文档文本内容
第03 讲 不等关系与不等式
易错分析
易错点一 比较大小时忽视0 这个特殊值
题型方法
题型一 比较数或式的大小
题型二 利用不等式的性质求取值范围
1．两个实数比较大小的方法
作差法 (a，b∈R)
2．等式的性质
性质1 对称性：如果a＝b，那么 ；
性质2 传递性：如果a＝b，b＝c，那么 ；
性质3 可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 可除性：如果a＝b，c≠0，那么 .
3．不等式的性质
性质1 对称性：a>b⇔ ；
性质2 传递性：a>b，b>c⇒ ；
题型梳理
知识清单
性质3 可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；
性质4 可乘性：a>b，c>0⇒ ；a>b，c<0⇒ ；
性质5 同向可加性：a>b，c>d⇒ ；
性质6 同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ ；
性质7 同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．
常用结论
1．若ab>0，且a>b⇔<.
2．若a>b>0，m>0⇒<；
若b>a>0，m>0⇒>.
【易错点一】比较大小时忽视0 这个特殊值
【例1】（2024·辽宁·模拟预测）若
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【举一反三】【变式1】（2024·北京丰台·二模）若
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（多选）（2025·河南·三模）已知
，c 为实数，则下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（多选）（2025·山东临沂·二模）已知
，则下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
易错分析
【题型一】 比较数或式的大小
【例1】（2025·云南昆明·一模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
解题技巧
比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1 的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
【举一反三】【变式1】（2024·河南驻马店·二模）已知
，则下列说法一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2020·山东·模拟预测）已知
为实数，则
(填 “
”、“
”、“
”或
“
”).
【变式3】（2023·全国·模拟预测）（1）设a，b 为正实数，求证：
．
（2）设a，b，c 为正实数，求证：
．
【题型二】利用不等式的性质求取值范围
【例2】（2025·河北沧州·模拟预测）已知
，
，则
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
解题技巧
求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．
【举一反三】【变式1】（2023·江苏南通·模拟预测）已知
，则
的取值范围是（ ）
题型方法
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·四川自贡·二模）已知实数a，b，c 满足
，
，则
的取值范围是
.
【变式3】（2023·浙江·模拟预测）已知
中，内角
所对的边分别为
，且满足
.
(1)若
，求
；
(2)求
的取值范围．
一、单选题
1．（2025·山西临汾·二模）若
，则
的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2024·北京·三模）已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·上海宝山·二模）“
”的一个必要非充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·山东潍坊·模拟预测）若正数
满足
，则
的取值范围是（ ）
好题必刷
A．
B．
C．
D．
5．（2024·湖北黄冈·二模）已知
分别满足下列关系：
，则
的
大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
6．（2023·全国·模拟预测）下列说法正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
7．（2025·广东茂名·一模）下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
8．（2025·河北廊坊·模拟预测）若
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2024·广西·二模）已知实数a，b，c 满足
，且
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
10．（2024·全国·模拟预测）已知实数
满足
，则
的取值范围是 ．
11．（2024·吉林·模拟预测）请写出一个幂函数
满足以下条件：①定义域为
；②
为增函数；③对任意
的
，
，都有
，则
．
12．（2024·浙江·模拟预测）对
定义一种新运算
，规定：
（其中
均为非零常数），这里等式
右边是通常的四则运算，例如：
，已知
，若关于
的不等式组
恰好有3 个整数解，则实数
的取值范围是 .
13．（2024·北京西城·二模）在数列
中，
，
．给出下列三个结论：
①存在正整数
，当
时，
；
②存在正整数
，当
时，
；
③存在正整数
，当
时，
．
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题
14．（2024·重庆·一模）已知函数
，曲线
与
有公共点，
且在该点处的切线相同.
(1)用
表示
，并求
的最小值；
(2)求证：当
时，
；
(3)已知
，若方程
有两个不等实根
，证明：
.
15．（2025·河北·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若函数
存在大于1 的极值点，证明：函数
的极小值小于
.
16．（2024·四川乐山·三模）设不等式
的解集为
.
(1)证明：
；
(2)比较
与
的大小.
17．（2024·四川德阳·三模）已知a、b、c、d 均为正数，且
．
(1)证明:若
，则
;
(2)若
，求实数 t 的取值范围．
18．（2024·河南信阳·模拟预测）已知函数
，
．
(1)试比较
与
的大小；
(2)若
恒成立，求
的取值范围．
19．（2025·云南·一模）定义：若函数
对于定义域内的任意
，都有
，
则称函数
为 “下凸函数”；反之，若
，则称函数
为 “上凸函数”.已知
函数
（
）.
(1)当
，
，
时，判断函数
是 “上凸函数” 还是 “下凸函数”，并说明理由.
(2)若函数
是 “下凸函数”，求
的取值范围.
(3)若函数
在区间
上是 “下凸函数”，
在区间
上不单调，且
在区间
上的最大值为
，最小值为
，求证：
.
