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7.5 空间向量求空间角（精练）（基础版）
题组一 线线角
1．（2022·辽宁丹东·模拟预测）在三棱锥 中， 平面ABC， ， 是正三角形，
M，N分别是AB，PC的中点，则直线MN，PB所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·贵州毕节·三模（理））在正四棱锥 中，底面边长为 ，侧棱长为 ，点P是底面
ABCD内一动点，且 ，则当A，P两点间距离最小时，直线BP与直线SC所成角的余弦值为
（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·青海·模拟预测（理））手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、
体、美、劳各方面得到全面发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成
是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形，其直观图如图所示， ， ，
P，Q，M，N分别是棱AB， ， ， 的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是______．4．（2023·全国·高三专题练习）如图所示， 是棱长为 的正方体， 、 分别是下底面
的棱 、 的中点， 是上底面的棱 上的一点， ，过 、 、 的平面交上底面于 ，
在 上，则异面直线 与 所成角的余弦值为___________．
题组二 线面角
1．（2022·上海市七宝中学高三阶段练习）如图所示，在长方体 中， ，
， 是棱 上的点，且 ．(1)求三棱锥 的体积；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值．
2．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱柱 中， 底面 ， 的中点为 ，
四面体 的体积为 ，四边形 的面积为 .
(1)求 到平面 的距离；
(2)设 与 交于点O， 是以 为直角的等腰直角三角形且 .求直线 与平面所成角的正弦值.
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，四棱锥 中，侧面 为等边三角形，且平面 底面
， ， ＝ ＝ ．
(1)证明： ；
(2)点 在棱 上，且 ＝ ，求直线 与平面 的夹角 的正弦值.
4．（2023·全国·高三专题练习（理））如图，四面体 中， ，E
为 的中点．
(1)证明：平面 平面 ；
(2)设 ，点F在 上，当 的面积最小时，求 与平面 所成的角的正
弦值．5．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直三棱柱 中， ， ， ，
E分别是 ，AB的中点，且 .
(1)证明： ；
(2)求 与平面 所成角的正弦值.
题组三 二面角
1．（2022·广东惠州·高三阶段练习）如图，在五面体 中， 为边长为2的等边三角形，
平面 ， ， .
(1)求证：平面 平面 ；(2)若直线 与平面 所成角的正切值为 ，求平面BDE与平面ABC所成锐二面角的余弦值.
2．（2023·全国·高三专题练习（理））如图，在四棱锥 中，四边形 为直角梯形，
，平面 平面 .
(1)证明： .
(2)若四棱锥 的体积为 ，求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值.
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，
AD⊥DC，AB∥DC，AB=2AD=2CD=2，点E是PB的中点.
(1)证明：平面EAC⊥平面PBC；
(2)若直线PB与平面PAC所成角的正弦值为 ；①求三棱锥P-ACE的体积；
②求二面角P-AC-E的余弦值.
4．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））如图1，在等边 中，点D，E分别为边AB，AC上的动点
且满足 ，记 .将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，连接
MB，MC得到图2，点N为MC的中点．(1)当EN∥平面MBD时，求λ的值；
(2)试探究：随着λ值的变化，二面角BMDE的大小是否改变？如果改变，请说明理由；如果不改变，请求
出二面角 的正弦值大小．
5．（2023·山西大同·高三阶段练习）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ，
是等腰直角三角形， 是底角.(1)求证：平面 平面 .
(2)若 ，求二面角 的余弦值.
6．（2022·广东惠州·高三阶段练习）如图，在四棱锥P−ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥CD，BC=BP，
CD=2AB=4，△ADP是等边三角形，E为DP的中点.
(1)证明：AE⊥平面PCD；
(2)若 ，求平面PBC与平面PAD夹角的余弦值.
