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9.1 椭圆考点一 椭圆定义及应用
【例1-1】（2023·陕西西安·一模）已知点 在椭圆 上运动，点 在圆 上运动，则
的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．6
【例1-2】（2024·广东惠州·模拟预测）已知椭圆的方程为 ，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，
是椭圆的右焦点，则 的周长的最小值为（ ）
A．8 B． C．10 D．
【例1-3】（2024·江苏泰州·模拟预测）已知F为椭圆 的右焦点，P为C上一点，Q为圆
上一点，则 的最大值为（ ）
A．5 B． C． D．6
【例1-4】（23-24 湖北·期末）已知椭圆 （ ）的两焦点分别为 、 ．若椭圆上有一点P，
使 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024·四川内江·三模）设 是椭圆 的两个焦点，点P在椭圆C上，若 为直角三角形，则 的面积为（ ）
A． B．1或 C． D．1或
2．（2025·安徽·模拟预测）（多选）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，P是C上的任意一
点，则（ ）
A．C的离心率为 B．
C． 的最大值为 D．使 为直角的点P有4个
3．（23-24 北京丰台·期末）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 在椭圆 上.若
，则 的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
4．（2024·江西九江·二模）已知椭圆 的上顶点为 ，离心率为 ，过其左焦点倾斜角
为30°的直线 交椭圆 于 ， 两点，若 的周长为16，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·河北衡水·三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，焦距为6，点 ，
直线 与 交于A，B两点，且 为AB中点，则 的周长为 ．
6．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知 ，点 为椭圆 上的动点，当 取最
小值时，点 的横坐标的值为 ．
考点二 椭圆的标准方程
【例2-1】（2024·安徽合肥·模拟预测）已知焦点在 轴上的椭圆的离心率为 ，焦距为 ，则该椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【例2-2】（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆 的左､右焦点分别为
，真线 与 轴的交点为 ，过右焦点 作 于点 ，且
的中点 在椭圆 上，则椭圆 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【例2-3】（2024·山西太原·三模）已知点 分别是椭圆 的左、右焦点， 是 上一点， 的
内切圆的圆心为 ，则椭圆 的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024·河南·模拟预测）若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则（ ）
A． B．
C． D． 或
2．（2024·福建南平·二模）已知椭圆 的焦点为 ， ，点 在 上，点 在 轴上， ，
，则 的方程为（ ）A． B．
C． D．
3．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知椭圆 的中心为原点，焦点为 ， ，以 为圆心， 为
半径的圆交椭圆 于 、 两点，且 ，则椭圆 的方程是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江西九江·三模）已知椭圆 的左右焦点分别为 ,过 且倾斜角为 的直线
交 于第一象限内一点 .若线段 的中点在 轴上, 的面积为 ,则 的方程为（ ）
A． B．
C． D．
考点三 椭圆的离心率
【例3-1】（2024·辽宁·模拟预测）已知焦点在 轴上的椭圆 的短轴长为2，则其离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】（2024·广东·一模）已知点F，A分别是椭圆 的左焦点、右顶点， 满足
，则椭圆的离心率等于（ ）A． B． C． D．
【例3-3】．（2024·海南·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： ，点
， ，若以 为直径的圆过椭圆 的右焦点 ，且
，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024·湖南·三模）已知 是椭圆 的左、右焦点，O是坐标原点，过 作直线与
C交于A，B两点，若 ，且 的面积为 ，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏南京·二模）设 分别为椭圆 的左，右焦点， 为椭圆上一点，直线
与以 为圆心、 为半径的圆切于点 为坐标原点 ，且 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陕西铜川·三模）已知原点为 ，椭圆 与直线 交于 两点，
线段 的中点为 ，若直线 的斜率为 ，则椭圆 的离心率为（ ）A． B． C． D．
4．（2024·河南濮阳·模拟预测）点 是椭圆 上的点，以 为圆心的圆与 轴相切于椭圆
的焦点 ，圆 与 轴相交于 两点，若 是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
考点四 椭圆的实际应用
【例4-1】（2024·重庆·三模）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点
变轨进入以月球球心 为一个焦点的椭圆轨道I绕月飞行，之后卫星在 点第二次变轨进入仍以 为一个焦点
的椭圆轨道II绕月飞行，最终卫星在 点第三次变轨进入以 为圆心的圆形轨道III绕月飞行，若用 和 分
别表示椭圆轨道I和II的焦距，用 和 分别表示椭圆轨道I和II的长轴的长，则（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（2024·内蒙古赤峰·一模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为 ，
其左、右焦点分别是 ， ，直线l与椭圆C切于点P，且 ，过点P且与直线l垂直的直线 与椭圆长
轴交于点M，则 （ ）
A． B． C． D．
2 ．（2023·全国·模拟预测）我国在2022年完成了天宫空间站的建设，根据开普勒第一定律，天宫空间站的运
行轨道可以近似为椭圆，地球处于该椭圆的一个焦点上．已知某次变轨任务前后，天宫空间站的近地距离（天
宫空间站与地球距离的最小值）不变，远地距离（天宫空间站与地球距离的最大值）扩大为变轨前的3倍，椭
圆轨道的离心率扩大为变轨前的2倍，则此次变轨任务前的椭圆轨道的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高二上·山东潍坊·阶段练习）开普勒第一定律指出，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处
在椭圆的一个焦点上.若某行星距太阳表面的最大距离为 ，最小距离 ，太阳半径为 ，则该行星运行轨迹椭
圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·江西九江·三模）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工
艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为 时，在地面形成了一个椭圆形影子，
且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2023·广东广州·三模）我国南北朝时期的伟大科学家祖暅于5世纪末提出了下面的体积计算原理：“幂势
既同，则积不容异”．这就是“祖暅原理”．祖暅原理用现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几
何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相
等．运用祖暅原理计算球的体积时，构造一个底面半径和高都与球的半径相等的圆柱，与半球（如图1）放置
在同一平面上，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到一新几何体
（如图2），用任何一个平行于底面的平面去截它们时，可证得所截得的两个截面的面积都相等，由此得到新
几何体与半球的体积相等，即 ．现将椭圆 绕 轴旋转一周后得到如
图3所示的椭球，类比上述方法，运用祖暅原理可求得该椭球的体积为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大
的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大
桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段
，且 过椭圆的下焦点， 米，桥塔最高点 距桥面 米，则此椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D．
考点五 弦长及应用
【例5-1】（2024·河南·模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点
为椭圆 上一点，且 的面积为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若倾斜角为 的直线l与C相交于两个不同的点 ，求 的最大值．
【例5-2】（2024·天津·模拟预测）椭圆 ，过左焦点 的直线 交椭圆E于A、C两点，
的最大值为 ，最小值为 ．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过 的直线 交椭圆E于B、D两点，且 ，求四边形ABCD的面积的取值范围．【一隅三反】
1．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点
.
(1)求C的方程；
(2)设过C的左焦点且斜率为 的直线与C交于M，N两点，求 的面积.
2．（2024高三下·全国·专题练习）已知 是椭圆 的左焦点，A，B分别是E的左、右顶
点，C是E上一点（异于A，B），线段 的中点为D，O为坐标原点， ．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)已知过 且斜率不为0的直线与椭圆E交于M，N两点，求四边形AMBN面积的最大值．3．（2024·四川德阳·三模）已知椭圆 的离心率为 其左右焦点分别为 下顶
点为A，右顶点为B， 的面积为
(1)求椭圆 C 的方程;
(2)设不过原点O 的直线交C于M、N两点，且直线 的斜率依次成等比数列，求 面积的
取值范围．
一．单选题
1．（2024·黑龙江大庆·三模）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，若经过 的
弦 满足 ，则椭圆 的离心率是（ ）A． B． C． D．
2．（2024·湖北武汉·三模）已知椭圆C： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，P为C上一
点，满足 ，以C的短轴为直径作圆O，截直线 的弦长为 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知直线 与椭圆 相切，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·福建泉州·模拟预测）椭圆 ，其右焦点为 ，若直线 过点 与 交于 ，则 最
小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
5．（2024·浙江金华·三模）已知椭圆 ， 、 分别为其左右焦点，点M在C上，且
，若 的面积为 ，则 （ ）
A． B．3 C． D．4
6．（2024·湖南长沙·二模）已知 ， 分别为椭圆 的左､右焦点， 为椭圆的上顶点，
过 作 的垂线，并与椭圆交于点 ，且满足 ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7（2024·河南驻马店·二模）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，点 在 上但不在坐标轴上，且 是等腰三角形，其中一个内角的余弦值为 ，则 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
8．（2024·新疆·二模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为椭圆上不与左右顶点重合的任
意一点， ， 分别为ΔM F F 的内心和重心，则⃗IG⋅⃗F F =（ ）
1 2 1 2
A．0 B．1 C． D．3
二．多选题
9．（2024·黑龙江双鸭山·模拟预测）已知直线 经过椭圆 的一个焦点和一个顶
点 ，且与 在第四象限交于点 的左、右焦点分别为 ，则（ ）
A． 离心率为 B． 的周长为
C．以 为直径的圆过点 D．
10．（2024·福建福州·模拟预测）已知 为椭圆 的左，右焦点， 为平面上一点，若
，则（ ）
A．当 为 上一点时， 的面积为1
B．当 为 上一点时， 的值可以为1
C．当满足条件的点 均在 内部时，则 的离心率小于
D．当点 在 的外部时，在 上必存在点 ，使得
11．（23-24 福建南平·期末）已知椭圆 的左右焦点分别为 ，过 的直线 交椭圆于 两点，
则（ ）A． 的周长为4
B．|PF )的取值范围是
1
C．|PQ)的最小值是3
D．若点 在椭圆上，且线段 中点为 ，则直线 的斜率为
三．填空题
12．（2024·湖南长沙·三模）已知椭圆 的离心率为 ，过 的左焦点且斜率为1的直线
与 交于 两点.若 ，则 的焦距为 .
13．（2024上海·期末）已知 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆 上的一点，且
，若 的面积为9，则 的值为 ．
14．（2024·湖南·模拟预测）过椭圆C： （ ）上的动点P向圆O： 引两条切线
．设切点分别是A，B，若直线 与x轴、y轴分别交于M，N两点，则 面积的最小值是 .
四．解答题
15．（2024·河北衡水·一模）已知椭圆 过 和 两点. 分别为椭圆的左､
右焦点， 为椭圆上的点（ 不在 轴上），过椭圆右焦点 的直线 与椭圆交于 两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求 的范围.16．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，且点 在椭圆 上.
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知 为椭圆上三个点， 为坐标原点，若四边形 为矩形，求四边形 的面积.
17（2024·安徽·三模）已知椭圆 ： 的长轴长为4，左，右焦点分别为 ， ，上顶点为
A，其中直线 的斜率为 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知直线 与椭圆C交于M，N两点，若原点到直线 的距离为1，求 周长的取值范围.18．（2024·重庆·二模）已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，点 是其左､右顶点，
点 为 上异于 的点，满足直线 与 的斜率之积为 的周长为6.
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 过点 ，与椭圆 交于 两点，当 外接圆面积最小时，求直线 的方程.
19．（2024·陕西渭南·二模）已知椭圆 的左，右焦点分别为 ，Q为E短轴的一个端
点，若 是等边三角形，点 在椭圆E上，过点 作互相垂直且与x轴不重合的两直线AB，CD
分别交椭圆E于A，B，C，D，且M，N分别是弦AB，CD的中点．(1)求椭圆E的方程；
(2)求证：直线MN过定点；
(3)求 面积的最大值．
