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6.3 空间几何中的空间角与空间距离考点一 线线角
【例1-1】（2024辽宁省）如图，在直三棱柱 中，所有棱长都相等， 分别是棱
的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】（2024·青海·模拟预测）如图，在三棱锥P-ABC中， ， ，
，点D，E，F满足 ， ， ，则直线CE与DF所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【例1-3】（24-25 上海·单元测试）如图，在三棱锥 中， 为等边三角形， 为等腰直角三
角形， ，平面 平面ABC，D为AB的中点，则异面直线AC与PD所成角的余弦值为 ．
【一隅三反】1．（23-24安徽芜湖·期末）在三棱锥 中， ， ，E，F分别是 ， 的中点，
，则直线 与 所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2（23-24 ·福建厦门·期末）在四面体 中， ， ， ， ，则
与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25 上海·课堂例题）如图，在棱长为2的正方体中， 分别是 的中点，G在棱CD上，且
，H是 的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：
(1)求证： ；
(2)求异面直线EF与 所成角的余弦值.
考点二 线面角【例2-1】（23-24 黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在三棱锥 中， 平面
， 是 的中点，则 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【例2-2】（23-24 江苏徐州·期中）已知平行四边形 中， 是线段 的中点.沿
直线 将 翻折成 ，使得平面 平面 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
【一隅三反】
1．（22-23 云南昭通·期末）如图所示， 平面 ， ， ， 为的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
2．（2024贵州贵阳 ）如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， 平面 为 的中点.
(1)设平面 与直线 相交于点 ，求证： 平面 ；
(2)若 ，求直线 与平面 所成角的大小.
3 ．（23-24 ·广东·期末）如图，在三棱柱 中，侧棱 底面 ，底面 是正三角形，，点 、 分别在 、 上，且 ， ．
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的余弦值．
4．（23-24 安徽宣城·期末）如图，在四棱锥 中， 平面 ，且
， 分别为棱 的中点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值.
考点三 二面角【例3-1】（23-24 吉林白山 ）如图，在棱长为 的正方体 中， 为 的中点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值.
【例3-2】（2024·四川宜宾·模拟预测）如图，在四棱锥 中，底面 是正方形，
， ，点 为线段 的中点，点 在线段 上.
(1)若 ，求证： ；
(2)若 是 上靠近点 的三等分点，求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值.【一隅三反】
1．（23-24·河北邢台）已知正方体 ．
(1)证明： ．
(2)求二面角 的余弦值．
2．（2024四川凉山 ）如图，四棱锥 的底面是边长为3的菱形， ， .
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若 ， ，求二面角 的正切值.3．（2024·北京·高考真题）如图，在四棱锥 中， ， ， ,点 在 上，
且 ， ．
(1)若 为线段 中点，求证： 平面 ．
(2)若 平面 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
4 ．（2024·全国·高考真题）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形
ADEF均为等腰梯形， ， ， ， 为 的中点．
(1)证明： 平面 ；
(2)求二面角 的正弦值．考点四 点面距
【例4-1】（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，三棱柱 中， 是边长为2的等边三角形，
.
(1)证明： ；
(2)若三棱柱 的体积为3，且直线 与平面ABC所成角为60°，求点 到平面 的距离.
【一隅三反】
1．（2024·黑龙江·三模）如图，在直三棱柱 中， ， ， 为 的中点.
(1)证明： 平面 ；(2)若二面角 的余弦值为 ，求点 到平面 的距离.
2．（2024·福建福州·一模）如图，四边形ABCD是圆柱OE的轴截面，点F在底面圆O上，圆O的半径为1，
，点G是线段BF的中点．
(1)证明： 平面DAF；
(2)若直线DF与圆柱底面所成角为45°，求点G到平面DEF的距离．
考点五 点线距和线线距
【例5-1】（23-24 浙江·期中）空间点 ，则点 到直线 的距离 （ ）
A． B． C． D．
【例5-2】．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ，
， ， 为棱 的中点，直线 与 所成角的余弦值为 ．求：(1)点 到直线 的距离；
(2)二面角 的余弦值．
【一隅三反】
1（2024·广西来宾·一模）棱长为3的正方体 中，点E，F满足 ， ，则点
E到直线 的距离为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·天津北辰·三模）如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ∥ ，
， ， 为棱 的中点.(1)证明： ∥平面 ；
(2)求平面 和平面 夹角的余弦值；
(3)求A点到直线 的距离.
考点六 动点问题
【例6-1】（2023·广东韶关·一模）已知矩形 中， ， ， 是 的中点，如图所示，沿
将 翻折至 ，使得平面 平面 .
(1)证明： ；
(2)若 是否存在 ，使得 与平面 所成的角的正弦值是 ？若存在，求出 的值；
若不存在，请说明理由.
【例6-2】（2024·内蒙古呼和浩特·二模）如图，已知 平面 ， ， 是等腰直角三角形，其中 ，且 ．
(1)设线段 中点为 ，证明： 平面 ；
(2)在线段 上是否存在点 ，使得点 到平面 的距离等于 ，如果存在，求 的长．
【一隅三反】
1．（2023·天津·一模）已知底面 是正方形， 平面 ， ， ，点 、
分别为线段 、 的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)线段 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值是 ，若存在求出 的值，若不
存在，说明理由．2．（22-23高三下·湖南·阶段练习）如图1，在 中， ， ， 为 的中点， 为
上一点，且 .现将 沿 翻折到 ，如图2.
(1)证明： .
(2)已知二面角 为 ，在棱 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？
若存在，确定 的位置；若不存在，请说明理由.
3．（22-23高三上·山东济南·期末）如图，在三棱柱 中，四边形 是菱形， ，平面
平面 .
(1)证明： ；(2)已知 ， ，平面 与平面 的交线为 .在 上是否存在点 ，使直线 与平面
所成角的正弦值为 ?若存在，求线段 的长度；若不存在，试说明理由.
一、单选题
1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知直三棱柱 中， ， ， ，则异面
直线 与 所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·陕西·模拟预测）在平行六面体 中，已知 ，
，则下列选项中错误的一项是（ ）
A．直线 与BD所成的角为90°
B．线段 的长度为
C．直线 与 所成的角为90°
D．直线 与平面ABCD所成角的正弦值为
3．（2024·青海西宁·模拟预测）在直三棱柱 中， ， ， 为线段 的中点，点 在线段 上，且 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·河北沧州·二模）已知四面体 满足
，则点 到平面 的距离为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·内蒙古包头·一模）如图，底面 是边长为2的正方形，半圆面 底面 ，点 为圆弧
上的动点．当三棱锥 的体积最大时，二面角 的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·广西·模拟预测）如图，在棱长为2的正方体 中， 为线段 的中点， 为线段
的中点.直线 到平面 的距离为（ ）.
A． B． C． D．
7．（2024·河南·模拟预测）为体现市民参与城市建设、共建共享公园城市的热情，同时搭建城市共建共享平台，
彰显城市的发展温度，某市在中心公园开放长椅赠送点位，接受市民赠送的休闲长椅.其中观景草坪上一架长
椅因其造型简单别致，颇受人们喜欢（如图1）.已知 和 是圆 的两条互相垂直的直径，将平面 沿翻折至平面 ，使得平面 平面 （如图2）此时直线 与平面 所成角的正弦值为
（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·山东临沂·二模）已知正方体 中，M，N分别为 ， 的中点，则（ ）
A．直线MN与 所成角的余弦值为 B．平面 与平面 夹角的余弦值为
C．在 上存在点Q，使得 D．在 上存在点P，使得 平面
二、多选题
9．（2024高三上·湖北·开学考试）如图， 平面 ， ， ， ， ，
， ，则（ ）
A．
B． 平面
C．平面 与平面 的夹角的余弦值为
D．直线 与平面 所成角的正弦值为
10．（2024·江苏苏州·模拟预测）如图， 是矩形 所在平面外一点， ，二面角 为 ， 为 中点， 为 中点， 为 中点．则下列说法正确的是（ ）
A． B． 是二面角 的平面角
C． D． 与 所成的角的余弦值
11．（2023·全国·模拟预测）已知正方体 的棱长为2，E为线段 的中点， ，
其中 ， ，点Q在底面ABCD内（包括边界），且点Q到点A的距离与到平面 的距离相等，
则下列选项中正确的是（ ）
A．当 时， 的最小值为
B．当 时， 与 不垂直
C．当 时，存在点P，使得EP与平面 所成的角为
D．当 时，PQ的最小值为
三、填空题
12．（2024·浙江金华·三模）四棱锥 的底面 为正方形， 平面 ，且 ，
．四棱锥 的各个顶点均在球O的表面上， ， ，则直线l与平面 所成夹角的范
围为 ．
13．（2024·河北沧州·一模）如图，已知点 是圆台 的上底面圆 上的动点， 在下底面圆 上，
，则直线 与平面 所成角的余弦值的最小值为 ．14．（2024·四川成都·模拟预测）已知三棱锥 中， ， ， ，二
面角 的余弦值是 ．则当三棱锥 的体积最大时，其外接球的表面积是 ．
四．解答题
15．（2023·天津北辰·模拟预测）在四棱锥 中， 底面 ，且 ，四边形 是直角
梯形，且 ， ， ， ， 为 中点， 在线段 上，且 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求直线PB与平面 所成角的正弦值；
(3)求点 到PD的距离.16．（2024·广东广州·模拟预测）如图所示的空间几何体是以 为轴的 圆柱与以 为轴截面的半圆柱
拼接而成，其中 为半圆柱的母线，点 为弧 的中点.
(1)求证：平面 平面 ；
(2)当 ，平面 与平面 夹角的余弦值为 时，求点 到直线 的距离.
17．（2024·全国·高考真题）如图，平面四边形ABCD中， ， ， ， ，
，点E，F满足 ， ，将 沿EF翻折至 ，使得 ．
(1)证明： ；
(2)求平面PCD与平面PBF所成的二面角的正弦值．18．（2024·山西吕梁·三模）如图， 为圆锥的顶点， 为圆锥底面的圆心， 为底面直径， 为底面
圆 的内接正三角形，且 的边长为 ，点 在母线 上，且 ， .
(1)求证： ，并求三棱锥 的体积；
(2)若点 为线段 上的动点，当直线 与平面 所成角的正弦值最大时，求此时点 到平面 的距
离.
19．（2023·福建龙岩·二模）三棱柱 中， ， ，侧面 为矩形，
，三棱锥 的体积为 ．
(1)求侧棱 的长；(2)侧棱 上是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求出线段 的长；
若不存在，请说明理由．
