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9.2 双曲线考点一 双曲线的定义及应用
【例1-1】（2024·陕西榆林·模拟预测）设 ， 是双曲线 的左，右焦点，过 的直线与 轴和
的右支分别交于点 ， ，若 是正三角形，则 （ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【解析】对于双曲线 ，则 ，
根据双曲线定义有 ，
又 ， ，故 ．
故选：B
【例1-2】（2024·四川·模拟预测）已知 ， 分别为双曲线C的左、右焦点，过 的直线与双曲线C的左支
交于A，B两点，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，由于 ， ，且 ， ，
设 ，则 ，故 ，
所以 ，即 ，则 ， ， ， ，在 中由余弦定理 .
故选：B
【例1-3】（2024·山西·三模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点P在C上且异于C的
顶点，则 （ ）
A．4 B．2 C．1 D．
【答案】C
【解析】由题意可知， 的实半轴长 ，虚半轴长 ，
半焦距 ，
故选：C.
【一隅三反】
1．（2023·河南开封·三模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，直线 经过 且与双曲
线右支相交于 两点，若 ，则三角形 的周长为（ ）A．6 B．7 C．8 D．不能确定
【答案】C
【解析】双曲线 的实半轴长 ，
由双曲线的定义，可得
所以 ，
则三角形 的周长为 .
故选：C.
2．（2024·山西太原·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知点A坐标为 ，若动点P位于y轴右侧，且到
两定点 ， 的距离之差为定值4，则 周长的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由动点P到两定点 ， 的距离之差为定值4，
结合双曲线定义可知，动点P的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线的右支，
易得 ， ，由 得 ，则动点P的轨迹方程为 ，
如图：又 ，则 ，且
故 的周长为: ，
当且仅当P，A， 三点共线且 点位于 、 之间时等号成立，故 周长的最小值为 ．
故选：D
3．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，直线
与 的一条渐近线平行，若点 在 的右支上，点 ，则 的最小值为
（ ）
A． B．6 C． D．8
【答案】C
【解析】因为双曲线 ，所以双曲线的渐近线方程为 ，
因为直线 与 的一条渐近线平行，
所以 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
因为点 在 的右支上，
所以 ，所以 的最小值为 ，
故选：C
考点二 双曲线的标准方程
【例2-1】（2024·北京东城·二模）已知双曲线 过点 ，且一条渐近线的倾斜角为
，则双曲线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可知：双曲线的一条渐近线方程为 ，
设双曲线方程为 ，
代入点 ，可得 ，
所以双曲线的方程为 .
故选：A.
【例2-2】（2024·天津河西·一模）已知双曲线C： （ ， ）的焦距为 ，左、右焦点分别为 、 ，过 的直线分别交双曲线左、右两支于A、B两点，点C在x轴上， ， 平分
，则双曲线C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，又 ，
所以 ，
又 平分 ，由角平分线定理可知， ，
所以 ，所以 ，
由双曲线定义知 ，
所以 ， ，
所以 ， ， ，故 是等边三角形，
所以 ，在 中，
，
化简得： ，所以 ，
双曲线C的方程为 ，故选：A.
【一隅三反】
1．（2024·天津南开·二模）已知双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，过 且斜率
为 的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若 ，则此双曲线的标准方程可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，
由双曲线的定义可知 ，
可得 ，
由于过 的直线斜率为 ，
所以在等腰三角形 中， ，则 ，
由余弦定理得： ，
化简得 ，可得 ，即 ， ，
可得 ， ，
所以此双曲线的标准方程可能为： .
故选：C
2．（2024·全国·模拟预测）双曲线 的左、右焦点分别为 ，且 的一条渐近线与直线 平行，则双曲线 的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知 ，解得 ，故双曲线 的标准方程为 ．
故选：A．
3．（2024·山西晋城·二模）已知双曲线 （ ， ）的两条渐近线均和圆
相切，且双曲线的左焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为圆 的圆心为 ，半径 ，
又因为双曲线 的一条渐近线为 ，即 ，
双曲线的左焦点 到渐近线 的距离 ，
由题意可知： ，可得 ，
所以该双曲线的方程为 .
故选：D.
4．（2024·北京海淀·一模）若双曲线 上的一点到焦点 的距离比到焦点 的
距离大 ，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】由题知 ，根据题意，由双曲线的定义知 ，又 ，
所以 ，得到 ，所以双曲线的方程为 ，
故选：D.
5．（2024·天津和平·一模）设双曲线 的左、右焦点分别为点 ，过坐标原点的直
线与C交于A，B两点， ， 的面积为 ，且 ，若双曲线C的实轴长为4，则双曲
线C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图，
由 及双曲线、直线的对称性可知， ，
则由双曲线定义可知，
所以 ， ，
所以 ，解得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
由余弦定理可知 ，
所以 ， ，
所以双曲线方程为：
故选：C
考点三 双曲线的离心率与渐近线
【例3-1】（2024·广东广州·三模）已知 ， 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且 ，
，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】C
【解析】根据题意可知点 在右支上，则 ，又 ，
， ，
，则在 中， ，
，故 .
故选：C．
【例3-2】（2023·青海玉树·模拟预测）已知双曲线 的右焦点为F，点A是虚轴的一
个端点，点P是C的左支上的一点，且 的周长的最小值为6a，则C的渐近线方程为（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】设 的左焦点为 ，由双曲线的定义 ，
不妨设 ，由对称性 ；
的周长为 ，
由图可知 ，且 共线时取到等号.
所以 的周长的最小值为 ，
因为 的周长的最小值为6a，所以 ，
化简得 ，所以C的渐近线方程为 .
故选：A.
【例3-3】（2024·四川德阳·模拟预测）已知双曲线l 的焦距为2c，右顶点为A，过A
作x轴的垂线与E 的渐近线交于M、N 两点，若 则 E 的离心率的取值范围是（ ）A． B． C． D．[ ❑√3 ，2]
【答案】A
【解析】由题意得 ，渐近线 ,
将 代入得 坐标为 ,所以 ,
因为 轴，所以 ,
由已知可得 ,
两边同时除以 得 ,
所以 ，即 ，
解得 ,所以 ，
而双曲线的离心率 ，
故选：A.
【一隅三反】
1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知双曲线 的焦点关于渐近线的对称点在双曲线 上，
则双曲线 的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【解析】双曲线的右焦点为 ，渐近线方程为： ，
设F关于 的对称点为 ，由题意可得 ，解得 ，
又点M在双曲线上，则 ，
整理得： ，得离心率 ，
故选：D
2．（2025·安徽·模拟预测）已知双曲线 的左焦点为F，过坐标原点O作C的一条渐近线的
垂线l，直线l与C交于A，B两点，若 的面积为 ，则C的离心率为（ ）．
A．3 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】由题意可知： ，则F(−c,0)，
不妨取一条渐近线为 ，则 ，
联立方程 ，解得 ，
由对称性可知：点 为线段 的中点，
则 ，
即 ，解得 ，则 ，
所以C的离心率为 .故选：B.
3．（2024·广西柳州·一模）已知双曲线 ，直线 与双曲线 交于 ， 两点，
直线 与双曲线 交于 ， 两点，若 ，则双曲线 的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
{ y=a ) { y=a ) { y=a ) 2ac
【解析】由 x❑ 2 y❑ 2 ，得 ac ，或 ac ，所以|MN)= ，
− =1 x=− x= b
a❑ 2 b❑ 2 b b
{
y=−b
)
由 x❑ 2 y❑ 2 ，得 { y=−b ) ，或 { y=−b ) ，所以|PQ)=2❑√2a，
− =1 x=−❑√2a x=❑√2a
a❑ 2 b❑ 2
因为|MN)=❑√2|PQ)，所以 ，
整理得 ，得 ，所以 .
故选：C.
4．（2024·辽宁·模拟预测）已知椭圆 与双曲线 有共同的焦点 是椭圆 与双曲线 的一个公共点，
且 ，其离心率分别为 ，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．12
【答案】A
【解析】设 ，由余弦定理得 ，即 ；在椭圆 中， 等于椭圆的长轴长，因此 ，
在双曲线 中， 等于双曲线的实轴长，因此 ，
则 ．
所以 ，
当且仅当 时等号成立
故选：A
5．（2024·贵州遵义·二模）已知双曲线 的左右焦点分别为 ，过点 且与渐近
线垂直的直线与双曲线 左右两支分别交于 两点，若 ，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，点 到渐近线 的距离为 ，
所以 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
得 ，则 ，
在 中，由正弦定理得 ，即 ，得 ，
由双曲线的定义知 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，
整理得 ，即 ，
所以离心率为 .
故选：A
考点四 双曲线的实际应用
【例4-1】（2024·全国·模拟预测）在天文望远镜的设计中，人们利用了双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦
点射出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上．如图，已知双曲
线的离心率为2，则当入射光线 和反射光线 互相垂直时（其中 为入射点）， 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以 ，得 ，
不妨设双曲线的标准方程为 ，设 ，则 ．
所以 ，解得 或 （舍去）．
所以 ．
故选：D．
【例4-2】（2023·山西·模拟预测）随着我国经济的迅猛发展，人们对电能的需求愈来愈大，而电能所排放的气
体会出现全球气候变暖的问题，这在一定程度上威胁到了人们的健康．所以，为了提高火电厂一次能源的使用
效率，有效推动社会的可持续发展，必须对火电厂节能减排技术进行深入的探讨．火电厂的冷却塔常用的外形
之一就是旋转单叶双曲面，它的优点是对流快、散热效果好，外形可以看成是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所
形成的曲面（如图1）．某火电厂的冷却塔设计图纸比例（长度比）为 （图纸上的尺寸单位： ），图纸
中单叶双曲面的方程为 （如图2），则该冷却塔占地面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】】令 ，得方程为 ，这是一个半径为 的圆．
乘上比例尺，即圆的实际半径为 ，
则建筑的占地面积为 ．故选：C.
【一隅三反】
1．（2024高三下·全国·阶段练习）北京冬奥会火种台（图1）以“承天载物”为设计理念，创意灵感来自中国
传统青铜礼器——尊的曲线造型，基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开阔，寓意迎接纯洁的奥林匹克火
种．如图2，一种尊的外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴旋转所成的曲面，尊高50cm，上口直径为 ，
底座直径为25cm，最小直径为20cm，则这种尊的轴截面的边界所在双曲线的离心率为（ ）
A．2 B．
C． D．
【答案】B
【解析】建立双曲线标准方程的直角坐标系，最小直径在 轴，如图，双曲线方程为 ，
则 ， ， （ ）， （ ）在双曲线上，且 ，
由 ，即 ， ， ，
由 ，得 ，所以 ， ， ，
离心率为 ．
故选：B．2．（2023·江苏苏州·三模）如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑
娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线 1(a>0，b>0)
的右支与y轴及平行于x轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN绕y轴旋转一周得到的几何体，若该金杯主体
部分的上口外直径为 ，下底座外直径为 ，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，
则杯身最细之处的周长为（ ）
A．2 π B．3π C．2 π D．4π
【答案】C
【解析】该金杯主体部分的上口外直径为 ，下底座外直径为 ，
且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，
可设 代入双曲线方程可得
，
即 ，作差可得 ，解得 ，
所以杯身最细处的周长为 .
故选：C
3．（2024·湖北荆州·一模）某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同
时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其它两观测点晚 .已知各观测点到该中心的距离是 .则该
巨响发生在接报中心的（ ）处.（假定当时声音传播的速度为 3，相关各点均在同一平面上）
A．西偏北 方向，距离 B．东偏南 方向，距离
C．西偏北 方向，距离 D．东偏南 方向，距离
【答案】A
【解析】如图，以接报中心为原点 ，正东、正北方向为 轴、 轴正向，建立直角坐标系．
设 、 、 分别是西、东、北观测点，则 ， ， ，
设 为巨响为生点，由 、 同时听到巨响声，得 ，故 在 的垂直平分线 上， 的方
程为 ，因 点比 点晚 听到爆炸声，
故 由双曲线定义知 点在以 、 为焦点的双曲线 上，依题意得 ，
， ，
故双曲线方程为 ，将 代入上式，得 ， ， ，
，即
故 .故巨响发生在接报中心的西偏北 距中心 处．
故选：A
考点五 双曲线的弦长及应用
【例5-1】（2024·北京·模拟预测）已知双曲线 的两个焦点分别为 ，过 的直线与双曲线
的同一支交于 ， 两点，且 ，则线段 的长度为（ ）
A． B．9 C． D．6
【答案】C
【解析】双曲线 中 ， ， ，则 ，
根据对称性不妨设过 的直线为 ，
联立 ，可得 ，
则
设A(x ,y )，B(x ,y )，则 ， ，①
1 1 2 2
由 ，可得 ，
即有 ，②
由①②可得 ， ，所以 ，
解得 （负值已舍去）， ，
所以 ．
故选：C．【例5-2】（2023·陕西西安·模拟预测）双曲线 的焦点弦长为 的弦有（ ）
A．8条 B．4条 C．2条 D．1条
【答案】B
【解析】由 ，可得其通径为 ，
注意到左右顶点的距离为 ，
所以过一个焦点，可作满足题意与双曲线交于两支的弦有两条，交于一支的情况不存在，
结合双曲线的对称性，该双曲线满足题意的焦点弦共有4条.
故选：B.
【一隅三反】
1．（2024·辽宁·三模）（多选）已知双曲线 及直线 ，若 与 交于A，B两点， 是坐
标原点，且 的面积为 ，则实数 的值可能为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】AD
【解析】联立 ，消去 整理得： ，
由已知 ，所以 或 ，
设 ，
则 ， .由题意，直线 恒过点 ．
① 若 ，则 ，
② 若 ，则 ，
所以 ，
即 ，
解得 或 ，
经检验， 或 均满足题意，
故 或 ，
故选：AD.
2．（2024·广东茂名·一模）已知双曲线 ，直线 分别与 的左、右支交于 两点，
为坐标原点，若 的面积为 ，则直线 的方程为 .
【答案】【解析】联立 ，消去 ，得 ，
令M(x ,y )，N(x ,y )，则 ， ，
1 1 2 2
， ，解得 ，
由直线过定点 ，故 ，
，
解得 或 （舍去）， ， 直线 的方程为 .
故答案为： .
3．（2024·全国·模拟预测）过双曲线 的右焦点 的直线与 的右支交于 两点， 为原点，线
段 的中点与线段 的中点重合，则四边形 面积的取值范围是 ．
【答案】
【解析】
由题意得 ．因为点 在 的右支上，
所以设直线 的方程为 ．
与 联立，得 ， ，
设 ，则 ，
所以 ．易知点 到直线 的距离 ．
由线段 的中点与线段 的中点重合，得四边形 是平行四边形，
其面积 ．由 ，得 ，
所以 ，所以 ．
故答案为： .
一．单选题
1．（2024·山东济南·三模）已知双曲线 过点 ，且与双曲线 有相同的渐近线，则双
曲线 的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，故可设双曲线 的方程为 ，
又因为 过点 ，所以 ，解得 ，所以，双曲线 的标准方程是 ．
故选：A．
2．（2024·河南周口·模拟预测）已知双曲线 的焦距与其虚轴长之比为3：2，则 的
离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知， ，则 ，设 ，则 ，
所以 ，故 的离心率为 .
故选：C.
3．（2024·辽宁·一模）已知双曲线 的下焦点和上焦点分别为 ，直线 与C交于A，
B两点，若 面积是 面积的4倍，则 （ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】由 可知， ，
联立 ，消元得： ，
则 ，即 ，
由 面积是 面积的4倍可知， 到直线 的距离是 到直线 距离的4倍，即 ，
化简可得 ，即 ，
解得 或 （舍去），故选：D
4．（2024·山东泰安·一模）已知 是双曲线 的右焦点， 是 左支上一点， ，当
周长最小时，该三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线的左焦点为 ，由双曲线定义知， ，
的周长为 ，
由于 是定值，要使 的周长最小，则 最小，即 、 、 共线，
， ， 直线 的方程为 ，
即 代入 整理得 ，
解得 或 （舍），所以 点的纵坐标为 ，
.
故选：D.
5．（2024·湖南邵阳·三模）已知双曲线 ： （ ， ）的右焦点为 ，左、右顶点分别为 ，
，点 在 上且 轴，直线 ， 与 轴分别交于点 ， ，若 （ 为坐标原点），
则 的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】由题意知 ，因为 轴，
所以令 ，可得 ，解得： ，设 ，
直线 的斜率为： ，
所以直线 的方程为： ，
令 可得 ，所以 ，
直线 的斜率为：
所以直线 的方程为： ，
令 可得 ，所以 ，
由 可得 ，解得： ,
所以 ，解得： ，即
所以 的渐近线方程为 ，
故选：C.6．（2023·全国·模拟预测）已知第一象限内的点 在双曲线 的渐近线上， 为坐标原点， 为
的右焦点，则 取得最小值时， 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意， ，双曲线的渐近线为 ，
由点 在第一象限，可设 ，
则 ， ，
所以 ，
所以当 时， 取最小值，
此时 ，
此时 的面积 ，
故选：C.
7．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线 为坐标原点，若直线 与双曲线 的两条渐
近线分别交于点 ，则 内切圆的半径等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】双曲线 的渐近线方程为 ，联立方程 ，解得
同理联立 ，解得 ，
不妨设 ，
则 ，
点 到直线 的距离 ，
设 内切圆的半径为 ，
则有 ，
即 ，
解得 .
故选：C
8．（2024·四川绵阳·模拟预测）过双曲线 的左焦点 的直线 （斜率为正）交双曲线
于 两点，满足 ，设 为 的中点，则直线 （ 为坐标原点）斜率的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】由弦中点求弦方程或斜率【解析】首先证明：双曲线 上的任意点P(x ,y )到左焦点F (−c,0)与左准线
0 0 1
的距离之比为常数 （离心率）.
依题意 ，则点P(x ,y )到直线 的距离 ，
0 0
所以 ，则 .
由题可知 在左支上 在右支上，如图，设 ， 在左准线上的射影为 ，因为 ，
则 且 ，所以 ，
设 ，则 ，
所以 ， ，即 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 即 时，等号成立，
故选：C.
二．多选题9．（23-24高三下·江西·开学考试）已知点 分别为双曲线 的左、右焦点， 为 的右
支上一点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】由题意可得 ，
由双曲线的定义可得 ，则 ，
所以 ，
所以 ，当且仅当 共线时等号成立，故A错误，B正确；
，
当且仅当 共线且 在 两点中间时，等号成立，此时 点在第四象限，
故C正确；
对于D，因为 ，所以 ，
当且仅当 共线且 在 两点中间时， ，此时点 位于第四象限
当且仅当 共线且 在 两点中间时， ，此时点 位于第一象限，
因为 ，双曲线 的渐近线方程为 ，
而 ，所以 共线时，点 只能位于第四象限，
所以 ，故D正确.故选：BCD.
10．（2024·黑龙江大庆·三模）已知点 是双曲线 上一点，过 向双曲线的两条渐近线作垂
线，垂足分别为 ，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的浙近线方程为
B．双曲线的焦点到渐近线的距离为1
C．
D． 的面积为
【答案】ABD
【解析】因为双曲线的方程为 ，所以 ，所以双曲线的渐近线方程为 .
故A正确；
双曲线的右焦点 到渐近线 的距离为 ，故B正确；
由点到直线的距离公式可得 .故 错误.如图，因为 ，所以 .在 和 中， ，
，所以 ，所以
，故D正确.
故选：ABD.
11．（2024·贵州贵阳·三模）双曲线 的左、右焦点分别为点 ，斜率为正的渐近
线为 ，过点 作直线 的垂线，垂足为点 ，交双曲线于点 ，设点 是双曲线 上任意一点，若
，则（ ）
A．双曲线 的离心率为
B．双曲线 的共轭双曲线方程为
C．当点 位于双曲线 右支时，
D．点 到两渐近线的距离之积为
【答案】ACD
【解析】如图，因为 ，所以 ，
，
则 ，所以 ，又 ，
在 中， ，化简得 ，所以 ，双曲线 方程为 ，
对于A，双曲线 的离心率为 ，A正确；
对于B，双曲线 的共轭双曲线方程为 ，B错误；
对于C， ，因为 ，
则 ，即 ，C正确；
对于D，渐近线方程为 ，设 ，
点 到两渐近线的距离之积为 ，D正确，
故选：ACD.
三．填空题
12．（2023·贵州遵义·模拟预测）已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ， ，点A在双曲线C的
右支上，若 ，则 的最小值为 ．
【答案】 /
【解析】依题意， ，即 .
所以 ,解得 ，
所以 ， ，
因为点A在双曲线C的右支上，
所以 ，即 ，
所以 .当且仅当点 在线段 上时等号成立.
故答案为： .
13．（2024·吉林延边·一模）祖暅是我国南北朝时期伟大的科学家，他于5世纪末提出了“幂势既同，则积不
容异”的体积计算原理，即“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如
果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．某同学在暑期社会实践中，了解到火电厂
的冷却塔常用的外形可以看作是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面（如图）．现有某火电厂的冷却塔
设计图纸，其外形的双曲线方程为 （ ），内部虚线为该双曲线的渐近线，则该同学利用
“祖暅原理”算得此冷却塔的体积为 ．
【答案】
【解析】如图所示，双曲线 ，其中一条渐近线方程为 ，
由直线 ，其中 ，
联立方程组 ，解得 ，
联立方程组 ，解得 ，
所以截面圆环的面积为 ，即旋转面的面积为 ，根据“幂势既同，则积不容异”，
可得该几何体的体积与底面面积为 ，高为3的圆柱的体积相同，
所以该几何体的体积为 .
故答案为： .
14．（2024·云南·模拟预测）已知椭圆 与双曲线 的左、右
焦点相同，分别为 ， ， 与 在第一象限内交于点 ，且 ， 与 的离心率分别为 ， ．
则 ， 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】如下图所示：
根据椭圆定义以及双曲线定义可得 ，解得 ；
显然 ，可得 ；
又 且 ，其中 ；
可得 ，所以 ，即 ；
所以 ．令 ，则 ．
因为 ，所以 ．
又 ，所以有 ，所以有 ；
又 ，所以有 ，所以有 ，
所以可得 ．
设函数 ，则 ，函数 在区间 上单调递增，
所以 ，所以 ．
即可得 的取值范围是 .
故答案为： ； .
四．解答题
15．（2024·海南·模拟预测）已知双曲线 的实轴长为 ，点 在双曲线
上.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)过点 且斜率为 的直线与双曲线 的另一个交点为 ，求 .
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为双曲线的实轴长为 ，所以 ，解得： ；
又因为点 在双曲线 上，所以 ，解得： ，所以双曲线的标准方程为：
（2）设 ，Q(x ,y )
2 2
由题可得过点 且斜率为 的直线方程为： ，即 ，
联立 ，消去 可得： ，
所以 ， ，
所以
16．（2024·山东·二模）已知双曲线的中心为坐标原点 ，点 在双曲线上，且其两条渐近线相互垂直.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过点 的直线 与双曲线交于 ， 两点， 的面积为 ，求直线 的方程.
【答案】(1)
(2) 或 ．
【解析】（1）因为双曲线 的两条渐近线互相垂直，
所以双曲线 为等轴双曲线，
所以设所求双曲线方程为 ， ，
又双曲线 经过点 ，所以 ，即 ，
所以双曲线的方程为 ，即 ．
（2）根据题意可知直线 的斜率存在，又直线 过点 ，
所以直线 的方程为 ，
所以原点 到直线 的距离 ，
联立 ，得 ，
所以 且 ，
所以 ，且 ，
所以 ，
所以 的面积为 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
所以直线 的方程为 或 ．
17．（2024·安徽·一模）已知双曲线C： 的离心率为2.且经过点 .
(1)求C的方程；
(2)若直线l与C交于A，B两点，且 （点O为坐标原点），求 的取值范围.【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题意可得 ，解得 ，
故双曲线方程为 .
（2）当直线 斜率不存在时，可设 ，
则 ，
将其代入双曲线方程 ，
又 ，解得 ，
此时 ，
当直线 斜率存在时，设其方程为 ，设A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
联立 ，
故 ，
则
，化简得 ，此时 ，
所以
，
当 时，此时 ，
当 时，此时 ，
，故 ，
因此 ，
综上可得 .
18．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线 一个焦点 到渐近线的距离为 ，且离心
率为2．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设 分别是双曲线 左、右两支上的动点， 为双曲线 的左顶点，若直线 的斜率分别为 ，
且 ，求直线 的方程．【答案】(1)
(2) 或
【解析】（1）由题知双曲线 的渐近线方程为 ，
不妨设F(c,0)，则焦点 到渐近线的距离 ，
的离心率为 ，
故双曲线 的标准方程为 ．
（2）由（1）可得 ，
当直线 的倾斜角为零时，由 ，得直线 的方程为 ，
代入双曲线方程可得 ，不妨令 ， ，
则 ，不符合题意，则直线 的倾斜角不为零，
设直线 的方程为 ，M(x ,y )，N(x ,y )，
1 1 2 2
联立 ，消去 整理得 ，
， ， ，
．
， ，
， ，，
，
，
即 ，
，
，
或 ．
当 时， ，不符合题意， ．
， ，
，
解得 ，故直线 的方程为 ．
综上，直线 的方程为 或 ．
19．（2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 、 ，两条渐近线
的夹角为 ， 是双曲线上一点，且 的面积为 .
(1)求该双曲线的标准方程；(2)若直线 与双曲线 交于 、 两点，且坐标原点 在以 为直径的圆上，求 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）由题可知双曲线的渐近线方程为 ，
因为 ，所以 ，所以直线 的斜率大于1．
由两条渐近线的夹角为 ，可得 ，因为 ，所以 ，
即双曲线方程为 ，
因为 的面积为 ，所以 ，所以 ．
因为点 在双曲线上，所以将点的坐标代入方程可得 ，
解得 或 ．因为条件 ，所以 ，即双曲线的方程为 ．
（2）因为以 为直径的圆过坐标原点，所以 ，所以 ，即 ，
①当直线 的斜率不存在时，设直线 的方程为 ，设 ，
由 可得 ，
又点 、 在双曲线上，代入可得 ，解得 ．
所以 ．
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
由 联立消去 整理得 （*），
因为直线 与双曲线交于 两点，所以 ，
即 ．设P(x ,y )，Q(x ,y )，
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则 ，
由 得到 ，所以 ，
即 ，
即 ，
所以 ，
化简得 ．
所以
．
当 时上式取等号，且方程（*）有解．
综上可得|PQ)的最小值是 ．
