专题09计数原理与排列组合（解析版）_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_二轮复习_高频考点解密2023年高考数学二轮复习讲义+分层训练（全国通用）

专题 09 计数原理与排列组合 一、核心先导 二、考点再现 【考点1】排列 1．排列的概念： n m mn 从 个不同元素中，任取 （ ）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一 n m Am 列，叫做从 个不同元素中取出 个元素的一个排列 n 王新奎新疆屯敞 说明：（1）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列； （2）两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同 王新奎新疆屯敞 2．排列数的定义： n m mn n m 从 个不同元素中，任取 （ ）个元素的所有排列的个数叫做从 个元素中取出 元素的排列 Am n m 数，用符号 n 表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从 个不同元素中，任取 个元 王新奎新疆屯敞 n m mn 素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从 个不同元素中，任取 （ ）个元素的所 Am 有排列的个数，是一个数所以符号 n 只表示排列数，而不表示具体的排列 王新奎新疆屯敞 王新奎新疆屯敞 3．排列数公式及其推导： A2 a ,a a 由 n 的意义：假定有排好顺序的2个空位，从 n 个元素 1 2, n中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所 A2 n(n1) A2 n(n1) 有不同的填法的种数就是排列数 n ．由分步计数原理完成上述填空共有 种填法，∴ n = 王新奎新疆屯敞 A3 A3 n(n1)(n2) 由此，求 n可以按依次填3个空位来考虑，∴ n= ， 求 A n m 以按依次填 m 个空位来考虑 A n m n(n1)(n2)  (nm1) ， Am n(n1)(n2) (nm1) 排列数公式： n  m,nN,mn （ ） n 说明：（1）公式特征：第一个因数是 ，后面每 一个因数比它前面一个 nm1 m 少1，最后一个因数是 ，共有 个因数； （2）全排列：当 nm 时即n个不同元素全部取出的一个排列 王新奎新疆屯敞 An n(n1)(n2) 21n! 全排列数： n  （叫做n的阶乘） 另外，我们规定 0! =1 . 王新奎新疆屯敞 mn n m n 1组合的概念：一般地，从 个不同元素中取出 个元素并成一组，叫做从 个不同元素中取出 王新奎新疆屯敞 m 个元素的一个组合 王新奎新疆屯敞 说明：⑴不同元素；⑵“只取不排”——无序性；⑶相同组合：元素相同 王新奎新疆屯敞 【考点2】组合 1．组合数公式的推导： a,b,c,d C3 （1）从4个不同元素 中取出3个元素的组合数 4是多少呢？ A3 启发：由于排列是先组合再排列，而从4个不同元素中取出3个元素的排列数 4可以求得，故我们可以考 C3 A3 察一下 4和 4的关系，如下： 组 合 排列 abc  abc, bac, cab, acb, bca, cba abd  abd, bad, dab, adb, bda, dba acd  acd, cad, dac, adc, cda, dca bcd  bcd, cbd, dbc, bdc, cdb, dcb 由此可知,每一个组合都对应着6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取出3个元素的排列数 A3 C3 4 ，可以分如下两步：① 考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有 4个；② 对每一个组合的 A3 C3  4 A3 A3 C3  A3 4 A3 3个不同元素进行全排列，各有 3 种方法．由分步计数原理得： 4＝ 4 3 ，所以， 3 ． Am 2.推广：一般地，求从n个不同元素中取出m个元素的排列数 n ，可以分如下两步： Cm ① 先求从n个不同元素中取出m个元素的组合数 n ； Am Am Cm Am ② 求每一个组合中m个元素全排列数 m ，根据分步计数原理得： n ＝ n m ． 3.组合数的公式：Am n(n1)(n2) (nm1) n! Cm  n   Cm n Am m! n m!(nm)! (n,mN,且m n) m 或 王新奎新疆屯敞 C 01 规定: n . 三、解法解密 方法一、特殊优先安排法： 对于带有特殊元素的排列问题，一般应先考虑特殊元素、特殊位置，再考虑其他元素与其他位置，也 就是解题过程中的一种主元思想；若含有两个或两个以上的特殊位置或特殊元素，则应使用集合的思想来 考虑，这种情况又分为：无关型(两个特殊位置上分别可取的元素所组成的集合的交是空集)；包合型(两 个特殊位置上分别可取的元素所组成集合具有包合关系)；影响型(两个特殊位置上可取的元素既有相同的， 又有不同的) ． 方法二、合理分类与准确分步法： 解含有约束条件的排列组合问题，应按元素的性质进行分类，按事件发生的连贯过程分步，做到分类 标准明确、分步层次清楚，不重不漏． 方法三、解排列组台混合问题，采用先选后排法： 对于排列与组合的混合问题，可采取先选出元素，后进行排列的策略． 方法四、正难则反、等价转化法： 对某些排列组合问题，当从正面入手情况复杂，不易解决时，可考虑从反面入手，将其等价转化为一 个较简单的问题来处理．即采用先求总的排列数(或组合数)，再减去不符合要求的排列数(或组合数)，从 而使问题获得解决的方法(其实它就是补集思想) ． 方法五、相邻元素——捆绑法： 对于某几个元素要求相邻的排列问题，可先将相邻的元素“捆绑”起来，看作一个“大元素”与其他 元素排列，然后再对相邻元素内部进行排列． 方法六、不相邻元素——插空法： 对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之 间及两端的空隙之间插入即可． 方法七、顺序固定问题用“除法”： 对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列 数除以这几个元素的全排列数． 方法八、分排问题和环排问题直排法： 把n个元素排成若干排的问题，若没有其他的特殊要求，可采取统一排成一排的方法来处理；把 个 不同元素放在圆周 个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排法才算不同的排列，而顺序 相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在于只计顺序而首位、末位之 分，下列 个普通排列： 在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合，故认为相 同， 个元素的圆排列数有 种．因此可将某个元素固定展成单排，其它的 元素全排列．方法九、特征分析法： 研究有约束条件的排列问题，须紧扣题目所提供的数字特征、结构特征，进行推理、分析求解． 方法十、容斥法： n个元素排成一列,求某两个元素各自不排在某两个确定位置的排法种数,宜用容斥法 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww学学新新 级级ccww kktt新新ww @@..xx子子疆疆 11教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg小小 oo师师..cc mmoomm//屋屋wwxxcc// 方法十一、先整体后局部策略： 对于“小团体”排列问题，可先将“小团体”看作一个元素与其余元素排列，最后再进行“小团体” 内部的排列． 方法十二、分组问题: ①有序不等分；②有序等分；③有序局部等分；④无序不等分；⑤无序等分；⑥无序局部等分． 方法十三、隔板法： n个 相同小球放入 个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n个相同小球 串成一串从间隙里选 m−1 个结点剪成m段（插入 m−1 块隔板），有 C n m − − 1 1 种方法 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww学学新新 级级ccww kktt新新ww @@..xx子子疆疆 11教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg小小 oo师师..cc mmoomm//屋屋wwxxcc// 方法十四、可重复的排列求幂法: 允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安排元素的位置，一般 地 个不同元素排在 个不同位置的排列数有 种方法． 四、考点解密 题型一:简单的排列问题 例1．（1）、（2021·陕西渭南 ）生活中人们常用“通五经贯六艺”形容一个人才识技艺过人，这里的 “五经”是儒家典籍《周易》、《尚书》、《诗经》、《礼记》、《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化， 某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则满足《诗经》必须排在后2 节，《周易》和《礼记》必须分开安排的情形共有_______． 【答案】28 【解析】当《诗经》位于第5节时，《周易》和《礼记》相邻有3种情形，且《周易》和《礼记》排序有 种，剩下的排序也有 种，因此满足条件的情形有 种； 当《诗经》位于第4节时，《周易》和《礼记》相邻有2种情形，《周易》和《礼记》排序有 种，剩下 的排序也有 种，此时满足条件的情形有 种． 所以满足条件的情形共有 种．故答案为：28 （2）、（2021·浙江）用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位偶数，若有且仅有2个奇数相邻，则 这样的六位数共有（ ） A．192个 B．216个 C．276个 D．324个 【答案】A 【解析】这6个数字中，偶数有0，2，4，奇数有1，3，5. 要使所组成的六位数为偶数，且有且仅有2个奇数相邻，先将0可能出现在首位也考虑进去.这样共有 个，再减去0在首位的个数， 当0在首位，且有且仅有2个奇数相邻，末位也是偶数的，共有 个. 所以满足题意的6位数共有 个. 故选：A. 【变式训练1-1】、（2021·全国·专题练习）为了纪念高中三年舍友之间留下的深厚情感，某宿舍的7 位同学决定站成一排合照留念，其中中间位置只能站甲或乙，且甲、乙、丙三人不站在两侧，则不同的安 排方法有（ ）. A．232种 B．464种 C．288种 D．576种 【答案】D 【解析】依题意，分三步进行： （1）先为中间位置选人，从甲乙中选，有 种选法， （2）为甲、乙、丙中剩余的两个人选位置，不占两侧，去掉中间位置，还有4个位置可选，故有 种排 法， （3）剩余的同学进行全排列，有 种排法， 故利用乘法原理即得，不同的安排方法有 种.故选：D. 【变式训练1-2】、（2021·全国）从1，2，3，4，5这五个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，当 三个数字中有2和3时，2需排在3的前面(不一定相邻)，这样的三位数有（ ） A．51个 B．54个 C．12个 D．45个 【答案】A 【解析】由题意分类讨论： （1）当这个三位数，数字2和3都有，再从1，4，5中选一个，因为2需排在3的前面，这样的三位数有 (个). （2）当这个三位数，2和3只有一个，需从1，4，5中选两个数字，这样的三位数有 （个）. （3）当这个三位数，2和3都没有，由1，4，5组成三位数，这样的三位数有 （个） 由分类加法计数原理得共有 (个)． 故选：A．题型二:简单的组合问题 例2．（1）、（2022·陕西榆林·一模（理））已知某班英语兴趣小组有4名男生和3名女生，从中任选2 人参加该校组织的英语演讲比赛，则恰有1名女生被选到的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意求得基本事件的总数，以及所求事件中所包含基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式， 即可求解. 【详解】 由题意，从这7名学生中任选2人，共有 种选法， 其中恰有1名女生被选到的选法有 种， 所以恰有1名女生被选到的概率是 ． 故选：C. （2）、（2022·全国·模拟预测）甲、乙两名同学从生物、地理、政治、化学中各选两门进行学习，若甲、 乙不能同时选生物，则甲、乙总的选法种数有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 分别求出甲选生物和甲不选生物时，甲、乙的选法种数，然后利用加法计数原理即可. 【详解】 当甲选生物，乙不选生物时，甲、乙的选法有 种； 当甲不选生物，乙随便选，甲、乙的选法有 种， 则甲、乙总的选法有 种． 故选： . 【变式训练2-1】、（2022·山东潍坊·高三期末）如图，某类共享单车密码锁的密码是由4位数字组成，所 有密码中，恰有三个重复数字的密码个数为（ ）A．90 B．324 C．360 D．400 【答案】C 【解析】 【分析】 先考虑重复的那个数字在其中三个位置上，再安排剩下的那个位置上的数字，根据分步乘法原理可得答案. 【详解】 根据题意，四个位置上恰有三个重复数字，可分两步完成， 第一步从10个数字中任选一个安排在三个位置上，共有 种情况， 第二步在剩下的9个数字中任选一个安排在剩下的那个位置上，有9种情况， 故共有 种，即密码个数为360个， 故选：C 【变式训练2-2】、（2022·福建漳州·高二期末）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某校计划在社会实践中 开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门体验课程，每天开设一门，连续开设6天， 则下列结论正确的是（ ） A．从六门课程中选两门的不同选法共有20种 B．课程“数”不排在最后一天的不同排法共有600种 C．课程“礼”、“书”排在相邻两天的不同排法共有240种 D．课程“乐”、“射”、“御”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据给定条件利用排列、组合知识，逐项分析计算判断作答. 【详解】 对于A，从六门课程中选两门的不同选法有 种，A不正确； 对于B，前5天中任取1天排“数”，再排其它五门体验课程共有 种，B正确； 对于C，“礼”、“书”排在相邻两天，可将“礼”、“书”视为一个元素，不同排法共有 种， C正确； 对于D，先排“礼”、 “书”、“数”，再用插空法排“乐”、“射”、“御”， 不同排法共有 种，D不正确.故选：BC 题型三:排队形（座位、位置等）问题 例3．（1）、（2021·江西省铜鼓中学）某学习小组有 个男生和 个女生共 人： （1）将此 人排成一排，男女彼此相间的排法有多少种 （2）将此 人排成一排，男生甲不站最左边，男生乙不站最右边的排法有多少种 （3）从中选出 名男生和 名女生分别承担 种不同的任务，有多少种选派方法 （4）现有 个座位连成一排，仅安排 个女生就座，恰有两个空位相邻的不同坐法共有多少种 【答案】（1）144；（2）3720；（3）432；（4）480. 【解析】（1）根据题意，分2步进行分析： ①，将3个男生全排列，有A3种排法，排好后有4个空位， 3 ②，将4名女生全排列，安排到4个空位中，有A4种排法， 4 则一共有 种排法； （2）根据题意，分2种情况讨论： ①，男生甲在最右边，有A6＝720， 6 ②，男生甲不站最左边也不在最右边，有A1A1A5＝3000， 5 5 5 则有720+3000＝3720种排法； （3）根据题意，分2步进行分析： ①，在3名男生中选取2名男生，4名女生中选取2名女生，有C2C2种选取方法， 3 4 ②，将选出的4人全排列，承担4种不同的任务，有A4种情况， 4 则有 种不同的安排方法； （4）根据题意，7个座位连成一排，仅安排4个女生就座，还有3个空座位， 分2步进行分析： ①，将4名女生全排列，有A4种情况，排好后有5个空位， 4 ②，将3个空座位分成2、1的2组，在5个空位中任选2个，安排2组空座位，有A2种情况， 5 则有 种排法． （2）、（2021·全国·高二专题练习）新冠疫情防控期间，某中学安排甲､乙，丙等7人负责某个周一至 周日的师生体温情况统计工作，每天安排一人，且每人负责一天.若甲､乙、丙三人中任意两人都不能安排 在相邻的两天，且甲安排在乙，丙之间，则不同的安排方法有___________种(用数字作答). 【答案】480 【解析】选将甲､乙､丙之外的四人进行排列，共有 种方法，再用甲､乙､丙插空，甲在中间，有 种 方法，故共有 .故答案为：480 【变式训练3-1】、（2021·全国·高二课时练习）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相 邻的排法有______种. 【答案】12 【解析】 【分析】根据相邻问题捆绑法求解即可. 【详解】 解：因为两位女同学相邻，故先排两位女同学，有 种排法， 再将其看作一个元素，和其他两位男生一起排列，有 种排法， 所以共有 种排法. 故答案为： 【变式训练3-2】、（2021·全国·专题练习）为了纪念高中三年舍友之间留下的深厚情感，某宿舍的7 位同学决定站成一排合照留念，其中中间位置只能站甲或乙，且甲、乙、丙三人不站在两侧，则不同的安 排方法有（ ）. A．232种 B．464种 C．288种 D．576种 【答案】D 【解析】依题意，分三步进行： （1）先为中间位置选人，从甲乙中选，有 种选法， （2）为甲、乙、丙中剩余的两个人选位置，不占两侧，去掉中间位置，还有4个位置可选，故有 种排 法， （3）剩余的同学进行全排列，有 种排法， 故利用乘法原理即得，不同的安排方法有 种.故选：D. 题型四:相邻问题用捆绑法 例4．（1）、（2021·全国·高二课时练习）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的 排法有______种. 【答案】12 【解析】 【分析】 根据相邻问题捆绑法求解即可. 【详解】 解：因为两位女同学相邻，故先排两位女同学，有 种排法， 再将其看作一个元素，和其他两位男生一起排列，有 种排法， 所以共有 种排法. 故答案为： （2）、（2020·海南·高二期末）甲、乙、丙、丁4个人站成一排合影，若甲和乙不相邻，且丙和丁相邻， 则不同的站法有_____种. 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意，丙丁看成整体，并且在甲和乙之间，从而得到结果. 【详解】 ∵甲和乙不相邻，且丙和丁相邻， ∴丙和丁必在甲和乙之间， ∴不同的站法有A2A2 4， 2 2 故答案为：4 【变式训练4-1】、（2021·全国·高二课时练习）春节文艺汇演中需要将A，B，C，D，E，F六个节目进行 排序，若A，B两个节目必须相邻，且都不能排在3号位置，则不同的排序方式有__________种． 【答案】144 【解析】 【分析】 将A，B捆绑，先确定A，B的位置，再将剩余节目排序，即可得出答案. 【详解】 解：将A，B捆绑，先确定A，B的位置，有 种可能，再将剩余节目排序，有 种可能，所以不同的排 序方式有 （种）． 故答案为：144. 【变式训练2-2】、（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）3个学生和3个老师共6个人站成一排照相，有且 仅有两个老师相邻，则不同站法的种数是_______（结果用数字表示）． 【答案】 【解析】 【分析】 根据题意，分3步进行分析：①将3个老师分成2组，并考虑2人的一组的2人之间的顺序;②将剩余的3 个学生全排列，形成有4个空位；③在4个空位中任选2个安排3个老师分成的两个组，分别求出每一步 的情况数目，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】 根据题意，分3步进行分析： ①将3个老师分成2组，有 种分组方法，将2人的一组看成一个元素，考虑2人之间的顺序，有 种 情况； ②将剩余的3个学生全排列，有 种排法，排好后，有4个空位； ③在4个空位中任选2个，安排3个老师分成的两个组，有 种方法， 则6人站成一排照相，3个老师中有且只有两个老师相邻的站法有 种. 故答案为： . 题型五:不相邻问题用插空法例5．（1）、（2022·全国·高二）新年音乐会安排了2个唱歌､3个乐器和2个舞蹈共7个节目，则2个唱 歌节目不相邻的节目单共有___________种.（用数字表示） 【答案】3600 【解析】 【分析】 利用插空法即得. 【详解】 先排3个乐器和2个舞蹈共5个节目有 种排法，其中有6个空插入2个唱歌节目，有 种排法，故共有 . 故答案为：3600. （2）、（2021·北京·北师大实验中学高二期末）马路上有12盏灯，为了节约用电，可以熄灭其中三盏灯， 但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻两盏灯，那么熄灯的方法共有_______种． 【答案】56 【解析】 【分析】 采用插空法可求出. 【详解】 采用插空法，现将亮的9盏灯排成一排， 由题意，两端的灯不能熄灭，则有8个符合条件的空位， 在8个空位中任取3个插入熄灭的3盏灯，有C3 56种方法. 8 故答案为：56. 【变式训练5-1】、（2021·全国·高二课时练习）电视台在电视剧开播前连续播放6个不同的广告，其中4 个商业广告，2个公益广告，现要求2个公益广告不能连续播放，则不同的播放方式共有______种．（用 排列数回答） 【答案】 【解析】 【分析】 不相连排列利用插空法即可求解． 【详解】 先把4个商业广告排好顺序，共有 种方法，再把2个公益广告插入5个空（包括两头）中， 根据分步乘法计数原理，共有 种方法． 故答案为： 【变式训练5-2】、（2021·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）西湖龙井茶素来有“绿茶皇后”“十大名 茶之首”的称号，按照产地品质不同，西湖龙井茶可以分为“狮、龙、云、虎、梅”五个字号．某茶文化 活动给西湖龙井茶留出了三个展台的位置，现在从五个字号的产品中任意选择三个字号的茶参加展出活动，如果三个字号中有“狮、梅”，则“狮”字号茶要排在“梅”字号茶前（不一定相邻），则不同的展出方 法有_____________种．（用数字作答） 【答案】51 【解析】 【分析】 分当选出的字号中没有“狮、梅”，有“狮梅”中的一种，“狮、梅”都有，三种情况讨论分别求解，然 后再求和即得. 【详解】 当选出的字号中没有“狮、梅”时，共有A3 6种展出的方法； 3 当选出的字号中有“狮梅”中的一种时，共有C1C2A3 36种展出的方法； 2 3 3 当选出的字号中“狮、梅”都有时，共有C1C1 9种展出的方法, 3 3 所以共有636951种不同的展出方法． 故答案为：51. 题型六:定序问题 例6．（1）、（2022·全国·高三专题练习）7人排队，其中甲、乙、丙3人顺序一定，共有__不同的排法. 【答案】840 【解析】 【分析】 根据题意分2步分析：先在7个位置上任取4个，安排除甲、乙、丙之外的3人，再在剩余的3个位置中 安排3人，由于甲、乙、丙3人顺序一定，只有1种情况，故由分步计数原理可得答案. 【详解】 根据题意，假设有7个位置，对应7个人， 先在7个位置中任取4个，安排除甲、乙、丙之外的4人，有 种情况， 由于甲、乙、丙3人顺序一定，在剩余3个位置安排3人即可，有1种情况， 则共有 种不同的排法； 故答案为：840. （2）、（2021·浙江·模拟预测）若从 这个9个整数中取出4个不同的数排成一排，依次记为 ，则使得 为偶数的不同排列方法有（ ） A．1224 B．1200 C．1080 D．840 【答案】A 【分析】 考虑 为偶数和 为奇数两种情况，判断 的奇偶性，根据 中偶数的个数计算得到答案. 【详解】 为偶数，则 为偶数，有 ；为奇数，则 为奇数，四个数均为奇数，有 . 故共有1224种． 故选：A. 【变式训练6-1】、（2021·福建省宁德市教师进修学院高二期末）6位同学站成一排，要求甲乙丙站在一 起且乙必须在甲和丙中间，则不同排法有______种．（用数字作答） 【答案】48 【解析】 【分析】 利用分步原理计算即可 【详解】 先根据甲乙丙站在一起且乙必须在甲和丙中间有 种排法，把甲乙丙捆绑在和剩下3位同学进行排列， 有 种排法，所以，总共有 种排法 故答案为：48 【变式训练6-2】、（2021·云南大理·模拟预测（理））2021年春节期间电影《你好，李焕英》因“搞笑幽 默不庸俗，真心实意不煽情”深受热捧．某电影院为了做好防疫工作组织了5个服务管理小组，分配到3 个影厅进行服务和管理，若每个影厅至少分配1个服务管理小组，每个服务管理小组只能在1个影厅进行 服务和管理，则不同的分配方法种数为（ ） A．125 B．150 C．243 D．300 【答案】B 【分析】 先将5个服务管理小组分成3组，每组管理小组的数目可能为2，2，1；1，1，3，再将三组分配到三个影 厅，用排列组合数表示，即得解 【详解】 由题意，先将5个服务管理小组分成3组，每组管理小组的数目可能为2，2，1；1，1，3 有 种分组方式，再将三组分配到三个影厅有 种方法 故总共有 种分配方法 故选：B 题型七:分组、分配与分堆 例7．（1）、（2021·全国·高二课时练习）按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式? （1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本; （2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本; （3）平均分成三份,每份2本; （4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本; （6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本; （7）甲得1本,乙得1本,丙得4本. 【答案】（1）60；（2）360；（3）15；（4）90；（5）15；（6）90；（7）30 【解析】（1）无序不均匀分组问题.先选 本有 种选法;再从余下的 本中选 本有 种选法;最后余下 的 本全选有 种选法.故共有 (种)选法. （2）有序不均匀分组问题.由于甲、乙、丙是不同三人,在 题的基础上,还应考虑再分配,共有 . （3）无序均匀分组问题.先分三步,则应是 种选法,但是这里出现了重复.不妨记六本书为 , , , , , ,若第一步取了 ,第二步取了 ,第三步取了 ,记该种分法为( , , ),则 种 分法中还有( , , ),( , , ),( , , ),( , , ),( , , ),共有 种情况,而这 种情况仅是 , , 的顺序不同,因此只能作为一种分法,故分配方式有 . （4）有序均匀分组问题.在 题的基础上再分配给 个人,共有分配方式 (种). （5）无序部分均匀分组问题.共有 (种)分法. （6）有序部分均匀分组问题.在 题的基础上再分配给 个人,共有分配方式 (种). （7）直接分配问题.甲选 本有 种选法,乙从余下 本中选 本有 种选法,余下 本留给丙有 种选法, 共有 (种)选法. （2）、（2022·安徽省亳州市第一中学高二开学考试）北京冬奥会于2022年2月4日开幕，北京某大学5 名同学报名到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者，则 不同的安排方法共有______种（用数字作答）. 【答案】 【解析】 【分析】 先将 个人分组，然后安排到 个场馆，由此计算出不同的安排方法数. 【详解】 若 个人分为 ，则安排方法数有 种， 若 个人分为 ，则安排方法数有 种， 故不同的方法数有 种. 故答案为：【变式训练7-1】、（2021·江苏南通·模拟预测）在新型冠状病毒肺炎疫情联防联控期间，某居委会从 辖区内甲､乙､丙三个小区中选取6人做志愿者，协助防控和宣传工作.若每个小区至少选取1人做志愿者， 则不同的选取方法有（ ） A．10种 B．20种 C．540种 D．1080种 【答案】C 【解析】①当6个人分为2，2，2三小组，分别来自3个小区，共有 种， ②当6个人分为4，1，1三小组时，分别来自3个小区，共有 种， ③当6个人分为3，2，1三小组时，分别来自3个小区，共有 种， 综上，本题的选法共有 ，故选：C. 【变式训练7-2】、（2022·黑龙江实验中学模拟预测（理））为了做好新冠肺炎疫情常态化防控工作，推 进疫苗接种进度，降低新冠肺炎感染风险，某医院准备将2名医生和6名护士分配到2所学校，设立疫苗 接种点，免费给学校老师和学生接种新冠疫苗，若每所学校分配1名医生和3名护士，则不同的分配方法 共有______种. 【答案】40 【解析】 【分析】 任选1名医生和3名护士，将医护人员分成两组安排到2所学校即可. 【详解】 1、选1名医生和3名护士的方法数为 种； 2、由第一步得到两组医护人员，将其安排到2所学校的方法数为 种. 所以不同的分配方法共有 种. 故答案为：40 题型八:隔板法 例8．（1）、（2022·全国·高三专题练习）方程 的非负整数解共有___________组． 【答案】 【解析】 【分析】 将方程非负整数解的组数，看成相同元素分组问题，采用隔板法. 【详解】 将方程的解看成11个1放在3个小盒的方法，可以将11个1和3个小盒，共14个元素，分成3组，每组 至少1个，采用隔板法，14个元素之间13个位置，隔2块板，共有 种方法， 所以方程 的非负整数解共有 组.故答案为：78 （2）、（2021·福建省漳州第一中学高二月考）将7个相同的球放入4个不同的盒子中，则每个盒子都有 球的放法种数为（ ） A．22 B．25 C．20 D．48 【答案】C 【分析】 将7个相同的球放入4个不同的盒子中，即把7个相同的球分成4组，不妨将7个球摆成一排，中间形成6 个空，只需在这6个空插入3个隔板将它们隔开，即分成4组，据此即可的解. 【详解】 解：将7个相同的球放入4个不同的盒子中，即把7个相同的球分成4组， 因为每个盒子都有球， 所以每个盒子至少又一个球，不妨将7个球摆成一排，中间形成6个空，只需在这6个空插入3个隔板将 它们隔开，即分成4组，不同插入方法共有 种， 所以每个盒子都有球的放法种数为20. 故选：C. 【变式训练8-1】、（2010·江苏启东·高二期中（理））6个相同的小球放入标号为1、2、3的3个小盒子 中，要求每个盒子都不空，共有方法总数为_____． 【答案】10 【解析】 【详解】 根据题意，先将6个小球排成一列，不含两端有5个空位．原问题可以转化为在5个空位中，任取2个插 入挡板，有 种方法. 题型九:直接法与间接法 例9、（2021·江苏·连云港市赣马高级中学高二阶段练习）现有9名学生，其中女生4名，男生5名. （1）从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？ （2）从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？ （3）从中选4人分别担任四个不同岗位的志愿者，每个岗位一人，且男生中的甲与女生中的乙至少有1人 在内，有多少种安排方法？ 【答案】（1）26；（2）60；（3）2184 【解析】 【分析】 （1）采用间接法； （2）采用直接法； （3）先用间接法求出从中选4人，男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内的选法种数，再分配到四个不 同岗位即可. 【详解】（1）从中选2名代表，没有女生的选法有 种， 所以从中选2名代表，必须有女生的不同选法有 种. （2）从中选出男、女各2名的不同选法有 种. （3）男生中的甲与女生中的乙至少有1人被选的不同选法有 种， 将这4人安排到四个不同的岗位共有 种方法， 故共有 种安排方法. 【点睛】 本题考查排列与组合的综合问题，考查学生的逻辑思想能力，是一道基础题. 【变式训练9-1】、（2021·河北·河间市第十四中学高二期中）现有男选手 名，女选手 名，其中男女队 长各 名.选派 人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？（结果用数字表示） （1）男选手 名，女选手 名； （2）至少有 名男选手； （3）既要有队长，又要有男选手. 【答案】（1）30；（2）65；（3）51. 【解析】 【分析】 （1）先选两名男选手，再选两名女选手，乘法原理得到答案. （2）用总的选择方法减去全是女选手的方法得到答案. （3）分为有男队长和没有男队长两种情况，相加得到答案. 【详解】 (1)第一步：选 名男运动员，有 种选法. 第二步：选 名女运动员， 有种选法. 共有 (种)选法. (2)至少有 名男选手”的反面为“全是女选手”. 从 人中任选 人，有 种选法，其中全是女选手的选法有 种. 所以“至少有 名女运动员”的选法有 (种). (3)当有男队长时，其他人选法任意，共有 种选法. 不选男队长时，必选女队长，共有 种选法，其中不含男选手的选法有 种， 所以不选男队长时，共有 种选法.故既要有队长，又要有男选手的选法有 (种) .【点睛】 本题考查了排列组合问题的计算，意在考查学生的计算能力和解决问题的能力. 题型十:涂色问题 例10．（1）、（2021·广东深圳 ）现有5种不同颜色要对如图所示的五个部分进行着色，要求有公共边 界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（ ） A．420种 B．780种 C．540种 D．480种 【答案】B 【解析】依题意可知，完成涂色任务可以使用5种，4种，或3种颜色，将区域标号如图. ①若用5种颜色完成涂色，则 种方法； ②若用4种颜色完成涂色，颜色有 种选法，需要2，4同色，或者3，5同色，或者1，3同色，或者1， 4同色，故有 种； ③若用3种颜色完成涂色，颜色有 种选法，需要2，4同色且3，5同色，或者1，4同色且3，5同色， 或者1，3同色且 2，4同色，故有 种. 所以不同的着色方法共有 种.故选：B. （2）、（2021·吉林·汪清县汪清第四中学）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相 邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（ ）种.A．24 B．48 C．72 D．96 【答案】C 【解析】首先涂区域 有 种，其次区域 有 种，再次区域 有 种， 若区域 与区域 同色有 种，则区域 有 种， 若区域 与区域 不同色有 种，则区域 有 种， 所以不同的着色方法共有 ， 故选：C. 【变式训练10-1】、（2021·全国·（理））现有5种不同颜色的染料，要对如图中的四个不同区域进行 着色，要求有公共边的两块区域不能使用同一种颜色，则不同的着色方法的种数是 A．120 B．140 C．240 D．260 【答案】D 【解析】由题意，先涂A处，有5种涂法，再涂B处4种涂法，第三步涂C，若C与A同，则D有四种涂法， 若C与A不同，则D有三种涂法，由此得不同的着色方案有5×4×（1×4+3×3）=260种，故选D. 【变式训练10-2】、（2022·安徽宿州·高二期末）“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝，如图所示，它是 由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现用4种不同的颜色（4种颜色全部使用）给这5个区域涂色， 要求相邻的区域不能涂同一种颜色，每个区域只涂一种颜色，则不同的涂色方案有（ ） A．24种 B．48种 C．72种 D．96种 【答案】B【解析】 【分析】 根据题意，分2步进行分析区域①、②、⑤和区域③、④的涂色方法，由分步计数原理计算可得答案. 【详解】 根据题意，分2步进行分析： 当区域①、②、⑤这三个区域两两相邻，有A3 24种涂色的方法； 4 当区域③、④，必须有1个区域选第4种颜色，有2种选法，选好后，剩下的区域有1种选法，则区域③、 ④有2种涂色方法，故共有2A3 22448种涂色的方法. 4 故选：B五、分层训练 A组 基础巩固 1．（2022·云南·昆明一中模拟预测（理））学校开展读书活动，要求每位同学从《三国演义》、《红楼 梦》、《水浒传》、《西游记》四本中国名著中选不同的两本，《复活》、《老人与海》两本外国名著中 选一本，共选三本书进行阅读赏析，则甲、乙两人恰有两本书选择相同的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算出从四本中国名著中选不同的两本，两本外国名著中选一本，甲、乙选择情况的总个数， 再分两本相同书目均为中国名著，两本相同书目一本是中国名著，一本是外国名著，两种情况，分别求解 相应的概率，再相加即可. 【详解】从四本中国名著中选不同的两本，两本外国名著中选一本，甲、乙均有 种情况， 若两本相同书目均为中国名著，则从4本中国名著中选择两本，有 种选择，两本外国名著，两人进行全 排列即可，有情况为 种， 则概率 ； 若两本相同书目一本是中国名著，一本是外国名著，则先从4本中国名著中选择1本，两人均选择了此名 著，再从2本外国名著中选择1人，两人均选择了此名著，有 种选择， 再从剩余的3本中国名著中选择2本不同的名著，即进行部分排列即可，此时有 种选择， 故共有 种选择， 则概率 ， 所以甲、乙两人恰有两本书选择相同的概率 . 故选：C ． 2．（2022·安徽蚌埠·一模）为贯彻落实《中共中央国务院关于全面深化新时代教师队伍建设改革的意见》 精神，加强义务教育教师队伍管理，推动义务教育优质均衡发展，安徽省全面实施中小学教师“县管校 聘”管理改革，支持建设城乡学校共同体.2022年暑期某市教体局计划安排市区学校的6名骨干教师去4所 乡镇学校工作一年，每所学校至少安排1人，则不同安排方案的总数为（ ） A．2640 B．1440 C．2160 D．1560 【答案】D 【分析】先分组再排序即可. 【详解】6人分组有2种情况：2211，3111，所以不同安排方案的总数为 . 故选：D. 3．（2022·湖北·天门市教育科学研究院模拟预测）甲乙丙丁四个同学星期天选择到东湖公园，西湖茶经楼， 历史博物馆和北湖公园其中一处去参观游玩，其中茶经楼必有人去，则不同的参观方式共有（ ）种. A．24 B．96 C．174 D．175 【答案】D 【分析】根据去茶经楼的人数进行分类讨论，结合排列组合知识进行求解. 【详解】若4人均去茶经楼，则有1种参观方式， 若有3人去茶经楼，则从4人中选择3人，另1人从另外3处景点选择一处， 有 种参观方式； 若有2人去茶经楼，则从4人中选择2人，另外2人从另外3处景点任意选择一处， 有 种参观方式； 若有1人去茶经楼，则从4人中选择1人，另外3人从另外的3处景点任意选择一处， 有 种参观方式， 综上：共有 种参观方式. 故选：D 4．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））某中学响应国家双减政策，开设了乓乓球，羽毛球，书法， 小提琴四门选修课程，要求每位同学每学年至多选2门，初一到初三3学年将四门选修课程选完，则每位 同学的不同选修方式有（ ） A．60种 B．78种 C．54种 D．84种 【答案】C 【分析】根据题意分每位同学每年所修课程数为：1,1,2或0,2,2两种情况进行求解即可. 【详解】根据题意，三年修完四门选修课程，每学年至多选2门， 则每位同学每年所修课程数为：1,1,2或0,2,2； 先将4门课程按照1,1,2分成三组有： 种方法， 再分到三个学生，有 种方法， 所以不同的选修方法有： 种； 再将4门课程按照0,2,2分成三组有： ， 再分到三个学生，有 种方法，所以不同的选修方法有： 种， 所以共有： 种. 故选：C. 5．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））哈三中招聘了8名教师，平均分配给南岗群力两个校区， 其中2名语文教师不能分配在同一个校区，另外3名数学教师也不能全分配在同一个校区，则不同的分配 方案共有（ ） A．18种 B．24种 C．36种 D．48种 【答案】C 【分析】先将2名语文老师分到两个校区，再将3名数学老师分成2组再分到两个校区，最后只需将其他3 人分成2组，结合每个校区各4人即可得出结果. 【详解】由题意知，先将2名语文老师分到两个校区，有2种方法， 第二步将3名数学老师分成2组，一组1人另一组2人，有 种分法， 然后再分到两个校区，共有 种方法， 第三步只需将其他3人分成2组，一组1人另一组2人， 由于每个校区各4人，故分组后两人所去的校区就已确定，共有 种方法， 根据分布乘法计数原理共有 种. 故选：C 6．（2022·湖南·长沙一中模拟预测）将3本不同的画册和2本相同的图册分给甲、乙、丙三人，要求每人 至少1本画册或图册，则不同的分法共有（ ） A．90种 B．93种 C．96种 D．99种 【答案】B 【分析】先分组后分配，可分为3，1，1或2，2，1，然后分配即得. 【详解】由题可知把5本书先分组后分配，可分为3，1，1或2，2，1两种情况，然后分配给甲、乙、丙 三人， 分为3，1，1时，当两个1都是图册时，不同的分法共有 种；当两个1都是画册时，不同的分法共 有 种；当两个1为一本图册一本画册时，不同的分法共有 种； 分为2，2，1时，当两个2中有一个2为2本图册时，不同的分法共有 种；当两个2中各有一本 图册时，不同的分法共有 种；当单独的1是一本图册时，不同的分法共有 种. 所以，将3本不同的画册和2本相同的图册分给甲、乙、丙三人，要求每人至少1本画册或图册，不同的 分法共有 种. 故选：B.7．（2022·山东·模拟预测）2022年北京冬奥会共计有7大项､15个分项以及109个小项目，其中北京承办 所有冰上项目，延庆和张家口承办所有的雪上项目北京成为奥运史上第一个举办过夏季奥林匹克运动会和 冬季奥林匹克运动会的城市.现有4名同学要报名参加冰雪兴趣小组，要求雪上项目和冰上项目都至少有1 人参加，则不同的报名方案有（ ） A．8 B．14 C．6 D．20 【答案】B 【分析】根据题意先对4名同学分成2组有两种情况，结合平均分组可知有 种分法，再将分 好的两组在雪上项目和冰上项目进行全排列，根据分步计数原理即可得到结果. 【详解】将4名同学分成两组，有 种分法，将分好的两组在雪上项目和冰上项目进行全排列 有 种，所以共有 种报名方案. 故选：B. 8．（2022·全国·模拟预测）大约公元前300年，欧几里得在他所著《几何原本》中证明了算术基本定理： 每一个比1大的数（每个比1大的正整数）要么本身是一个素数，要么可以写成一系列素数的乘积，如果 不考虑这些素数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的，即任何一个大于1的自然数 （ 不为素 数）能唯一地写成 （其中 是素数， 是正整数， ， ），将上 式称为自然数 的标准分解式，且 的标准分解式中有 个素数．从120的标准分解式中任 取3个素数，则一共可以组成不同的三位数的个数为（ ） A．6 B．13 C．19 D．60 【答案】B 【分析】首先根据 的标准分解式得到 ，然后根据这5个素数的特点进行分类讨论，最后利 用分类加法计数原理即可得解． 【详解】解 根据 的标准分解式可得 ， 故从2，2，2，3，5这5个素数中任取3个组成三位数，有下列三种情况： ①选取3个2，可以组成1个三位数；②选取2个2后，再从3或5中选一个，可以组成 个不同 的三位数；③选取2，3，5，可以组成 个不同的三位数．所以从120的标准分解式中任取3个素数， 一共可以组成 个不同的三位数. 故选：B． 9．（2022·福建泉州·模拟预测）面对突如其来的新冠疫情，全国人民众志成城，齐心抗疫，甲、乙两位老 师在上课之余.积极参加某社区的志愿活动，现该社区计划连续三天行核酸检测，需要多名志愿者协助工作， 因工作关系，甲、乙不能在同一天参加志愿活动，那么甲、乙每人至少参加其中一天的方案有（ ） A．6种 B．9种 C．12种 D．24种【答案】C 【分析】分类加法计数原理，结合排列组合知识进行求解. 【详解】分为三类：①甲、乙各一天，有 种；②甲2天，乙1天，有 种；③乙2天，甲1天， 有 种， 6+3+3=12，故共有12种方案. 故选：C 10．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测（理））将4名大学生平均分成两组，安排到甲、乙两所中学进 行教学实习，并推选甲校张老师、乙校李老师作为指导教师，则不同的实习安排方案共有（ ） A．24种 B．12种 C．6种 D．10种 【答案】C 【分析】均匀分组的计算公式，分组后进行分配，即可得解. 【详解】对四人均匀分为两组共有： ， 再将两组与甲、乙两校全排列共有： ， 所以不同的实习安排方案 . 故选：C. 11．（2022·福建三明·模拟预测）某校为落实“双减”政策.在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小 组活动，现有甲､乙､丙､丁四名同学拟参加篮球､足球､乒乓球､羽毛球四项活动，由于受个人精力和时间限 制，每人只能等可能的选择参加其中一项活动，则恰有两人参加同一项活动的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据排列组合知识计算出事件发生的种类数，再利用古典概型的概率公式求出概率. 【详解】每人有 种选择，四人共有 种选择， 其中恰有两人参加同一项活动共有 种选择， 所以四人中恰有两人参加同一项活动的概率为： 故选：C. 12．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）小林同学喜欢吃4种坚果：核桃､腰果､杏仁､榛子，他有5种颜色的 “每日坚果”袋.每个袋子中至少装1种坚果，至多装4种坚果.小林同学希望五个袋子中所装坚果种类各不 相同，且每一种坚果在袋子中出现的总次数均为偶数，那么不同的方案数为（ ） A．20160 B．20220 C．20280 D．20340 【答案】A 【分析】设出核桃、腰果、杏仁、榛子为H，Y，X，Z，分类讨论求出分堆情况，再进行排列，求出最后答案. 【详解】依次记核桃、腰果、杏仁、榛子为H，Y，X，Z，则每个字母出现2次或4次，分类计算分堆可 能： （1）H，H；Y，Y；X，X；Z，Z. 若是“8=4+1+1+1+1”，则其中的“4”必须是HYXZ，故1种可能； 若是“8=3+2+1+1+1”，则考虑（HYX）（Z※）（※）（※），故有 种可能； 若是“8=1+1+2+2+2”，则考虑（Z）（X）（Z※）（X※）（※※），故有 种可能； 小计：1+12+12=25； （2）诸如“H，H，H，H；Y，Y；X，X；Z，Z”类型 若是“10=4+3+1+1+1”，则四个H无论怎么安排，都会出现某两个袋仅放H，故0种可能； 若是“10=4+2+2+1+1”，则“1+1”中有一个是H，“4+2+2”中各一个H，“2+2”中除了一个H外，另一个 互异，故有 种可能； 若是“10=3+3+2+1+1”，则“1+1”中各有1个H，“3+3+2”中各一个H，可以考虑含※模式，（H※※） （H※※）（H※）（※）（H），故有 种可能； 若是“10=3+2+2+2+1”，则可用下表进一步分类，有1+ 种可能； YXZ H※ H※ H※ H H※ H※ H※ ※ H※※ H※ H※ ※※ H 若是“10=2+2+2+2+2”，则四个H至少有两个出现搭配相同，故0种可能； 小计： ； （3）诸如“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X；Z，Z”类型 若是“12=4+4+2+1+1”，则“4+4”必然重复，故0种可能； 若是“12=4+3+3+1+1”，则枚举“3+3”的情况，发现仅（HYXZ）（HYZ）（HYX）（Z）（X）可能； 若是“12=4+3+2+2+1”，则考虑（HYXZ）（HY※）（※※）（※※）（※）或（HYXZ）（XZ※） （※※）（※※）（※），故有 种可能； 若是“12=3+3+3+2+1”，则有（HYX）（HYZ）（ZXH）（HY）（Y）或（HYX）（HYZ）（ZXY）（HY） （H）都成立，有2种可能； 若是“12=3+3+2+2+2”，则枚举“3+3”的情况，发现（HYX）（HYZ）（HY）（H※）（Y※），有2种可 能. 小计 ； 诸如“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X，X，X；Z，Z”类型 若是“14=4+4+*+*+*”，则“4+4”必然重复，故0种可能；若是“14=4+3+3+3+1”，则“4+3+3+3”中至少有3个Z，故0种可能； 若是“14=4+3+3+2+2”，则“4+3+3”至少有2个Z，考虑（HYXZ）（HYX）（Z※※）（※※）（※※）， 其中Z※※有 种可能，故此小类有3种可能； 若是“14=3+3+3+3+2”，则“3+3+3+3”中至少有3个Z，故0种可能； 小计 ； （5）“H，H，H，H；Y，Y，Y，Y；X，X，X，X；Z，Z，Z，Z” 只有“16=4+3+3+3+3”的搭配，有1种可能； 综上：共有25+76+54+12+1=168个分堆可能，故不同的方案数为 = 种. 故选：A 【点睛】比较复杂一些的排列组合问题，要结合分类加法原理和分步乘法原理进行求解，特别是分类标准， 要做到不重不漏，本题中，应用的是把8,10,12,14,16分为5个数（从1到4）的和的分类标准，可以做到不 重不漏. 13．（2022·浙江·镇海中学模拟预测）给图中A，B，C，D，E，F六个区域进行染色，每个区域只染一种 颜色，且相邻的区域不同色.若有4种颜色可供选择，则共有（ ）种不同的染色方案. A．96 B．144 C．240 D．360 【答案】A 【分析】通过分析题目给出的图形，可知要完成给图中 、 、 、 、 、 六个区域进行染色，最少 需要3种颜色，即 同色， 同色， 同色，由排列知识可得该类染色方法的种数；也可以4种颜色 全部用上，即 ， ， 三组中有一组不同色，同样利用排列组合知识求解该种染法的方法种数，最 后利用分类加法求和． 【详解】解：要完成给图中 、 、 、 、 、 六个区域进行染色，染色方法可分两类， 第一类是仅用三种颜色染色， 即 同色， 同色， 同色，则从四种颜色中取三种颜色有 种取法，三种颜色染三个区域有 种染法，共 种染法； 第二类是用四种颜色染色，即 ， ， 中有一组不同色，则有3种方案 不同色或 不同色或 不同色），先从四种颜色中取两种染同色区有 种染法，剩余两种染在不同色区有2种染法，共 有 种染法． 由分类加法原理得总的染色种数为 种． 故选：A．14．（2022·河南郑州·模拟预测（理））某学校文艺汇演准备从舞蹈、小品、相声、音乐、魔术、朗诵6 个节目中选取5个进行演出．要求舞蹈和小品必须同时参加，且他们的演出顺序必须满足舞蹈在前、小品 在后．那么不同的演出顺序种数有（ ） A．240种 B．480种 C．540种 D．720种 【答案】A 【分析】先从4个节目中选3个，再按照定序排列即可求解. 【详解】先从相声、音乐、魔术、朗诵4个节目中选3个，有 种，再把5个节目排列且满足舞蹈在 前、小品在后， 有 ，总共有 种. 故选：A. 15．（2022·山东烟台·一模）“碳中和”是指企业、团体或个人等测算在一定时间内直接或间接产生的温 室气体排放总量，通过植树造林、节能减排等形式，以抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳 “零排放”．某“碳中和”研究中心计划派5名专家分别到A，B，C三地指导“碳中和”工作，每位专家 只去一个地方，且每地至少派驻1名专家，则分派方法的种数为（ ） A．90 B．150 C．180 D．300 【答案】B 【分析】根据题意，运用分类讨论思想，结合排列和组合的性质进行求解即可. 【详解】根据题意有两种方式： 第一种方式，有一个地方去3个专家，剩下的2个专家各去一个地方， 共有 种方法， 第二种方式，有一个地方去1个专家，另二个地方各去2个专家， 共有 ， 所以分派方法的种数为 ， 故选：B 16．（2022·河南·模拟预测（理））将中国古代四大名著——《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演 义》，以及《诗经》等12本书按照如图所示的方式摆放，其中四大名著要求放在一起，且必须竖放，《诗 经》《楚辞》《吕氏春秋》要求横放，若这12本书中7本竖放5本横放，则不同的摆放方法共有 ___________种.【答案】691200 【分析】除了四大名著和《诗经》《楚辞》《吕氏春秋》这7本书以外，从其余5本书中选取3本和四大 名著一起竖放，然后剩下的5本书横放，再根据分步乘法计数原理可求得结果 【详解】除了四大名著和《诗经》《楚辞》《吕氏春秋》这7本书以外，从其余5本书中选取3本和四大 名著一起竖放，四大名著要求放在一起，则竖放的7本书有 种方法，还剩5本书横放，有 种方 法， 故不同的摆放方法种数为 . 故答案为：691200 17．（2022·浙江省临安中学模拟预测）中国古代十进制的算筹计数法，在数学史上是一个伟大的创造，算 筹实际上是一根根同长短的小木棍.如图，是利用算筹表示数1~9的一种方法.例如：3可以表示为“ ”， 26可以表示为“ ”.现有6根算筹，据此表示方法，若算筹不能剩余，则可以用1~9这9个数字表示两 位数的个数为_________. 【答案】16 【分析】根据已知条件分析可得6根算筹可以表示的数字组合，进而分析每个组合表示的两位数个数，由 加法原理即可求解. 【详解】根据题意，现有6根算筹可以表示的数字组合为15，19，24，28，64，68，33，37，77；数字组 合15， 19，24，28，64，68，37中，每组可以表示2个两位数，则可以表示 个两位数；数字组合 33，77，每组可以表示1个两位数，则共可以表示 个两位数； 则总共可以表示 个两位数. 故答案为：16. 18．（2022·上海市青浦高级中学模拟预测）如图，由 个边长为1个单位的小正方形组成一个大正 方形．某机器人从C点出发，沿若小正方形的边走到D点，每次可以向右走一个单位或者向上走一个单位． 如果要求机器人不能接触到线段 ，那么不同的走法共有______种．【答案】28 【分析】根据题意画出机器人能走的方格区域，然后分类讨论路线的可能性，即可得答案. 【详解】由题意可知，机器人所成走动的路线如图所示的方格： 图中小写字母表示机器人所能走的那一步路线， 那么第一步是固定的只有一种走法， 从第二步开始如果走a，第三步走c,第四步如果走h,那么这时共有3种走法， 第四步如果走f，那么后面四步走的一个长方形的边，这时共有 种走法； 第二步如果走b,第三步如果走d,第四步走e,第五步只能走h，此时共有3种走法， 第四步如果走f，此时共有 种走法， 第三步若果走g，后面五步是沿着一个长方形的边走，此时共有 种走法， 故共有的走法为 种， 故答案为：28 19．（2022·辽宁·育明高中一模）一张节目单上原有8个节目，现临时再插入A，B，C三个新节目，如果 保持原来8个节目的相对顺序不变，节目B要排在另外两个新节目之间（也可以不相邻），则有 __________种不同的插入方法．（用数字作答） 【答案】330 【分析】法1：先选后排，进行求解；法2：用消序法进行求解. 【详解】法1： 第一步，从11个位置中选3个位置，共有 种方法； 第二步，三个位置中节目B位置确定，节目A，C的顺序为 ， 由分步计数原理可得共有 种方法. 法2：先插入节目A，再插入节目B，最后插入节目C，共有： 种， 其中节目B与两个新节目的位置关系有3种，由消序法可得总数为 . 故答案为：330 20．（2022·重庆八中模拟预测）《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著.该书记述 了我国古代14种算法，分别是：积算（即筹算）、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、 运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数.某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该 小组拟全部收集九宫算、运筹算、了知算、成数算和把头算等5种算法的相关资料，要求每人至少收集其 中一种，且每种算法只由一个人收集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案共有 __________种. 【答案】126 【分析】按甲收集资料的种数分类讨论，先确定甲收集资料的种数剩下的分成三组分给乙、丙、丁三人收 集. 【详解】据题意，甲可收集1种或2种资料. 第一类，甲收集1种，则乙、丙、丁中有一人收集2种，另两人各收集1种，有 种； 第二类，甲收集2种，则乙、丙、丁每人各收集1种，有 种. 所以不同的分工收集方案种数共有108+18=126种. 故答案为：126. 21．（2022·山东省实验中学模拟预测）安排高二年级一､二两个班一天的数､语､外､物､体，一班的化学及 二班的政治各六节课．要求体育课两个班一起上，但不能排在第一节；由于选课之故，一班的化学和二班 的政治要安排在同一节；其他语､数､外､物四科由同一任课教师分班上课，则不同的排课表方法共有 __________种． 【答案】5400 【分析】先安排体育课（不能在第一节），再安排化学和政治在同一节，剩下4门主课，先安排一班，再 安排二班即可. 【详解】先安排体育课（不能在第一节）有 种，化学和政治在同一节有 种， 剩下4门主课，不能同时上一种课，先安排一班有 种， 不妨设第1，2，3，4节的顺序， 二班第一节，一班有3种选项第2，3，4节， 对应一班选出的某节课，比如第2节， 在一班上第2节时，有第1，3节，第1，4节，第3，4节3种， 故不同的排课表方法共有 种, 故答案为：5400 【点睛】方法点睛：排列、组合问题的求解方法与技巧 (1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后 局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件． 22．（2021·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（理））2020年是全面建成小康社会的目标实现之年，也是 全面打赢脱贫攻坚战的收官之年．为更好地将“精准扶贫”落到实处，某地安排7名干部（3男4女到三 个贫困村调研走访，每个村安排男、女干部各1名，剩下1名干部负责统筹协调，则不同的安排方案有 _______种（用具体数字回答）． 【答案】144 【分析】先安排男干部，再安排女干部，由排列组合以及分步乘法计数原理得出答案. 【详解】∵每个村男､女干部各1名，∴可先安排男干部，共 种，再安排女干部，共有 种， ∴共有 种不同的安排方案 故答案为：144. 【点睛】关键点睛：在从4名女干部中选3人到三个贫困村调研走访时，关键是按照先选后排的方法进行 处理. 23．（2021·安徽·二模（理））十二生肖是中国及东亚地区的一些民族用来代表年份的十二种动物．顺序 排列为子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龙、巳蛇、午马、未羊、申猴、酉鸡、戌狗、亥猪.生肖也称属相，常 常用来代表人出生的年号．现有牛、虎、龙、马属相各1人，4人从吉祥物为牛、虎、龙、马、猴的5件 饰物中随机选一件，则恰有2人选中与属相对应的饰物的概率为_____________. 【答案】 【分析】分别求出总的基本事件数和符合条件的基本事件数，然后由古典概型的概率公式求解即可． 【详解】解：设事件 为“恰有2人选中与属相对应的饰物”，总的基本事件为 种， 恰有2人选中与属相对应的饰物共有 种，即：牛虎，牛马，牛龙，虎龙，虎马，龙马. 若牛虎二人相对应，则剩下龙马二人，龙马猴三件吉祥物， 则龙马二人可以分别这样拿：马龙，马猴，猴龙，共3种. 所以事件 的基本事件为 种， 故恰有2人选中与属相对应的饰物的概率为 ． 故答案为： ． 24．（2021·安徽合肥·三模（理））为庆祝中国共产党成立100周年，某校以班级为单位组织开展“走进 革命老区，学习党史文化”研学游活动．该校高一年级部10个班级分别去3个革命老区开展研学游，每个 班级只去1个革命老区，每个革命老区至少安排3个班级，则不同的安排方法共有_____种（用数字作答）． 【答案】12600 【分析】先把10个班级分成三组，再进行全排列即可. 【详解】由题意，10个班级分别去3个革命老区，每个革命老区至少安排3个班级，分成3组有, 再把3组分到三个革命老区由 种， 所以共有2100×6=12600种. 故答案为：12600 【点睛】（1）计数问题解题要先区分：1、先分步还是先分类.2、是排列还是组合． （2）一般的计数问题可以先分组（组合）再排列.B组 能力提升 25．（2017·江西南昌·一模（理））某校迎新晚会上有 个节目，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要 求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起．则该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有 A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 【答案】A 【分析】利用对称性思想，节目甲放在前三位或后三位的排法种数是一样的，计算出将丙、丁排在一起的 排法种数，除以 可得出结果. 【详解】先考虑将丙、丁排在一起的排法种数， 将丙、丁捆绑在一起，与其他四人形成五个元素，排法种数为 ， 利用对称性思想，节目甲放在前三位或后三位的排法种数是一样的， 因此，该校迎新晚会节目演出顺序的编排方案共有 种，故选A. 【点睛】本题考查排列组合的综合问题，考查捆绑法的应用，在求解本题中，充分利用对称性思想，可简 化分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 26．（2020·北京·二模）要排出高三某班一天中，语文、数学、英语各 节，自习课 节的功课表，其中上 午 节，下午 节，若要求 节语文课必须相邻且 节数学课也必须相邻（注意：上午第五节和下午第一节 不算相邻），则不同的排法种数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，分两种情况进行讨论：①语文和数学都安排在上午；②语文和数学一个安排在上午， 一个安排在下午.分别求出每一种情况的安排方法数目，由分类加法计数原理可得答案． 【详解】根据题意，分两种情况进行讨论： ①语文和数学都安排在上午，要求 节语文课必须相邻且 节数学课也必须相邻，将 节语文课和 节数学 课分别捆绑，然后在剩余 节课中选 节到上午，由于 节英语课不加以区分，此时，排法种数为 种； ②语文和数学都一个安排在上午，一个安排在下午. 语文和数学一个安排在上午，一个安排在下午，但 节语文课不加以区分， 节数学课不加以区分， 节 英语课也不加以区分，此时，排法种数为 种. 综上所述，共有 种不同的排法. 故选：C． 【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于中等题． 27．（2019·甘肃·一模（理））《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元 世 纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、 把头、龟算、珠算计数 种计算器械的使用方法某研究性学习小组 人分工搜集整理 种计算器械的相关资料，其中一人 种、另两人每人 种计算器械，则不同的分配方法有（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题涉及平均分组问题，先计算出分组的方法，然后乘以 得出总的方法数. 【详解】先将 种计算器械分为三组，方法数有 种，再排给 个人，方法数有 种， 故选A. 【点睛】本小题主要考查简单的排列组合问题，考查平均分组要注意的地方，属于基础题. 28．（2022·甘肃·高台县第一中学模拟预测（理））2021年某地电视台春晚的戏曲节目，准备了经典京剧、 豫剧、越剧、粤剧、黄梅戏、评剧6个剧种的各一个片段．对这6个剧种的演出顺序有如下要求：京剧必 须排在前三，且越剧、粤剧必须排在一起，则该戏曲节目演出顺序共有( )种． A．120 B．156 C．188 D．240 【答案】A 【分析】解决问题有类办法：京剧排第一，排在一起的两个算一个与余下三个元素作全排列，京剧排二三 之一，排在一起的两个只有三个位置可选，再排余下三个得解. 【详解】完成排戏曲节目演出顺序这件事，可以有两类办法：京剧排第一，越剧、粤剧排在一起作一个元 素与余下三个作全排列有 ，越剧、粤剧有前后 ，共有： 种； 京剧排二三之一有 ，越剧、粤剧排在一起只有三个位置并且它们有先后，有 ，余下三个有 ，共 有： 种； 由分类计数原理知，所有演出顺序有： (种) 故选：A 【点睛】解决排列、组合综合问题的方法： (1)仔细审题，判断是组合问题还是排列问题，要按元素的性质分类，按事件发生的过程进行分步； (2)以元素为主时，先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；以位置为主时，先满足特殊位置的要求，再 考虑其他位置． 29．（2021·辽宁沈阳·模拟预测）2020年我国进行了第七次全国人口普查，“大国点名，没你不行”.在此 次活动中，某学校有 女、 男 名教师报名成为志愿者，现在有 个不同的社区需要进行普查工作，从这 名志愿者中选派 名，每人去 个小区，每个小区去 名教师，其中至少要有 名女教师，则不同的选派方 案有多少种（ ） A． 种 B． 种 C． 种 D． 种 【答案】C 【分析】分只有一名女教师和两名女教师两种情况讨论得解. 【详解】只有一名女教师： ;选派两名女教师： ； 所以共有72+24=96种方法. 故选：C 【点睛】方法点睛：排列组合常用的方法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特 殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.要根据已知条件 灵活选择方法求解. 30．（2015·广东汕头·一模（理））如图所示的五个区域中，中心区 域是一幅图画，现要求在其余四个 区域中涂色，有四种颜色可供选择.要求每个区域只涂一种颜色且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方 法种数为 A．56 B．72 C．64 D．84 【答案】D 【详解】分析：每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，然后分类研究，A、C不同色和A、C同色 两大类. 详解：分两种情况： （1）A、C不同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的2中 颜色中任意取一色）：有4×3×2×2=48种； （2）A、C同色（注意：B、D可同色、也可不同色，D只要不与A、C同色，所以D可以从剩余的3中颜 色中任意取一色）：有4×3×1×3=36种． 共有84种，故答案为D. 点睛：(1)本题主要考查排列组合的综合问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 排 列组合常用方法有一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题 缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法. 31．（2020·山东省实验中学一模）从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排 一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务 的日期不相邻，那么不同的安排种数 为______________.(用数字作答) 【答案】5040. 【详解】分两类，一类是甲乙都参加，另一类是甲乙中选一人，方法数为 ．填5040. 【点睛】 利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，甲与乙是两个特殊 元素，对于特殊元素“优先法”，所以有了分类．本题还涉及不相邻问题，采用“插空法”．32．（2019·浙江湖州·一模）现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、蓝、白颜色的4个小球全部放 入这7个盒子中，若每个盒子最多放一个小球，则恰有两个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法共有 _______种.（结果用数字表示） 【答案】336 【分析】根据相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法进行求解. 【详解】先不考虑红球与黄球不相邻，则4个小球有 种排法，再安排空盒，有 种方法， 再考虑红球与黄球相邻，则4个小球有 种排法，再安排空盒，有 种方法， 因此所求放法种数为 【点睛】本题考查排列组合应用，考查综合分析与求解能力，属中档题. 33．（2019·湖南师大附中一模（理））习近平总书记在湖南省湘西州十八洞村考察时首次提出“精准扶 贫”概念，精准扶贫成为我国脱贫攻坚的基本方略．为配合国家精准扶贫战略，某省示范性高中安排6名 高级教师（不同姓）到基础教育薄弱的甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，因工作需 要，其中李老师不去甲校，则分配方案种数为_________． 【答案】360 【分析】方法1：由题意，分四种情况分类讨论，（1）甲校安排1名教师；（2）甲校安排2名教师； （3）甲校安排3名教师；（4）甲校安排4名教师，再由分类计数原理，即可求解； 方法2：由6名教师到三所学校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4，1，1；3，2，1；2，2，2，分 别求解，再由分类计数原理，即可求解. 【详解】方法1：根据甲、乙、丙三所中学进行扶贫支教，每所学校至少1人，可分四种情况： （1）甲校安排1名教师，分配方案种数有 ； （2）甲校安排2名教师，分配方案种数有 ； （3）甲校安排3名教师，分配方案种数有 ； （4）甲校安排4名教师，分配方案种数有 ； 由分类计数原理，可得共有 （种）分配方案. 方法2：由6名教师到三所学校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4，1，1；3，2，1；2，2，2， （1）对于第一种情况，由于李老师不去甲校，李老师自己去一个学校有 种，其余5名分成一人组和四 人组有 种，共 （种）；李老师分配到四人组且该组不去甲校有 （种），则第一 种情况共有 （种）； （2）对于第二种情况，李老师分配到一人组有 （种），李老师分配到三人组有 （种），李老师分配到两人组有 （种），所以第二种情况共有 （种）； （3）对于第三种情况，共有 （种）； 综上所述，共有 （种）分配方案. 【点睛】本题主要考查了分类计数原理，以及排列、组合的综合应用，其中解答中认真审题，合理分类讨论是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 34．（2020·河北衡水中学三模（理））2020年初，我国突发新冠肺炎疫情.面对“突发灾难”，举国上下 心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中.为分 担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅 导功课.现随机安排甲、乙、丙3名志愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至 少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为______. 【答案】 【解析】根据题意，由排列组合公式分析3名志愿者辅导4门学科的情况数目，再分析其中甲辅导数学的 情况数目，由古典概型公式计算可得答案． 【详解】解：根据题意，要求甲、乙、丙3名志愿者每名志愿者至少辅导1门学科， 每门学科由1名志愿者辅导，则必有1人辅导2门学科； 则有 种情况， 若甲辅导数学，有 种情况， 则数学学科恰好由甲辅导的概率为 ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查古典概型的概率，涉及排列组合的应用，属于基础题． 35．（2018·浙江·一模）如图，有 个白色正方形方块排成一列，现将其中 块涂上黑色，规定从左往右数， 无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有 ________ 种 【答案】 【分析】用黑白两种颜色随机地涂如图所示表格中7个格子，每个格子都有2种染色方法，利用分类讨论 方法求出出现从左至右数，不管数到哪个格子，总有黑色格子不少于白色格子个数． 【详解】由题意可判断第一格涂黑色，则在后6格中有3个涂黑色，共有 种涂法，满足从左往右数， 无论数到第几块，黑色方块总少于白色方块的有：（1）第2,3格涂白色共4种涂法，（2）第3,4,5格涂白 色共1种涂法，（3）第2,4,5格涂白色共1种涂法． 所以满足从左往右数，无论数到第几块，黑色方块总不少于白色方块的涂法有 种． 【点睛】本题考查计数原理，是基础题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用． 36．（2019·湖北·一模（理））某共享汽车停放点的停车位排成一排且恰好全部空闲，假设最先来停车点 停车的3辆共享汽车都是随机停放的，且这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻 的概率相等，则该停车点的车位数为______． 【答案】10 【分析】设停车位有n个，求出这3辆共享汽车都不相邻的种数和恰有2辆相邻的种数，可得An 3＝A2An ﹣2 3 ﹣2，解得即可. 2 【详解】设停车位有n个， 这3辆共享汽车都不相邻的种数：相当于先将（n﹣3）个停车位排放好，再将这3辆共享汽车，插入到所 成（n﹣2）个间隔中，故有An 3种， ﹣2 恰有2辆相邻的种数：先把其中2辆捆绑在一起看做一个复合元素，再和另一个插入到，将（n﹣3）个停 车位排放好所成（n﹣2）个间隔中，故有A2An 2种， 3 ﹣2 因为这3辆共享汽车都不相邻的概率与这3辆共享汽车恰有2辆相邻的概率相等， ∴An 3＝A2An 2， ﹣2 3 ﹣2 解得n＝10， 故答案为10． 【点睛】本题考查了排列组合中的相邻问题和不相邻问题，考查了运算能力和转化能力，属于中档题. 37．（2020·浙江温州·二模）将2个相同的红球和2个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里， 其中甲、乙盒子均最多可放入2个球，丙、丁盒子均最多可放入1个球，且不同颜色的球不能放入同一个 盒子里，共有________种不同的放法. 【答案】 【解析】讨论装球盒子的个数，计算得到答案. 【详解】当四个盒子有球时： 种； 当三个盒子有球时： 种； 当两个盒子有球时： 种. 故共有 种， 故答案为： . 【点睛】本题考查了排列组合的综合应用，意在考查学生的理解能力和应用能力. 38．（2020·山东·模拟预测）2020年春，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心，八方驰援战疫情， 众志成城克时难，社会各界纷纷支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎.某医院派出了5名医生和3名护士共8 人前往武汉参加救治工作.现将这8人分成两组分配到两所医院去，若要求每组至多5人，且护士所在组必 须有医生，则不同的分配方案共有________种（用数字作答）. 【答案】180 【分析】对所分配的医生和护士分为5种情况，根据分类分步计数原理可得到结果． 【详解】由已知条件得将5名医生和3名护士分配到两所医院的情况如下： ①1所医院4名医生，另1所医院1名医生，3名护士，有 种分配方案； ②1所医院3名医生，1名护士，另1所医院2名医生，2名护士，有 种分配方案； ③1所医院4名医生，1名护士，另1所医院1名医生，2名护士，有 种分配方案； ④1所医院3名医生，2名护士，另1所医院2名医生，1名护士，有 种分配方案；⑤1所医院3名医生，另1所医院2名医生，3名护士，有 种分配方案； 所以共有 种分配方案， 故答案为：180. 【点睛】本题考查排列组合知识，考查学生分析解决问题的能力，进行合适的分类是本题的关键，属于中 档题． 39．（2014·北京石景山·一模（理））各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大 学所给的 个专业中，选择 个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报， 则该考生有_____________种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）． 【答案】 【详解】分三类情况讨论，一是选甲不选乙，有 二是选乙不选甲，有 三是既不选甲也不选 乙,有 所以共有 考点：排列组合 C组 真题实战练 40．（2019·全国·高考真题（理））我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从 下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取 一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数 学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排 列问题，利用直接法即可计算． 【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有 情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有 ，所以 该重卦恰有3个阳爻的概率为 = ，故选A． 【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同 元素的排列问题即为组合问题． 41．（2021·全国·高考真题（理））将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4 个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有 （ ） A．60种 B．120种 C．240种 D．480种 【答案】C 【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘 法原理求得. 【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者 中任选2人，组成一个小组，有 种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的 位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有 种不同的分配方案， 故选：C. 【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排 思想求解. 42．（2016·全国·高考真题（理））如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于 G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 A．24 B．18 C．12 D．9 【答案】B 【详解】解：从E到F，每条东西向的街道被分成2段，每条南北向的街道被分成2段， 从E到F最短的走法，无论怎样走，一定包括4段，其中2段方向相同，另2段方向相同， 每种最短走法，即是从4段中选出2段走东向的，选出2段走北向的，故共有C 2C 2＝6种走法． 4 2 同理从F到G，最短的走法，有C 1C 2＝3种走法． 3 2 ∴小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3＝18种走法． 故选B． 【考点】计数原理、组合 【名师点睛】分类加法计数原理在使用时易忽视每类中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是相互 独立的；分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事， 步步之间是相互关联的．43．（2014·重庆·高考真题（理））某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目 的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是 A．72 B．120 C．144 D．168 【答案】B 【详解】分两类，一类是歌舞类用两个隔开共 种，第二类是歌舞类用三个隔开共 种， 所以N= + =120.种．选B. 44．（2007·湖南·高考真题（理））某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投 资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有 A．16种 B．36种 C．42种 D．60种 【答案】D 【详解】解：某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个， 则有两种情况， 一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，此时有 =36种方案， 二是在三个城市各投资1个项目，有 =24种方案， 共计有60种方案 45．（2010·广东·高考真题（理））为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序 不固定，每个彩灯彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相 同．记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两 个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是 A．1205秒 B．1200秒 C．1195秒 D．1190秒 【答案】C 【详解】.每次闪烁时间5秒，共5×120=600s，每两次闪烁之间的间隔为5s，共5×（120-1）=595s．总共 就有600+595=1195s． 46．（2007·全国·高考真题（理））从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动， 每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有 A．40种 B．60种 C．100种 D．120种 【答案】B 【详解】根据题意，首先从5人中抽出两人在星期五参加活动，有 种情况， 再从剩下的3人中，抽取两人安排在星期六、星期日参加活动，有 种情况， 则由分步计数原理，可得不同的选派方法共有 =60种. 故选B． 47．（2007·福建·高考真题（文））从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览， 要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方 案共有（ ）A．300种 B．240种 C．144种 D．96种 【答案】B 【分析】分步：第一步从4人选1人去巴黎，第二步从剩下的5人中选3人去3个城市，由分步乘法原理 可得． 【详解】分两步：首先从4人中选1人去巴黎游览，共有 种，其次从剩余5人中选3人到其它三个 城市游览，共有 种，共有 种， 故选：B. 【点睛】本题考查排列组合的应用，解题时确定完成事件的方法，本题是分步完成，应用分步乘法原理． 48．（2007·全国·高考真题（理））某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个 新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为 A．42 B．30 C．20 D．12 【答案】A 【详解】原定的5个节目之间有6个位． 当插入的这两个新节目在一起时，有 插法； 当插入的这两个新节目不在一起时，有 插法， 所以总的不同插法的种数为 种． 故选：A． 【点睛】关于排列和组合的题目，常用到捆绑法和插位法．捆绑法是将一些对象看作一个对象进行排列； 插位法是将一些对象进行排列后，再对剩下的对象进行排列． 49．（2017·浙江·高考真题）从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4 人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答） 【答案】660 【详解】第一类，先选 女 男，有 种，这 人选 人作为队长和副队有 种，故有 种；第二类，先选 女 男，有 种，这 人选 人作为队长和副队有 种，故 有 种，根据分类计数原理共有 种，故答案为 . 50．（2008·天津·高考真题（文））有4张分别标有数字1，2，3，4的红色卡片和4张分别标有数字1， 2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于 10，则不同的排法共有________________种（用数字作答）． 【答案】432 【详解】数字之和为10的情况有4，4，1，1、 4，3，2，1、 3，3，2，2． 所以共有 种不同排法． 51．（2012·湖北·高考真题（理））回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121， 3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111， 121，…，191，202，…，999．则（1）4位回文数有 个； （2） 位回文数有 个． 【答案】（1）90（2） 【详解】由题意，1位回文数有9个，2位回文数有9个，3位回文数有90＝9×10个，4位回文数有 1001,1111,1221，…，1991,2002，…，9999，共90个，故归纳猜想2n＋2位回文数与2n＋1位回文数个数 相等，均为9×10n个． 52．（2007·辽宁·高考真题（理））将数字1，2，3，4，5，6拼成一列，记第 个数为 ，若 ， ， ， ，则不同的排列方法有 种（用数字作答）． 【答案】30 【分析】先分类排 ，再排 ，根据分步和分类计数原理得到结果. 【详解】当 时， ， ，或 ， ，共2种情况， 当 时， ， ，或 ， ，共2种情况， 当 时， ， ，共1种情况， 所以 的排列方法有5种方法，再排 ，有 种方法， 所以不同的排列方法种数为 种. 故答案为：30 【点睛】本题考查分步和分类计数原理，对于复杂一些的应用习题，必须在分类后又分步，综合利用两个 原理解决问题，属于中档题型. 53．（2007·重庆·高考真题（文））要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课各一 节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法种数为____ ．（以数字作答） 【答案】288. 【详解】解：∵数学课排在前3节，英语课不排在第6节， ∴先排数学课有 种排法， 再排最后一节有 种排法， 剩余的有 种排法， ∴根据分步计数原理知 共有 =288种排法. 54．（2007·陕西·高考真题（理））某校从8名教师中选派4名教师到4个边远地区支教（每地1人），要 求甲、乙不同去，甲、丙只能同去或同不去，则不同的选派方案有______种． 【答案】600 【分析】先从8名教师中选出4名，因为甲、乙不同去，甲、丙只能同去或同不去，所以可按选甲和不选 甲分成两类，两类方法数相加，再把4名老师分配去4个边远地区，4名老师进行全排列即可，最后两步 方法数相乘【详解】解：分两步， 第一步，先选四名老师，又分两类， 第一类，甲去，则丙一定去，乙一定不去，有 种不同的选法， 第二类，甲不去，则丙一定不去，乙可能去也可能不去，有 种不同的选法， 所以不同的选法有25种， 第二步，四名老师去4个边远地区支教，有 种， 所以共有 种， 故答案为:600 【点睛】此题考查了排列组合的综合应用，属于基础题.