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4.4 正余弦定理考点一 正余弦定理的选择
【例1】（1）（2024浙江·阶段练习）在 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知 ，
， ，则
（2）（2024河南郑州·期中）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ，
则
（3）（2024海南海口·期中）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ， ，
，则 .
（4）（2024云南曲靖·阶段练习）在 中，三边长分为 ，则最大角和最小角之和是
【一隅三反】
1．（2024湖北省）在 ABC中，若 ，则 （ ）
△
A． B． C． D．
2．（2024浙江绍兴·期中）在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则 中角B的
大小是（ ）
A． B． C． D．
3.（2023·课时练习）在 ABC中， ，B＝45°，解这个三角形．
△
4．（2023湖北）在 中， ， ， ，求a，c的值．
考点二 边角互换
【例2】（1）（2024·内蒙古赤峰）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 ，
则角 =
（2）（2024·内蒙古赤峰）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知 ，
则角 =
（3）（2024·江西九江·三模）在 中，角 所对的边分别为 ，已知 ，则（4）（2024·云南·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ，且满足
.
角 =
（5）（23-24高三上·湖北武汉·期末）已知 分别为 的内角 的对边，且
.
角 =
（6）（2024·全国·模拟预测）在锐角三角形 中，角 所对的边分别为 ，在
（7） （8） 的面积为
则角 =
（7）（2024·全国·模拟预测）在锐角三角形 中，角 所对的边分别为 ，在 则角
= 。
（8）（2024·全国·模拟预测）在锐角三角形 中，角 所对的边分别为 ，在 的面积为
则角 =
【一隅三反】
1．（2024广西·高三阶段练习）已知 中， ， ，则 ______.
2．（2024广东珠海·期末）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ，则
角B=
3．（2024·四川南充·模拟预测）在 中， ，则角 =
4．（2024·湖南·期中）已知 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
，则 ．5．（2024浙江绍兴·期中）已知 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，
则角
6．（2024·安徽合肥·一模）在 中，内角 的对边分别为 ，若 ，且 ，则
。
7．（2023·黑龙江大庆·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
，其中， ，角B=
考点三 三角形形状的判断
【例3-1】（2024江苏盐城·期中）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，
则△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等边三角形
【例3-2】（2024·陕西渭南·三模）已知 中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若 ，
且 ，则 是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【例3-3】（2023·甘肃酒泉·三模） 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，且 ，
则 的形状为（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．直角或钝角三角形 D．钝角三角形
【例3-4】（2024山东临沂·阶段练习）（多选）已知 的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说
法中正确的是（ ）
A．若 ，则 一定是等腰三角形
B．若 ，则 一定是等边三角形
C．若 ，则 一定是等腰三角形
D．若 ，则 一定是钝角三角形
【一隅三反】
1．（2024安徽宿州·期中）在 中，内角 的对边分别为 若满足 ，则该三角形为
（ ）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不能确定
2．（2024广东广州·期中）在 中，角A、B、C所对的边为a、b、c若 ，则 的形状是
（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
3．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知 的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 ，
且 ，则 的形状为（ ）
A．等边三角形 B．顶角为 的等腰三角形
C．顶角为 的等腰三角形 D．等腰直角三角形
4．（2024·辽宁沈阳·二模）（多选）设 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ．下列有关等
边三角形的四个命题中正确的是（ ）．
A．若 ，则 是等边三角形
B．若 ，则 是等边三角形
C．若 ，则 是等边三角形
D．若 ，则 是等边三角形
考点四 三角形面积
【例4-1】（2024·山东·模拟预测） 内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， ，则
的面积为 .
【例4-2】（2024·重庆·模拟预测）记 的内角 的对边分别为 ，若 ，
则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【例4-3】（2024·吉林长春·模拟预测）在 中，已知 ，当边BC的中线 时，
的面积为 ．
【一隅三反】
1．（2024·北京昌平·二模）已知 中， ，则 ．
2．（2024·甘肃张掖·模拟预测）在 中，内角 的对边分别为 ，且，则 的面积为 .
3．（2024·贵州 ）在锐角三角形 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 ， ，
，则 的面积为______.
考点五 三角形外接圆的半径
【例5】（2024·河南信阳·模拟预测）设 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知
，则 的外接圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024·上海徐汇·二模）在 中， ， ， ，则 的外接圆半径为 .
2．（2024·上海虹口·二模）已知一个三角形的三边长分别为 ， ， ，则这个三角形外接圆的直径为
.
3．（2024·四川·模拟预测）已知 的三内角 ， ， 满足 ，则 的
面积与 外接圆的面积之比为 ．
考点六 三角形解的个数
【例6-1】（2024·江西上饶·一模） 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知下列条件：① ，
， ；② ， ， ；③ ， ， ；④ ， ， .其中满
足上述条件的三角形有唯一解的是（ ）
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
【例6-2】（2024·湖北·模拟预测）在 中，已知 ， ， ，若存在两个这样的三角形
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【例6-3】．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知 的内角A，B，C的对边分别为 ，则能使同时满足条
件 的三角形不唯一的a的取值范围是（ ）A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024浙江·期中）在 中， ，且满足该条件的 有两个，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏 ）在 中，内角 所对的边分别为 ，则下列条件能确定三角形有两解的是
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024陕西宝鸡·期末）在 中，若 ， ， ，则此三角形解的情况为（ ）
A．无解 B．两解
C．一解 D．解的个数不能确定
考点七 正余弦定理在实际生活的应用
【例7-1】（2024全国·专题练习）鼎湖峰，矗立于浙江省缙云县仙都风景名胜区，状如春笋拔地而起，其峰顶
镶嵌着一汪小湖，传说黄帝炼丹鼎坠积水成湖．白居易曾以诗赋之：“黄帝旌旗去不回，片云孤石独崔嵬．有
时风激鼎湖浪，散作晴天雨点来”．某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量鼎湖峰的高度，为
此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为 ，沿倾斜角为 的斜坡向上走了90米到
达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P的仰角为 ，则鼎湖峰的山高PQ为（ ）米
A． B． C． D．
【例7-2】（2024·吉林·二模）如图，位于某海域 处的甲船获悉，在其北偏东 方向 处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救. 甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东 ，且与甲船相距 的 处的乙船，已知遇险
渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2024·广东·二模）在一堂数学实践探究课中，同学们用镜而反射法测量学校钟楼的高度.如图所示，将小
镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为
，之后将小镜子前移 ，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为 ，已知
人的眼睛距离地面的高度为 ，则钟楼的高度大约是（ ）
A． B． C． D．
2 ．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工
攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量过程中，已知竖立在 点处的测量觇标高
米，攀登者们在 处测得，到觇标底点 和顶点 的仰角分别为 ，则 的高度差约为（ ）
A．7.32米 B．7.07米 C．27.32米 D．30米3．（2024·湖南·模拟预测）湖南省衡阳市的来雁塔，始建于明万历十九年（1591年），因鸿雁南北迁徙时常
在境内停留而得名.1983年被湖南省人民政府公布为重点文物保护单位.为测量来雁塔的高度，因地理条件的限
制，分别选择C点和一建筑物DE的楼顶E为测量观测点，已知点A为塔底， 在水平地面上，来雁塔
AB和建筑物DE均垂直于地面（如图所示）.测得 ，在C点处测得E点的仰角为30°，在E
点处测得B点的仰角为60°，则来雁塔AB的高度约为（ ）（ ，精确到 ）
A． B． C． D．
考点八 正余弦定理在几何中的应用
【例8】．（2024·云南大理·模拟预测）如图所示，在平行四边形 中，有：
.
(1)求 的大小；
(2)若 ，求平行四边形 的面积.【一隅三反】
1．（2023广东珠海·期末）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
(1)求B；
(2)已知 ，D为边 上的一点，若 ， ，求 的长．
2．（2023·河南·模拟预测）如图，在四边形 中， 的面积
为 ．(1)求 ；
(2)证明： ．
3．（2024·北京大兴·三模）如图，平面四边形 中，对角线 与 相交于点 ， ，
， ， .
(1)求 的面积；
(2)求 的值及 的长度.一．单选题
1．（2024辽宁沈阳·期中）在 中，若 ，则 的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
2．（2024·辽宁丹东·二模）在△ 中，点D在 边上， 平分 ， ， ，
，则 （ ）
A．2 B． C．3 D．
3．（2024湖北）已知 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ，
，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·江苏南通）如图所示，河边有一座塔 ，其高为 ，河对面岸上有 两点与塔底 在同一
水平面上，在塔顶部测得 两点的俯角分别为 和 ，在塔底部 处测得 两点形成的视角为 ，
则 两点之间的距离为（ ）A． B． C． D．
5．（2024·江苏连云港·模拟预测）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，
，则边b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6（2024·江苏无锡 ）在锐角 中，内角 的对边分别为 ， ， ，且 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024·广西柳州 ）在 中，角 的边分别为 ，知 ， ，则下列判断中错误的是
（ ）
A．若 ，则 B．若 该三角形有两解
C． 周长的最小值为12 D． 面积的最大值
8．（2024·福建福州·三模）已知 的内角 的对边分别为 若面积 则
（ ）
A． B． C． D．
二．多选题
9．（2024·广西桂林·三模）在 中， ， ， ，则（ ）A． B．
C． 的面积为 D． 外接圆的直径是
10．（2024辽宁朝阳·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， ， ，若
满足要求的△ABC有且只有1个，则b的取值可以是（ ）
A．1 B． C．2 D．3
11．（2024·江西·二模）已知 中， 为 的角平分线，交 于点
为 中点，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C． 的面积为
D． 在 的外接圆上，则 的最大值为
三．填空题
12．（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）海宝塔位于银川市兴庆区，始建于北朝晚期，是一座方形楼阁式砖塔，内
有木梯可盘旋登至顶层，极目远眺，巍巍贺兰山，绵绵黄河水，塞上江南景色尽收眼底.如图所示，为了测量
海宝塔的高度，某同学（身高173cm）在点 处测得塔顶 的仰角为 ，然后沿点 向塔的正前方走了38m
到达点 处，此时测得塔顶 的仰角为 ，据此可估计海宝塔的高度约为 m.（计算结果精确到
0.1）13．（2024天津·期中）若 是钝角三角形， ， ， ，则x的取值范围是 ．
14．（2024·陕西西安·模拟预测）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ，
，则 面积的最大值为 .
四．解答题
15．（2024江苏无锡·期中）记 的内角 的对边分别为 ，且 .
(1)求 ；
(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长
16．（2024·安徽芜湖·三模）已知 分别为 三个内角 的对边，且
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ， 为 边上一点，满足 ，求 的长．17．（2024·天津·二模）在 中，角 所对的边分别为 ，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，
①求 的值：
②求 的值.
18．（2024·内蒙古赤峰·模拟预测）在① ，② 中任选一个作为已知条件，补
充在下列问题中，并作答.
问题：在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，已知_________.
(1)求 ；
(2)若 的外接圆半径为2，且 ，求 .
注：若选择不同条件分别作答，则按第一个解答计分.19．（2024·山东济南·二模）如图，已知平面四边形 中， .
(1)若 四点共圆，求 ；
(2)求四边形 面积的最大值.
