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专题 6.3 双曲线与抛物线的性质与应用
一、单选题
1、(2018年高考浙江卷)双曲线 的焦点坐标是( )
A．(− ，0)，( ，0)
B．(−2，0)，(2，0)
C．(0，− )，(0， )
D．(0，−2)，(0，2)
【答案】B
【解析】设 的焦点坐标为 ，因为 ， ，
所以焦点坐标为 ，故选B．
2、(2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟)双曲线 的渐近线方程为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
双曲线为 ，
， ，渐近线方程为： ，
其渐近线方程为： ，
故选：B.
3、(2020·浙江高三)若双曲线 的焦距为4，则其渐近线方程为( )A． B． C． D．
【答案】A
【解析】双曲线 的焦距为4，可得m+1＝4，所以m＝3，
由题设，双曲线的焦点在x轴上，故渐近线方程为：
所以双曲线的渐近线方程为：y x．
故选：A．
4、(2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初)已知双曲线 的一条渐近线为
，则离心率为( )
A． B． C． 或 D．
【答案】A
【解析】双曲线 的一条渐近线为 ，
.
故选:A.
5、(2020届山东省烟台市高三上期末)若双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方
程为( )A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题,离心率 ,解得 ,
因为焦点在 轴上,则渐近线方程为 ,即
故选：C
6、(2018年高考全国Ⅱ理数)双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
因为渐近线方程为 ，所以渐近线方程为 ，故选A
7、(2020·浙江温州中学3月高考模拟)在平面直角坐标系中，经过点 ，渐近线方程为
的双曲线的标准方程为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵双曲线的渐近线方程为 设所求双曲线的标准方程为 k．又
在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为 ∴双曲线的标准方程为故选：B
8、(2020届山东省德州市高三上期末)双曲线 ( ， )的右焦点为 ，点 的
坐标为 ，点 为双曲线左支上的动点，且 周长的最小值为8，则双曲线的离心率为( )
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】
如下图所示：
设该双曲线的左焦点为点 ，由双曲线的定义可得 ，
所以， 的周长为 ，
当且仅当 、 、 三点共线时， 的周长取得最小值，即 ，解得 .
因此，该双曲线的离心率为 .
故选：D.
9、(2020届浙江省温州市高三4月二模)已知双曲线 )，其右焦点F的坐标为 ，点 是第一象限内双曲线渐近线上的一点， 为坐标原点，满足 ，线段 交双曲线于点 .
若 为 的中点，则双曲线的离心率为( )
A． B．2 C． D．
【答案】C
【解析】双曲线的一条渐近线方程为 ， 是第一象限内双曲线渐近线上的一点， ，
故 ， ，故 ，代入双曲线化简得到： ，故 .
故选： .
10、(2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟)双曲线 的一条渐近线的倾斜角
为 ，则 的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
双曲线 的一条渐近线的倾斜角为 ，所以 ，
的离心率 .
故选：C.11、(2020届浙江省嘉兴市3月模拟)设双曲线E： ，命题p：双曲线E离心率
，命题q：双曲线E的渐近线互相垂直，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】双曲线 的渐近线方程为 ，离心率为 ，
由 ，可得 ，即有 ，可得 ，
即得渐近线方程为 ，可得两渐近线垂直；
若两渐近线垂直，可得 ，可得 ，
即有 是 的充要条件，
故选： ．
12、(2020届山东省泰安市高三上期末)已知圆 与双曲线 的
渐近线相切，则该双曲线的离心率是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由双曲线 ，可得其一条渐近线的方程为 ，即 ，
又由圆 ，可得圆心为 ，半径 ，
则圆心到直线的距离为 ，则 ，可得 ，
故选C.13、(2020年高考全国Ⅲ卷理数)设双曲线C： (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F ，F ，离心率为
1 2
．P是C上一点，且F P⊥F P．若△PF F 的面积为4，则a=( )
1 2 1 2
A． 1 B． 2
C． 4 D． 8
【答案】A
【解析】 ， ，根据双曲线的定义可得 ，
，即 ，
， ，
，即 ，解得 ，
故选：A．
14、(2020届山东省滨州市高三上期末)已知抛物线 的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上一点，
，A为垂足.若直线AF的斜率为 ，则 的面积为( )
A． B． C．8 D．
【答案】B
【解析】由题意，抛物线 的焦点为 ，
设抛物线 的准线与 轴交点为 ，则 ，
又直线AF的斜率为 ，所以 ，因此 ， ；
由抛物线的定义可得： ，所以 是边长为 的等边三角形，所以 的面积为 .
故选：B.
15、(2020届山东省潍坊市高三上期末)已知点 为双曲线 右支上一点，
分别为 的左，右焦点，直线 与 的一条渐近线垂直，垂足为 ，若 ，则该双
曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取 的中点 ，连接 ,由条件可知 ，
是 的中点，
又 ，
,根据双曲线的定义可知 ，
，
直线 的方程是： ，即 ，
原点到直线的距离 ，
中， ，
整理为： ，
即 ，
解得： ，或 (舍)
故选：C
16、(2020年高考北京)设抛物线的顶点为 ，焦点为 ，准线为 ． 是抛物线上异于 的一点，过 作
于 ，则线段 的垂直平分线( )
A． 经过点 B． 经过点
C． 平行于直线 D． 垂直于直线
【答案】B【解析】如图所示： ．
因为线段 的垂直平分线上的点到 的距离相等，又点 在抛物线上，根据定义可知，
，所以线段 的垂直平分线经过点 .
故选：B．
17、(2020·浙江学军中学高三3月月考)抛物线 ( )的焦点为F，直线l过点F且与抛物线交于
点M，N(点N在轴上方)，点E为轴上F右侧的一点，若 ， ，则 (
)
A．1 B．2 C．3 D．9
【答案】C
【解析】
设准线与x轴的交点为T，直线l与准线交于R， ，则
， ，过M，N分别作准线的垂线，垂足分别为 ，如图，由抛物线定义知， ， ，因为 ∥ ，所以 ，
即 ，解得 ，同理 ，即 ，解得
，又 ，所以 ， ，过M作 的垂线，垂足为G，则
，所以
，解得 ，故 .
故选：C.
18、(2020年高考全国Ⅱ卷理数)设 为坐标原点，直线 与双曲线 的两条渐
近线分别交于 两点，若 的面积为8，则 的焦距的最小值为( )
A．4 B．8
C．16 D．32
【答案】B
【解析】 ，
双曲线的渐近线方程是 ，
直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点
不妨设 为在第一象限， 在第四象限，
联立 ，解得 ，
故 ，联立 ，解得 ，
故 ，
，
面积为： ，
双曲线 ，
其焦距为 ，
当且仅当 取等号，
的焦距的最小值： .
故选：B．
二、多选题
19、(2020届山东省滨州市高三上期末)已知双曲线C： 的左、右焦点分别为 ，
，则能使双曲线C的方程为 的是( )
A．离心率为 B．双曲线过点
C．渐近线方程为 D．实轴长为4
【答案】ABC
【解析】由题意，可得：焦点在 轴上，且 ；
A选项，若离心率为 ，则 ，所以 ，此时双曲线的方程为： ，故A正确；B选项，若双曲线过点 ，则 ，解得： ；此时双曲线的方程为：
，故B正确；
C选项，若双曲线的渐近线方程为 ，可设双曲线的方程为： ，
所以 ，解得： ，所以此时双曲线的方程为： ，故C正确；
D选项，若实轴长为4，则 ，所以 ，此时双曲线的方程为： ，故D错误；
故选：ABC.
20、(2020届山东省日照市高三上期末联考)过抛物线 的焦点 作直线交抛物线于 ， 两点，
为线段 的中点，则( )
A．以线段 为直径的圆与直线 相离 B．以线段 为直径的圆与 轴相切
C．当 时， D． 的最小值为4
【答案】ACD
【解析】对于选项A，点 到准线 的距离为 ，于是以线段 为直径的圆
与直线 一定相切，进而与直线 一定相离：对于选项B，显然 中点的横坐标与 不一定相等，因此命题错误.
对于选项C，D，设 ， ，直线 方程为 ，联立直线与抛物线方程可得
， ， ，若设 ，则 ，于是
， 最小值为4；当 可得 ，
，所 ， .
故选:ACD.
21、(2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末)在平面直角坐标系xOy中，抛物线 的焦
点为F，准线为l.设l与x轴的交点为K，P为C上异于O的任意一点，P在l上的射影为E， 的外角
平分线交x轴于点Q，过Q作 交 的延长线于 ，作 交线段 于点 ，则(
)
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】由抛物线的定义， ，A正确；
∵ ， 是 的平分线，∴ ，∴ ，B正确；
若 ，由 是外角平分线， ， 得 ，从而有 ，
于是有 ，这样就有 ， 为等边三角形， ，也即有
，这只是在特殊位置才有可能，因此C错误；
连接 ，由A、B知 ，又 ， 是平行四边形，∴ ，显然
，∴ ，D正确．
22、(2020届山东省德州市高三上期末)已知抛物线 的焦点为 ，直线的斜率为 且
经过点 ，直线 与抛物线 交于点 、 两点(点 在第一象限)，与抛物线的准线交于点 ，若
，则以下结论正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】ABC
【解析】如下图所示：分别过点 、 作抛物线 的准线 的垂线，垂足分别为点 、 .
抛物线 的准线 交 轴于点 ，则 ，由于直线 的斜率为 ，其倾斜角为 ，
轴， ，由抛物线的定义可知， ，则 为等边三角形，
，则 ， ，得 ，
A选项正确；
，又 ， 为 的中点，则 ，B 选项正确；
， ， (抛物线定义)，C选项正确；
， ，D选项错误.
故选：ABC.
23、(2020年新高考全国Ⅰ卷)已知曲线 .( )
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线
【答案】ACD
【解析】对于A，若 ，则 可化为 ，
因为 ，所以 ，
即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故B不正确；
对于C，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示双曲线，
由 可得 ，故C正确；
对于D，若 ，则 可化为 ，
，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD．
三、填空题24、(2019年高考江苏卷)在平面直角坐标系 中，若双曲线 经过点(3，4)，则该双曲
线的渐近线方程是 .
【答案】
【解析】由已知得 ，解得 或 ，
因为 ，所以 .
因为 ，所以双曲线的渐近线方程为 .
25、(2020·山东省淄博实验中学高三上期末)双曲线 ： 的左、右焦点分别为
、 ， 是 右支上的一点， 与 轴交于点 ， 的内切圆在边 上的切
点为 ，若 ，则 的离心率为____.
【答案】
【解析】设△MPF 的内切圆与MF ，MF 的切点分别为A，B，
2 1 2
由切线长定理可知MA＝MB，PA＝PQ，BF ＝QF ，又PF ＝PF ，
2 2 1 2
∴MF ﹣MF ＝(MA+AP+PF )﹣(MB+BF )＝PQ+PF ﹣QF ＝2PQ，
1 2 1 2 2 2
由双曲线的定义可知MF ﹣MF ＝2a，
1 2
故而a＝PQ ，又c＝2，∴双曲线的离心率为e ．
故答案为： ．26、(2020年高考全国I卷理数)已知F为双曲线 的右焦点，A为C的右顶点，B为
C上的点，且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为 .
【答案】2
【解析】联立 ，解得 ，所以 .依题可得， ， ，即
，变形得 ， ,因此，双曲线 的离心率为 .故答案为： ．
27、(2020年新高考全国Ⅰ卷)斜率为 的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则
=________．
【答案】
【解析】∵抛物线的方程为 ，∴抛物线的焦点F坐标为 ，
又∵直线AB过焦点F且斜率为 ，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得 ，
解法一：解得所以
解法二：
设 ，则 ,
过 分别作准线 的垂线，设垂足分别为 如图所示.
故答案为：
28、(2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末)已知F为双曲线 的右焦点，过F
作C的渐近线的垂线FD，D为垂足，且 (O为坐标原点)，则C的离心率为________.
【答案】2
【解析】由题意 ，一条渐近线方程为 ，即 ，
∴ ，由 得 ，
∴ ， ，∴ ．故答案为：2.
29、(2020届山东省潍坊市高三上期末)已知 是抛物线 上的动点，点 在 轴上的射影是 ，点
的坐标为 ，则 的最小值是__________．
【答案】
【解析】设抛物线的焦点是 ，
根据抛物线的定义可知
， ，
当 三点共线时，等号成立， 的最小值是 ，
， 的最小值是 .
故答案为：
30、(2020年高考北京)已知双曲线 ，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近
线的距离是_________．
【答案】 ；
【解析】在双曲线 中， ， ，则 ，则双曲线 的右焦点坐标为 ，双曲线 的渐近线方程为 ，即 ，
所以，双曲线 的焦点到其渐近线的距离为 .
故答案为： ； .
四、解答题
31、(2020届浙江省嘉兴市5月模拟)设点 为抛物线 上的动点， 是抛物线的
焦点，当 时， ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 作圆 ： 的切线 ， ，分别交抛物线 于点 ．当 时，求 面
积的最小值．
【解析】(1)当 时， ，
所以 ，故所求抛物线方程为 .
(2)点 为抛物线 上的动点，则 ，设过点 的切线为 ，
则 ，
得 ，
是方程(*)式的两个根，
所以 ， ，
设 ，
因直线 ，与抛物线 交于点A，
则 得 ，
所以 ，即 ，
同理 ，
设直线 ，
则 ，
，
又 ，
，所以
令 ， ，
当且仅当 ，即 时， 取得最小值 .
32、(2020届山东省临沂市高三上期末)如图，已知点F为抛物线C： ( )的焦点，过点F的动
直线l与抛物线C交于M，N两点，且当直线l的倾斜角为45°时， .
(1)求抛物线C的方程.
(2)试确定在x轴上是否存在点P，使得直线PM，PN关于x轴对称？若存在，求出点P的坐标；若不存在，
请说明理由.
【解析】(1)当直线l的倾斜角为45°，则 的斜率为1，
， 的方程为 .
由 得 .
设 ， ，则 ，∴ ， ，
∴抛物线C的方程为 .
(2)假设满足条件的点P存在，设 ，由(1)知 ，
①当直线l不与x轴垂直时，设l的方程为 ( )，
由 得 ，
，
， .
∵直线PM，PN关于x轴对称，
∴ ， ， .
∴ ∴ 时，
此时 .
②当直线l与x轴垂直时，由抛物线的对称性，
易知PM，PN关于x轴对称，此时只需P与焦点F不重合即可.
综上，存在唯一的点 ，使直线PM，PN关于x轴对称.
33、(2020届浙江省绍兴市4月模拟)如图，已知点 ， ，抛物线 的焦点
为线段 中点.(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 的直线交抛物线 于 两点， ，过点 作抛物线 的切线 ， 为切线 上的
点，且 轴，求 面积的最小值.
【解析】(1)由已知得焦点 的坐标为 ，
， 抛物线 的方程为： ；
(2)设直线 的方程为： ，设 ， ， ，
联立方程 ，消去 得： ，
， ， ，
设直线 方程为： ，
联立方程 ，消去 得： ，
由相切得： ， ，
又 ， ，， ， 直线 的方程为： ，
由 ，得 ， ，
将 代入直线 方程，解得 ，
所以
，
又 ，
所以 ，当且仅当 时，取到等号，
所以 面积的最小值为 .
34、(2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟)如图，已知抛物线 的焦点为 .若点 为抛物线上异于原点的任一点，过点 作抛物线的切线交 轴于点 ，证明：
.
， 是抛物线上两点，线段 的垂直平分线交 轴于点 ( 不与 轴平行)，且
.过 轴上一点 作直线 轴，且 被以 为直径的圆截得的弦长为定值，求
面积的最大值.
【解析】 由抛物线的方程可得 ，准线方程： ，设 ，
由抛物线的方程可得 ，所以在 处的切线的斜率为： ，
所以在 处的切线方程为： ，
令 ，可得 ，
即 ，
所以 ，而 到准线的距离 ，由抛物线的性质可得
所以 ， ，
可证得： .
设直线 的方程为： ， ， ，直线与抛物线联立 ，
整理可得： ，
，
即 ，
， ， ，
所以 的中点坐标为： ，
所以线段 的中垂线方程为： ，
由题意中垂线过 ，所以 ，即 ，①
由抛物线的性质可得： ，
所以 ，即 ，②
设 ， ，
的中点的纵坐标为 ，
所以以 为直径的圆与直线 的相交弦长的平方为：
，要使以 为直径的圆截得的弦长为定值则可得 ，时相交弦长的平方为定值 ，即
所以 到直线 的距离为： ，
而弦长
，
所以 ，
将①代入可得
，
设 为偶函数，
只看 的情况即可，
令 ，
当 ， ， 单调递增；
当 ， ， 单调递减，
所以 且 上， 为最大值 ，
所以 的最大值为： .
