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9.5 直线与圆考点一 直线的倾斜角与斜率
【例1-1】（2024·新疆乌鲁木齐·三模）直线 ， 的斜率分别为1，2， ， 夹角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【例1-2】（2024·河南信阳·三模）动点P在函数 的图像上，以P为切点的切线的倾斜角取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2024·河南信阳·模拟预测）动点P在函数 的图象上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河北·模拟预测）已知直线 ： 与圆 ： 有公共点，则直线 的倾斜角
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·甘肃张掖·模拟预测）已知过坐标原点 的直线 与焦点为 的抛物线 在第一象
限交于点 ，与 的准线 交于点 ，若 ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．4．（2024·湖北黄冈·二模）已知角 ，角 的顶点均为坐标原点，始边均与 轴的非负半轴重合，终边分别过
，则 （ ）
A．−2或 B．2或 C． D．−2
考点二 距离
【例2-1】．（24-25高三上·河南焦作·开学考试）已知点 在抛物线 上，则C
的焦点与点 之间的距离为（ ）
A．4 B． C．2 D．
【例2-2】（2024·山东济南·三模）圆 上的点到直线 的距离的最大值为
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．9
【例2-3】（2024·陕西商洛·三模）已知 是圆 上任意一点，则 的最大值
为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024·黑龙江牡丹江·一模）已知 为虚数单位，复数 ， ， 且满足 ，求点
到直线 距离的最大值为（ ）
A． B． C．❑√2 D．
2．（2024·辽宁·模拟预测）已知点 在圆 上，点 在直线 上，点 为
中点，若 ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
3．（2024·重庆·三模）当点 到直线l： 的距离最大时，实数 的值为（
）
A． B．1 C． D．2
考点三 直线与圆
【例3-1】（2024·山东淄博·二模）若圆 ，则直线 与圆C的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交或相切
【例3-2】（23-2 4·广东茂名·阶段练习）已知圆 ，直线 .则
直线 被圆 截得的弦长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【例3-3】（2024·四川德阳·模拟预测）已知 过坐标原点O作 的两条切线，切点为
A、B，则四边形 的面积为（ ）
A．1 B．❑√3 C．2 D．
【一隅三反】
1．（2024·四川达州·二模）已知圆心为 的 与直线 相切，则直线 被 截得的弦长为
（ ）
A． B．1 C． D．2
2．（2024·全国·模拟预测）若直线 与圆 有交点，则（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·贵州六盘水·三模）已知直线 与圆 相交于A，B两点，若 ，则
（ ）A． B．1 C． D．﹣2
4．（2024·西藏林芝·模拟预测）直线 与圆 相交于 ， 两点，且 （ 为坐标原
点），则实数 的值为（ ）
A． B． C． D．
考点四 圆与圆
【例4-1】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知圆 ，圆 ，两圆的公共
弦所在直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】（2024·内蒙古赤峰·三模）已知圆 圆 则两圆的公切
线条数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【一隅三反】
1．（2024·吉林长春·模拟预测）已知圆 ，圆 ，则这两圆的位置
关系为（ ）
A．内含 B．相切 C．相交 D．外离
2 ．（2024·河北石家庄·三模）已知圆 和圆 ，则两圆公切线的条数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024·黑龙江·模拟预测）圆 与圆 的公共弦长为（ ）．
A． B． C． D．
考点五 对称问题
【例5-1】（24-25高三上·贵州黔东南·开学考试）已知点 关于直线 对称的点 在圆 ：
上，则 （ ）A．4 B． C． D．
【例5-2】（23-24 河北石家庄·阶段练习）直线 关于直线 对称的直线方程为（ ）
A． B． C． D．
【例5-3】（2024高三·全国·专题练习）已知圆 关于直线 对称的圆的方程为 ．
若点 是圆 上一点，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024·全国·模拟预测）（多选）已知圆 关于直线 对称的圆的方程为 ，则
下列说法正确的是（ ）
A．若点 是圆 上一点，则 的最大值是
B．圆 关于直线 对称
C．若点 是圆 上一点，则 的最小值是
D．直线 与圆 相交
2．（2024·辽宁·模拟预测）已知圆 关于直线 对称，圆 与 轴交于
两点，则
3．（2024浙江衢州·期末）若圆 和 关于直线 对称，则 的方程是 ．
4．（2024·内蒙古呼和浩特·二模）点 关于直线 的对称点在圆 内，则实数
的取值范围是 ．
5 ．（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知圆 关于直线l对称的圆为圆 ，
则直线l的方程为 .一．单选题
1．（2023秋·北京·高三统考开学考试）直线 被圆 所截得的弦长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
2．（2023秋·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考开学考试）直线 绕原点按顺时
针方向旋转 后所得的直线 与圆 的位置关系是（ ）
A．直线 过圆心 B．直线 与圆相交，但不过圆心
C．直线 与圆相切 D．直线 与圆无公共点
3．（24-25高三上·贵州·开学考试）已知圆 关于直线 对称，则
的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．6 D．4
4．（2023·陕西榆林·模拟预测）已知圆C： 和两点 ， ，若圆C上存
在点P，使得 ，则b的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·浙江·模拟预测）过点 作圆 ： 的两条切线，切点分别为 ， ，则原点
到直线 的距离为（ ）
A． B． C． D．6．（2024·山东济南·二模）已知圆 ，若圆C上有且仅有一点P使 ，则
正实数a的取值为（ ）
A．2或4 B．2或3 C．4或5 D．3或5
7．（2024·山东聊城·二模）若圆 与圆 恰有一条公切线，则下列直线一定
不经过点 的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（23-24高三下·重庆·阶段练习）过直线 上的一点 作圆 的两条切线 ，当
直线 关于 对称时， （ ）
A． B． C．4 D．
二．多选题
9．（2024·山西阳泉·三模）已知圆 ，若圆 上仅存在一点 使 ，则正实
数 的取值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10．（2024·湖南长沙·三模）已知圆 ，直线 ，则（ ）
A．直线 恒过定点
B．当 时，圆 上恰有三个点到直线 的距离等于 1
C．直线 与圆 可能相切
D．若圆 与圆 恰有三条公切线，则
11．（2024·云南昆明·模拟预测）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍
交河”隐藏着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河
边饮马，再返回军营，怎样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流m，n，其方程分别为 ，，将军的出发点是点 ，军营所在位置为 ，则下列说法错误的是（ ）
A．若将军先去河流m饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为
B．将军先去河流n饮马，再返回军营的最短路程是
C．将军先去河流m饮马，再去河流n饮马，最后返回军营的最短路程是
D．将军先去河流n饮马，再去河流m饮马，最后返回军营的最短路程是
三．填空题
12（2024·河北·模拟预测）抛物线 上的动点 到直线 的距离最短时， 到 的焦点距离为
.
13（2024·山西朔州·模拟预测）已知A，B分别为曲线 和直线 上的点，则 的最小值为
.
14．（2024·天津河西·二模）已知抛物线 的焦点为 ，圆 与直线 相切，且与圆
相切于点 ，则符合要求的圆 的方程为 .（写出一个即可）
四．解答题
15．（24-25高三上·湖南长沙·开学考试）已知圆 过点 ，且与圆 关于直线
对称．
(1)判断圆 与圆 的位置关系，并说明理由；
(2)过点 作两条相异直线分别与 相交于 ， ．
若直线 和直线 互相垂直，求 的最大值；
①若直线 和直线 与 轴分别交于点 、 ，且 ， 为坐标原点，试判断直线 和
②是否平行？请说明理由．16．（2024高三·全国·专题练习）已知圆 和圆 .
(1)若圆 与圆 相交，求 的取值范围；
(2)若直线 与圆 交于 ， 两点，且 ，求实数 的值；
(3)若 ，设 为平面上的点，且满足：存在过点 的无穷多对互相垂直的直线 和 ，它们分别与圆 和圆
相交，且直线 被圆 截得的弦长与直线 被圆 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点 的坐标.
17．（2024·内蒙古包头·三模）已知抛物线 ，直线 与 的交点为 （ 分别在x轴的上方和下
方），与x轴的交点为 ，原点 在以线段 为直径的圆M上．
(1)求a的值；
(2)若 ，①求直线l的方程；②当过点 的圆 与直线 相切时，求圆心 的坐标．18．（2024·江苏苏州·三模）已知圆 ，直线 ，直线 和圆交于A，B两点，过
A，B分别做直线 的垂线，垂足为C，D.
(1)求实数b的取值范围;
(2)若 ，求四边形ABDC的面积取最大值时，对应实数 的值;
(3)若直线AD和直线BC交于点 ，问是否存在实数 ，使得点 在一条平行于 轴的直线上?若存在，求出实
数 的值;若不存在，请说明理由.
19．（2024·浙江杭州·模拟预测）已知动圆 与圆 ： 和圆 ： 都内切，记动
圆圆心 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为 ，则曲线上一点处的切线方程为： .试运用该性质解决以下问题：
点 为直线 上一点（ 不在 轴上），过点 作 的两条切线 ， ，切点分别为 ， .
（ⅰ）证明： ；
（ⅱ）点 关于 轴的对称点为 ，直线 交 轴于点 ，直线 交曲线 于 ， 两点.记 ，
的面积分别为 ， ，求 的取值范围.
