文档文本内容
第03 讲 不等关系与不等式
易错分析
易错点一 比较大小时忽视0 这个特殊值
题型方法
题型一 比较数或式的大小
题型二 利用不等式的性质求取值范围
1．两个实数比较大小的方法
作差法 (a，b∈R)
2．等式的性质
性质1 对称性：如果a＝b，那么b＝a；
性质2 传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3 可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4 可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5 可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.
3．不等式的性质
性质1 对称性：a>b⇔b<a；
性质2 传递性：a>b，b>c⇒a>c；
题型梳理
知识清单
性质3 可加性：a>b⇔a＋c>b＋c；
性质4 可乘性：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc；
性质5 同向可加性：a>b，c>d⇒a＋c>b＋d；
性质6 同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0⇒ac>bd；
性质7 同正可乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N，n≥2)．
常用结论
1．若ab>0，且a>b⇔<.
2．若a>b>0，m>0⇒<；
若b>a>0，m>0⇒>.
【易错点一】比较大小时忽视0 这个特殊值
【例1】（2024·辽宁·模拟预测）若
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用特殊值判断A、B、D，根据幂函数的性质判断C.
【详解】对于A：当
、
，满足
，但是
，故A 错误；
对于B：当
、
，满足
，但是
，故B 错误；
对于C：因为
在定义域
上单调递增，若
，则
，故C 正确
对于D：当
、
，满足
，但是
，故D 错误.
故选：C
【举一反三】【变式1】（2024·北京丰台·二模）若
，且
，则（ ）
A．
B．
易错分析
C．
D．
【答案】D
【分析】举反例即可求解ABC，根据不等式的性质即可求解D.
【详解】由于
，取
，
，
，无法得到
，
，故AB 错
误，
取
,则
，无法得到
，C 错误，
由于
，则
，所以
，
故选：D
【变式2】（多选）（2025·河南·三模）已知
，c 为实数，则下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】由题意可得
，利用不等式的性质及函数的单调性对选项逐一判断即可.
【详解】由题意可得
，
A 项:由
单调递增，知
，故选项A 正确；
B 项:
时选项B 不正确；
C 项:由
，则
，当且仅当
时等号成立，∵
，∴等号不成立，故选项C 正确；
D 项:构造函数
，
，∴
单调递增，又
，得
，故选项D
不正确．
故选:AC．
【变式3】（多选）（2025·山东临沂·二模）已知
，则下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】对于A，可以用作差法判断，对于BC，举反例判断即可，对于D，分
三种情况讨论即可判
断.
【详解】对于A，
，因为
，
所以
，即
，所以
，故A 正确；
对于B，取
，此时
，故B 错误；
对于C，取
，则
，故C 错误，
对于D，若
，则
显然成立，
若
，则
成立，
若
，则
成立，
综上所述，只要
，就一定有
，故D 正确.
故选：AD.
【题型一】 比较数或式的大小
【例1】（2025·云南昆明·一模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据题意，由原式可得
，然后由作差法分别比较
与
，
与
的大小关系，即可得到结果.
【详解】由
，且
可得
，即
，
题型方法
则
，
又
，即
，化简可得
，
即
，其中
，
所以
，即
，所以
，
所以
，所以
，
又
，所以
，
综上所述，
.
故选：A
解题技巧
比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1 的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
【举一反三】【变式1】（2024·河南驻马店·二模）已知
，则下列说法一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用赋值法来举反例比较大小，利用作差法来比较大小，利用不等式的性质来比较大小.
【详解】当
时，
，且
，故
，C 项错误；
因为
，
，所以
，故B 项错误；
，故D 项正确.
故选：D.
【变式2】（2020·山东·模拟预测）已知
为实数，则
(填 “
”、“
”、“
”或
“
”).
【答案】
【分析】作差法解决即可.
【详解】由题知，
，
当且仅当
时，取等号.
故答案为：
.
【变式3】（2023·全国·模拟预测）（1）设a，b 为正实数，求证：
．
（2）设a，b，c 为正实数，求证：
．
【答案】（1）证明见解析 ；（2）证明见解析 ．
【分析】（1）（2）根据题意，由不等式的性质，代入计算，即可证明.
【详解】（1）因为
，a，b 为正实数，
所以
，所以
，当且仅当
时，取等号．
（2）由（1），得
．
同理，得
，
所以
，
当且仅当
时，取等号．
【题型二】利用不等式的性质求取值范围
【例2】（2025·河北沧州·模拟预测）已知
，
，则
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由不等式的同向可加性得到结果.
【详解】因为
，
得
，
，所以
．
故选：B．
解题技巧
求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．
【举一反三】【变式1】（2023·江苏南通·模拟预测）已知
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用方程组以及不等式的性质计算求解.
【详解】设
，
所以
，解得
，
所以
，
又
，
所以
，故A，C，D 错误.
故选：B.
【变式2】（2025·四川自贡·二模）已知实数a，b，c 满足
，
，则
的取值范围是
.
【答案】
【分析】根据
，
，得到
，利用
得到的取值范围，将
表示成
关于的三次函数，利用导数求最值即可求得取值范围.
【详解】因为
，所以
，因为
，所以
，
所以
，整理得
，
因为
，
解得
，
，
设
，则
，
令
得
或
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
因为
，
，
，
，
所以
，
，
所以
的取值范围是
.
故答案为：
.
【变式3】（2023·浙江·模拟预测）已知
中，内角
所对的边分别为
，且满足
.
(1)若
，求
；
(2)求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理及余弦定理求得
，再由直角三角形求得答案.
（2）由（1）得到
，求得
，再求出
的范围，借助不等式性质求出范围.
【详解】（1）在
中，由
及正弦定理，得
，整理得
，
而
，由余弦定理得
，即
，
联立解得
，
，因此
，
，所以
.
（2）由（1）知
，则
，且
，
由
，得
，即
，
因此
，
所以
的取值范围是
.
一、单选题
1．（2025·山西临汾·二模）若
，则
的范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质即可求解.
【详解】由
可得
，
故
，
故选：D
2．（2024·北京·三模）已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，正切函数的性质，以及指数函数与对数函数的性质，逐项判定，即可求
解.
【详解】对于A 中，
，其中
，但
的符号不确定，所以A 不正确；
对于B 中，例如
，此时
，所以B 不正确；
好题必刷
对于C 中，由函数
在
上为单调递减函数，
因为
，所以
，可得
，所以C 正确；
对于D 中，例如
，此时
，所以D 不正确.
故选：C.
3．（2025·上海宝山·二模）“
”的一个必要非充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用充分条件与必要条件的判断方法，结合指数、对数函数的单调性，对选项A、B 和C 逐一分析判断，即
可求解；对于D，利用不等式的性，即可求解.
【详解】对于选项A，由
，得到
，即
，所以
可得
，故选项A 错误，
对于选项B，由
，得到
，所以
可得
，故选项B 错误，
对于选项C，由
，得到
，即
，所以
推不出
，
但
可以得出
，故选项C 正确，
对于选项D，由
，得到
，
又
，当且仅当
时取等号，显然
不满足题意，
则
，即
，
又当
，有
，所以
是
的充要条件，故选项D 错误，
故选：C.
4．（2023·山东潍坊·模拟预测）若正数
满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】由题意知
为正数，且
，
所以
，化简得
，解得
，
当且仅当
时取等号，所以
，故A 正确.
故选：A.
5．（2024·湖北黄冈·二模）已知
分别满足下列关系：
，则
的
大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】将指数式化成对数式，利用换底公式，基本不等式可推得
，利用指对数函数的单调性，通过构造函数
判断单调性可推得
，最后利用正切函数的单调性可得
.
【详解】由
可得
因
，
又
，故
,即
；
因
，则
由
，
由函数
，
，因
时，
，
即函数
在
上单调递减，则有
，故得
；
由
，而
，即
，
综上，则有
.
故选：B.
【点睛】方法点睛：解决此类题的常见方法，
（1）指、对数函数的值比较：一般需要指对互化、换底公式，以及运用函数的单调性判断；
（2）作差、作商比较：对于结构相似的一般进行作差或作商比较，有时还需基本不等式放缩比较；
（3）构造函数法：对于相同结构的式子，常构造函数，利用函数单调性判断.
二、多选题
6．（2023·全国·模拟预测）下列说法正确的有（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ABD
【分析】运用基本不等式，结合特例法、不等式的性质、指数函数的单调性逐一判断即可.
【详解】选项A：当
时，
，
所以
，当且仅当
，即
时等号成立，故选项A 正确；
选项B：由
得
，所以
，故选项B 正确；
选项C：令
，满足
，但
不成立，故选项C 错误；
选项D：由
得
，因为
，所以
，所以
，故选项D 正确．
故选：ABD.
7．（2025·广东茂名·一模）下列命题正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】BCD
【分析】举出反例即可判断A，由不等式的性质代入计算即可判断BD，由作差法即可判断C.
【详解】对于A，取
，满足
，但是
，故A 错误；
对于B，因为
，不等式两边同时乘以负数
，不等式方向改变，所以
，
不等式两边同时乘以负数
，不等式方向改变，所以
，
所以
，故B 正确；
对于C，因为
，
，
又因为
，所以
，而
，即
，
，
所以
，故C 正确；
对于D，设
，即
，
则
，解得
，所以
，
又
，则
，且
，
所以
，所以
，故D 正确；
故选：BCD
8．（2025·河北廊坊·模拟预测）若
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】先由对数函数的单调性得
，利用作差法即可判断AB，构造函数
即可判断C，构造函数
，利用导数研究单调性即可判断D.
【详解】因为
在
为增函数，由
有
，
对于A：由
，因为
，所以
，故A 正确；
对于B：由
，当
时，
，即
，故B 错误；
对于C：令
，可知
在
上单调递增，由
有
，故C 正确；
对于D：令
，则
，由
有
，
有
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，
，
当
时，
，故D 错误.
故选：AC.
9．（2024·广西·二模）已知实数a，b，c 满足
，且
，则下列结论中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】根据不等式的基本性质和已知条件可逐项分析得到答案.
【详解】
且
，则
，
，
则
，A 正确；
因为
，
，所以
，B 错误；
因为
，
，
，
当
时，
，则
；当
时，
，则
，当
时，
，
则
，故C 错误；
因为
，
当且仅当
时，等号成立，此时由
可得
，不符合
，
所以
不成立，故
，即
，D 正确.
故选：AD
三、填空题
10．（2024·全国·模拟预测）已知实数
满足
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据不等式的性质即可求解.
【详解】由
可得
，所以
，
故答案为：
11．（2024·吉林·模拟预测）请写出一个幂函数
满足以下条件：①定义域为
；②
为增函数；③对任意
的
，
，都有
，则
．
【答案】
（答案不唯一）
【分析】根据幂函数的性质可写出一个符合①②的幂函数，利用作差法说明其也满足③，即可得答案.
【详解】由题意可知
的定义域为
，且
在
上为增函数；
下面证明该函数满足③：
取任意的
，
，
，
则
，
当且仅当
时取等号，
即
，即
满足③，
故答案为：
12．（2024·浙江·模拟预测）对
定义一种新运算
，规定：
（其中
均为非零常数），这里等式
右边是通常的四则运算，例如：
，已知
，若关于
的不等式组
恰好有3 个整数解，则实数
的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据已知得出关于
的方程组，求出
，再代入不等式组求出解集，再根据已知条件得到取值范围.
【详解】因为
，
所以
，解得
，
所以
，
，
因为不等式组恰有3 个整数解，
所以
，
故答案为：
.
13．（2024·北京西城·二模）在数列
中，
，
．给出下列三个结论：
①存在正整数
，当
时，
；
②存在正整数
，当
时，
；
③存在正整数
，当
时，
．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③
【分析】根据递推关系求出
，用差比较法可判定各选项.
【详解】对于①：由
，
，可得
，
又
，当
时
，
因为
，所以
时
，故①错误；
对于②：
，又
，
结合①的结论
时
，
所以当
时，
，故②正确；
对于③：
，
，
所以当
时，
，
所以
，故③正确；
故答案为：②③.
【点睛】关键点睛：本题关键在于求出
，根据递推关系分析出当
时
，进而判定①，利用差
比较法结合结论①可判定②③.
四、解答题
14．（2024·重庆·一模）已知函数
，曲线
与
有公共点，
且在该点处的切线相同.
(1)用
表示
，并求
的最小值；
(2)求证：当
时，
；
(3)已知
，若方程
有两个不等实根
，证明：
.
【答案】(1)1
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）根据公共点处切线相同可得
，利用导数可求
的最小值;
（2）利用同构即证
，结合导数可证该不等式成立；
（3）结合（2）可得
，从而可得不等式成立.
【详解】（1）
，
，
设公共点的横坐标为
，则
，故
，
故
，其中
，设
，
则
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上为减函数，在
上为增函数，故
.
故
的最小值为1.
（2）由（1）可得
，要证：
即证：
，即证：
，
即证：
，
设
，则
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上为减函数，在
上为增函数，
故
，故
，即
，
故
成立，故
.
（3）取
，由（1）可得
，结合（2）可得
即
因为方程
有两个不等实根
，故
，
故
故
，
而
，故
，则
，
故
，
即
【点睛】关键点点睛：证明函数不等式时可根据不等式的结构特征合理同构，从而得到比较容易证明的不等式，后者
可利用导数证明.
15．（2025·河北·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若函数
存在大于1 的极值点，证明：函数
的极小值小于
.
【答案】(1)递减区间为
，递增区间为
；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出
的导数
，在
时，探讨函数
的单调性，求出
的单调区间.
（2）设大于1 的极值点
，由极值点的意义可得
，利用导数可得
，进而确定
的极小值点，求
出极小值，再作差比较大小即得.
【详解】（1）函数
的定义域为
，求导得
，
令
，求导得
，当
时，
，
则函数
在
上单调递增，而
，
当
时，
；当
时，
，
函数
的递减区间为
，递增区间为
.
（2）由函数
存在大于1 的极值点，设此极值点为
，由（1）知1 是
的另一极值点，
由
，得
，令函数
，
求导得
，函数
在
上单调递增，
，
则
，而
，于是
，因此
，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
，
因此函数
的极小值点不是1，应为
，函数
的极小值为
，
且
，
，即
，
所以函数
的极小值小于
.
16．（2024·四川乐山·三模）设不等式
的解集为
.
(1)证明：
；
(2)比较
与
的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）令
，化简后，由
，可求出
，然后利用绝对值三角不等式可求证得结
论；
（2）结合
利用作差法比较即可.
【详解】（1）证明：记
则
，解得
，即
．
，
则
．
当且仅当
时取等号.
（2）由（1）知
，所以
则
，
∴
，
∴
.
17．（2024·四川德阳·三模）已知a、b、c、d 均为正数，且
．
(1)证明:若
，则
;
(2)若
，求实数 t 的取值范围．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
.
【分析】（1）根据给定条件，利用不等式性质推理即得.
（2）结合已知可得
，再利用基本不等式求解即得.
【详解】（1）由
均为正数，
，得
，又
，
则
，所以
.
（2）显然
，
而
均为正数，则
，
又
，当
时取等号，
而
，因此
，
，
所以实数 t 的取值范围
.
18．（2024·河南信阳·模拟预测）已知函数
，
．
(1)试比较
与
的大小；
(2)若
恒成立，求
的取值范围．
【答案】(1)答案见详解
(2)
【分析】（1）因为
，构建
，利用导数判断
的单调性，结合
分析判断；
（2）构建
，原题意等价于
在
内恒成立，利用导数分类讨论
的
单调性和最值，结合恒成立问题分析求解.
【详解】（1）因为
，
构建
，则
在
内恒成立，
可知
在
内单调递减，且
，则有：
若
，则
，即
；
若
，则
，即
；
若
，则
，即
.
（2）若
恒成立，则
，
构建
，
原题意等价于
在
内恒成立，
则
，
1.若
，则
当
时，
；当
时，
；
可知
在
内单调递增，在
内单调递减，
则
，不符合题意；
2.若
，则有：
（ⅰ）若
，则
，
当
时，
；当
时，
；
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
则
，符合题意；
（ⅱ）若
时，令
，解得
或
，
①若
，即
时，当
时，
，
可知
在
内单调递减，此时
，不合题意；
②若
，即
时，则
，
可知
在
内单调递增，
当
时，此时
，不合题意；
③若
，即
时，则
，
由（1）可知：当
时，
，
则
，
可得
，不合题意；
综上所述：
的取值范围为
.
【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题
（1）分离参数法
第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的最值；
第三步：根据要求得所求范围．
（2）函数思想法
第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；
第二步：利用导数求该函数的极值；
第三步：构建不等式求解．
19．（2025·云南·一模）定义：若函数
对于定义域内的任意
，都有
，
则称函数
为 “下凸函数”；反之，若
，则称函数
为 “上凸函数”.已知
函数
（
）.
(1)当
，
，
时，判断函数
是 “上凸函数” 还是 “下凸函数”，并说明理由.
(2)若函数
是 “下凸函数”，求
的取值范围.
(3)若函数
在区间
上是 “下凸函数”，
在区间
上不单调，且
在区间
上的最大值为
，最小值为
，求证：
.
【答案】(1)函数
是 “下凸函数”，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）先分别计算
，再比较大小，根据定义即得结果；（2）根据定义
恒成立，计算化简即得
的取值范围；（3）先化简
再根据对称轴与定义区间位置
关系证明不等式.
【详解】（1）当
，
，
时，
.
设
，
为定义域内任意两个不相等的实数，
则
因为
，所以
因此
，即函数
是 “下凸函数”.
（2）因为函数
是 “下凸函数”，
所以对于任意
，有
即
展开化简得
因为
，所以
恒成立，从而
.
即
的取值范围为
（3）因为函数
在区间
上是 “下凸函数”，所以由 （2） 知
，
因为
对称轴为
，
在
上不单调，
所以
，因此
，
.
①若
，
则
即
，
所以
.
②若
，
则
即
，
所以
.
综上，
.
