文档文本内容
第01 讲集合的概念、关系及运算
（知识清单+5 典例精讲+3 方法技巧+分层训练）
近3 年考查情况
题型
分值
集合交集运算、一元二次不等式解集
单项选择题
5
集合并集、补集综合运算
单项选择题
5
有限集交集、元素特征
单项选择题
5
集合交并运算、区间集合
单项选择题
5
集合交集、绝对值不等式解集
单项选择题
5
集合子集关系、参数范围
单项选择题
5
补集与交集综合、二次不等式
单项选择题
5
有限集并集运算
单项选择题
5
集合交集、简单函数定义域集合
单项选择题
5
集合补集、元素个数计算
单项选择题
5
区间集合交并综合运算
单项选择题
5
集合包含关系、参数取值
单项选择题
5
【知识点01】集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示.
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.
(4)常见数集的记法
集合
非负整数集(或自然数集)
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
【例题1】已知集合A ={1,a,a
2−1}，若0∈A，求实数a的值。
【知识点02】集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，就称集合A 为集合B
的子集，记作A ⊆ B (或B⊇A).
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A).
(3)相等：若A⊆B，且B ⊆ A ，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
【例题2】设A ={x∣−2< x ≤3}，B ={x∣m−1< x<m+2}，若B⊆A，求m的取值范围。
【知识点03】集合的基本运算
表示
运算
集合语言
图形语言
记法
并集
{ x | x ∈
A ，或
x ∈
B }
A ∪
B
交集
{ x | x ∈
A ，且
x ∈
B }
A ∩ B
补集
{ x | x ∈
U ，且
x ∉ A }
∁UA
【例题3】设全集U = R，A ={x∣x>1}，B ={x∣−1≤x ≤2}，求：A ∩B , A ∪B ,∁U A ,∁U( A ∩B)。
【题型一】集合的概念
【例1】（2025·黑龙江·模拟预测）下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【例2】（多选）（2025·四川成都·模拟预测）已知集合
，则（ ）
A．
B．
C．存在
，使得
D．存在
，使得
【例3】（2025·河北衡水·模拟预测）设集合
，
，若
，则
______.
【变式1】（2026·四川雅安·二模）下列关系正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合
，且
，则实数
的值为______________．
【变式3】（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合
，且
，则实数
的值为______________．
【题型二】集合的表示法
【例4】（2026·吉林延边·三模）设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例5】（2026·四川宜宾·一模）已知集合
，集合
，则
集合
的元素之和等于__________.
【例6】（2024·山东菏泽·二模）已知
，集合
．则集合
中所有元素之
和为____________．
【变式1】（2026·陕西宝鸡·三模）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024·江苏南京·二模）已知集合
，
，则集合
的元素个数为
__________．
【变式3】（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知集合
，
．若
，则实数
的取值集合为
______．
【题型三】集合间基本关系
【例7】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合
，
，若
，则
（ ）．
A．2
B．1
C．
D．
【例8】（多选）（2025·江西·模拟预测）已知集合
，
，下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
可以取3
【例9】（2026·陕西榆林·三模）集合
的真子集的个数为______.
【变式1】（2026·广东广州·模拟预测）已知集合
，若
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（多选）（2025·河南·三模）已知全集
，集合
，
，
，若
，则（ ）
A．
的取值有个
B．
C．
D．
所有子集的个数为
【变式3】（2026·安徽合肥·一模）设集合
，满足下列性质的集合称为“TB 集合”：集合
内至少含有2 个元素，且集合内任意两个元素之差的绝对值大于3，则
的子集中有___________个“TB 集合”.
【题型四】集合的基本运算
【例11】（2025·全国二卷·高考真题）已知集合
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例12】（多选）（2026·河南南阳·模拟预测）已知
为全集，集合M，N，P 均为非空集合，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【例13】（2026·云南红河·模拟预测）已知全集
，集合
均为
的子集，且
，则满足
条件
的集合
的个数是_____
【变式1】（2026·广东深圳·三模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（多选）（2025·河北·三模）已知集合
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知集合
为集合
的非空子集，且
，若
，则
______．
【题型五】集合运算与不等式综合
【例14】（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【例15】（2025·江西新余·模拟预测）已知集合
，则
_______．
【例16】（2025·安徽合肥·一模）已知函数
的定义域为
，关于
的不等式
的解集
为
.
(1)若
时，求
；
(2)若
是
的充分条件，求实数
的取值范围.
【变式1】（2026·河北承德·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·河北·模拟预测）已知集合
或
，若
，则
__________．
【变式3】（2024·宁夏·模拟预测）已知集合
.
(1)若
，且
是
的必要不充分条件，求
的取值范围；
(2)若函数
的定义域为
，且
，求
的取值范围.
【解题大招】元素互异性验证法（规避低级失分）
【例题1】已知集合A ={1,a,a
2−1}，若0∈A，求实数a的值。
【解题大招】数轴法（万能解题法，高考首选）
【例题2】设A ={x∣−2< x ≤3}，B ={x∣m−1< x<m+2}，若B⊆A，求m的取值范围。
【解题大招】空集优先法（子集含参易错点突破）
【例题3】设A ={x∣−1≤x ≤4 }，B ={x∣a≤x ≤2a+1}，若B⊆A，求a的取值范围。
【基础过关】（共8 题）
一、单选题
1．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合
，
，则
中元素个数为（ ）
A．0
B．3
C．5
D．8
3．（2026·河北衡水·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
4．（2026·湖北十堰·一模）已知集合
，若集合
满足
，则
可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
5．（2025·江西新余·模拟预测）已知集合
，
，若
，则实数
__________.
6．（2025·山东潍坊·一模）已知集合
，
，若
，则实数
________．
7．（2026·河南濮阳·一模）已知全集
，则
__________.
四、解答题
8．（2025·河南·模拟预测）已知集合
．
(1)若
，求
；
(2)若
，求实数
的取值范围．
【拔高选练】（共6 题）
一、单选题
1．（2026·贵州六盘水·一模）集合
的子集的个数为（ ）
A．64
B．16
C．6
D．4
2．（2026·河南·模拟预测）已知集合
，
，若
，则实数
的取值集合
为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2026·山西临汾·二模）若集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
4．（2025·吉林·模拟预测）已知集合
，
，将
中所有元素按从小到
大的顺序构成数列
，则数列
的通项公式为__________.
5．（2026·山东德州·一模）设集合
，若
，则
__________.
四、解答题
6．（2025·海南儋州·模拟预测）已知集合
，
.
(1)若
，求实数m 的取值范围；
(2)设
，
，若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.
【错题复盘】（共5 题）
一、单选题
1．（2026·河南开封·模拟预测）已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·广东梅州·一模）已知全集
，
，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
3．（2026·陕西西安·模拟预测）已知全集
，集合
，
，且
，
则（ ）
A．
B．
C．
中元素个数为
D．
三、填空题
4．（2024·海南·模拟预测）已知集合
，
，若
，则实数
的取值范围为______.
四、解答题
5．（2025·湖北·模拟预测）已知集合
，
，
、
是
的非空子集.记集合
除以
的余数
.若正整数
满足：存在非空集合
、
，使得
两两的交集为空集，且
，则称
为“好的”.
(1)设
，
，当
时，求
，并直接判断
是否为“好的”；
(2)证明：
是“好的”，
是“好的”；
(3)求所有“好的”正整数.
