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§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
考试要求 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线
和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
知识梳理
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离 相切 相交
图形
方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0
量化
几何观点 d>r d＝r d r ＋ r
1 2
外切 d ＝ r ＋ r
1 2
相交 | r － r |< d < r ＋ r
1 2 1 2
内切 d ＝ | r － r|
1 2
内含 d < | r － r|
1 2
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，
得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·.
常用结论1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x，y)的圆的切线方程为xx＋yy＝r2.
0 0 0 0
(2)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x，y)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为xx＋yy＝r2.
0 0 0 0
2．圆与圆的位置关系的常用结论
(1)两圆相交时，其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到．
(2)两个圆系方程
①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F
＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；
②过圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0和圆C ：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2
1 1 1 1 2 2 2 2
＋y2＋Dx＋Ey＋F ＋λ(x2＋y2＋Dx＋Ey＋F)＝0(λ≠－1)(其中不含圆C ，所以注意检验C
1 1 1 2 2 2 2 2
是否满足题意，以防丢解)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离．( × )
(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( × )
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切．( √ )
(4)在圆中最长的弦是直径．( √ )
教材改编题
1．直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．相切或相交
答案 A
解析 圆心到直线的距离为d＝＝1<4，所以直线与圆相交．
2．直线m：x＋y－1＝0被圆M：x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦长为( )
A．4 B．2 C. D.
答案 B
解析 ∵x2＋y2－2x－4y＝0，
∴(x－1)2＋(y－2)2＝5，
∴圆M的圆心坐标为(1,2)，半径为，
又点(1,2)到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝，
∴直线m被圆M截得的弦长等于2＝2.
3．若圆C ：x2＋y2＝16与圆C ：(x－a)2＋y2＝1相切，则a的值为( )
1 2
A．±3 B．±5
C．3或5 D．±3或±5
答案 D解析 圆C 与圆C 的圆心距为d＝＝|a|.当两圆外切时，有|a|＝4＋1＝5，∴a＝±5；当两圆
1 2
内切时，有|a|＝4－1＝3，∴a＝±3.
题型一 直线与圆的位置关系
命题点1 位置关系的判断
例1 (1)(多选)(2021·新高考全国Ⅱ)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，
b)，则下列说法正确的是( )
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
答案 ABD
解析 圆心C(0,0)到直线l的距离d＝，
若点A(a，b)在圆C上，则a2＋b2＝r2，
所以d＝＝|r|，则直线l与圆C相切，故A正确；
若点A(a，b)在圆C内，则a2＋b2|r|，
则直线l与圆C相离，故B正确；
若点A(a，b)在圆C外，则a2＋b2>r2，
所以d＝<|r|，则直线l与圆C相交，故C错误；
若点A(a，b)在直线l上，则a2＋b2－r2＝0，
即a2＋b2＝r2，
所以d＝＝|r|，则直线l与圆C相切，故D正确．
(2)直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0的位置关系为( )
A．相交、相切或相离 B．相交或相切
C．相交 D．相切
答案 C
解析 方法一 直线kx－y＋2－k＝0的方程可化为k(x－1)－(y－2)＝0，该直线恒过定点
(1,2)．
因为12＋22－2×1－8<0，
所以点(1,2)在圆x2＋y2－2x－8＝0的内部，
所以直线kx－y＋2－k＝0与圆x2＋y2－2x－8＝0相交．
方法二 圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝32，所以圆的圆心为(1,0)，半径为3.圆心到直线kx－y
＋2－k＝0的距离为＝≤2<3，所以直线与圆相交．思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系判断．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
命题点2 弦长问题
例2 (1)(2022·北京模拟)已知圆x2＋y2＝4截直线y＝k(x－2)所得弦的长度为2，那么实数k
的值为( )
A．± B. C. D．±
答案 D
解析 圆x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径r＝2，
点(0,0)到直线y＝k(x－2)的距离d＝，
则弦长为2＝2，得2＝2，
解得k＝±.
(2)(2023·滁州模拟)已知过点P(0,1)的直线l与圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0相交于A，B两点，则
当|AB|＝2时，直线l的方程为________．
答案 x＝0或3x＋4y－4＝0
解析 因为圆x2＋y2＋2x－6y＋6＝0可以化为(x＋1)2＋(y－3)2＝4，
所以圆心为(－1,3)，半径为r＝2，
因为|AB|＝2，所以圆心到直线的距离为d＝＝1，
当直线l斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，
此时圆心(－1,3)到直线x＝0的距离为1，满足条件；
当直线l斜率存在时，设斜率为k，
直线l的方程为y＝kx＋1，
则圆心(－1,3)到直线l的距离d＝＝1，
解得k＝－，
此时直线l的方程为3x＋4y－4＝0，
综上，所求直线的方程为3x＋4y－4＝0或x＝0.
思维升华 弦长的两种求法
(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长．
(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
命题点3 切线问题
例3 已知点P(＋1,2－)，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长．解 由题意得圆心C(1,2)，半径r＝2.
(1)∵(＋1－1)2＋(2－－2)2＝4，
∴点P在圆C上．
又k ＝＝－1，
PC
∴过点P的切线的斜率为－＝1，
∴过点P的圆C的切线方程是y－(2－)＝1×[x－(＋1)]，
即x－y＋1－2＝0.
(2)∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，
∴点M在圆C外．
当过点M的直线的斜率不存在时，
直线方程为x＝3，即x－3＝0.
又点C(1,2)到直线x－3＝0的距离d＝3－1＝2＝r，
∴直线x＝3是圆的切线；
当切线的斜率存在时，设切线方程为y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0，
由圆心C到切线的距离d′＝＝r＝2，解得k＝.
∴切线方程为y－1＝(x－3)，
即3x－4y－5＝0.
综上，过点M的圆C的切线方程为x－3＝0或3x－4y－5＝0.
∵|MC|＝＝，
∴过点M的圆C的切线长为＝＝1.
思维升华 当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法
(1)几何法：设切线方程为y－y ＝k(x－x)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距
0 0
离d，然后令d＝r，进而求出k.
(2)代数法：设切线方程为y－y ＝k(x－x)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二
0 0
次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
注意验证斜率不存在的情况．
命题点4 直线与圆位置关系中的最值(范围)问题
例4 (2023·龙岩模拟)已知点P(x ，y)是直线l：x＋y＝4上的一点，过点P作圆O：x2＋y2
0 0
＝2的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PAOB的面积的最小值为________．
答案 2
解析 由圆O：x2＋y2＝2，得r＝，
四边形PAOB的面积S＝2S ＝|PA|·|AO|＝|PA|，
△PAO
∵点P(x，y)是直线l：x＋y＝4上的一点，
0 0∴P(x，4－x)，
0 0
则|PA|＝＝，
又|PO|2＝x＋(4－x)2＝2x－8x＋16＝2(x－2)2＋8≥8，
0 0 0
∴|PO|2－2≥6，则|PA|≥，
∴四边形PAOB的面积的最小值为×＝2.
思维升华 涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长
度表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果．
跟踪训练1 (1)(2022·宣城模拟)在平面直角坐标系中，直线xcos α＋ysin α＝1(α∈R)与圆
O：x2＋y2＝的位置关系为( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．相交或相切
答案 D
解析 因为圆心到直线的距离d＝＝≤，当且仅当α＝kπ＋(k∈Z)时，取得等号，
又圆x2＋y2＝的半径为，
所以直线与圆相交或相切．
(2)(2023·昆明模拟)直线2x·sin θ＋y＝0被圆x2＋y2－2y＋2＝0截得的弦长的最大值为( )
A．2 B．2 C．3 D．2
答案 D
解析 易知圆的标准方程为x2＋(y－)2＝3，所以圆心为(0，)，半径r＝，
由题意知圆心到直线2x·sin θ＋y＝0的距离d＝<，解得sin2θ>，
所以弦长为2＝2，
因为<4sin2θ＋1≤5，
所以1≤<3，
所以2＝2∈(0,2]．
所以当4sin2θ＋1＝5，即sin2θ＝1时，弦长有最大值2.
题型二 圆与圆的位置关系
例5 (1)(2023·扬州联考)已知圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝16和两点A(0，－m)，B(0，m)，若圆
C上存在点P，使得AP⊥BP，则m的最大值为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 C
解析 因为两点A(0，－m)，B(0，m)，点P满足AP⊥BP，
故点P的轨迹C 是以A，B为直径的圆(不包含A，B)，
1
故其轨迹方程为x2＋y2＝m2(x≠0)，
又圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝16上存在点P，故两圆有交点，又|CC |＝＝3，
1
则|4－|m||≤3≤4＋|m|，
解得|m|∈[1,7]，则m的最大值为7.
(2)圆C ：x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆C ：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直线的方程
1 2
为______________，公共弦长为________．
答案 x－2y＋4＝0 2
解析 联立两圆的方程得
两式相减并化简，得x－2y＋4＝0，
即为两圆公共弦所在直线的方程．
由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，
得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，
则圆C 的圆心坐标为(1，－5)，半径r＝5，
1
圆心到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝＝3.
设公共弦长为2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，
即50＝(3)2＋l2，解得l＝，
故公共弦长为2.
思维升华 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径
之间的关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
跟踪训练2 (1)(2023·齐齐哈尔模拟)已知圆M：x2＋y2－4y＝0与圆N：x2＋y2－2x－3＝0，
则圆M与圆N的位置关系为( )
A．内含 B．相交 C．外切 D．外离
答案 B
解析 圆M：x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径R＝2.
圆N：x2＋y2－2x－3＝0，即(x－1)2＋y2＝4，圆心N(1,0)，半径r＝2，
则|MN|＝＝，故有|R－r|<|MN|0，则点O(0,0)到l 的距离为1，
3
所以1＝，
解得t＝或t＝－(舍去)，
所以公切线l 的方程为y＝－x＋，
3
即3x＋4y－5＝0.
综上，所求直线方程为x＝－1或7x－24y－25＝0或3x＋4y－5＝0.
课时精练
1．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4与直线3x＋4y＋5＝0的位置关系为( )
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
答案 B
解析 由题意知，圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心为(－1,2)，半径r＝2，
则圆心到直线3x＋4y＋5＝0的距离d＝＝2＝r，所以直线3x＋4y＋5＝0与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的位置关系是相切．
2．(2023·南京模拟)在平面直角坐标系中，圆O ：(x－1)2＋y2＝1和圆O ：x2＋(y－2)2＝4的
1 2
位置关系是( )
A．外离 B．相交 C．外切 D．内切
答案 B
解析 由题意知，圆O：(x－1)2＋y2＝1，可得圆心坐标O(1,0)，半径r＝1，
1 1 1
圆O：x2＋(y－2)2＝4，可得圆心坐标为O(0,2)，半径r＝2，
2 2 2
则两圆的圆心距|OO|＝＝，
1 2
则2－1<<2＋1，即|r－r|<|OO|－18.
因为圆C上有到(－1,0)的距离为1的点，
所以圆C与圆C′：(x＋1)2＋y2＝1有公共点，所以|－1|≤|CC′|≤＋1.
因为|CC′|＝＝5，所以|－1|≤5≤＋1，解得－2≤m≤18.
6．(多选)在平面直角坐标系中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝k(x＋1)上存在一点
P，使过点P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的可能取值是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 AB
解析 由x2＋y2－4x＝0，得(x－2)2＋y2＝4，则圆心为C(2,0)，半径r＝2，过点P所作的圆
的两条切线相互垂直，设两切点分别为A，B，连接AC，BC(图略)，所以四边形PACB为正
方形，即PC＝r＝2，圆心到直线的距离d＝≤2，即－2≤k≤2，结合选项知实数k的可能取
值是1,2.
7．(2022·阳泉模拟)若直线(m＋1)x＋my－2m－1＝0与圆x2＋y2＝3交于M，N两点，则弦长|
MN|的最小值为________．
答案 2
解析 直线MN的方程可化为m(x＋y－2)＋x－1＝0，由得
所以直线MN过定点A(1,1)，
因为12＋12<3，即点A在圆x2＋y2＝3内，
圆x2＋y2＝3的圆心为原点O，半径为，
当OA⊥MN时，圆心O到直线MN的距离取得最大值，
此时|MN|取最小值，故|MN| ＝2＝2.
min
8．(2022·鸡西模拟)过点P(4,2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，则△PAB外接
圆的方程是________．
答案 (x－2)2＋(y－1)2＝5
解析 由圆x2＋y2＝4，得到圆心为O(0,0)，由题意知O，A，B，P四点共圆，△PAB的外接
圆即四边形OAPB的外接圆，又点P(4,2)，从而OP的中点坐标(2,1)为所求圆的圆心，|OP|
＝为所求圆的半径，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
9．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)当m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
解 两圆的标准方程分别为
(x－1)2＋(y－3)2＝11，
(x－5)2＋(y－6)2＝61－m(m<61)，
则圆心分别为(1,3)，(5,6)，
半径分别为和.
(1)当两圆外切时，
＝＋.解得m＝25＋10.
(2)两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.
所以公共弦的长为2× ＝2.
10．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4.
(1)若直线l：(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0(m∈R)，证明：无论m为何值，直线l都与圆C相
交；
(2)若过点P(1,0)的直线m与圆C相交于A，B两点，求△ABC面积的最大值，并求此时直线
m的方程．
(1)证明 转化l的方程(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0，
可得m(x－y＋1)－2x＋y＋1＝0，
由解得
所以直线l恒过点(2,3)，
由(2－3)2＋(3－4)2＝2<4，
得点(2,3)在圆内，
即直线l恒过圆内一点，
所以无论m为何值，直线l都与圆C相交．
(2)解 由C的圆心为(3,4)，半径r＝2，
易知此时直线m的斜率存在且不为0，
故设直线m的方程为x＝my＋1(m≠0)，
直线m的一般方程为my－x＋1＝0，
圆心到直线m的距离d＝＝，
所以|AB|＝2＝2，
所以S2＝2
＝·，
令t＝，可得S2＝4t－t2，当t＝2时，S＝4，
所以△ABC面积的最大值为2，
此时由2＝，得7m2－8m＋1＝0，
得m＝1或m＝，符合题意，
此时直线m的方程为x－y－1＝0或7x－y－7＝0.
11．若一条光线从点A(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射
光线所在直线的斜率为( )A．－或－ B．－或－
C．－或－ D．－或－
答案 D
解析 点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由题意知，反射光线所在的直线一定过
点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－
2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，得＝1，解得k＝－或k＝－.
12．(2022·合肥模拟)已知圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2－x＋y－3＝0相交于A，B两点，
则sin∠AOB＝________.
答案
解析 因为圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2－x＋y－3＝0相交于A，B两点，
所以直线AB的方程为(x2＋y2－4)－(x2＋y2－x＋y－3)＝0，即x－y－1＝0，
所以圆心O(0,0)到弦AB的距离为d＝，
所以|AB|＝2＝，
所以在△AOB中，|OA|＝|OB|＝2，由余弦定理得cos∠AOB＝＝－，
所以sin∠AOB＝＝＝.
13．(多选)(2021·新高考全国Ⅰ)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4,0)，B(0,2)，则
( )
A．点P到直线AB的距离小于10
B．点P到直线AB的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|＝3
D．当∠PBA最大时，|PB|＝3
答案 ACD
解析 设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5,5)，由题易知直线AB的方程为＋＝1，即x＋
2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝＝>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P到直
线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋，因为4＋<5＋＝10，故A正确．
易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4，－4<－4＝1，故B不正确．
过点B作圆M的两条切线，切点分别为 N，Q，如图所示，连接 MB，MN，MQ，则当
∠PBA最小时，点P与N重合，|PB|＝＝＝3，当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝3，故C，D都正确．
14．(2023·衡水中学模拟)设直线3x＋4y－5＝0与圆C ：x2＋y2＝9交于A，B两点，若圆C
1 2
的圆心在线段AB上，且圆C 与圆C 相切，切点在圆C 的劣弧AB上，则圆C 的半径的最
2 1 1 2
大值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 圆C ：x2＋y2＝9的圆心为原点O(0,0)，半径r＝3，
1 1
依题意，得圆C 的圆心C 在圆C 内，设半径为r，如图，
2 2 1 2
因为圆C 与圆C 内切，
2 1
则|OC |＝r－r，
2 1 2
即r＝r－|OC |，而点C 在线段AB上，
2 1 2 2
过O作OP⊥AB于P，则|OP|＝＝1，
显然|OC |≥|OP|，当且仅当点C 与点P重合时取“＝”，所以(r) ＝r－|OP|＝3－1＝2，
2 2 2 max 1
即圆C 的半径的最大值是2.
2
