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8.1 平面向量的线性运算及基本定理考点一 平面向量概念的辨析
【例1】（2024陕西渭南·期中）下列说法中正确的是（ ）
A．单位向量都相等
B．平行向量不一定是共线向量
C．对于任意向量 ，必有
D．若 满足 且 与 同向，则
【一隅三反】
1（2024重庆北碚·期中）（多选）下列说法错误的是（ ）
A． 就是 所在的直线平行于 所在的直线
B．长度相等的向量叫相等向量
C．零向量的长度等于0
D．
2．（2024广东江门·阶段练习）设 是非零向量，则 是 成立的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024安徽黄山 ）以下说法正确的是（ ）
A．零向量与任意非零向量平行 B．若 ， ，则
C．若 ( 为实数)， 则必为零 D． 和 都是单位向量，则
4．（2023·全国·模拟预测）（多选）有关平面向量的说法，下列错误的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 与 共线且模长相等，则
C．若 且 与 方向相同，则
D． 恒成立
考点二 平面向量的基本定理【例2-1】（2024·广东汕头·三模）已知四边形 是平行四边形， ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【例2-2】（2024·河北廊坊·模拟预测）如图，在矩形 中， 是 的中点， 是 上的
一点，且 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【例2-3】．（2024·江西·二模）在 中，已知 ， 为线段 的中点，若 ，则
．
【一隅三反】
1．（2024·江苏南通·模拟预测）在梯形 中， ，且 ，点 是 的中点，则
（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024广东）已知 分别为 的边 上的中线，设 ， ,则 ＝（ ）A． ＋ B． ＋
C． D． ＋
3．（2024·上海·模拟预测）如图，矩形 中， 为 中点， 与 交于点 ，若将 ，
作为平面向量的一个基，则向量 可表示为 （用 表示）.
考点三 平面向量共线定理
【例3-1】（2024·浙江·模拟预测）已知向量 ， 是平面上两个不共线的单位向量，且 ，
， ，则（ ）
A． 、 、 三点共线 B． 、 、 三点共线
C． 、 、 三点共线 D． 、 、 三点共线
【例3-2】（2024·广东·二模）已知向量 与 能作为平面向量的一组基底，若 与 共线（
），则k的值是（ ）
A． B． C． D．
【例3-3】（2024·宁夏银川·模拟预测）在 中， ，过点 的直线分别交直线 、 于点 、
，且 ，其中 ， ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【一隅三反】
1 ．（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量 、 ，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的
是（ ）
A． 和 B． 和
C． 和 D． 和
2 ．（23-24 海南省直辖县级单位·阶段练习） 是平面内不共线两向量，已知
，若 三点共线，则k的值是（ ）
A．2 B．－3 C．－2 D．3
3．（2024·云南楚雄·模拟预测）已知 ， ， 是直线 上不同的三点，点 在 外，若
，则 （ ）
A．3 B．2 C． D．
考点四 平面向量的坐标运算
【例4】（23-24 湖北武汉·期中）（多选）已知向量 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．（23-24江苏宿迁·期中）（多选）已知空间向量， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24 湖南岳阳·期末）（多选）下列运算结果正确的是（ ）.
A．已知 ，若 ，则B．已知点 ，则向量 在 方向上的投影数量为
C．已知向量 ，若 ，则
D． 向量不共线，点 在线段 上，且 ，则
3．（23-24 湖北武汉 ）（多选）已知向量 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 与 的夹角为 D． 在 上的投影向量为
5．（23-24 浙江丽水·期末）（多选）已知向量 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．向量 在向量 上的投影向量为一．单选题
1．（2024·辽宁·模拟预测）在平行四边形 中， ，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·陕西铜川·模拟预测）在 ABC中，点D为线段BC的中点，点E满足 ，若
△
，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023四川资阳·期中）已知 为不共线向量， ，则（ ）
A． 三点共线 B． 三点共线
C． 三点共线 D． 三点共线
4．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知 是边长为1的正三角形， 是 上一点且
，则 （ ）
A． B． C． D．1
5．（2024·四川遂宁·模拟预测）在 中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若
，则 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
6．（2024·江苏扬州·模拟预测）在 中， 为线段 的中点，过 的直线分别与线段
交于 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．7．（2024·安徽马鞍山·三模）已知平面向量 ， 不共线， ， ，且 ，则
（ ）
A． B．0 C．1 D．
8．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在 中， 为线段 的中点， 为线段 上一点， ，
过点 的直线分别交直线 ， 于 ， 两点．设 ， ，则 的
最小值为（ ）
A． B． C．3 D．6
二．多选题
9．（23-24 浙江宁波 ）已知平面向量 ， ，则（ ）
A．当 时， B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 与 的夹角为钝角，则
10．（2024山东泰安·期末）如图，在四边形ABCD中， 为BC边上一
点，且 为AE的中点，则（ ）
A． B．C． D．
11．（2023·湖南·模拟预测）给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．若线段 ，则向量
B．若向量 ，则线段
C．若向量 与 共线，则线段
D．若向量 与 反向共线，则
三．填空题
12．（2023·天津红桥·一模）如图所示，在 中，点 为 边上一点，且 ，过点 的直线
与直线 相交于 点，与直线 相交于 点（ ， 交两点不重合）.若 ，则
，若 ， ，则 的最小值为 .
13．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）如图，在 中， ， ，CD与BE交于点P，
， ， ，则 的值为 ；过点P的直线l交AB，AC于点M，N，设
， （ ， ），则 的最小值为 .
14．（2023·河南开封·模拟预测）折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做
扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形 ，其中 ， ， ，点在 上，则 的最小值是 ．
四．解答题
15．（23-24高三上·江苏徐州·阶段练习）在 中，E为AC的中点，D为边BC上靠近点B的三等分点．
(1)分别用向量 ， 表示向量 ， ；
(2)若点N满足 ，证明：B，N，E三点共线．
16．（2024·江苏盐城·模拟预测）如图，已知正方形ABCD的边长为2，过中心O的直线l与两边AB，CD分别
交于点M，N．
(1)若Q是BC的中点，求 的取值范围；
(2)若P是平面上一点，且满足 ，求 的最小值．17．（204·陕西·模拟预测）等边 外接圆圆心为 ，半径为 上有点 ．
(1)若 为弧 中点，求 ；
(2)求 最大值．
18．（2023·四川成都·模拟预测）如图，A，B是单位圆（圆心为O）上两动点，C是劣弧 （含端点）上的
动点．记 （ ， 均为实数）．(1)若O到弦AB的距离是 ，求 的取值范围；
(2)若 ，向量 和向量 的夹角为 ，求 的最小值．
19．（2024湖北）已知O是线段 外一点，若 ， ．
（1）设点 、 是线段 的三等分点， 、 及 的重心依次为 、 、 ，试用向量 、
表示 ；
（2）如果在线段 上有若干个等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论．
