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4.1 三角函数的定义及同角三角函数考点一 任意角与弧度制
【例1-1】（2024广东潮州）（多选）下列说法正确的是（ ）
A． B．第一象限的角是锐角
C．1弧度的角比1°的角大 D．锐角是第一象限的角
【例1-2】（2024·湖北·模拟预测）若角 的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线
上，则角 的取值集合是（ ）A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2024河南）如图，终边落在阴影部分（包括边界）的角 的集合是（ ）
A． B．
C． D．
2（2023春·青海）下列命题中正确的是（ ）
A．如果我们把相等的角视为同一个角，则弧度制建立了一个从任意角的集合到实数集的一一对应的关系
B．弧度制表示角时，不同大小的弧度可以表示同一个角
C．终边相同的角的弧度制表示相差
D．终边相同的角的弧度都相同
3．（2024江西·阶段练习）已知集合 ，集合
，则 （ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
考点二 扇形的弧长与面积
【例2-1】（2024·湖南·一模）出土于鲁国故城遗址的“出廓双龙勾玉纹黄玉璜”（图1）的璜身满刻勾云纹，体扁平，呈扇面状，黄身外耧空雕饰“ ”型双龙，造型精美．现要计算璜身面积（厚度忽略不计），测得各
项数据（图2）： ，若 ，则璜身（即曲边四边形 ）面
积近似为（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】（2024·山东潍坊·三模）如图，半径为1的圆 与 轴相切于原点 ，切点处有一个标志，该圆沿
轴向右滚动，当圆 滚动到与出发位置时的圆相外切时(记此时圆心为 )，标志位于点 处，圆 与 轴相切
于点 ，则阴影部分的面积是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【例2-3】（2023·天津河东·一模）在面积为4的扇形中，其周长最小时半径的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．1
【一隅三反】
1．（2024·全国·模拟预测）石雕、木雕、砖雕被称为建筑三雕．源远流长的砖雕，由东周瓦当、汉代画像砖等
发展而来，明清时代进入巅峰，形成北京、天津、山西、徽州、广东、临夏以及苏派砖雕七大主要流派．苏派
砖雕被称为“南方之秀”，是南方地区砖雕艺术的典型代表，被广泛运用到墙壁、门窗、檐廊、栏槛等建筑中．
图（1）是一个梅花砖雕，其正面是一个扇环 ，如图（2），砖雕厚度为6cm， ，
， 所对的圆心角为直角，则该梅花砖雕的表面积为（单位： ）（ ）A． B． C． D．
2．（2023·广西·模拟预测）如图，在扇形 中，C是弦 的中点，D在 上， ．其中
， 长为 ．则 的长度约为（提示： 时， ）（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·上海黄浦·二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段 与分别以
为直径的半圆弧组成）表示一条步道.其中的点 是线段 上的动点，点O为线段 的中点，
点 在以 为直径的半圆弧上，且 均为直角.若 百米，则此步道的最大长度为
百米.
考点三 三角函数的定义
【例3-1】（2024·宁夏石嘴山·三模）在平面直角坐标系中，角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重
合，终边经过点 ，则 （ ）A． B． C．－2 D．2
【例3-2】（2023·河南开封·统考三模）设α是第二象限角，P（x，1）为其终边上一点，且 ，则
tanα=（ ）
A． B． C． D．
【例3-3】（2024·重庆·模拟预测）已知角 的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点
， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
【例3-4】．（2024·云南昆明·模拟预测）已知角 的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与圆
相交于点 ，将 的终边逆时针旋转 之后与圆 的交点为B，则点B的横坐标为
（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2024湖北）已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，且 为 终边上一点，
则 ( )
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知单位圆 上一点 ，现将点 绕圆心逆时针旋转
到点 ，则点 的横坐标为（ ）
A． B．C． D．
3．（2024·全国·二模）已知角 的顶点与坐标原点重合，始边点x轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为
，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024·湖北黄冈·二模）已知角 ，角 的顶点均为坐标原点，始边均与 轴的非负半轴重合，终边分别过
，则 （ ）
A． 或 B．2或 C． D．
考点四 三角函数值正负判断
【例4-1】（2024广东深圳）“ 且 ”是“ 为第四象限角”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
【例4-2】（2024四川内江·期末）已知 ， ，则 的终边在（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限
【例4-3】（2024湖北）函数 的值域是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024·吉林·模拟预测）复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024·北京延庆·一模）“ ”是“ 为第一或第三象限角”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024·重庆八中）（多选）已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点，若 ，则下列各式的符号无法确定的是（ ）
A． B． C． D．
考点五 三角函数线的应用
【例5-1】（2024·全国·模拟预测）设 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【例5-2】（2024福建）已知点 在第一象限，则在 内的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2024黑龙江）比较大小，正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
2（2023·天津）设 ，使 且 同时成立的 取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024云南）在平面直角坐标系中， 是圆 上的四段弧（如图），点P在其中一
段上，角 以O 为始边，OP为终边，若 ，则P所在的圆弧是
𝑥
A． B．C． D．
4．（2024山东）函数y＝lg(2sinx－1)＋ 的定义域为__________________.
考点六 同角三角函数简单运用
【例6-1】（2024四川遂宁）已知 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【例6-2】（2024海南）已知角 为第二象限角， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【例6-3】．（2024广西）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2024河北）已知 ，若 ，则 的值为( ).
A． B． C． D．
2．（2024江苏）已知锐角 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·湖南常德）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
考点七 弦的齐次【例7-1】（2024·河南）已知 ，则 （ ）
A． B．2
C．5 D．8
【例7-2】（2024·江苏扬州·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1（2024河南）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·宁夏）已知 ，则 ______．
3．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知 ，则 ．
考点八 弦的加减乘
【例8-1】（2024·河北石家庄·二模）已知 则sin2 等于 （ ）
A．- B． C．- D．
【例8-2】（2024·湖北荆州·三模）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【例8-3】（2024·辽宁沈阳·二模）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024·河南 ）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．2．（23-24 高三上·安徽·阶段练习）已知 是三角形的一个内角，满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三上·浙江·开学考试）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024甘肃）函数 的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．3
一．单选题
1．（2024贵州贵阳）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东济南·三模）若 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
3．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）已知 ， ，则 （ ）.
A． B．
C． D．
4．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）若 分别是 与 的等差中项和等比中项，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025河北·统考模拟预测）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6·（2024陕西西安·模拟预测）已知角 的始边为 轴的非负半轴，终边经过点 ，则
（ ）
A． B． C． 或 D．
7．（2024·山西太原）古代中国的太极八卦图是以圆内的圆心为界，画出相同的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有阴
眼，阴鱼的头部有阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴
含现代哲学中的矛盾对立统一规律.图2（正八边形 ）是由图1（八卦模型图）抽象而得到，并建
立如图2的平面直角坐标系，设 .则下列错误的结论是（ ）
A．
B．以射线 为终边的角的集合可以表示为
C．在以点 为圆心、 为半径的圆中，弦 所对的劣弧弧长为D．正八边形 的面积为
8．（2024陕西西安·期末）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
二．多选题
9．（2024·广东佛山·一模）已知角 的终边过点 ，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024·湖南·模拟预测）已知 ，双曲线C： ，则（ ）
A． 可能是第一象限角 B． 可能是第四象限角
C．点 可能在C上 D．点 可能在C上
11．（2024·全国·模拟预测）如图，设单位圆与 轴的正半轴相交于点 ，以 轴的非负半轴为始边作锐角
， ， ，它们的终边分别与单位圆相交于点 ， ， ．若 ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时， 的面积为
B．当 时，扇形 的面积为
C．当 时，四边形 的面积为
D．四边形 面积的最大值为1
三．填空题12．（2024·全国·模拟预测）已知角 的顶点为坐标原点，始边为 轴的非负半轴．若 是角 终边上一
点，且 ，则 ．
13．（2024·北京·高考真题）在平面直角坐标系 中，角 与角 均以 为始边，它们的终边关于原点对称.
若 ，则 的最大值为 ．
14．（2024·湖北鄂州·一模）曲线 所围成的封闭图形的面积为 ．
四．解答题
15．（2024上海·专题练习）在平面直角坐标系 中，已知锐角 的终边与单位圆交点的纵坐标为 ，锐角
的终边与单位圆交点的横坐标为 ．
(1)求 和 的值；
(2)求 的值．
16．（2024江苏）已知 和 是关于 方程 的两个实根．
(1)求实数 的值；
(2)若 ，求 的值．17．（2024辽宁大连·期中）已知函数 .
(1)若 是三角形的一个内角， ，求 的值；
(2)设函数 ，若 在 时恒成立，求实数m的取值范围.
18．（2024北京）“但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除
白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地AOB分成
三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为 ，动点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且 ．
(1)求扇形空地AOB的周长和面积；
(2)当 米时，求PQ的长；
(3)综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区 的面积尽可能的大．设 ，求 面积
的最大值．
19．（2024·安徽·二模）在平面直角坐标系 中，利用公式 ①（其中 ， ， ， 为常数），将点 变换为点 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可
由 ， ， ， 组成的正方形数表 唯一确定，我们将 称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母
， ，…表示．
(1)在平面直角坐标系 中，将点 绕原点 按逆时针旋转 得到点 （到原点距离不变），求点 的
坐标；
(2)如图，在平面直角坐标系 中，将点 绕原点 按逆时针旋转 角得到点 （到原点距离不
变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
(3)向量 （称为行向量形式），也可以写成 ，这种形式的向量称为列向量，线性变换坐标公式①
可以表示为： ，则称 是二阶矩阵 与向量 的乘积，设 是一个二阶矩阵， ，
是平面上的任意两个向量，求证： ．
