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8.2 平面向量的数量积及应用考点一 投影及投影向量
【例1-1】（2024·全国·二模）已知向量 ，则 在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】（2024·江苏南京·模拟预测）向量 在向量 上的投影为 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024·河南驻马店·二模）已知向量 ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东菏泽·模拟预测）在平面直角坐标系 中， ，点 在直线 上，则
在 上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏苏州·三模）已知 ，且 在 方向上的投影向量为单位向量，则
（ ）
A．4 B． C． D．6
考点二 数量积公式简单应用
【例2-1】（2024·山西太原·一模）在 中， ， ， ，设点 为 的中点， 在
上，且 ，则 （ ）A．16 B．12 C．8 D．
【例2-2】（2024·四川资阳·二模）已知向量 ， 的夹角为150°，且 ， ，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【例2-3】（2024·山西太原·二模）已知 ， ， ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知向量 为单位向量， 且 ，则 与 的夹角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南周口·模拟预测）已知 中， ， ，AD为BC上的高，垂足为 ，点 为
AB上一点，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江苏南京·模拟预测）已知 、 均为单位向量，且 ，则 与 的夹角大小为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·江苏·三模）已知过抛物线 的焦点 的直线与 相交于 两点， 轴上一点 满足
，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
考点三 取值范围
【例3-1】（2024·江苏泰州·模拟预测）在平行四边形 中 ，若
则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．
【例3-2】（2024·安徽·模拟预测）已知 是圆O： 的直径，M，N是圆O上两点，且，则 的最小值为（ ）
A．0 B．-2 C．-4 D．
【一隅三反】
1（2024·湖北武汉·模拟预测）已知 是边长为 的正三角形，点 是 所在平面内的一点，且满足
，则 的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．
2．（2024·四川内江·三模）已知点A、B、C在圆 上运动，且 ，若点 的坐标为 ，则
的最大值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
3．（2024·江西鹰潭·三模）（多选）已知向量 ， ， ，则（ ）
A．若 ，则
B． 在 方向上的投影向量为
C．存在 ，使得 在 方向上投影向量的模为1
D． 的取值范围为
考点四 奔驰定理
【例4-1】（23-24高一下·甘肃·期末）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非
常优美的结论.它的具体内容是：已知 是 内一点， ， ， 的面积分别为 ， ，
，且 .若 为 的垂心， ，则 （ ）A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（23-24陕西咸阳·阶段练习）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一
个非常优美的结论，奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联，它的具体内容是：
已知 是 内一点， 的面积分别为 ，且 ，
则以下命题正确的有（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则 为 的重心
C．若 为 的内心，则
D．若 为 的外心，则
2．（2024河南南阳·期中）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图
形与“奔驰”轿车(Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知 是 内
一点， 、 、 的面积分别为 、 、 ，则 .设 是锐角
内的一点， 、 、 分别是 的三个内角，以下命题正确的有（ ）A．若 ，则
B．|⃗OA)=|⃗OB)=2， ， ，则
C．若 为 的内心， ，则
D．若 为 的重心，则
3．（22-23 湖北·期中）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形
与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是
ABC内一点， BOC， AOC， AOB的面积分别为 ， ， ，且 ．设O是
△ △ △ △
锐角 ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的 ABC三个内角，以下命题正确的有（ ）
△ △
A．若 ，则
B．若|⃗OA)=|⃗OB)=2， ， ，则
C．若O为 ABC的内心， ，则
△
D．若O为 ABC的垂心， ，则
△
4．（2024重庆北碚）奔驰定理：已知 是 内的一点， ， ， 的面积分别为 ， ，，则 .“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形
与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.若 、 是锐角 内的点，
、 、 是 的三个内角，且满足 ， ，则（ ）
A．
B．
C．
D．
考点五 平面向量与三角形的四心
【例5-1】（2024四川 ）已知点 ， ， 在 所在平面内，且 ， ，
，则点 ， ， 依次是 的（ ）
A．重心、外心、垂心 B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心 D．外心、重心、内心
【例5-2】（2024山东·阶段练习）已知 的三个内角分别为 为平面内任意一点，动点 满足
则动点P的轨迹一定经过 的（ ）
A．重心 B．垂心 C．内心 D．外心
【一隅三反】
1．（2024湖北）点 为 所在的平面内，给出下列关系式：
① ；② ；
③ .
则点 依次为 的（ ）
A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心
C．重心、内心、外心 D．外心、垂心、重心
2．（2023上海浦东新·期末）点 在ΔABC所在平面内，给出下列关系式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
则点 依次为ΔABC的（ ）
A．内心、外心、重心、垂心； B．重心、外心、内心、垂心；
C．重心、垂心、内心、外心； D．外心、内心、垂心、重心
3．（2024河北邢台·阶段练习）在 中，角 所对的边分别为 ，点 分别为 所在
平面内一点，且有 ， ，
， ，则点 分别为 的
（ ）
A．垂心，重心，外心，内心 B．垂心，重心，内心，外心
C．外心，重心，垂心，内心 D．外心，垂心，重心，内心
考点六 平面向量的新概念
【例6-1】（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）如果向量 ， 的夹角为 ，我们就称 为向量 与 的“向
量积”， 还是一个向量，它的长度为 ，如果 ， ， ，则
（ ）A． B．16 C． D．20
【例6-2】（2024·河北邯郸·二模）对任意两个非零的平面向量 和 ，定义： ， ．
若平面向量 满足 ，且 和 都在集合 中，则 （ ）
A．1 B． C．1或 D．1或
【一隅三反】
1．（2024·四川成都·二模）已知向量 ， 是平面 内的一组基向量， 为 内的定点，对于 内任意一点 ，
当 时，称有序实数对 为点 的广义坐标.若点 ， 的广义坐标分别为(x ,y )，(x ,y )，
1 1 2 2
则“ "是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（22-23高三·河北衡水·阶段练习）设向量 与 的夹角为 ，定义 .已知向量 为单位
向量， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3 ．（2024·广东江门·三模）（多选）定义两个非零平面向量的一种新运算 ，其中 表
示 的夹角，则对于两个非零平面向量 ，下列结论一定成立的有（ ）
A． 在 上的投影向量为
B．
C．D．若 ，则
一．单选题
1．（2024·浙江绍兴·三模）若非零向量 ， 满足 ，则 在 方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河北·统考模拟预测）在平行四边形 中，已知 ，且 ，则向量 与
的夹角的余弦值为（ ）
A． B．0 C． D．
3．（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习）在三角形 中， ， ，
， 在 上的投影向量为 ，则 （ ）
A．-12 B．-6 C．12 D．18
4．（2024·北京）已知平面向量 ， 满足 ， ，点D满足 ，E为
的外心，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·江西九江 ）已知 、 为单位向量，则向量 与 夹角的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·山东烟台·三模）已知向量 ， 满足 ， 在 方向上的投影向量为 ，且 ，则
的值为（ ）
A．4 B． C．16 D．487．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在 中， ， ， 是 边的中点，过点
作 于点 ，延长 交 于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．（2024上海·专题练习）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结
论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知 是
内一点， 的面积分别为 ，且 ．以下命题
错误的是（ ）
A．若 ，则 为 的重心
B．若 为 的内心，则
C．若 ， 为 的外心，则
D．若 为 的垂心， ，则
二．多选题
9．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知向量 ，则下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则B．若 ，则
C． 的最大值为6
D．若 ，则
10．（23-24 重庆渝中·阶段练习）在等腰 中，已知 ，若 分别为 的垂
心､外心､重心和内心，则下列四种说法正确的有（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24 浙江·期中）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．
奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知 是 内
一点， 的面积分别为 ，且 ．以下命题正确的有
（ ）
A．若 ，则 为 的重心
B．若 为 的内心，则
C．若 为 的外心，则
D．若 为 的垂心， ，则
三．填空题
12．（2024·西藏拉萨·二模）如图，在平面四边形 中， ，则.
13．（24-25 全国·课后作业）如图，在平行四边形 中， ， 分别是边 ， 的中点， 与 交
于点 ，且 ，则 ；若 ， ， ，则 ．
14．（2024·四川遂宁·模拟预测）已知 ， 为圆 上的两个动点， ，若点 为直线
上一动点，则 的最小值为 .
四．解答题
15．（2024·河南郑州·模拟预测）如图，在 中，已知 ， ， ， ，
点 为 边的中点， ， 相交于点 ．
(1)求 ；
(2)求 ．16．（2024·广东茂名·模拟预测）在 中，A，B，C分别为边a，b，c所对的角，且满足
．
(1)求 的大小；
(2) 的角平分线 交 边于D，向量 在 上的投影向量为 ， ，求 ．
17．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知函数 ，角A为△ABC的内角，且
．
(1)求角A的大小；(2)如图，若角A为锐角， ，且△ABC的面积S为 ，点E、F为边AB上的三等分点，点D为边AC的
中点，连接DF和EC交于点M，求线段AM的长．
18．（2023·陕西·模拟预测）等边 外接圆圆心为 ，半径为 上有点 ．
(1)若 为弧 中点，求 ；
(2)求 最大值．
19．（2024·全国·模拟预测）设有 维向量 ， ，称 为向量 和 的内积，当 ，称向量 和 正交．设 为全体由 和1构成的 元数组对应的向量的集合．
(1)若 ，写出一个向量 ，使得 ．
(2)令 ．若 ，证明： 为偶数．
(3)若 ， 是从 中选出向量的个数的最大值，且选出的向量均满足 ，猜测 的值，并给
出一个实例．
