文档内容
§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
考试要求 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线
和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．
1．直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系的判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2 个 1 个 0 个
几何法：设圆心到直线的距离d＝ dr
判定
代数法：由
方法 Δ>0 Δ＝0 Δ<0
消元得到一元二次方程根的判别式Δ
2．圆与圆位置关系的判定
(1)几何法
若两圆的半径分别为r，r，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：
1 2
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d 与 r ， 0≤d<|r－r|
1 1 2
d> r ＋ r d＝r ＋ r |r－r|0，得－32，∴点A(3,5)在圆外．显然，当切线斜率不存在时，直线与圆相切，即切线方
程为x－3＝0，当切线斜率存在时，可设所求切线方程为y－5＝k(x－3)，即kx－y＋5－3k＝
0.又圆心为(1,2)，半径r＝2，而圆心到切线的距离d＝＝2，
即|3－2k|＝2，∴k＝，故所求切线方程为5x－12y＋45＝0或x－3＝0.
题型一 直线与圆的位置关系
例1 (1)(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则以
下几个命题正确的有( )
A．直线l恒过定点(3,1) B．直线l与圆C相切
C．直线l与圆C恒相交 D．直线l与圆C相离
答案 AC
解析 将直线l的方程整理为x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，
由解得
则无论m为何值，直线l过定点(3,1)，故直线l与圆C恒相交，故AC正确．
(2)若圆x2＋y2＝r2(r>0)上恒有4个点到直线l：x－y－2＝0的距离为1，则实数r的取值范围
是( )
A．(＋1，＋∞) B．(－1，＋1)
C．(0，－1) D．(0，＋1)
答案 A
解析 计算得圆心到直线l的距离为＝>1，如图．直线l：x－y－2＝0与圆相交，l，l 与l平
1 2
行，且与直线l的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 的距离＋1.
2
思维升华 判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
跟踪训练1 (1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系
是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
答案 B
解析 因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，
所以a2＋b2>1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝<1.所以直线与圆相交．
(2)(2020·安徽江淮十校联考)已知直线l：xcos α＋ysin α＝1(α∈R)与圆C：x2＋y2＝r2(r>0)相
交，则r的取值范围是 ( )
A．01
答案 D
解析 圆心到直线的距离d＝＝1，故r>1.
题型二 圆的切线、弦长问题
命题点1 切线问题
例2 (1)(2021·银川模拟)与3x＋4y＝0垂直，且与圆(x－1)2＋y2＝4相切的一条直线是( )
A．4x－3y＝6 B．4x－3y＝－6
C．4x＋3y＝6 D．4x＋3y＝－6
答案 B
解析 设与直线3x＋4y＝0垂直的直线方程为l：4x－3y＋m＝0，
直线l与圆(x－1)2＋y2＝4相切，则圆心(1,0)到直线l的距离为半径2，即＝2，
所以m＝6或m＝－14，所以4x－3y＋6＝0，或4x－3y－14＝0，结合选项可知B正确．
(2)(2019·浙江)已知圆C的圆心坐标是(0，m)，半径长是r.若直线2x－y＋3＝0与圆C相切于
点A(－2，－1)，则m＝________，r＝________.
答案 －2
解析 方法一 设过点A(－2，－1)且与直线2x－y＋3＝0垂直的直线方程为l：x＋2y＋t＝
0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0，令x＝0，得m＝－2，则r＝＝.
方法二 因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所
以×2＝－1，所以m＝－2，r＝＝.
命题点2 弦长问题
例3 (1)(多选)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是( )
A．圆M的圆心为(4，－3)
B．圆M被x轴截得的弦长为8
C．过原点的最短弦长为8
D．圆M被y轴截得的弦长为6
答案 ABD
解析 圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，
则(x－4)2＋(y＋3)2＝25.圆的圆心坐标为(4，－3)，半径为5.过原点的最短弦长为6，选项C
不正确．ABD均正确．
(2)过点P(0,2)引一条直线l交圆(x－1)2＋y2＝4于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为________．
答案 x＝0或3x＋4y－8＝0
解析 当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝0，可求出它与圆(x－1)2＋y2＝4的两交点坐
标分别为(0，)，(0，－)，所以弦长|AB|＝2，满足题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的
方程为y＝kx＋2，即kx－y＋2＝0.
如图，设圆心为C，点D是弦AB的中点，连接CD，AC，
则CD⊥AB.在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，|AC|＝r＝2，|AD|＝|AB|＝，
故|CD|＝＝＝1，即＝1，解得k＝－，
这时直线l的方程为3x＋4y－8＝0.
故所求直线方程为x＝0或3x＋4y－8＝0.
思维升华 (1)判断直线与圆的位置关系常用几何法．
(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．
(3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．
跟踪训练2 (1)已知过原点的直线l与圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B，且线
段AB的中点坐标为D(2，)，则弦长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 A
解析 将圆C：x2＋y2－6x＋5＝0整理，得其标准方程为(x－3)2＋y2＝4，所以圆C的圆心坐
标为(3,0)，半径为2.因为线段AB的中点坐标为D(2，)，所以|CD|＝＝，所以|AB|＝2＝2.
(2)过直线y＝2x＋3上的点作圆C：x2＋y2－4x＋6y＋12＝0的切线，则切线长的最小值为(
)
A. B．2 C. D.
答案 A
解析 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝1，要使切线长最小，只需直线y＝2x＋3上的点和
圆心之间的距离最短，此最小值即为圆心(2，－3)到直线y＝2x＋3的距离d，d＝＝2，故切
线长的最小值为＝.
(3)过点(2,0)引直线l与圆x2＋y2＝2相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB面积取最大
值时，直线l的斜率为________．
答案 ±
解析 由题意可得，直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x－
2)，即kx－y－2k＝0，当△AOB面积取最大值时，OA⊥OB，此时圆心O到直线的距离为d＝1，由点到直线的距离公式得d＝＝1⇒k＝±.
题型三 圆与圆的位置关系
例4 已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切？
(2)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
解 两圆的标准方程分别为
(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，
半径分别为和.
(1)当两圆外切时，
＝＋.
解得m＝25＋10.
(2)两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.
由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为2×＝2.
思维升华 (1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之
间的关系，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
跟踪训练3 (1)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M
与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
答案 B
解析 由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的距离d＝，
所以2＝2，解得a＝2，圆M，圆N的圆心距|MN|＝小于两圆半径之和1＋2，大于两圆半径
之差1，故两圆相交．
(2)若圆x2＋y2＝a2与圆x2＋y2＋ay－6＝0的公共弦长为2，则a＝________.
答案 ±2
解析 两圆方程作差得公共弦所在直线方程为 a2＋ay－6＝0.原点到a2＋ay－6＝0的距离为
d＝.
∵公共弦长为2，∴a2＝()2＋2，
∴a2＝4，a＝±2.公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在《平面轨迹》一书中，曾研究了众
多的平面轨迹问题，其中有如下结果：
到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆．如图，点A，B为两定点，动点P满
足|PA|＝λ|PB|.
则λ＝1时，动点P的轨迹为直线；当λ>0且λ≠1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波
罗尼斯圆．
证明：设|AB|＝2m(m>0)，|PA|＝λ|PB|，以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐
标系，
则A(－m,0)，B(m,0)．
又设P(x，y)，则由|PA|＝λ|PB|得＝λ，
两边平方并化简整理得(λ2－1)x2－2m(λ2＋1)x＋(λ2－1)y2＝m2(1－λ2)．
当λ＝1时，x＝0，轨迹为线段AB的垂直平分线；
当λ>0且λ≠1时，2＋y2＝，轨迹为以点为圆心，为半径的圆．
上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理．
例1 在平面直角坐标系xOy中，设点A(1,0)，B(3,0)，C(0，a)，D(0，a＋2)，若存在点P，
使得|PA|＝|PB|，|PC|＝|PD|，则实数a的取值范围是________．
答案 [－2－1,2－1]
解析 设P(x，y)，则＝·，整理得(x－5)2＋y2＝8，即动点P在以(5,0)为圆心，2为半径的圆
上运动．另一方面，由|PC|＝|PD|知动点P在线段CD的垂直平分线y＝a＋1上运动，因而
问题就转化为直线y＝a＋1与圆(x－5)2＋y2＝8有交点．所以|a＋1|≤2.故实数a的取值范围
是[－2－1,2－1]．
例2 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为
1，圆心在l上．
(1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使|MA|＝2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围．
解 (1)联立
得圆心为C(3,2)．
切线的斜率存在，设切线方程为y＝kx＋3.
圆心C到切线的距离d＝＝r＝1，
得k＝0或k＝－.
故所求切线方程为y＝3或3x＋4y－12＝0.
(2)设点M(x，y)，由|MA|＝2|MO|，
知＝2，
化简得x2＋(y＋1)2＝4.
即点M的轨迹为以(0，－1)为圆心，2为半径的圆，
可记为圆D.
又因为点M也在圆C上，故圆C与圆D的关系为相交或相切．
故1≤|CD|≤3，
其中|CD|＝.
解得0≤a≤.
即圆心C的横坐标a的取值范围是.
课时精练
1．直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
答案 A
解析 方法一 由题意知，圆心(0,1)到直线l的距离d＝<1<，故直线l与圆相交．
方法二 直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，
因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，
所以直线l与圆相交．
2．圆O：x2＋y2－2x＝0和圆O：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )
1 2
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
答案 B
解析 圆O 的圆心坐标为(1,0)，半径长r ＝1，圆O 的圆心坐标为(0,2)，半径长r ＝2，所
1 1 2 2以两圆的圆心距d＝，而r－r＝1，r＋r＝3，则有r－r0，∴a<2，
圆心到直线x＋y－4＝0的距离d＝＝2.
则弦长为2＝2<6.
解得a>－15，故－150)上存在点P，
1
且点P关于直线x－y＝0的对称点Q在圆C ：(x－2)2＋(y－1)2＝1上，则r的取值范围是
2
________．
答案 [－1，＋1]
解析 圆C 关于直线x－y＝0对称的圆C 的方程为(x－1)2＋y2＝r2(r>0)，则圆C 与圆C 存
1 3 3 2
在公共点，所以|r－1|≤≤r＋1，所以r∈[－1，＋1]．
15．已知直线l：x＋y－1＝0截圆Ω：x2＋y2＝r2(r>0)所得的弦长为，点M，N在圆Ω上，且
直线l′：(1＋2m)x＋(m－1)y－3m＝0过定点P，若PM⊥PN，则|MN|的取值范围为( )
A．[2－，2＋] B．[2－，2＋]
C．[－，＋] D．[－，＋]
答案 D
解析 由题意得，2＝，解得r＝2，因为直线l′：(1＋2m)x＋(m－1)y－3m＝0过定点P，故
P(1,1)；设MN的中点为Q(x，y)，则|OM|2＝|OQ|2＋|MQ|2＝|OQ|2＋|PQ|2，即4＝x2＋y2＋(x－
1)2＋(y－1)2，化简可得2＋2＝，所以点Q的轨迹是以为圆心，为半径的圆，P到圆心的距离
为，所以|PQ|的取值范围为，|MN|的取值范围为[－，＋]．
16．已知圆C经过(2,4)，(1,3)两点，圆心C在直线x－y＋1＝0上，过点A(0,1)且斜率为k的
直线l与圆C相交于M，N两点．
(1)求圆C的方程；
(2)①请问AM·AN是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；
②若OM·ON＝12(O为坐标原点)，求直线l的方程．
解 (1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
依题意，得解得
∴圆C的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.
(2)①AM·AN为定值．
过点A(0,1)作直线AT与圆C相切，切点为T，
易得|AT|2＝7，∴AM·AN＝|AM|·|AN|cos 0°＝|AT|2＝7，
∴AM·AN为定值，且定值为7.
②依题意可知，直线l的方程为y＝kx＋1，设M(x ，y)，N(x ，y)，将y＝kx＋1代入(x－2)2
1 1 2 2
＋(y－3)2＝1，
并整理，得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，
∴x＋x＝，xx＝，
1 2 1 2
∴OM·ON＝xx＋yy＝(1＋k2)xx＋k(x＋x)＋1＝＋8＝12，即＝4，解得k＝1，
1 2 1 2 1 2 1 2
又当k＝1时，Δ>0，∴k＝1，
∴直线l的方程为y＝x＋1.
