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7.6 空间向量求空间距离（精练）（基础版）
题组一 点线距
1．（2022·湖南益阳）在棱长为1的正方体 中， 为 的中点，则点 到直线 的距
离为（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2022·山东）点 是直线 上一点， 是直线 的一个方向向量，则点 到直线 的
距离是______．
3．（2022云南）如图，已知三棱柱 的棱长均为2， ， ．
(1)证明：平面 平面ABC；
(2)设M为侧棱 上的点，若平面 与平面ABC夹角的余弦值为 ，求点M到直线 距离．题组二 点面距
1．（2022·新疆）如图所示，在四棱锥 中， 平面 ， ，在四边形 中，
， ， ，点 在 上， ， 与平面 成 的角．
(1)求证： 平面 ；
(2)点 到平面 的距离．
2．（2022·重庆一中）已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形， 平面ABCD，求证：(1) 平面SAC；
(2)若 ，求点C到平面SBD的距离.
3．（2022·上海）如图， 是矩形， 平面 ， ， ， 、 分别是
、 的中点，求点 到平面 的距离.
4．（2022·北京）已知 ， 分别是正方形 边 ， 的中点， 交 于 ， 垂直于
所在平面．(1)求证： 平面 ．
(2)若 ， ，求点 到平面 的距离．
5．（2023·全国·高三专题练习）在如图所示的五面体 中，面 是边长为2的正方形，
平面 ， ，且 ， 为 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求二面角 的余弦值；
(3)求点 到平面 的距离.
6．（2022·湖南·周南中学）某校积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九
章算术》中提到了“刍甍”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E、F、G
分别是正方形的三边AB、CD、AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB、CG就得到了一个“刍甍”（如图2）．
(1)若 是四边形 对角线的交点，求证： 平面 ；
(2)若二面角 是直二面角，求点 到平面 的距离．
7．（2022·重庆长寿）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD， ，
E、F分别是PC、AD中点．(1)求直线DE和PF夹角的余弦值；
(2)求点E到平面PBF的距离．
8．（2022·河北唐山）如图，已知长方体 ＝ ＝1，直线BD与平面 所成的
角为30°，AE垂直BD于E，F为 的中点．
(1)求异面直线AE与BF所成的角的余弦；
(2)求点A到平面BDF的距离．
题组三 线线距
1．（2022·全国·课时练习）如图，多面体 是由长方体一分为二得到的， ，， ，点D是 中点，则异面直线 与 的距离是______．
2．（2022·福建）如图，在正方体 中，AB＝1，M，N分别是棱AB， 的中点，E是BD
的中点，则异面直线 ，EN间的距离为______.
3．（2022·浙江）如图，正四棱锥 的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直
线AB，CE上的动点，则MN的最小值为______．
4．（2022·湖北）如图，棱长为1的正方体ABCD-ABC D 中，N是棱AD的中点，M是棱CC 上的点，且
1 1 1 1 1
CC =3CM，则直线BM与BN之间的距离为____.
1 1题组四 线面距
1．（2022·重庆一中）如图，在正三棱柱 中，已知 ，D为 的中点，E在
上．
(1)若 ，证明：DE⊥CE；
(2)若 平面CDE，求直线 和平面CDE的距离．
2．（2022·河南）如图，长方体 的棱长DA、DC和 的长分别为1、2、1．求：(1)顶点B到平面 的距离；
(2)直线 到平面 的距离．
3．（2022·北京市）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，平面 平面 ，
， ，在棱 上取点 ，使得 平面 .
(1)求证： 为 中点；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)求直线 到平面 的距离.题组五 面面距
1．（2022·河北）正方体 的棱长为 ，则平面 与平面 的距离为_______.
2．（2022·全国·高二专题练习）直四棱柱 中，底面 为正方形，边长为 ，侧棱
， 分别为 的中点， 分别是 的中点．
(1)求证：平面 平面 ；
(2)求平面 与平面 的距离．3．（2022·湖南）在棱长为 的正方体 中， 、 分别是 、 的中点，求平面
与平面 之间的距离．
4．（2022·湖南）在正方体 中，M，N，E，F分别为 ， ， ， 的中点，棱
长为4，求平面MNA与平面EFBD之间的距离．
5．（2022·湖南）如图，已知正方体 的棱长为2，E，F，G分别为AB，BC， 的中点．(1)求证：平面 平面EFG；
(2)求平面 与平面EFG间的距离．
