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2026 年高考数学一轮复习
专题9：利用导数研究函数的单调性
知识点一 函数的单调性的概念
在某个区间
内，如果
，那么函数
在这个区间内单调递增；
如果
，那么函数
在这个区间内单调递减．
【注意】
（1）在某区间内
（
）是函数
在此区间上为增（减）函数的充分不必要条件；
（2）可导函数
在
上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有
（
）且
在
上的任何子区间内都不恒为零．
知识点二 导数法求函数单调区间的步骤
（1）确定函数
f x 的定义域；
（2）求
f
x
（通分合并、因式分解）；
（3）解不等式
0
f
x
，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
（4）解不等式
0
f
x
，解集在定义域内的部分为单调递减区间．
一、已知函数的单调性求参数
（1）函数
f x 在区间D 上单调增（单减）
）
（
0
0
)
(
x
f
在区间D 上恒成立；
（2）函数
f x 在区间D 上存在单调增（单减）区间
）
（
0
0
)
(
x
f
在区间D 上能成立；
（3）已知函数
f x 在区间D 内单调
)
(x
f
不存在变号零点
（4）已知函数
f x 在区间D 内不单调
)
(x
f
存在变号零点
(5)函数y＝f(x)的增区间是(a，b)⇔(a，b)＝增区间⇔
)
(x
f
＞0 的解集是(a，b)；
函数y＝f(x)的减区间是(a，b)⇔(a，b)＝减区间⇔
)
(x
f
＜0 的解集是(a，b)；
不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
①若
在
上恒成立，则
；
②若
在
上恒成立，则
；
③若
在
上有解，则
；
④若
在
上有解，则
.
二、含参函数单调性讨论依据：
（1）导函数有无零点讨论（或零点有无意义）；
（2）导函数的零点在不在定义域或区间内；
（3）导函数多个零点时大小的讨论。
三、常见的导函数与原函数混合构造类型
关系式为“加”型构造：
（1）
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
构造
)
(
)
(
)
(
)
(
])
(
)
(
[
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
（2）
'( )
( )
0
xf
x
f x
构造
'
'
[
( )]
( )
( )
xf x
xf
x
f x
（3）
'( )
( )
0
f
x
f x
构造
'
'
[
( )]
[
( )
( )]
x
x
e f x
e
f
x
f x
（4）
'( )
( )
0
xf
x
nf x
构造
'
'
1
1
'
[
( )]
( )
( )
[
( )
( )]
n
n
n
n
x f x
x f
x
nx
f x
x
xf
x
nf x
（注意x 的符号）
（5）
)
(
)
(
x
f
x
f
构造
)]
(
)
(
[
)
(
)
(
]
)
(
[
x
f
x
f
e
e
x
f
e
x
f
e
x
f
x
x
x
x
关系式为“减”型构造：
（6）
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
x
f
x
g
x
f
构造
2
)]
(
[
)
(
)
(
)
(
)
(
])
(
)
(
[
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
x
g
x
f
（7）
'( )
( )
0
xf
x
f x
构造
'
'
2
( )
( )
( )
[
]
f x
xf
x
f x
x
x
（8）
'( )
( )
0
f
x
f x
构造
'
'
'
2
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
(
)
x
x
x
x
x
f x
f
x e
f x e
f
x
f x
e
e
e
（9）
'( )
( )
0
xf
x
nf x
构造
'
1
'
'
2
1
( )
( )
( )
( )
( )
[
]
(
)
n
n
n
n
n
f x
x f
x
nx
f x
xf
x
nf x
x
x
x
（注意x 的符号）
（10）
)
(
)
(
x
f
x
f
构造
x
x
x
x
x
e
x
f
x
f
e
e
x
f
e
x
f
e
x
f
)
(
)
(
]
[
)
(
)
(
])
(
[
2
考点一 不含参函数的单调性
【例1】函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知函数
,则函数
的单调递减区间是 .
考点二 含参函数的单调性
【例2】已知函数
，
.讨论
的单调性.
【变式2】若函数
，
，讨论f (x)的单调性．
考点三 已知函数单调性求参
【例3】已知函数
在区间
上单调递增，则a 的最小值为（ ）．
A．
B．e C．
D．
【变式3-1】若函数
的单调递减区间为
，则实数k 的值为（ ）
A．1 B．
C．3 D．
【变式3-2】若函数
在区间
上不单调，则实数m 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．m>1
【变式3-3】若函数
存在单调递减区间，则实数b 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点四 原函数与导函数图象问题
【例4】设
是函数
的导函数，
的图象如图所示，则
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】已知函数
的图象是下列四个图象之一，且其导函数
的图象如下图所示，则
该函数的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点五 构造函数比较大小
【例5】设
则a，b，c 之间的大小关系式是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式5】已知
，
，
，则
，
，的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点六 构造函数解不等式
【例6】设函数f(x)，g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当x<0 时，
，且
，则不等式f(x)g(x)>0 的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式6-1】已知
是定义在
上的偶函数且
，若
，则
的解集
为 .
【变式6-2】已知奇函数
是定义在
上的可导函数，其导函数为
，当
时，有
，则
的解集为 ．
1.函数y=f(x)的导函数
的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是（ ）
2.已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3.已知
是
上的奇函数，
是在
上无零点的偶函数，
，当
时，
，则使得
的解集是________
4.设函数
（a 为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R 上的增函数，
则a 的取值范围是___________．
5.已知函数f(x)＝lnx＋a(1－x)，a R.
∈
(1)当a＝1 时，求f(x)的单调性；
(2)讨论f(x)的单调性．
6.设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(1)求b，c 的值；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋2x.
①若g(x)在区间(2，3)上单调递增，求实数a 的取值范围；
②若g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减的区间，求实数a 的取值范围．
