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7.2 二项式定理考点一 二项式指定项的系数
【例1-1】（2024·北京·高考真题）在 的展开式中， 的系数为（ ）
A． B． C． D．
【例1-2】（2024·浙江·三模） 的展开式的常数项为（ ）
A． B． C． D．4
【例1-3】（23-24高三下·吉林通化·期中）在 的展开式中，有理项的个数为 ．
【一隅三反】
1．（2024·青海·模拟预测） 展开式中， 项的系数为（ ）
A． B．720 C． D．1440
2．（2024·河南·模拟预测）已知 （其中 ）的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项共有
（ ）
A．6项 B．5项 C．4项 D．3项
3．（2024·天津·高考真题）在 的展开式中，常数项为 ．
4．（2024·黑龙江·模拟预测）若 的展开式中 的系数为144，则 .
考点二 三项式指定项系数
【例2-1】（2024·新疆喀什·三模） 展开式中， 的系数为（ ）
A．20 B．30 C．25 D．40
【例2-2】（2024·四川德阳·二模）在 的展开式中， 的系数是（ ）
A． B． C．20 D．40
【一隅三反】1．（2024·河北张家口·三模） 的展开式中 的系数为（ ）
A． B．5 C． D．10
2．（2024·全国·模拟预测） 的展开式中 的系数为（ ）
A．6 B．8 C．27 D．33
3．（2024·安徽·三模） 的展开式中 的系数为 .
4．（2024·河南·三模） 的展开式中， 的系数为 ．（用数字作答）
5（23-24高三下·天津·阶段练习）已知 的展开式中的常数项为 ，则 .
考点三 两个二项式乘积指定项系数
【例3-1】（2024·西藏·模拟预测）在 的展开式中， 的系数为（ ）
A． B．4 C． D．8
【例3-2】（2024·福建南平·模拟预测）在 的展开式中， 的系数为 ．
【一隅三反】
1．（2024·江苏泰州·模拟预测） 的展开式中 的系数是（ ）
A． B． C．5 D．15
2．（2024·河北秦皇岛·三模） 的展开式中 的系数为 .
3．（2024·江苏苏州·模拟预测） 的展开式中 的系数为 ．
4．（2024·山东·模拟预测）已知 的展开式中常数项为 ，则实数 的值为 .
5．（2024·天津·模拟预测）在 的展开式中， 的系数为 ，则实数 为 .
考点四 （二项式）系数最值
【例4-1】（23-24 广东深圳·期中） 的展开式中二项式系数最大的项为（ ）
A．第二项 B．第三项 C．第四项 D．第五项【例4-2】（22-23 ·山东青岛·期中） 的展开式中，第四项和第五项的二项式系数相等，则该展开式
中有理项的项数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【例4-3】．（23-24高三下·甘肃·开学考试）已知 的展开式中，前三项的系数依次成等差数列，则
展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A． B． C． D．
【例4-4】（2024·全国·高考真题） 的展开式中，各项系数中的最大值为 ．
【例4-5】（22-23高三上·河南安阳·阶段练习）已知 的展开式中只有第5项是二项式系数最大，则该
展开式中各项系数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．（2024·江西·二模）已知 的二项展开式中只有第3项的二项式系数最大，则展开式中的常数项为
（ ）
A．24 B．18 C．12 D．6
2．（23-2河北邢台·阶段练习） 的展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第11项 B．第12项 C．第13项 D．第14项
3．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知 的展开式中唯有第5项的系数最大，则a的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三·全国·专题练习）已知 的展开式中，第四项的系数与倒数第四项的系数之比为 ，则展开式中二项式系数最大的项的系数为 .
5．（23-24 ·山西大同·阶段练习）已知 的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，则该展开式中
系数最大的项为 ．
6．（23-24高三上·上海·期中）二项式 的展开式中，系数最大的项为 ．
7．（2023·上海嘉定·一模）已知 的二项展开式中系数最大的项为 ．
考点五 （二项式）系数和
【例5-1】（2024·北京·三模）已知 的二项式系数之和为64，则其展开式的常数项为（ ）
A． B．240 C．60 D．
【例5-2】（22-23 山东青岛·期末）（多选）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D． 的最大值为
【例5-3】（2024江苏常州·期中）（多选）设 ，则结论正确的
是（ ）
A． B．
C． D． ， ， ， ， ， ， 中最小的是
【一隅三反】
1．（2024·安徽·二模）已知 的展开式二项式系数和为256，则展开式中系数最大的项为（ ）
A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）（多选）已知 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．3．（23-24 广东深圳·期中）（多选）若 ，其中 为实数，
则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023·福建宁德·模拟预测）（多选）若 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
考点六 二项式定理应用
【例6-1】（2024·山西晋中·模拟预测）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究.设
均为整数，若 和 被 除得的余数相同，则称 和 对模 同余，记为 ，如 和
被 除得的余数都是 ，则记 .若 ，且 ，则 的值可
以是（ ）
A．4021 B．4022 C．4023 D．4024
【例6-2】．（2024·湖北荆州·三模）已知 ，则 被3除
的余数为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【例6-3】（2024北京） 的计算结果精确到0.001的近似值是（ ）
A．0.930 B．0.931 C．0.932 D．0.933
【一隅三反】
1．（2024·江西·模拟预测）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设 ， ，
为整数，若 和 同时除以 所得的余数相同，则称 和 对模 同余，记为 ．若
， ，则 的值可以是（ ）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
2．（2024·贵州黔南·二模）我国农历用“鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪”这12种动物
按顺序轮流代表各年的生肖年号，今年2024年是龙年.那么从今年起的 年后是（ ）
A．虎年 B．马年 C．龙年 D．羊年
3．（2024上海）用二项式定理估算 .（精确到0.001）
4．（23-24高三下·全国 专题复习） 的小数点后第100位数字是 ．
考点七 二项式定理与数列求和
【例7】（2024江苏南京 ）设集合 是 的两个非空子集，且满足集合 中的
最大数小于集合 中的最小数，记满足条件的集合对 的个数为 .
（1）求 的值；
（2）求 的表达式.
【一隅三反】
1．（23-24 山东青岛·期中）某人在 次射击中击中目标的次数为 ，其中 ，击中
偶数次为事件A，则（ ）
A．若 ，则 取最大值时 B．当 时， 取得最小值
C．当 时， 随着 的增大而减小 D．当 的， 随着 的增大而减小2．（2024·辽宁·三模）设数列 的通项公式为 ，该数列中个位数字为0的项按从小到大的
顺序排列构成数列 ，则 被7除所得的余数是 .
3．（2023·江苏镇江·三模）已知数列 的前 项和为 ，满足 .等差数列 满足 .
(1)求 的通项公式；
(2)将数列 满足__________（在①②中任选一个条件）的第 项 取出，并按原顺序组成一个新的数列
，求 的前20项和 .① ，② ，其中 .
考点八 杨辉三角
【例8】（2024山东·阶段练习）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组
合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）A．在第10行中第5个数最大
B．第2023行中第1011个数和第1012个数相等
C．
D．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数
【一隅三反】
1．（23-24 陕西 ）（多选）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第 行
从左至右的数字之和记为 ，如 的前 项和记为 ，则下列说法正确的有
（ ）
A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数字是84
B．在“杨辉三角”中，从第1行起到第12行，每一行从左到右的第2个数字之和为78
C．
D． 的前 项和为
2．（2024重庆沙坪坝 ）（多选）如图给出下列一个由正整数组成的三角形数阵，该三角形数阵的两腰分别
是一个公差为 的等差数列和一个公差为 的等差数列，每一行是一个公差为 的等差数列．我们把这个数阵的
所有数从上到下，从左到右依次构成一个数列 ： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 ，其前 项和为 ，则下列说法正确的有（ ）（参考公式： ）
A． B． 第一次出现是
C． 在 中出现了 次 D．
一．单选题
1．（2024·甘肃兰州·三模）在 的展开式中，含 的项的系数为（ ）
A． B．280 C．560 D．
2．（2024·安徽阜阳·模拟预测）在二项式 的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．常数项为 B．各项的系数和为64
C．第3项的二项式系数最大 D．奇数项二项式系数和为
3．（2024·浙江绍兴·三模）在 的展开式中，含 项的系数是10，则
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
4．（2023·湖南永州·三模）在二项式 的展开式中，把所有的项进行排列，有理项都互不相邻，则
不同的排列方案为（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
5．（2024·全国·模拟预测） 的展开式中 的系数为（ ）A． B． C．3 D．27
6．（2024·河北廊坊·模拟预测） 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常
数项为（ ）
A． B． C．20 D．160
7．（2024·江西鹰潭·二模）第14届国际数学教育大会在上海华东师范大学举行，如图是本次大会的会标，会
标中“ICME-14”的下方展示的是八卦中的四卦3、7、4、4，这是中国古代八进制计数符号，换算成现代十进制
是 ，正是会议计划召开的年份，那么八进制数 换算成十进制数，则换
算后这个数的末位数字是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
8．（23-24高三下·海南·阶段练习）若 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
二．多选题
9．（2024·辽宁·模拟预测）若 的展开式中第4项的二项式系数最大，则二项展开式中的有理
项（ 项中 是整数）可以是（ ）
A．第2项 B．第3项 C．第4项 D．第5项
10．（2024·广东佛山·模拟预测）若 ，则（ ）
A．
B．C．
D．
11．（2024·山西·三模）已知函数 ，则（ ）
A． B． 展开式中，二项式系数的最大值为
C． D． 的个位数字是1
三．填空题
12．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在 的展开式中常数项为 .
13．（2024·福建泉州·模拟预测） 的展开式中含 项的系数为 .
14．（23-24高三下·浙江丽水·开学考试） 的展开式中x项系数为 ．
四．解答题
15（2024江苏徐州 ）在下面两个条件中任选一个条件，补充在后面问题中的横线上，并完成解答.条件①：
“展开式中所有项的系数之和与二项式系数之和的比为64”；条件②：“展开式中前三项的二项式系数之和为
22”.
问题：已知二项式 ，若___________(填写条件前的序号)，
（1）求展开式中系数最大的项；
（2）求 中含 项的系数.
16．（2025·四川内江·模拟预测）杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家､教育家，杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果.杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，它的许多性质与组合数的性质有关，图1为杨辉三角的部分内
容，图2为杨辉三角的改写形式
(1)求图2中第10行的各数之和；
(2)从图2第2行开始，取每一行的第3个数一直取到第15行的第3个数，求取出的所有数之和；
(3)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为 ？若存在，试求出这三个数；若不存
在，请说明理由.
17．（2023·江苏无锡·三模）记 为数列 的前 项和，已知 ， .
(1)求 的通项公式；
(2)记 ，数列 的前 项和为 ，求 除以3的余数.
18．（2024·江苏扬州 ）（1）已知 的展开式中第二项与第三项的二项式系数之比为 ，求 的值.
（2）记 ， ，①求 ；
②设 ，求和： .
19（2024·江苏 ）已知 ， .
（1）当 时，求 展开式中的常数项；
（2）若二项式 的展开式中含有 的项，当 取最小值时，展开式中含 的正整数次幂的项的系数之和为
10，求实数 的值.
