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6.5 外接球与内切球（精讲）考向一 汉堡模型
【例1-1】．（2025·河南·二模）棱长均为2的正三棱柱 的各个顶点都在球 的球面上，则球 的
体积为（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国､秦､汉时期的数学成
就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称
之为鳖臑．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知 平面 ，四边形 为正方形，
，若鳖臑 的体积为2，则阳马 外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2025·贵州毕节·模拟预测）三棱锥 中， 底面 ，则三棱锥
的外接球的表面积为 ．
2．（2025·上海浦东新·三模）已知三棱锥 的四个顶点均在球 的表面上，且 ， ，
， ．若点 到底面 的距离为1，则球 的表面积为
3．（2025·山西吕梁·三模）已知圆柱的上、下底面圆周在同一球面上，且球的表面积是圆柱的表面积的2倍，
则球的体积与圆柱的体积的比值是 ．
4．（2025·四川成都·模拟预测）在三棱锥 中， ， ，
，则三棱锥 外接球的表面积为
考向二 墙角模型
【例2-1】（2025·上海黄浦·三模）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖
臑 中， ， 平面 ，当该鳖臑的外接球的表面积为 时，则该鳖臑的体积为
．
【例2-2】（2025·云南·模拟预测）已知棱长都相等的三棱锥所有顶点都在球O的表面上．若三棱锥的所有棱长
之和为12，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【例2-3】（2025·江西新余·模拟预测）四面体的每一组对棱的长度相等，分别为 ， ， ，则该四面体
的体积为 ，该四面体的外接球的表面积为 .
【一隅三反】
1.（2025山西）长方体的长、宽、高分别为4，3，2，其顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2.（2025北京）已知正三棱锥S-ABC的三条侧棱两两垂直，且侧棱长为 ，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B．3 C．6 D．9
3．（2025河北）已知长方体 的体积为 ， ，则当长方体
的表面积最小时，该长方体外接球的体积为__________.
4.（2025湖北）在四面体 中，若 ， ， ，则四面体
的外接球的表面积为
考向三 斗笠模型
【例3-1】（2025·河北唐山·三模）已知一个圆锥的底面半径为 ，侧面积为 ，则该圆锥的外接球体积为
（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】（2025·江苏泰州·模拟预测）在三棱锥 中， ， ，侧棱长都等于 ，
其中 在球 的表面上，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2025·湖南益阳·三模）已知圆锥的母线长为 ，其外接球体积为 ，则该圆锥的表面积为（ ）
A．3π B．6π C．9π D．12π
2．（24-25高三下·云南·阶段练习）已知一个正四棱锥的底面边长为2，体积为 ，若该四棱锥的顶点都在球O
的球面上，则球O的表面积等于（ ）
A．9π B．4π C． D．3π
3（2025湖南）在三棱锥 中， ， ，则三棱锥
外接球的表面积是（ ）
考向四 切瓜模型【例4】（2025湖南）在四面体ABCD中，已知平面 平面 ，且 ，
其外接球表面积为 （ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1.（2025湖南）如图，边长为 的正方形ABCD所在平面与矩形ABEF所在的平面垂直， ，N为AF的
中点， ，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025山东枣庄）已知三棱锥底面ABC是边长为2的等边三角形，顶点S与AB边中点D的连线SD垂直于
底面ABC，且 ，则三棱锥S－ABC外接球的表面积为（ ）
A． B． C．12π D．60π
3．（2025四川）已知三棱锥 的底面 是正三角形，侧面 底面 ，且 ，
，若该三棱锥的外接球的表面积为 ，则AB的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
4．（2025·江西南昌·模拟预测）已知三棱锥 ，平面 平面 ， ， ，
，则三棱锥 外接球的表面积为（ ）A． B． C． D．
考向五 怀表模型
【例5】（2025·广东省高三）在三棱锥A﹣BCD中，△ABD与△CBD均为边长为2的等边三角形，且二面角
的平面角为120°，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．7π B．8π C． D．
【一隅三反】
1．（2025·南昌）如图所示，三棱锥S一ABC中，△ABC与△SBC都是边长为1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S
的大小为 ，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ）
A． π B． π C． π D．3π
2．（2025·黑龙江大庆·一模）已知正三棱锥 的底面边长为6，二面角 的余弦值为 ，则
正三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025湖南）已知菱形 的边长为4，对角线 ，将 沿着 折叠，使得二面角
为 ，则三棱锥 的外接球的表面积为___________.
考向六 矩形模型
【例6】（2025·安徽合肥·三模）将边长为4的正方形ABCD沿对角线BD进行翻折，使得二面角 的
大小为 ，连接AC，得到四面体ABCD，则该四面体的外接球体积与四面体的体积之比为（ ）A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2025·安徽）在四面体 中， ， ，则四面体 的外接球的
表面积为( )
A． B． C． D．
2．（2025福建）四面体 中， ， 平面 ， ， ， ，则该
四面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025海南）中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖
臑”.如图所示的鳖臑 中， 面 ， ，若 ， ，且顶点 均
在球 上，则球 的表面积为______.
考向七 折叠模型
【例7】（2025·江苏盐城·模拟预测）已知二面角 的大小为 ，且 ， ，
，点 、 、 、 在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2025·黑龙江大庆·一模）已知正三棱锥 的底面边长为6，二面角 的余弦值为 ，则正三棱锥 外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三·全国·专题练习）如图，在平面四边形 中， ， 是边长为3的正三角形．
将该四边形沿对角线 折成一个大小为 的二面角 ，则四面体 的外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河北·模拟预测）在三棱锥 中， ，若三棱锥
的外接球表面积为 ，则二面角 的大小为（ ）
A． 或 B． 或 C． D．
考向八 台体的外接球
【例8-1】（2025·河南·模拟预测）已知圆台的高为3，上､下底面圆的半径分别为1和2，它的两个底面的圆周
在同一个球的球面上，则该球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【例8-2】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知正四棱台 ， ， ，侧棱与底面所成
的角为 ，则此正四棱台外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2025·重庆·三模）正三棱台上、下底面的边长分别为 3、6、侧棱长为 ，则其外接球的表面积为
（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·安徽·模拟预测）在高为 的正四棱台 中， ， ，则此四棱台的外接球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·江苏南通·三模）已知正四棱台上底面边长为 ，下底面边长为 ，高为3，则该四棱台外接球
的表面积为 ．
考向九 向量法求外接球
【例9】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知三棱锥P-ABC中，平面 平面 ，且平面ABC是边长为
的等边三角形， ， ，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（ ）
A．52π B．39π C．26π D．13π
【一隅三反】
1．（2025·辽宁大连·模拟预测）在三棱锥 中， 底面ABC， ， ， ，点D满
足 ，三棱锥 的外接球为球O，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小
值之差为 ，则球O的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三下·山西·期中）（多选）已知正方体 的棱长为2，E是 的中点，点F是面
上的动点（包括边界），且满足 平面 ，则下列结论正确的是（ ）
A．动点F的轨迹的长度为
B．三棱锥 体积的取值范围为
C．当三棱锥 体积取最大值时，其外接球的表面积为
D．当三棱锥 体积取最小值时，其外接球的表面积为
3．（2025·湖北·模拟预测）在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， ， 与底面
所成的角分别为 和 ，已知 ，当四棱锥 体积最小时，其外接球的表面积为 .
考向十 内切球
【例10-1】（2025·海南海口·模拟预测）已知圆锥的母线长等于底面的圆半径的2倍，那么该圆锥的表面积与
圆锥的内切球表面积之比为（ ）A． B． C． D．
【例10-2】（2025·江苏南通·模拟预测）若半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切，则该正三棱柱外接球的
表面积为（ ）
A． B． C． D．
【例10-3】（2025·吉林·模拟预测）一圆台的上底面半径为 ，下底面直径为 ，母线长为 ，则内切于该圆
台的球体体积为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2025·内蒙古赤峰·三模）若一个正方体内切球的表面积为 ，则这个正方体的体积为 .
2．（2025·广西北海·模拟预测）已知一个正四棱锥的底面边长为 ，内切球的体积为 ，则这个正四棱锥
的体积为（ ）
A． B． C． D．16
3．（2025·湖北·模拟预测）已知圆锥的母线长为6，其内切球和外接球球心重合，则该圆锥外接球的表面积为
（ ）
A．48π B．36π C．24π D．12π
4．（24-25高三下·陕西西安·阶段练习）正四棱台上底面边长为1，下底面边长为2，若一个球的球心到正四棱
台各个面的距离均等于该球的半径，则正四棱台与该球的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
考向十一 有关球的最值
【例11-1】（2025·四川达州·模拟预测）已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体
积为（ ）
A． B． C． D．
【例11-2】（2025·福建漳州·模拟预测）一个高为 ，上、下底面半径分别是 和 的封闭圆台容器
（容器壁厚度忽略不计）内有一个铁球，则铁球表面积的最大值为（ ）A． B． C． D．
【例10-3】（2025·江西·模拟预测）已知点A，B，C，D都在半径为3的球面上，且 是边长为 的正
三角形，则三棱锥 体积的最大值为 .
【一隅三反】
1．（2025·四川巴中·三模）已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为3，9，侧棱长为 ，则该正四棱台
内半径最大的球的体积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·重庆·三模）棱长为 的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，
则这样一个小球的体积最大为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，这是某零件的结构模型，中间大球为正四面体的内切球，小球与大球、
正四面体的三个面均相切.若AB＝12，则该模型中一个小球的体积为 .
