文档文本内容
第01 讲 集合
易错分析
易错点一 忽视集合中元素的互异性
易错点二 忽视对空集的讨论
易错点三 端点值的取舍判断不清
题型方法
题型一 判断元素与集合、集合与集合的关系
题型二 集合的交、并、补运算
题型三 参数取值（范围）问题
题型四 容斥原理
题型五 新定义问题
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
题型梳理
知识清单
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，就称集合A 为集合B 的子
集，记作A⊆B(或B⊇A)．
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A 是集合B 的真子集，记作A⫋B(或B⫌A)．
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
表示
运算
集合语言
图形语言
记法
并集
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
交集
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
补集
{x|x∈U，且x∉A}
∁UA
常用结论
1．若集合A 有n(n≥1)个元素，则集合A 有2n个子集，2n－1 个真子集．
2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
4．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
【易错点一】忽视集合中元素的互异性
【例1】（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列
的公差为
，集合
，若
，则
易错分析
（ ）
A．－1
B．
C．0
D．
【答案】B
【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.
【详解】依题意，等差数列
中，
，
显然函数
的周期为3，而
，即
最多3 个不同取值，又
，
则在
中，
或
或
于是有
或
，
即有
，解得
；
或者
，解得
；
所以
，
或
.
故选：B
【举一反三】
【变式1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知集合
，
，若
，则
（ ）
A．0
B．
C．1
D．0 或1
【答案】C
【分析】根据集合的包含关系，分类讨论，即可求解a 的值．
【详解】因为集合
，
，
，
所以
，所以
或
，
若
，则
，此时
，满足题意；
若
，则
，此时集合
不满足集合元素的互异性，舍去．
综上，
．
故选：C．
【变式2】（2024·浙江温州·模拟预测）集合
,则以下可以是
的表达式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用基本函数的导数，分别对各个选项对应的函数求导，再利用集合的互异性，即可求出结果.
【详解】对于选项A，因为
，所以
，
，
，
，不
满足集合的互异性，所以选项A 错误，
对于选项B，因为
，所以
，不满足集合的互异性，所以选项B 错误，
对于选项C，因为
，所以
，
，
，
，所以选项C 正确，
对于选项D，因为
，所以
，
，
，
，后面再求导，导数
均为
，不满足集合的互异性，所以选项D 错误，
故选：C.
【变式3】（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合
，且
，则实数
的值为 ．
【答案】3
【分析】因为
，则
或
，由此可解出
，再代入集合
验证，需要满足集合的互异性，由此可得
答案.
【详解】因为
，所以分为以下两种情况：
①
或
，当
时，集合
满足题意；
当
时，集合
，违反了集合的互异性，故舍去；
②
，此时集合
，违反了集合的互异性，故舍去；
综上所述，
.
故答案为：3.
【易错点二】忽视对空集的讨论
【例1】（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知集合
若
，则a 的取
值构成的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】通过
和
两类情况讨论即可.
【详解】由题得
，因为
，所以
.
当
时，
，满足
；
当
时，
，因为
，所以
或
，解得
1 或
，
综上
的取值构成的集合为
.
故选：D.
【举一反三】
【变式1】（2024·河南·模拟预测）已知集合
，若
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由集合的包含关系，对集合
是否是空集分类讨论即可求解.
【详解】集合
，若
，
则若
，则
满足题意；
若
，且
，则
，
综上所述，实数
的取值范围是
.
故选：
【变式2】（2024·江苏常州·三模）集合
，
，若
，则实数
m 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】结合B 是否为空集进行分类讨论可求
的范围．
【详解】由
，且
，
当
时，
，则
，即
，
当
时，若
，则
，解得
，
综上，实数
的取值范围为
．
故答案为：
．
【变式3】（2024·安徽·模拟预测）已知
，
，若
，则
的取值范围为
．
【答案】
【分析】由
，可得
，然后分集合
和
进行分类讨论.
【详解】由题意知，
，
由
，可得
，
若
，则
，符合题意．
当
时，
，要使
，
则
，解得
，因此
,
综上，
的取值范围为
．
故答案为：
.
【易错点三】端点值的取舍判断不清
【例1】（2025·河南·模拟预测）已知集合
，若
，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据集合的包含关系列不等式，解不等式可得结论.
【详解】由
，得
，
解得
且
，
故实数的取值范围是
．
故选：C．
【举一反三】
【变式1】（2025·河南·二模）已知集合
，
，若
，则a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先求解集合
，然后根据
列不等式组即可求解.
【详解】由题意可得
，又
，
，
所以
，解得
.
故选：B
【变式2】（2024·河北邯郸·模拟预测）已知集合
，若
，则实数a 的取值范
围是 ．
【答案】
【分析】由对数运算可得
，再由元素与集合的关系代入解不等式可得结果.
【详解】易知
，因为
，所以
，
所以
，即
．
可得实数a 的取值范围是
.
故答案为：
【变式3】（2024·贵州·三模）已知集合
，若
，则实数
的取值范围
为 .
【答案】
【分析】先由
得出
；再求出集合A，结合集合的包含关系列出不等式组即可求解.
【详解】因为
，
所以
.
又因为
，
，
所以
，解得：
，
所以实数
的取值范围为
.
故答案为：
【题型一】判断元素与集合、集合与集合的关系
【例1】（2022·全国乙卷·高考真题）设全集
，集合M 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先写出集合
,然后逐项验证即可
【详解】由题知
,对比选项知，
正确,
错误
故选:
解题技巧
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所
满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．
【举一反三】
【变式1】（2025·重庆·二模）已知全集
，集合
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据补集可得
，根据元素与集合之间的关系逐项分析判断.
【详解】因为全集
，
，可得
，
所以
，
，
，
.
故选：D.
【变式2】（2025·甘肃白银·三模）已知集合
，集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型方法
【答案】C
【分析】根据集合中的元素确定集合
的关系，结合集合的运算性质，逐项判断即可得答案.
【详解】因为集合
，集合
，
所以
，则
，故A，B，D 项错误，C 项正确.
故选：C.
【变式3】（2025·江西·模拟预测）已知集合
，则
的真子集个数为 ．
【答案】7
【分析】由交集的运算可得
，即可得到结果.
【详解】对于集合
，当
是，
，当
时，
，
当
时，
，所以
，
则其真子集的个数为
.
故答案为：
【题型二】集合的交、并、补运算
【例2】（2023·全国甲卷·高考真题）设全集
,集合
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．
【详解】因为整数集
，
，所以，
．
故选：A．
解题技巧
对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn 图表示；如果集合中的元素是连续
的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
【举一反三】
【变式1】（2025·广东·模拟预测）已知集合
，
，则如图所示的阴影部分表示的集
合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】首先解一元二次不等式求出集合
，而阴影部分表示的集合为
，根据交集、补集的定义计算可得.
【详解】由
，即
，解得
，
所以
，
又
，所以
，
所以如图所示的阴影部分表示的集合为
.
故选：C
【变式2】（2024·天津·三模）已知全集
，集合
，集合
，则
，
．
【答案】
【分析】根据题意，分别求得
和
，结合集合运算法则，即可求解.
【详解】由全集
，
集合
，集合
，
可得
，则
，
.
故答案为：
；
.
【变式3】（2021·江西·模拟预测）设全集
，集合
，
.
(1)当
时，求
；
(2)若
，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用并集和补集的基本运算结合一元二次不等式的解法即可求解；
（2）根据交集的运算结果得出集合间的包含关系，再利用分类讨论即可求出实数
的取值范围
【详解】（1）解：当
时，
，
所以
又全集
所以
（2）解：由（1）知，
，
由
可得：
，则
，解得：
所以实数
的取值范围为：
【题型三】参数取值（范围）问题
【例3】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合
，
，若
，则
（ ）．
A．2
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】根据包含关系分
和
两种情况讨论，运算求解即可.
【详解】因为
，则有：
若
，解得
，此时
，
，不符合题意；
若
，解得
，此时
，
，符合题意；
综上所述：
.
故选：B.
【举一反三】
【变式1】（2025·江苏南京·一模）设集合
.若
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】直接解不等式确定集合
，再根据集合的基本关系确定参数范围即可.
【详解】由
可得
，由
可得
，
又
，所以
，即
，故D 正确.
故选：D
【变式2】（2025·河南·模拟预测）已知集合
，非空集合
，若
，则
的取
值范围是 ．
【答案】
【分析】结合题意确定集合
非空，再转化为集合包含问题，建立不等式组求解参数范围即可.
【详解】由题意得
，又因为
，
所以
，解得
．
故答案为：
.
【变式3】（2024·辽宁·模拟预测）已知集合
，
，若
，则a 的
值为 .
【答案】
【分析】求出
，分类讨论
的值，根据集合元素的互异性进行检验是否符合 .
【详解】由
，
，
则
，
又
，即
，
当
时，
变为
不满足集合元素的互异性，故不符合；
当
时，即
，
当
时，
，故符合；
当
时，
，故符合；
因此
，
故答案为：
.
【题型四】容斥原理
【例4】（2020·山东·高考真题）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜
欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A．62%
B．56%
C．46%
D．42%
【答案】C
【分析】由容斥原理即可得解..
【详解】由题意，该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为
.
故选：C.
【举一反三】
【变式1】（2023·四川雅安·一模）设
表示有限集合A 中元素的个数.则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据
和题干条件得到
，从而得到答案.
【详解】因为
，
又
，
所以
，故
，
故则
是
的充要条件.
故选：C
【变式2】（2025·江苏·一模）我市某校共有1500 名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂
用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有
的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午
餐的学生中，有
的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（ ）
A．700
B．800
C．900
D．1000
【答案】C
【分析】根据题意，列出方程，代入计算，即可得到结果.
【详解】设一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为
，
则楼下食堂用午餐的学生数大约为
，
原本在楼上食堂且留下的学生：占比
，即
，
从楼下食堂转来的学生：楼下食堂人数的
，即
，
所以
，解得
.
所以一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为
.
故选：C
【变式3】（2021·江西·模拟预测）2021 年是中国共产党成立100 周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党
史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国
大典》三支短视频，某大学社团有50 人，观看了《青春之歌》的有21 人，观看了《建党伟业》的有23 人，观看了
《开国大典》的有26 人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4 人，只观看了《建党伟业》和《开国大
典》的有7 人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6 人，三支短视频全观看了的有3 人，则没有观看任何一
支短视频的人数为 .
【答案】3
【分析】把大学社团50 人形成的集合记为全集U，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三
支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，作出韦恩图，数形结合计算即得.
【详解】把大学社团50 人形成的集合记为全集U，观看了《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三
支短视频的人形成的集合分别记为A，B，C，依题意，作出韦恩图，如图，
观察韦恩图：因观看了《青春之歌》的有21 人，则只看了《青春之歌》的有
(人)，
因观看了《建党伟业》的有23 人，则只看了《建党伟业》的有
(人)，
因观看了《开国大典》的有26 人，则只看了《开国大典》的有
(人)，
因此，至少看了一支短视频的有
(人)，
所以没有观看任何一支短视频的人数为
.
故答案为：3
【题型五】新定义问题
【例5】（2020·浙江·高考真题）设集合S，T，S
N*，T
N*，S，T 中至少有两个元素，且S，T 满足：
①对于任意x，y
S，若x≠y，都有xy
T
②对于任意x，y
T，若x<y，则
S；
下列命题正确的是（ ）
A．若S 有4 个元素，则S∪T 有7 个元素
B．若S 有4 个元素，则S∪T 有6 个元素
C．若S 有3 个元素，则S∪T 有5 个元素
D．若S 有3 个元素，则S∪T 有4 个元素
【答案】A
【分析】分别给出具体的集合S 和集合T，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可.
【详解】首先利用排除法：
若取
，则
，此时
，包含4 个元素，排除选项 C；
若取
，则
，此时
，包含5 个元素，排除选项D；
若取
，则
，此时
，包含7 个元素，排除选项B；
下面来说明选项A 的正确性：
设集合
，且
，
，
则
，且
，则
，
同理
，
，
，
，
，
若
，则
，则
，故
即
，
又
，故
，所以
，
故
，此时
，故
，矛盾，舍.
若
，则
，故
即
，
又
，故
，所以
，
故
，此时
.
若
， 则
，故
，故
，
即
，故
，
此时
即
中有7 个元素.
故A 正确.
故选：A.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问
题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的
还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
解题技巧
解决集合新定义问题的关键
解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰
当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．
【举一反三】
【变式1】（2025·北京·模拟预测）集合
的所有三个元素的子集记为
记
为集合
中的最大元素，则
（ ）
A．10
B．40
C．45
D．50
【答案】C
【分析】由题列举出所有的集合A 的三元素子集，求出最大值，求和即可.
【详解】由题知：
，
，
，
，
，
，
，
则
故选：C
【变式2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）
，若定义
，则
中的元素有 个．
【答案】
【分析】根据复数模的运算公式，结合题中定义进行求解即可.
【详解】因为
，
，
所以
，
，
共14 个元素.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解题中定义.
【变式3】（2025·北京海淀·二模）记
表示有穷集合
的元素个数．已知
是正整数，集合
．若集
合序列
满足下列三个性质，则称
是“平衡序列”：
①
，其中
；
②
⫋，其中
；
③对于中的任意两个不同元素
，都存在唯一的
，使得
．
(1)设
，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明）
(2)已知
且集合序列
是“平衡序列”，对于
，定义：
证明：
（i）当
时，
；
（ii）
．
【答案】(1)
是平衡的，
不是平衡的；
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析.
【分析】（1）根据平衡的三个条件逐个分析即可判断
，找到反例
，即可判断
；
（2）（i）考虑
，根据性质③知若
，则会得到矛盾点，即可证明；
（ii）设
中最小的（之一）为
，且
，设
，根据（i）的证明方法知当
时，
，则
都不大于
，最后相加即可证明.
【详解】（1）
是平衡的，
不是平衡的．
理由：
，
，
，满足
，
显然
⫋，且对于中的任意两个不同元素
，
，
都存在唯一的
，使得
．
故
是平衡的，
，
并不是
的子集，故
不是平衡的．
（2）（i）当
时，对于
中的每个元素
，考虑
．
由③知存在唯一的
，满足
，则
．
将每一个
对应到
，
若
，就有
，否则
且
与③矛盾．
所以
．
（ii）对
中所有元素的总个数算两次（重复出现的计多次），
一方面总个数就是
，
另一方面，按照每个元素出现的次数计算，这个总个数也是
，
所以
．（＊）
不妨设
中最小的（之一）为
，
且
，由②③知
．
再不妨设
．
由（i）的证明方法可证：当
时，
，
由③知
，
所以
，
又因为
，所以
都不大于
，
全部相加得
，
由
的最小性知
，
结合（＊）可得
，
所以
．
一、单选题
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由集合
的定义求出
，结合交集与补集运算即可求解.
【详解】因为
，所以
，
则
，
故选：D
2．（2025·河北沧州·模拟预测）已知集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据元素与集合的关系，集合与集合的关系依次判断即可.
【详解】由题可知
，
好题必刷
故A 正确，BC 错误，
集合
不是集合
的子集，故D 错误.
故选：A.
3．（2025·河南·模拟预测）已知集合
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
【答案】C
【分析】分
和
两种情况进行讨论，结合集合中元素的特性即可得答案.
【详解】①当
时，解得
，此时
，满足题意，
②当
时，解得
，此时
，满足题意，
故选：C.
4．（2025·北京·二模）已知集合
，集合
，那么（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由集合交集、补集运算，包含关系逐个判断即可.
【详解】
，
错误，
错误，
错误，
，
所以
，D 正确，
故选：D
二、多选题
5．（2024·广东·模拟预测）已知全集
，集合
，若
有4 个子集，且
，则（ ）
A．
B．集合
有3 个真子集
C．
D．
【答案】ACD
【分析】解一元二次不等式化简集合
，结合已知得出
，由此即可逐一判断各个选项.
【详解】依题意，
，
而
有4 个子集，
，故
，故集合
有7 个真子集，B 错误，
，
，
，ACD 均正确.
故选：ACD.
6．（2024·江西·模拟预测）设集合
，
，若
，则
的值可以为（ ）
A．1
B．0
C．
D．
【答案】ABD
【分析】由
，可得
，再分
和
两种情况讨论即可.
【详解】
，
因为
，所以
，
当
时，
，
当
时，
，
则
或
，所以
或，
综上所述，
或
或.
故选：ABD.
三、填空题
7．（2025·河北衡水·模拟预测）设集合
，
，若
，则
.
【答案】
/0.5
【分析】根据给定条件，利用集合元素的特性及集合相等求出
.
【详解】在
中，
，则
且
，
而
，
，显然
，因此
，解得
，
所以
.
故答案为：
8．（2024·天津和平·二模）设集合
，
，
，则
．
【答案】
【分析】根据集合的交运算以及补集定义即可求解.
【详解】
，
，
故
，
故答案为：
9．（2022·江西九江·模拟预测）学校运动会，某班所有同学都参加了羽毛球或乒乓球比赛，已知该班共有23 人参加
羽毛球赛，35 人参加乒乓球赛，既参加羽毛球又参加乒乓球赛有6 人，则该班学生数为 ．
【答案】
【分析】依题意画出韦恩图，计算可得；
【详解】解：设参加羽毛球赛为集合
，参加乒乓球赛为集合
，
依题意可得如下韦恩图：
所以该班一共有
人；
故答案为：
四、解答题
10．（2020·江西·模拟预测）已知集合
，且
.
（1）求a；
（2）写出集合A 的所有子集.
【答案】（1）
；（2）
，
，
，
.
【解析】（1）由
，求得
或
，结合元素的特征，即可求解；
（2）由（1）知集合
，根据集合子集的概念，即可求解.
【详解】（1）由题意，集合
，且
，
可得
或
，解得
或
，
当
时，
，集合A 不满足互异性，所以
舍去；
当
时，经检验，符合题意，故
.
（2）由（1）知集合
，
所以集合
的子集是
，
，
，
.
【点睛】本题主要考查了利用元素与集合的关系求参数，以及集合的子集的概念及应用，着重考查运算与求解能力，
属于基础题.
11．（2025·山东临沂·二模）对集合
，定义集合
，记
为有限集合
的元素
个数．
(1)若
，求
；
(2)给定集合
的子集
，求集合
的元素个数；
(3)设
为有限集合，证明：
．
【答案】(1)
(2)4
(3)证明过程见解析
【分析】（1）根据定义直接写出结果即可；
（2）利用组合计数的方法可求集合中元素的个数；
（3）对任意元素
，可证
或
，故可证题设中的不等式.
【详解】（1）因为
中的元素是要么只属于
，要么只属于
，
所以
；
（2）设
，则
，因为
，
故符合条件的
的个数为
.
（3）对任意元素
，因为
恰属于集合
之一，不妨设
且
．
若
，则
；若
，则
．
故
，从而
．
因此
，结论成立．
12．（2024·宁夏·模拟预测）已知集合
.
(1)若
，且
是
的必要不充分条件，求
的取值范围；
(2)若函数
的定义域为
，且
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据绝对值不等式得出集合A,再根据集合间关系得出不等式组计算即可；
（2）先应用对数函数的定义域得出集合C，根据函数有解转化为
，最后结合二次函数的值域即可求参.
【详解】（1）由题意知
，
解不等式
，解得
，
所以
，
因为
是
的必要不充分条件，所以
是A 的真子集，
所以
且等号不同时成立，
解得
，即
的取值范围是
；
（2）因为
，所以
在
上有解，
所以
，
令
，则
，
所以
，即
的取值范围是
.
