摸出3个红球和1个蓝球的概率是
C．摸出2个红球和2个蓝球的概率是
D．摸出1个红球和3个蓝球的概率是
11．为了提高教学质量，省教育局派五位教研员去 地重点高中进行教学调研.现知 地有
三所重点高中，则下列说法正确的是（ ）
A．不同的调研安排有243种
B．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有150种
C．若每所重点高中至少去一位教研员，则不同的调研安排有300种
D．若每所重点高中至少去一位教研员，则甲、乙两位教研员不去同一所高中，则不同的调研安排有114种
12．如图，在某城市中， ， 两地之间有整齐的方格形道路网，其中 ， ， ，
是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到
， 处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到
达 ， 处为止，则下列说法正确的有（ ）
A．甲从 到达 处的方法有120种
B．甲从 必须经过 到达 处的方法有9种
C．甲、乙两人在 处相遇的概率为
D．甲、乙两人相遇的概率为
三、填空题
13．2023年春节期间，电影院上映《满江红》《流浪地球2》《熊出没·伴我“熊芯”》等
多部电影，这些电影涵盖了悬疑、科幻、动画等多类型题材，为不同年龄段、不同圈层的
观众提供了较为丰富的观影选择.某居委会有6张不同的电影票，奖励给甲、乙、丙三户
“五好文明家庭”，其中一户1张，一户2张，一户3张，则共有______种不同的分法.
14．从A，B等5名志愿者中随机选3名参加核酸检测工作，则A和B至多有一个入选的概
率为__________．
15．如图，由 个边长为1个单位的小正方形组成一个大正方形．某机器人从C点
出发，沿若小正方形的边走到D点，每次可以向右走一个单位或者向上走一个单位．如果
要求机器人不能接触到线段 ，那么不同的走法共有______种．
16．我们想把9张写着1~9的卡片放入三个不同盒子中，满足每个盒子中都有3张卡片，
且存在两个盒子中卡片的数字之和相等，则不同的放法有___________种.
