文档内容
第4讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
最新考纲 考向预测
1.能根据给定直线、圆的方程 考查直线与圆的位置关系、圆与圆
判断直线与圆的位置关系；能 的位置关系的判断；根据位置关系
根据给定两个圆的方程判断圆 命题趋 求参数的范围、最值、几何量的大
与圆的位置关系. 势 小等．题型主要以选择题、填空题
2.能用直线和圆的方程解决一 为主，要求相对较低，但内容很重
些简单的问题. 要，有时也会在解答题中出现.
3.初步了解用代数方法处理几 核心素
直观想象、数学建模
何问题的思想. 养
1．直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二
次方程的判别式为Δ.
方法
几何法 代数法
位置关系
相交 d0
相切 d＝r Δ＝0
相离 d>r Δ<0
2.圆与圆的位置关系
设圆O ：(x－a )2＋(y－b )2＝r(r >0)，
1 1 1 1
圆O ：(x－a )2＋(y－b )2＝r(r >0)．
2 2 2 2
方法 几何法：圆心距d与r ，r 代数法：两圆方程联立组
1 2
位置关系 的关系 成方程组的解的情况
外离 d > r ＋ r 无解
1 2
外切 d ＝ r ＋ r 一组实数解
1 2
相交 | r － r |< d < r ＋ r 两组不同的实数解
1 2 1 2
内切 d＝|r －r |(r ≠r ) 一组实数解
1 2 1 2
内含 0≤d<|r －r |(r ≠r ) 无解
1 2 1 2常用结论
1．圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x ，y )的圆的切线方程为x x＋y y＝r2.
0 0 0 0
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x ，y )的圆的切线方程为(x －a)(x－a)＋
0 0 0
(y －b)(y－b)＝r2.
0
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x ，y )作圆的两条切线，则两切点所在直线方程
0 0
为x x＋y y＝r2.
0 0
2．两圆相交时公共弦所在直线的方程
设圆C ：x2＋y2＋D x＋E y＋F ＝0，①
1 1 1 1
圆C ：x2＋y2＋D x＋E y＋F ＝0，②
2 2 2 2
若两圆相交，则有一条公共弦，其公共弦所在直线方程由①－②所得，即：(D
1
－D )x＋(E －E )y＋(F －F )＝0.
2 1 2 1 2
3．直线与圆相交时，弦心距d，半径r，弦长的一半l满足关系式r2＝d2＋.
常见误区
1．求圆的切线方程时，易忽视切线斜率k不存在的情形．
2．对于圆与圆的位置关系，从交点的个数，也就是方程组的解的个数来判断，
不一定能得到确切的结论．如当Δ＜0时，需要再根据图形判断两圆是外离，还是
内含；当Δ＝0时，还需要判断两圆是外切，还是内切．
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若直线与圆组成的方程组有解，则直线与圆相交或相切．( )
(2)若两个圆的方程组成的方程组无解，则这两个圆的位置关系为外切．(
)
(3)联立两相交圆的方程，并消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共
弦所在的直线方程．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√
2．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系为( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
解析：选B.圆心为(0，0)，到直线y＝x＋1即x－y＋1＝0的距离d＝＝，而
0<<1，但是圆心不在直线y＝x＋1上，所以直线与圆相交，但直线不过圆心．
3．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )A．内切 B．相交
C．外切 D．外离
解析：选B.两圆圆心分别为(－2，0)，(2，1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.
因为3－20)相交于A，B
两点．若|AB|＝6，则r的值为________．
解析：依题意得，圆心(0，0)到直线x－y＋8＝0的距离d＝＝4，因此r2＝d2＋
()2＝25，又r>0，所以r＝5.
答案：5
5．(易错题)已知圆C：x2＋y2＝9，过点P(3，1)作圆C的切线，则切线方程为
________．
解析：由题意知P在圆外，当切线斜率不存在时，切线方程为x＝3，满足题意；
当切线斜率存在时，设斜率为k，所以切线方程为y－1＝k(x－3)，所以kx－y＋1－
3k＝0，所以＝3，所以k＝－，所以切线方程为4x＋3y－15＝0.综上，切线方程为x
＝3或4x＋3y－15＝0.
答案：x＝3或4x＋3y－15＝0
直线与圆的位置关系
[题组练透]
1．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外， 则直线ax＋by＝1与圆O的位置关
系是( )
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
解析：选B.因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，
所以a2＋b2＞1，从而圆心O到直线ax＋by＝1的距离d＝＝＜1，
所以直线与圆相交．
2．(2021·南充市第一次适应性考试)若过点A(4，0)的直线l与圆(x－2)2＋y2＝
1有公共点，则直线l的斜率的取值范围是( )
A．(－，) B．[－，]
C. D.解析：选D.方法一：设直线l的方程为y＝k(x－4)，联立得则(x－2)2＋k2(x－4)2
＝1，得(k2＋1)x2－(8k2＋4)x＋16k2＋3＝0，根据题意知Δ＝(8k2＋4)2－4(k2＋1)
(16k2＋3)≥0⇒－≤k≤.
方法二：设直线l的方程为y＝k(x－4)，直线l与圆有公共点，则圆心(2，0)到
直线l：kx－y－4k＝0的距离d＝＝≤1⇒4k2≤k2＋1⇒3k2≤1⇒－≤k≤.
3．圆(x－3)2＋(y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于1的点的个数
为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.如图所示，因为圆心到直线的距离为＝2，
又因为圆的半径为3，所以直线与圆相交，故圆上到直线
的距离为1的点有3个．
判断直线与圆的位置关系的方法
(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小关系来判断．
(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根
据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．
①如果Δ<0，那么直线与圆相离；②如果Δ＝0，那么直线与圆相切；③如果
Δ>0，那么直线与圆相交．
直线与圆的综合问题
角度一 圆的切线问题
(1)(2021·山东济宁第一中学质量检测)过点P(1，2)的直线与圆x2＋y2＝1
相切，且与直线ax＋y－1＝0垂直，则实数a的值为( )
A．0 B．－ C．0或 D.
(2)(2020·山东烟台一模)设P为直线3x－4y＋4＝0上的动点，PA，PB为圆C：
(x－2)2＋y2＝1的两条切线，A，B为切点，则四边形APBC面积的最小值为( )
A. B．2
C. D．2
【解析】 (1)当a＝0时，直线ax＋y－1＝0即直线y＝1，此时过点P(1，2)且
与直线y＝1垂直的直线为x＝1，并且x＝1与圆相切，
满足题意，所以a＝0成立．当a≠0时，过点P(1，2)且与直线ax＋y－1＝0垂直的直线斜率为，则直线方程为y－2＝(x－1)，即x－ay＋2a
－1＝0，再根据直线与圆相切，即圆心到直线的距离为1可得＝1，解得a＝.故选
C.
(2)如图所示．圆C：(x－2)2＋y2＝1的圆心为C(2，0)，半径为1，PA＝PB，则S
＝2×·PB·CB，又因为△PCB为直角三角形，所以PB＝＝，因此S
四边形APBC 四边形APBC
＝，要使四边形APBC的面积最小，则PC最小，当CP垂直于直线3x－4y＋4＝0
时，CP取最小值，即点C到直线3x－4y＋4＝0的距离，|PC| ＝＝2，故四边形
min
APBC面积的最小值为＝.故选A.
【答案】 (1)C (2)A
圆的切线方程的求法
(1)几何法：设切线方程为y－y ＝k(x－x )，利用点到直线的距离公式表示出
0 0
圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k；
(2)代数法：设切线方程为y－y ＝k(x－x )，与圆的方程组成方程组，消元后得
0 0
到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
[注意] 求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，然后求
切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过
该点的切线有两条(若通过上述方法只求出一个k，则说明另一条切线的斜率一定
不存在，此时另一条切线的方程为x＝x )．
0
角度二 圆的弦长问题
(1)(2020·高考全国卷Ⅰ)已知圆x2＋y2－6x＝0，过点(1，2)的直线被该圆
所截得的弦的长度的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)(2020·豫西南五校3月联考)已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，直线l ：y＝x，l ：y＝
1 2
kx－1，若l ，l 被圆C所截得的弦的长度之比为1∶2，则k的值为( )
1 2
A. B．1 C. D.
【解析】 (1)将圆的方程x2＋y2－6x＝0化为标准方程(x－3)2＋y2＝9，设圆心
为C，则C(3，0)，半径r＝3.设点(1，2)为点A，过点A(1，2)的直线为l，因为(1－3)2
＋22<9，所以点A(1，2)在圆C的内部，则直线l与圆C必相交，设交点分别为B，
D.易知当直线l⊥AC时，直线l被该圆所截得的弦的长度最小，设此时圆心C到
直线l的距离为d，则d＝|AC|＝＝2，所以|BD| ＝2＝2＝2，即弦的长度的最小值
min为2，故选B.
(2)圆C：(x－2)2＋y2＝4的圆心为C(2，0)，半径为2，圆心到直线l ：y＝x的距
1
离d ＝＝，
1
所以l 被圆C所截得的弦长为2＝2.圆心到直线l 的距离d ＝，
1 2 2
所以l 被圆C所截得的弦长为4＝2，
2
所以d ＝0.
2
所以2k－1＝0，解得k＝，故选C.
【答案】 (1)B (2)C
求直线被圆截得的弦长的常用方法
(1)几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角
三角形，计算弦长|AB|＝2；
(2)代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程
再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为|AB|＝|x －x |.
1 2
1．过点P(0，1)的直线l与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相交于A，B两点，若|AB|＝，
则该直线的斜率为( )
A．±1 B．± C．± D．±2
解析：选A.由题意设直线l的方程为y＝kx＋1.因为圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的
圆心为(1，1)，半径r＝1.又弦长|AB|＝，所以圆心到直线l的距离d＝ ＝＝，所以
＝，解得k＝±1.故选A.
2．(多选)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－4x＝0.若直线y＝
k(x＋1)上存在一点P，使过点P所作的圆的两条切线互相垂直，则实数k的取值
可以是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选AB.由x2＋y2－4x＝0，得(x－2)2＋y2＝4，所以圆C的圆心坐标为(2，
0)，半径为2.过点P所作的圆的两条切线互相垂直，所以点P、圆心C、两切点构
成正方形，且正方形的边长为2，所以PC＝2.又点P在直线y＝k(x＋1)上，所以圆
心到直线的距离d＝≤2，解得－2≤k≤2.故选AB.
圆与圆的位置关系(1)(2020·重庆市七校联考)两圆x2＋y2＋4x－4y＝0和x2＋y2＋2x－8＝0
相交于两点M，N，则线段 MN的长为( )
A. B．4
C. D.
(2)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆
M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
【解析】 (1)两圆方程相减，得直线MN的方程为x－2y＋4＝0，圆x2＋y2＋2x
－8＝0的标准形式为(x＋1)2＋y2＝9，所以圆x2＋y2＋2x－8＝0的圆心为(－1，0)，
半径为3，圆心(－1，0)到直线MN的距离d＝，所以线段MN的长为2＝.故选D.
(2)由题意得圆M的标准方程为x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线x＋y＝0的
距离d＝，所以2＝2，解得a＝2.圆M与圆N的圆心距|MN|＝，小于两圆的半径之
和3，大于两圆的半径之差1，故两圆相交．故选B.
【答案】 (1)D (2)B
圆与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法：由两圆的圆心距d与半径R，r(R＞r)的关系来判断．d＞R＋r⇔外
离；d＝R＋r⇔外切；R－r＜d＜R＋r⇔相交；d＝R－r⇔内切；d＜R－r⇔内含．
(2)代数法：设圆C ：x2＋y2＋D x＋E y＋F ＝0，圆C ：x2＋y2＋D x＋E y＋F ＝
1 1 1 1 2 2 2 2
0.
对于方程组
如果该方程组没有实数解，那么两圆相离；
如果该方程组有两组相同的实数解，那么两圆相切；
如果该方程组有两组不同的实数解，那么两圆相交．
[注意] 判断圆与圆的位置关系时，一般不用代数法，因为利用代数法不能判
断内切与外切，内含与外离；利用几何法的关键是判断圆心距|C C |与R＋r，R－r
1 2
的关系．
1．已知圆C ：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0与圆C ：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3
1 2
＝0，若圆C 与圆C 相外切，则实数m＝________．
1 2
解析：对于圆C 与圆C 的方程，配方得圆C ：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圆C ：(x
1 2 1 2＋1)2＋(y－m)2＝4，则圆C 的圆心C (m，－2)，半径r ＝3，圆C 的圆心C (－1，
1 1 1 2 2
m)，半径r ＝2.因为圆C 与圆C 相外切，所以|C C |＝r ＋r ，即＝5，m2＋3m－10
2 1 2 1 2 1 2
＝0，解得m＝－5或m＝2.
答案：－5或2
2．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C过点A(0，－8)，且与圆x2＋y2－6x－
6y＝0相切于原点，则圆C的方程为____________．
解析：将已知圆化为标准式得(x－3)2＋(y－3)2＝18，圆心为(3，3)，半径为3.由
于两个圆相切于原点，连心线过切点，故圆C的圆心在直线y＝x上．由于圆C过
点(0，0)，(0，－8)，所以圆心又在直线y＝－4上．联立y＝x和y＝－4，得圆心C
的坐标(－4，－4)．又因为点(－4，－4)到原点的距离为4，所以圆C的方程为(x＋
4)2＋(y＋4)2＝32，即x2＋y2＋8x＋8y＝0.
答案：x2＋y2＋8x＋8y＝0
[A级 基础练]
1．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(
)
A．[－3，－1] B．[－1，3]
C．[－3，1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析：选C.由题意可得，圆的圆心为(a，0)，半径为，所以≤，即|a＋1|≤2，解得
－3≤a≤1.
2．圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
解析：选D.圆x2－4x＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4，其圆心坐标为(2，0)，半径为
2；圆x2＋y2＋4x＋3＝0，即(x＋2)2＋y2＝1，其圆心坐标为(－2，0)，半径为1，则两
圆的圆心距为4，两圆半径和为3，因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆
的公切线共有4条，故选D.
3．(多选)已知直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为坐标
原点)，且△AOB为等腰直角三角形，则实数a的值为( )
A．－ B．－ C. D.
解析：选BD.因为直线x－2y＋a＝0与圆O：x2＋y2＝2相交于A，B两点(O为
坐标原点)，且△AOB为等腰直角三角形，所以O到直线AB的距离为1，由点到直线的距离公式可得＝1，所以a＝±.
4．在平面直角坐标系xOy中，以点(0，1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相
切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为( )
A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2
C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16
解析：选B.直线x－by＋2b＋1＝0过定点P(－1，2)，如图．所以圆与直线x－
by＋2b＋1＝0相切于点P时，以点(0，1)为圆心的圆的半径最大，此时半径r为，
此时圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2.故选B.
5．(2020·宁夏银川一中一模)与3x＋4y＝0垂直，且与圆(x－1)2＋y2＝4相切的
一条直线是( )
A．4x－3y＝6 B．4x－3y＝－6
C．4x＋3y＝6 D．4x＋3y＝－6
解析：选B.设与直线3x＋4y＝0垂直的直线方程为l：4x－3y＋m＝0(m∈R)，
直线l与圆(x－1)2＋y2＝4相切，则圆心(1，0)到直线l的距离为半径2，即＝2，
所以m＝6或m＝－14，所以4x－3y＋6＝0或4x－3y－14＝0，结合选项可知
B正确，故选B.
6．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，)处的切线方程为________．
解析：圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心坐标为(2，0)，半径为2，点P在圆上，
设切线方程为y－＝k(x－1)，即kx－y－k＋＝0，所以＝2，
解得k＝.所以切线方程为y－＝(x－1)，即x－y＋2＝0.
答案：x－y＋2＝0
7．已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．
过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝________．
解析：由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，所以
圆心C(2，1)在直线x＋ay－1＝0上，所以2＋a－1＝0，所以a＝－1，所以A(－4，
－1)．
所以|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，所以|AB|2＝40－4＝36.所以|AB|＝6.
答案：68．(2020·武昌区高三调研)过动点M作圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝1的切线，N为
切点．若|MN|＝|MO|(O为坐标原点)，则|MN|的最小值为________．
解析：设M(x，y)，因为|MN|＝|MO|，所以(x－2)2＋(y－2)2－1＝x2＋y2，整理得
4x＋4y－7＝0，即动点M在直线4x＋4y－7＝0上，所以|MN|的最小值就是|MO|的
最小值，为＝.
答案：
9．已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．
解：(1)根据题意，圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，则圆C的标准方程为x2＋(y－4)2
＝4，其圆心为(0，4)，半径r＝2，若直线l与圆C相切，则有＝2，解得a＝－.
(2)设圆心C到直线l的距离为d，则＋d2＝r2，即2＋d2＝4，解得d＝，则有d＝
＝，解得a＝－1或－7，则直线l的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0.
10．圆O 的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O 的圆心坐标为(2，1)．
1 2
(1)若圆O 与圆O 外切，求圆O 的方程；
1 2 2
(2)若圆O 与圆O 相交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O 的方程．
1 2 2
解：(1)因为圆O 的方程为x2＋(y＋1)2＝4，所以圆心O (0，－1)，半径r ＝2.
1 1 1
设圆O 的半径为r ，由两圆外切知|O O |＝r ＋r .
2 2 1 2 1 2
又|O O |＝＝2，
1 2
所以r ＝|O O |－r ＝2－2.
2 1 2 1
所以圆O 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝12－8.
2
(2)设圆O 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r，①.又圆O 的方程为x2＋(y＋1)2＝4，
2 1
②
①－②得AB所在的直线方程为4x＋4y＋r－8＝0.
设线段AB的中点为H，因为r ＝2，所以|O H|＝＝.
1 1
又|O H|＝＝，
1
所以＝，解得r＝4或r＝20.所以圆O 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2
2
＋(y－1)2＝20.
[B级 综合练]
11．(多选)(2020·海南海口调研)设有一组圆C ：(x－k＋1)2＋(y－2k)2＝1，下列
k
说法正确的是( )
A．这组圆的半径均为1B．直线2x－y＋2＝0平分所有的圆C
k
C．存在无穷多条直线l被所有的圆C 截得的弦长相等
k
D．存在一个圆C 与x轴与y轴均相切
k
解析：选ABC.对于选项A：由圆C 的方程可知，这组圆的半径均为1，故A正
k
确；对于选项B：圆C 的圆心坐标为(k－1，2k)，因为2(k－1)－2k＋2＝0，所以直
k
线2x－y＋2＝0过圆C 的圆心，故B正确；对于选项C：由B知，直线2x－y＋2＝
k
0平分所有的圆C ，所以存在无数条与直线2x－y＋2＝0平行或重合的直线(与直
k
线2x－y＋2＝0的距离小于1)被所有的圆C 截得的弦长相等，故C正确；对于选
k
项D：若圆C 与x轴和y轴均相切，则无解，故D错误．故选ABC.
k
12．(2020·四川五校联考)过直线x＋y＝0上一点P作圆(x＋1)2＋(y－5)2＝2的
两条切线l ，l ，A，B为切点，当直线l ，l 关于直线x＋y＝0对称时，∠APB＝(
1 2 1 2
)
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析：选 C.如图，设圆(x＋1)2＋(y－5)2＝2 的圆心为
C(－1，5)，则点C不在直线y＝－x上，要满足l ，l 关于直
1 2
线y＝－x对称，则PC必然垂直于直线y＝－x，所以k ＝
PC
1，则l ：y－5＝x＋1，即y＝x＋6，与y＝－x联立，得P(－
PC
3，3)．所以|PC|＝＝2，设∠APC＝α，则∠APB＝2α，
sin α＝＝＝，故α＝30°，所以∠APB＝2α＝60°.故选C.
13．已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B
两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．
(1)求M的轨迹方程；
(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．
解：(1)圆C的方程可化为x2＋(y－4)2＝16，所以圆心为C(0，4)，半径为4.
设M(x，y)，则CM＝(x，y－4)，MP＝(2－x，2－y)．
由题设知CM·MP＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于点P在圆C的内部，
所以M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的轨迹是以点N(1，3)为圆心，为半径的圆．由于|OP|＝|OM|，
故O在线段PM的垂直平分线上，
又P在圆N上，从而ON⊥PM.
因为ON的斜率为3，所以l的斜率为－，故l的方程为x＋3y－8＝0.
又|OM|＝|OP|＝2，O到l的距离为，
所以|PM|＝，S ＝××＝，故△POM的面积为.
△POM
14．已知圆C经过(2，4)，(1，3)两点，圆心C在直线x－y＋1＝0上，过点A(0，
1)且斜率为k的直线l与圆C相交于M，N两点．
(1)求圆C的方程；
(2)①请问AM·AN是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由；
②若OM·ON＝12(O为坐标原点)，求直线l的方程．
解：(1)设圆C的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
依题意，得
解得所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.
(2)①AM·AN为定值．
过点A(0，1)作直线AT与圆C相切，
切点为T，易得|AT|2＝7，
所以AM·AN＝|AM|·|AN|cos 0°＝|AT|2＝7.
所以AM·AN为定值，且定值为7.
②依题意可知，直线l的方程为y＝kx＋1，设M(x ，y )，N(x ，y )，将y＝kx＋1
1 1 2 2
代入(x－2)2＋(y－3)2＝1，
并整理，得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0，所以x ＋x ＝，x x ＝，所以OM·ON＝
1 2 1 2
x x ＋y y ＝(1＋k2)x x ＋k(x ＋x )＋1＝＋8＝12，即＝4，解得k＝1.又当k＝1时
1 2 1 2 1 2 1 2
Δ>0，所以k＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1.
[C级 创新练]
15．(多选)已知圆C ：x2＋y2＝r2，圆C ：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的
1 2
A(x ，y )，B(x ，y )两点，下列结论正确的有( )
1 1 2 2
A．a(x －x )＋b(y －y )＝0
1 2 1 2
B．2ax ＋2by ＝a2＋b2
1 1
C．x ＋x ＝a
1 2
D．y ＋y ＝2b
1 2
解析：选ABC.两圆方程相减可得直线AB的方程为a2＋b2－2ax－2by＝0，即
2ax＋2by＝a2＋b2，故B正确；分别把A(x ，y )，B(x ，y )代入2ax＋2by＝a2＋b2，得
1 1 2 2
2ax ＋2by ＝a2＋b2，2ax ＋2by ＝a2＋b2，两式相减得2a(x －x )＋2b(y －y )＝0，
1 1 2 2 1 2 1 2
即a(x －x )＋b(y －y )＝0，故A正确；由圆的性质可知，线段AB与线段C C
1 2 1 2 1 2互相平分，所以x ＋x ＝a，y ＋y ＝b，故C正确．故选ABC.
1 2 1 2
16．(2020·山东东营一中月考)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角
形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉
线”．在平面直角坐标系中作△ABC，△ABC中，AB＝AC＝4，点B(－1，3)，点
C(4，－2)，且其“欧拉线”与圆(x－3)2＋y2＝r2相切，则该圆的直径为( )
A．1 B. C．2 D．2
解析：选D.因为在△ABC中，AB＝AC＝4，所以BC边上的高线、垂直平分线
和中线合一，则△ABC的“欧拉线”为边BC的垂直平分线，因为点B(－1，3)，点
C(4，－2)，所以BC的中点为，因为直线BC的斜率为＝－1，所以BC的垂直平分
线的斜率为1，所以BC的垂直平分线方程为y－＝x－，即x－y－1＝0，因为“欧
拉线”与圆(x－3)2＋y2＝r2相切，所以可得圆心(3，0)到“欧拉线”的距离d＝＝
＝r，所以该圆的直径为2，故选D.
