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专题六 函数与导数
微专题1 导数与不等式证明问题
一、考点透析
考点1：直接作差构造新函数证明不等式
将证明不等式f (x)>g(x)(或f (x)<g(x))，转化为证明f (x)－g(x)>0(或f (x)－g(x)<0)，进而构
造辅助函数h(x)＝f (x)－g(x)．
1．（25-26 高三上·河北邯郸·期中）已知函数
，
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)讨论
在
上的单调性；
(3)若
，求证：当
时，
．
2．（25-26 高三上·广东广州·月考）已知函数
．
(1)当
时，求证：
；
(2)当
时，求证：
．
考点2：隔离拆分法证明不等式
在证明过程中，将不等式不等号两端分别“隔离”出两个函数式f（x），g（x），使f
（x）min＞g（x）max 恒成立，从而f（x）＞g（x），但f（x）与g（x）取到最值的条件
不是同一个“x”的值；或者对于较复杂的不等式，也可将不等式的某一部分“隔离”开，
单独进行研究，然后再纳入整体进行论证.
1.（2024·高三全国专题练习）已知函数f（x）＝xln x＋x.
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）证明：ln x＋1＞1
e
x +1－2
e
2 x .
2.求证：ex－ex＋1－eln x
x
＞0(x＞0)．
考点3：适当放缩证明不等式
适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论．
常见的放缩式：
①x>0，ln x≤x－1； ②x R
∈，ex≥x＋1；
③0<x<π
2 ，tan x>x>sin x； ④0<x<π
2 ，cos x>1－1
2x2．
1.已知函数f（x）＝x ln x
x +1 ，g（x）＝x
e
x，证明：f（x）＞2g（x）－1.
2．（2025·天津·一模）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)利用（2）的结论证明：
．
3．（25-26 高三上·江苏盐城·月考）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)证明：
.
考点4：适当同构证明不等式
1．（24-25 高三上·河北·月考）已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)证明：
时，
；
(3)若
有两个零点，求实数
的取值范围.
2.(2025·山东威海模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax＋1.
(1)求f(x)的极值；
(2)证明：ln x＋x＋1≤xex.
二、跟踪练习
1．（25-26 高三上·江苏南京·期中）已知
，当
时，不等式
恒成立，则
的值不可能为（ ）
A．2
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·内蒙古包头·月考）设函数
，
.
(1)求
的单调区间.
(2)证明：
.
(3)当
时，证明：
.
3．（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)当
时，
，求
的取值范围；
(3)设
，证明：
.
4．（25-26 高三上·安徽合肥·期中）已知
，函数
，曲线
在
点
处的切线为.
(1)证明：过定点；
(2)证明：除点
外，曲线
都在的下方；
(3)若
，当
时，
，求实数
的取值范围.
