专题09计数原理与排列组合（原卷版）_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_二轮复习_高频考点解密2023年高考数学二轮复习讲义+分层训练（全国通用）

专题 09 计数原理与排列组合
一、核心先导
二、考点再现
【考点1】排列
1．排列的概念：
n m mn
从 个不同元素中，任取 （ ）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一
n m
Am
列，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列 n
王新奎新疆屯敞
说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；
（2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同
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2．排列数的定义：
n m mn n m
从 个不同元素中，任取 （ ）个元素的所有排列的个数叫做从 个元素中取出 元素的排列
Am
n m
数，用符号 n 表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从 个不同元素中，任取 个元
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n m mn
素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从 个不同元素中，任取 （ ）个元素的所
Am
有排列的个数，是一个数所以符号 n 只表示排列数，而不表示具体的排列
王新奎新疆屯敞 王新奎新疆屯敞
3．排列数公式及其推导：
A2 a ,a a
由 n 的意义：假定有排好顺序的2个空位，从 n 个元素 1 2, n中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所
A2 n(n1) A2 n(n1)
有不同的填法的种数就是排列数 n ．由分步计数原理完成上述填空共有 种填法，∴ n =
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A3 A3 n(n1)(n2)
由此，求 n可以按依次填3个空位来考虑，∴ n= ，
求
A
n
m
以按依次填 m 个空位来考虑
A
n
m n(n1)(n2)

(nm1)
，
Am n(n1)(n2) (nm1)
排列数公式： n 
m,nN,mn
（ ）
n
说明：（1）公式特征：第一个因数是 ，后面每 一个因数比它前面一个
nm1 m
少1，最后一个因数是 ，共有 个因数；
（2）全排列：当 nm 时即n个不同元素全部取出的一个排列
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An n(n1)(n2) 21n!
全排列数： n  （叫做n的阶乘） 另外，我们规定 0! =1 .
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mn
n m n
1组合的概念：一般地，从 个不同元素中取出 个元素并成一组，叫做从 个不同元素中取出
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m
个元素的一个组合
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说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同
王新奎新疆屯敞
【考点2】组合
1．组合数公式的推导：
a,b,c,d C3
（1）从4个不同元素 中取出3个元素的组合数 4是多少呢？
A3
启发：由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数 4可以求得，故我们可以考
C3 A3
察一下 4和 4的关系，如下：
组 合 排列
abc  abc, bac, cab, acb, bca, cba
abd  abd, bad, dab, adb, bda, dba
acd  acd, cad, dac, adc, cda, dca
bcd  bcd, cbd, dbc, bdc, cdb, dcb
由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数
A3 C3
4 ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有 4个；② 对每一个组合的
A3
C3  4
A3 A3 C3  A3 4 A3
3个不同元素进行全排列，各有 3 种方法．由分步计数原理得： 4＝ 4 3 ，所以， 3 ．
Am
2.推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数 n ，可以分如下两步：
Cm
① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数 n ；
Am Am Cm Am
② 求每一个组合中m个元素全排列数 m ，根据分步计数原理得： n ＝ n m ．
3.组合数的公式：Am n(n1)(n2) (nm1) n!
Cm  n   Cm
n Am m! n m!(nm)! (n,mN,且m n)
m 或
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C 01
规定: n .
三、解法解密
方法一、特殊优先安排法：
对于带有特殊元素的排列问题，一般应先考虑特殊元素、特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，也
就是解题过程中的一种主元思想；若含有两个或两个以上的特殊位置或特殊元素，则应使用集合的思想来
考虑，这种情况又分为：无关型(两个特殊位置上分别可取的元素所组成的集合的交是空集)；包合型(两
个特殊位置上分别可取的元素所组成集合具有包合关系)；影响型(两个特殊位置上可取的元素既有相同的，
又有不同的) ．
方法二、合理分类与准确分步法：
解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，按事件发生的连贯过程分步，做到分类
标准明确、分步层次清楚，不重不漏．
方法三、解排列组台混合问题，采用先选后排法：
对于排列与组合的混合问题，可采取先选出元素，后进行排列的策略．
方法四、正难则反、等价转化法：
对某些排列组合问题，当从正面入手情况复杂，不易解决时，可考虑从反面入手，将其等价转化为一
个较简单的问题来处理．即采用先求总的排列数(或组合数)，再减去不符合要求的排列数(或组合数)，从
而使问题获得解决的方法(其实它就是补集思想) ．
方法五、相邻元素——捆绑法：
对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个“大元素”与其他
元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列．
方法六、不相邻元素——插空法：
对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之
间及两端的空隙之间插入即可．
方法七、顺序固定问题用“除法”：
对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列
数除以这几个元素的全排列数．
方法八、分排问题和环排问题直排法：
把n个元素排成若干排的问题，若没有其他的特殊要求，可采取统一排成一排的方法来处理；把 个
不同元素放在圆周 个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序
相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之
分，下列 个普通排列：
在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相
同， 个元素的圆排列数有 种．因此可将某个元素固定展成单排，其它的 元素全排列．方法九、特征分析法：
研究有约束条件的排列问题，须紧扣题目所提供的数字特征、结构特征，进行推理、分析求解．
方法十、容斥法：
n个元素排成一列,求某两个元素各自不排在某两个确定位置的排法种数,宜用容斥法
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方法十一、先整体后局部策略：
对于“小团体”排列问题，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体”
内部的排列．
方法十二、分组问题:
①有序不等分；②有序等分；③有序局部等分；④无序不等分；⑤无序等分；⑥无序局部等分．
方法十三、隔板法：
n个 相同小球放入 个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球
串成一串从间隙里选 m−1 个结点剪成m段（插入 m−1 块隔板），有 C n m − − 1 1 种方法
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方法十四、可重复的排列求幂法:
允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般
地 个不同元素排在 个不同位置的排列数有 种方法．
四、考点解密
题型一:简单的排列问题
例1．（1）、（2021·陕西渭南 ）生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的
“五经”是儒家典籍《周易》、《尚书》、《诗经》、《礼记》、《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，
某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则满足《诗经》必须排在后2
节，《周易》和《礼记》必须分开安排的情形共有_______．
（2）、（2021·浙江）用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位偶数，若有且仅有2个奇数相邻，则
这样的六位数共有（ ）
A．192个 B．216个 C．276个 D．324个
【变式训练1-1】、（2021·全国·专题练习）为了纪念高中三年舍友之间留下的深厚情感，某宿舍的7
位同学决定站成一排合照留念，其中中间位置只能站甲或乙，且甲、乙、丙三人不站在两侧，则不同的安
排方法有（ ）.
A．232种 B．464种 C．288种 D．576种【变式训练1-2】、（2021·全国）从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当
三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（ ）
A．51个 B．54个 C．12个 D．45个
题型二:简单的组合问题
例2．（1）、（2022·陕西榆林·一模（理））已知某班英语兴趣小组有4名男生和3名女生，从中任选2
人参加该校组织的英语演讲比赛，则恰有1名女生被选到的概率是（ ）
A． B． C． D．
（2）、（2022·全国·模拟预测）甲、乙两名同学从生物、地理、政治、化学中各选两门进行学习，若甲、
乙不能同时选生物，则甲、乙总的选法种数有（ ）
A． B． C． D．
【变式训练2-1】、（2022·山东潍坊·高三期末）如图，某类共享单车密码锁的密码是由4位数字组成，所
有密码中，恰有三个重复数字的密码个数为（ ）
A．90 B．324 C．360 D．400
【变式训练2-2】、（2022·福建漳州·高二期末）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中
开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天，
则下列结论正确的是（ ）
A．从六门课程中选两门的不同选法共有20种
B．课程“数”不排在最后一天的不同排法共有600种
C．课程“礼”、“书”排在相邻两天的不同排法共有240种
D．课程“乐”、“射”、“御”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种
题型三:排队形（座位、位置等）问题
例3．（1）、（2021·江西省铜鼓中学）某学习小组有 个男生和 个女生共 人：（1）将此 人排成一排，男女彼此相间的排法有多少种
（2）将此 人排成一排，男生甲不站最左边，男生乙不站最右边的排法有多少种
（3）从中选出 名男生和 名女生分别承担 种不同的任务，有多少种选派方法
（4）现有 个座位连成一排，仅安排 个女生就座，恰有两个空位相邻的不同坐法共有多少种
（2）、（2021·全国·高二专题练习）新冠疫情防控期间，某中学安排甲､乙，丙等7人负责某个周一至
周日的师生体温情况统计工作，每天安排一人，且每人负责一天.若甲､乙、丙三人中任意两人都不能安排
在相邻的两天，且甲安排在乙，丙之间，则不同的安排方法有___________种(用数字作答).
【变式训练3-1】、（2021·全国·高二课时练习）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相
邻的排法有______种.
【变式训练3-2】、（2021·全国·专题练习）为了纪念高中三年舍友之间留下的深厚情感，某宿舍的7
位同学决定站成一排合照留念，其中中间位置只能站甲或乙，且甲、乙、丙三人不站在两侧，则不同的安
排方法有（ ）.
A．232种 B．464种 C．288种 D．576种题型四:相邻问题用捆绑法
例4．（1）、（2021·全国·高二课时练习）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的
排法有______种.
（2）、（2020·海南·高二期末）甲、乙、丙、丁4个人站成一排合影，若甲和乙不相邻，且丙和丁相邻，
则不同的站法有_____种.
【变式训练4-1】、（2021·全国·高二课时练习）春节文艺汇演中需要将A，B，C，D，E，F六个节目进行
排序，若A，B两个节目必须相邻，且都不能排在3号位置，则不同的排序方式有__________种．
【变式训练2-2】、（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）3个学生和3个老师共6个人站成一排照相，有且
仅有两个老师相邻，则不同站法的种数是_______（结果用数字表示）．题型五:不相邻问题用插空法
例5．（1）、（2022·全国·高二）新年音乐会安排了2个唱歌､3个乐器和2个舞蹈共7个节目，则2个唱
歌节目不相邻的节目单共有___________种.（用数字表示）
（2）、（2021·北京·北师大实验中学高二期末）马路上有12盏灯，为了节约用电，可以熄灭其中三盏灯，
但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻两盏灯，那么熄灯的方法共有_______种．
【变式训练5-1】、（2021·全国·高二课时练习）电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4
个商业广告，2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有______种．（用
排列数回答）
【变式训练5-2】、（2021·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）西湖龙井茶素来有“绿茶皇后”“十大名
茶之首”的称号，按照产地品质不同，西湖龙井茶可以分为“狮、龙、云、虎、梅”五个字号．某茶文化
活动给西湖龙井茶留出了三个展台的位置，现在从五个字号的产品中任意选择三个字号的茶参加展出活动，
如果三个字号中有“狮、梅”，则“狮”字号茶要排在“梅”字号茶前（不一定相邻），则不同的展出方
法有_____________种．（用数字作答）题型六:定序问题
例6．（1）、（2022·全国·高三专题练习）7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有__不同的排法.
（2）、（2021·浙江·模拟预测）若从 这个9个整数中取出4个不同的数排成一排，依次记为
，则使得 为偶数的不同排列方法有（ ）
A．1224 B．1200
C．1080 D．840
【变式训练6-1】、（2021·福建省宁德市教师进修学院高二期末）6位同学站成一排，要求甲乙丙站在一
起且乙必须在甲和丙中间，则不同排法有______种．（用数字作答）
【变式训练6-2】、（2021·云南大理·模拟预测（理））2021年春节期间电影《你好，李焕英》因“搞笑幽
默不庸俗，真心实意不煽情”深受热捧．某电影院为了做好防疫工作组织了5个服务管理小组，分配到3
个影厅进行服务和管理，若每个影厅至少分配1个服务管理小组，每个服务管理小组只能在1个影厅进行
服务和管理，则不同的分配方法种数为（ ）
A．125 B．150 C．243 D．300题型七:分组、分配与分堆
例7．（1）、（2021·全国·高二课时练习）按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?
（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;
（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;
（3）平均分成三份,每份2本;
（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;
（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;
（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;
（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.
（2）、（2022·安徽省亳州市第一中学高二开学考试）北京冬奥会于2022年2月4日开幕，北京某大学5
名同学报名到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者，则
不同的安排方法共有______种（用数字作答）.
【变式训练7-1】、（2021·江苏南通·模拟预测）在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，某居委会从
辖区内甲､乙､丙三个小区中选取6人做志愿者，协助防控和宣传工作.若每个小区至少选取1人做志愿者，
则不同的选取方法有（ ）
A．10种 B．20种 C．540种 D．1080种
【变式训练7-2】、（2022·黑龙江实验中学模拟预测（理））为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推
进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将2名医生和6名护士分配到2所学校，设立疫苗
接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和3名护士，则不同的分配方法
共有______种.题型八:隔板法
例8．（1）、（2022·全国·高三专题练习）方程 的非负整数解共有___________组．
（2）、（2021·福建省漳州第一中学高二月考）将7个相同的球放入4个不同的盒子中，则每个盒子都有
球的放法种数为（ ）
A．22 B．25 C．20 D．48
【变式训练8-1】、（2010·江苏启东·高二期中（理））6个相同的小球放入标号为1、2、3的3个小盒子
中，要求每个盒子都不空，共有方法总数为_____．
题型九:直接法与间接法
例9、（2021·江苏·连云港市赣马高级中学高二阶段练习）现有9名学生，其中女生4名，男生5名.
（1）从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？
（2）从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？
（3）从中选4人分别担任四个不同岗位的志愿者，每个岗位一人，且男生中的甲与女生中的乙至少有1人
在内，有多少种安排方法？【变式训练9-1】、（2021·河北·河间市第十四中学高二期中）现有男选手 名，女选手 名，其中男女队
长各 名.选派 人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？（结果用数字表示）
（1）男选手 名，女选手 名；
（2）至少有 名男选手；
（3）既要有队长，又要有男选手.题型十:涂色问题
例10．（1）、（2021·广东深圳 ）现有5种不同颜色要对如图所示的五个部分进行着色，要求有公共边
界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ）
A．420种 B．780种 C．540种 D．480种
（2）、（2021·吉林·汪清县汪清第四中学）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相
邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（ ）种.
A．24 B．48 C．72 D．96【变式训练10-1】、（2021·全国·（理））现有5种不同颜色的染料，要对如图中的四个不同区域进行
着色，要求有公共边的两块区域不能使用同一种颜色，则不同的着色方法的种数是
A．120 B．140 C．240 D．260
【变式训练10-2】、（2022·安徽宿州·高二期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示，它是
由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现用4种不同的颜色（4种颜色全部使用）给这5个区域涂色，
要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色，则不同的涂色方案有（ ）
A．24种 B．48种 C．72种 D．96种五、分层训练
A组 基础巩固
1．（2022·云南·昆明一中模拟预测（理））学校开展读书活动，要求每位同学从《三国演义》、《红楼
梦》、《水浒传》、《西游记》四本中国名著中选不同的两本，《复活》、《老人与海》两本外国名著中
选一本，共选三本书进行阅读赏析，则甲、乙两人恰有两本书选择相同的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·安徽蚌埠·一模）为贯彻落实《中共中央国务院关于全面深化新时代教师队伍建设改革的意见》
精神，加强义务教育教师队伍管理，推动义务教育优质均衡发展，安徽省全面实施中小学教师“县管校
聘”管理改革，支持建设城乡学校共同体.2022年暑期某市教体局计划安排市区学校的6名骨干教师去4所
乡镇学校工作一年，每所学校至少安排1人，则不同安排方案的总数为（ ）
A．2640 B．1440 C．2160 D．1560
3．（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）甲乙丙丁四个同学星期天选择到东湖公园，西湖茶经楼，
历史博物馆和北湖公园其中一处去参观游玩，其中茶经楼必有人去，则不同的参观方式共有（ ）种.
A．24 B．96 C．174 D．175
4．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））某中学响应国家双减政策，开设了乓乓球，羽毛球，书法，
小提琴四门选修课程，要求每位同学每学年至多选2门，初一到初三3学年将四门选修课程选完，则每位
同学的不同选修方式有（ ）
A．60种 B．78种 C．54种 D．84种
5．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））哈三中招聘了8名教师，平均分配给南岗群力两个校区，
其中2名语文教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配
方案共有（ ）
A．18种 B．24种 C．36种 D．48种
6．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）将3本不同的画册和2本相同的图册分给甲、乙、丙三人，要求每人
至少1本画册或图册，则不同的分法共有（ ）
A．90种 B．93种
C．96种 D．99种
7．（2022·山东·模拟预测）2022年北京冬奥会共计有7大项､15个分项以及109个小项目，其中北京承办
所有冰上项目，延庆和张家口承办所有的雪上项目北京成为奥运史上第一个举办过夏季奥林匹克运动会和
冬季奥林匹克运动会的城市.现有4名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有1
人参加，则不同的报名方案有（ ）
A．8 B．14 C．6 D．20
8．（2022·全国·模拟预测）大约公元前300年，欧几里得在他所著《几何原本》中证明了算术基本定理：
每一个比1大的数（每个比1大的正整数）要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，如果
不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的，即任何一个大于1的自然数 （ 不为素数）能唯一地写成 （其中 是素数， 是正整数， ， ），将上
式称为自然数 的标准分解式，且 的标准分解式中有 个素数．从120的标准分解式中任
取3个素数，则一共可以组成不同的三位数的个数为（ ）
A．6 B．13 C．19 D．60
9．（2022·福建泉州·模拟预测）面对突如其来的新冠疫情，全国人民众志成城，齐心抗疫，甲、乙两位老
师在上课之余.积极参加某社区的志愿活动，现该社区计划连续三天行核酸检测，需要多名志愿者协助工作，
因工作关系，甲、乙不能在同一天参加志愿活动，那么甲、乙每人至少参加其中一天的方案有（ ）
A．6种 B．9种 C．12种 D．24种
10．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））将4名大学生平均分成两组，安排到甲、乙两所中学进
行教学实习，并推选甲校张老师、乙校李老师作为指导教师，则不同的实习安排方案共有（ ）
A．24种 B．12种 C．6种 D．10种
11．（2022·福建三明·模拟预测）某校为落实“双减”政策.在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小
组活动，现有甲､乙､丙､丁四名同学拟参加篮球､足球､乒乓球､羽毛球四项活动，由于受个人精力和时间限
制，每人只能等可能的选择参加其中一项活动，则恰有两人参加同一项活动的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）小林同学喜欢吃4种坚果：核桃､腰果､杏仁､榛子，他有5种颜色的
“每日坚果”袋.每个袋子中至少装1种坚果，至多装4种坚果.小林同学希望五个袋子中所装坚果种类各不
相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为（ ）
A．20160 B．20220 C．20280 D．20340
13．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种
颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（ ）种不同的染色方案.
A．96 B．144 C．240 D．360
14．（2022·河南郑州·模拟预测（理））某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6
个节目中选取5个进行演出．要求舞蹈和小品必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品
在后．那么不同的演出顺序种数有（ ）
A．240种 B．480种 C．540种 D．720种
15．（2022·山东烟台·一模）“碳中和”是指企业、团体或个人等测算在一定时间内直接或间接产生的温
室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳
“零排放”．某“碳中和”研究中心计划派5名专家分别到A，B，C三地指导“碳中和”工作，每位专家只去一个地方，且每地至少派驻1名专家，则分派方法的种数为（ ）
A．90 B．150 C．180 D．300
16．（2022·河南·模拟预测（理））将中国古代四大名著——《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演
义》，以及《诗经》等12本书按照如图所示的方式摆放，其中四大名著要求放在一起，且必须竖放，《诗
经》《楚辞》《吕氏春秋》要求横放，若这12本书中7本竖放5本横放，则不同的摆放方法共有
___________种.
17．（2022·浙江省临安中学模拟预测）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算
筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如：3可以表示为“ ”，
26可以表示为“ ”.现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9个数字表示两
位数的个数为_________.
18．（2022·上海市青浦高级中学模拟预测）如图，由 个边长为1个单位的小正方形组成一个大正
方形．某机器人从C点出发，沿若小正方形的边走到D点，每次可以向右走一个单位或者向上走一个单位．
如果要求机器人不能接触到线段 ，那么不同的走法共有______种．
19．（2022·辽宁·育明高中一模）一张节目单上原有8个节目，现临时再插入A，B，C三个新节目，如果
保持原来8个节目的相对顺序不变，节目B要排在另外两个新节目之间（也可以不相邻），则有
__________种不同的插入方法．（用数字作答）
20．（2022·重庆八中模拟预测）《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著.该书记述
了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、
运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数.某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该
小组拟全部收集九宫算、运筹算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其
中一种，且每种算法只由一个人收集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案共有__________种.
21．（2022·山东省实验中学模拟预测）安排高二年级一､二两个班一天的数､语､外､物､体，一班的化学及
二班的政治各六节课．要求体育课两个班一起上，但不能排在第一节；由于选课之故，一班的化学和二班
的政治要安排在同一节；其他语､数､外､物四科由同一任课教师分班上课，则不同的排课表方法共有
__________种．
22．（2021·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（理））2020年是全面建成小康社会的目标实现之年，也是
全面打赢脱贫攻坚战的收官之年．为更好地将“精准扶贫”落到实处，某地安排7名干部（3男4女到三
个贫困村调研走访，每个村安排男、女干部各1名，剩下1名干部负责统筹协调，则不同的安排方案有
_______种（用具体数字回答）．
23．（2021·安徽·二模（理））十二生肖是中国及东亚地区的一些民族用来代表年份的十二种动物．顺序
排列为子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪.生肖也称属相，常
常用来代表人出生的年号．现有牛、虎、龙、马属相各1人，4人从吉祥物为牛、虎、龙、马、猴的5件
饰物中随机选一件，则恰有2人选中与属相对应的饰物的概率为_____________.
24．（2021·安徽合肥·三模（理））为庆祝中国共产党成立100周年，某校以班级为单位组织开展“走进
革命老区，学习党史文化”研学游活动．该校高一年级部10个班级分别去3个革命老区开展研学游，每个
班级只去1个革命老区，每个革命老区至少安排3个班级，则不同的安排方法共有_____种（用数字作答）．B组 能力提升
25．（2017·江西南昌·一模（理））某校迎新晚会上有 个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要
求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
26．（2020·北京·二模）要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各 节，自习课 节的功课表，其中上
午 节，下午 节，若要求 节语文课必须相邻且 节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节
不算相邻），则不同的排法种数是（ ）
A． B． C． D．
27．（2019·甘肃·一模（理））《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元 世
纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、
把头、龟算、珠算计数 种计算器械的使用方法某研究性学习小组 人分工搜集整理 种计算器械的相关
资料，其中一人 种、另两人每人 种计算器械，则不同的分配方法有（ ）
A． B． C． D．
28．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（理））2021年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、
豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段．对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必
须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有( )种．
A．120 B．156 C．188 D．240
29．（2021·辽宁沈阳·模拟预测）2020年我国进行了第七次全国人口普查，“大国点名，没你不行”.在此
次活动中，某学校有 女、 男 名教师报名成为志愿者，现在有 个不同的社区需要进行普查工作，从这
名志愿者中选派 名，每人去 个小区，每个小区去 名教师，其中至少要有 名女教师，则不同的选派方
案有多少种（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
30．（2015·广东汕头·一模（理））如图所示的五个区域中，中心区 域是一幅图画，现要求在其余四个
区域中涂色，有四种颜色可供选择.要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方
法种数为
A．56 B．72 C．64 D．84
31．（2020·山东省实验中学一模）从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排
一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务
的日期不相邻，那么不同的安排种数
为______________.(用数字作答)32．（2019·浙江湖州·一模）现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放
入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有
_______种.（结果用数字表示）
33．（2019·湖南师大附中一模（理））习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶
贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略．为配合国家精准扶贫战略，某省示范性高中安排6名
高级教师（不同姓）到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，因工作需
要，其中李老师不去甲校，则分配方案种数为_________．
34．（2020·河北衡水中学三模（理））2020年初，我国突发新冠肺炎疫情.面对“突发灾难”，举国上下
心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中.为分
担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅
导功课.现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至
少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为______.
35．（2018·浙江·一模）如图，有 个白色正方形方块排成一列，现将其中 块涂上黑色，规定从左往右数，
无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有 ________ 种
36．（2019·湖北·一模（理））某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点
停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻
的概率相等，则该停车点的车位数为______．
37．（2020·浙江温州·二模）将2个相同的红球和2个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里，
其中甲、乙盒子均最多可放入2个球，丙、丁盒子均最多可放入1个球，且不同颜色的球不能放入同一个
盒子里，共有________种不同的放法.
38．（2020·山东·模拟预测）2020年春，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情，
众志成城克时难，社会各界纷纷支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.某医院派出了5名医生和3名护士共8
人前往武汉参加救治工作.现将这8人分成两组分配到两所医院去，若要求每组至多5人，且护士所在组必
须有医生，则不同的分配方案共有________种（用数字作答）.
39．（2014·北京石景山·一模（理））各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大
学所给的 个专业中，选择 个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，
则该考生有_____________种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．C组 真题实战练
40．（2019·全国·高考真题（理））我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从
下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取
一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A． B． C． D．
41．（2021·全国·高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4
个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有
（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
42．（2016·全国·高考真题（理））如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于
G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
A．24 B．18 C．12 D．9
43．（2014·重庆·高考真题（理））某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目
的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是
A．72 B．120 C．144 D．168
44．（2007·湖南·高考真题（理））某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投
资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有
A．16种 B．36种 C．42种 D．60种
45．（2010·广东·高考真题（理））为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序
不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相
同．记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两
个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是
A．1205秒 B．1200秒 C．1195秒 D．1190秒
46．（2007·全国·高考真题（理））从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，
每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有A．40种 B．60种 C．100种 D．120种
47．（2007·福建·高考真题（文））从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，
要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方
案共有（ ）
A．300种 B．240种 C．144种 D．96种
48．（2007·全国·高考真题（理））某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个
新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为
A．42 B．30 C．20 D．12
49．（2017·浙江·高考真题）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4
人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答）
50．（2008·天津·高考真题（文））有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1，
2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于
10，则不同的排法共有________________种（用数字作答）．
51．（2012·湖北·高考真题（理））回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，
3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，
121，…，191，202，…，999．则
（1）4位回文数有 个；
（2） 位回文数有 个．
52．（2007·辽宁·高考真题（理））将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第 个数为 ，若
， ， ， ，则不同的排列方法有 种（用数字作答）．
53．（2007·重庆·高考真题（文））要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一
节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为____ ．（以数字作答）
54．（2007·陕西·高考真题（理））某校从8名教师中选派4名教师到4个边远地区支教（每地1人），要
求甲、乙不同去，甲、丙只能同去或同不去，则不同的选派方案有______种．