文档文本内容
第03 讲 基本不等式
目录
第一部分：基础知识....................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾.............................................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过.........................................................................................................3
高频考点一：基本不等式的内容及辨析................................................................................3
高频考点二：利用基本不等式比较大小................................................................................6
高频考点三：利用基本不等式求最值...................................................................................9
角度1：利用基本不等式求积最大值..............................................................................9
角度2：利用基本不等式求和最小值............................................................................10
角度3：二次与二次（一次）的商式的最值.................................................................12
角度4：“1”的妙用求最值.........................................................................................14
角度5：条件等式求最值...............................................................................................17
高频考点四：基本不等式的恒成立问题..............................................................................18
高频考点五：利用基本不等式解决实际问题......................................................................22
第四部分：典型易错题型.................................................................................................... 25
第一部分：基础知识
1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
①如果
，
，
，当且仅当
时，等号成立．
②其中
叫做正数
，
的几何平均数；
叫做正数
，
的算数平均数．
2、两个重要的不等式
①
（
）当且仅当
时，等号成立．
②
（
）当且仅当
时，等号成立．
3、利用基本不等式求最值
①已知
，
是正数，如果积
等于定值
，那么当且仅当
时，和
有最小值
；
②已知
，
是正数，如果和
等于定值
，那么当且仅当
时，积
有最大值
；
4、常用技巧
利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次
数））、代（1 的代入）、解（整体解）.
①凑：凑项，例：
；
凑系数，例：
；
②拆：例：
；
③除：例：
；
④1 的代入：例：已知
，求
的最小值.
解析：
.
⑤整体解：例：已知
,
是正数，且
，求
的最小值.
解
析
：
，
即
，
解
得
.
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·北京·高考真题）已知
，
是函数
的图象上两个不同的点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】指数式与对数式的互化、基本不等式求和的最小值、比较对数式的大小
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD 即可.
【详解】由题意不妨设
，因为函数
是增函数，所以
，即
，
对于选项AB：可得
，即
，
根据函数
是增函数，所以
，故B 正确，A 错误；
对于选项D：例如
，则
，
可得
，即
，故D 错误；
对于选项C：例如
，则
，
可得
，即
，故C 错误，
故选：B.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：基本不等式的内容及辨析
典型例题
例题1．（多选）（23-24 高三上·广东揭阳·阶段练习）下列有关说法正确的是（ ）
A．当
时，
B．当
，
时，
恒成立
C．当
时，
D．当
时，
的最小值为
【答案】BC
【知识点】基本不等式的内容及辨析
【分析】利用基本不等式可判断各选项的正误.
【详解】对于A 选项，当
时，
，此时
，A 错；
对于B 选项，当
，
时，由基本不等式可得
，
当且仅当
时，等号成立，B 对；
对于C 选项，当
时，由基本不等式可得
，
当且仅当
时，等号成立，C 错；
对于D 选项，当
时，
，
由基本不等式可得
，
当且仅当
时，等号成立，但
，故
，D 错.
故选：BC.
友情提醒：使用基本不等式时需注意①一正②二定③三相等；特别是“一正，三相等”很容易被忽略而造
成错解，如本题A 选项，当
时，
不满足“一正”这个前提；再如D 选项，
当且仅当
，即
等号成立，而
。
例题2．（多选）（23-24 高三上·江苏南通·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．函数
的最大值为
B．函数
的最小值为2
C．函数
的最小值为6
D．若
，则
的最大值为4
【答案】ACD
【知识点】基本不等式求和的最小值、由指数函数的单调性解不等式、基本不等式的内容及辨析
【分析】利用均值不等式求出最值判断ACD；利用均值不等式结合等号成立条件判断B.
【详解】对于A，
，
，当且仅当
，即
时取等号，A 正确；
对于B，令
，则
，而
，当且仅当
时取等号，
显然不能取到1，因此
，B 错误；
对于C，当
，即
时，
，
当且仅当
，即
时取等号，C 正确；
对于D，
，即
，解得
，
当且仅当
，即
时取等号，因此
的最大值为4，D 正确.
故选：ACD
精练高频考点
1．（多选）（24-25 高三上·安徽·期中）下列几个不等式中，能取到等号的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【知识点】作差法比较代数式的大小、根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、基本不等式的内容
及辨析
【分析】用作差法可判断A，由基本不等式及取等号的条件逐一判断选项B、C、D.
【详解】对A，
，当且仅当
时等号成立；
对B，∵
，∴
，
，
当且仅当
时等号成立；
对C，∵
，则
，所以，
，
则
，当且仅当
时等号成立；
对D，∵
，∴
，
当且仅当
，即
时等号成立，
而
，因此
中的等号取不到．
故选：ABC.
2．（多选）（23-24 高三上·重庆南岸·期中）下列说法正确的是（ ）
A．函数
的最大值是
B．函数
的最小值是2
C．函数
的最小值是6D．若
，则
的最小值是8
【答案】ACD
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的内容及辨析
【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A 选项，对于函数
，
，
当且仅当
时等号成立，所以A 选项正确.
B 选项，
，
当
无实数解，所以等号不成立，所以B 选项错误.
C 选项，对于函数
，
，
，
当且仅当
时等号成立，所以C 选项正确.
D 选项，由基本不等式得
，
所以
，
当且仅当
时等号成立，所以D 选项正确.
故选：ACD
高频考点二：利用基本不等式比较大小
典型例题
例题1．（多选）（24-25 高三上·江苏盐城·阶段练习）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由基本不等式比较大小
【分析】根据题意，结合不等式的基本性质，以及特例法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A 中，因为
可得
，可得
，所以
，
当且仅当
时，等号成立，所以A 错误；
对于B 中，由
，因为
，所以
，
当且仅当
时，等号成立，所以B 正确；
对于C 中，令
，此时
，所以C 不正确；
对于D 中，因为
且
，
可得
，所以D 正确.
故选：BD.
例题2．（多选）（24-25 高三上·湖南·阶段练习）已知正数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【知识点】基本（均值）不等式的应用、由基本不等式比较大小
【分析】A 直接应用基本不等式判断；B 由
代入目标式，结合二次函数性质判断；C、D 利用基本
不等式“1”的代换判断.
【详解】对于A，因为
，且
，所以
，
则
，当且仅当
时等号成立，正确．
对于B，由
，得
，又
，所以
，则
，
所以
，当且仅当
，即
时等号成立，正确．
对于C，
，
因为
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以
，错误．
对于D，由
，
当且仅当
，即
时等号成立，正确．
故选：ABD
精练高频考点
1．（多选）（24-25 高三上·四川成都·阶段练习）若正数
，
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由基本不等式比较大小
【分析】根据基本不等式判断ABD，由不等式性质判断C．
【详解】
，
，所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，A 错；
，
当且仅当
，即
时等号成立，B 正确；
由已知
，
，
，
所以
，C 正确；
由已知
，
，
，
当且仅当
，即
时取等号，D 正确．
故选：BCD．
2．（多选）（24-25 高三上·陕西榆林·期中）已知正数a，b 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【知识点】由基本不等式比较大小、条件等式求最值、指数幂的化简、求值
【分析】利用基本不等式判断A、B；应用基本不等式及指数幂的运算性质判断C、D.
【详解】A，因为
，
，当且仅当
时等号成立，
所以
，即
，正确；
B，
，当且仅当
时等号成立，
因为
，
，所以
，正确；
C，
，当且仅当
时等号成立，
所以
，所以
，错误；
D，
，当且仅当
时等号成立，
所以
，正确．
故选：ABD
高频考点三：利用基本不等式求最值
角度1：利用基本不等式求积最大值
典型例题
例题1．（24-25 高三下·云南玉溪·开学考试）已知
，
，且
，则
的最大值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式求积的最大值
【分析】直接利用基本不等式求解即可.
【详解】因为
，
，且
，
所以
，所以
，当且仅当
时，等号成立，
即
的最大值为
.
故答案为：
例题2．（2025·湖北·模拟预测）已知实数
，
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】基本不等式求积的最大值
【分析】由题设可得
，再应用基本不等式求目标式的最大值.
【详解】因为
，所以
，
因为
，
当且仅当
，即
时等号成立，故
的最大值为
.
故选：B
精练高频考点
1．（2025·山东菏泽·二模）已知
，
，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．1
C．4
D．16
【答案】B
【知识点】对数的运算、基本不等式求积的最大值
【分析】由基本不等式结合对数运算性质即可求解.
【详解】
，
当且仅当
，即
时取等号，
故选：B
2．（24-25 高三下·上海·阶段练习）设
，
，若
，则
的最大值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式求积的最大值
【分析】根据基本不等式可求
的最大值.
【详解】由题意得，
，
当且仅当
，即
时取等号，
∴
的最大值为.
故答案为：.
角度2：利用基本不等式求和最小值
典型例题
例题1．（24-25 高三下·广东东莞·阶段练习）若
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】将
变形为
，设
，根据基本不等式即可求解．
【详解】
，
因为
，所以
，设
，
则
，当且仅当
时等号成立，
此时
，解得
，
故选：A．
例题2．（2025·新疆省直辖县级单位·模拟预测）已知
，则
的最小值为（ ）
A．3
B．4
C．
D．6
【答案】A
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.
【详解】由
，得
，
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为3.
故选：A
精练高频考点
1．（24-25 高三下·江苏常州·阶段练习）已知
，则
的最小值是（ ）
A．0
B．
C．
D．1
【答案】A
【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值
【分析】根据已知得
，进而有
，应用基本不等式求最小值即可.
【详解】由题设
且
，则
，
所以
，
当且仅当
时取等号，
所以
的最小值是0.
故选：A
2．（24-25 高三下·河南·阶段练习）已知
，则
的最小值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】将目标式子变形，然后根据基本不等式求解即可.
【详解】由
得，
，
当且仅当
即
时，等号成立，故
的最小值为．
故答案为：
角度3：二次与二次（一次）的商式的最值
典型例题
例题1．（24-25 高三上·河北唐山·阶段练习）利用基本不等式求以下最值：
求
在
时的最小值．
【答案】
．
【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、二次与二次（或一次）的商式的最值
【详解】
，
令
，则
，
所以
，化为
，
而
，当且仅当
，即
时等号成立，
的最小值为
．
例题2．（23-24 高三上·广东汕头·阶段练习）
的最大值为 .
【答案】
【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值
【分析】令
，
，则可将原式化为
，再利用基本不等式即可求出其最大值.
【详解】令
，则
，
，
所以
，当且仅当
，即
时，等
号成立.
所以
的最大值为
.
故答案为：
.
【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题. 在利用基本不等式求最值时，要根据式子的
特点灵活变形，配凑出和或积为常数的形式.
方法总结：形如：
或者
解题时可以优先考虑换元法，换元
时将低次式换元；令
再带入二次式中，通过换元化繁为简。
精练高频考点
1．（24-25 高三上·广东江门·期末）若
，则
的最小值是 .
【答案】
/
【知识点】基本不等式求和的最小值、二次与二次（或一次）的商式的最值
【分析】依题意利用基本不等式计算可得.
【详解】因为
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
故答案为：
2．（23-24 高三上·福建泉州·期中）函数
在
上的最大值为 ．
【答案】
【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值
【分析】令
，则
，则
，利用基本不等式计算可得.
【详解】解：因为
，
，令
，则
，
则
，
当且仅当
，
即
时，等号成立．
故
的最大值为
．
故答案为：
3．（24-25 高三上·全国·课后作业）求下列函数的最值．
已知
，求
的最小值．
【答案】
【知识点】基本不等式求积的最大值、二次与二次（或一次）的商式的最值
【分析】将函数解析式变形为
，利用基本不等式可求得该函数的最小值.
【详解】因为
，所以
．
所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以当
时，函数
取得最小值
.
4．（24-25 高三上·安徽六安·期中）（1）已知
，求
的最小值；
【答案】（1）
；
【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】（1）通过配凑将原式变形为
，然后利用基本不等式求解出最小值；
【详解】（1）因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
的最小值为
；
角度4：“1”的妙用求最值
典型例题
例题1．（2025 届安徽省皖江名校高三下学期5 月联考数学试题）若
，则
的最
小值是 ．
【答案】9
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】应用基本不等式“1”的代换求
的最小值即可.
【详解】由题设
，
当且仅当
，即
时取等号，故
的最小值是9.
故答案为：9.
例题2．（2025·重庆·模拟预测）若
，且
，则
的最小值为 ．
【答案】
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】利用已知条件构造
，利用乘“1”法及基本不等式计算可得；
【详解】由
，可知
，
，
所以
，
所以
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为
．
故答案为：
另解：令
带入
中画简得
则
转化为：
当且仅当
时，即
即
等号成立
总结：本题利用了凑配法和换元法，对于复杂的不易凑配的式子可以考虑换元
法，换元法对思维要求更低。
精练高频考点
1．（24-25 高三下·湖南长沙·期中）已知
，且
，则
的最小值是 ．
【答案】
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】由基本不等式的常数代换，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为
，且
，所以
，
所以
．
当且仅当
时，即
，即
时，取等号．
故答案为：
2．（2025·甘肃金昌·模拟预测）已知
，
，
，则
的最小值为 .
【答案】6
【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】利用基本不等式即可求解.
【详解】由
，得
，
当且仅当
时等号成立，故
的最小值为6.
故答案为：6
3．（24-25 高三下·天津滨海新·期中）已知
，且
，则
的最小值为
【答案】
【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】根据已知可得
，然后根据“1”的代换求解即可得出答案.
【详解】由已知可得，
，则
，
则
.
当且仅当
，且
，
，
即
，
时等号成立.
所以，
的最小值为
.
故答案为：
.
角度5：条件等式求最值
典型例题
例题1．（24-25 高三上·云南玉溪·期中）若正数a，b 满足
，则
的最小值是
（ ）
A．15
B．18
C．24
D．36
【答案】B
【知识点】条件等式求最值
【分析】由条件得
，还原利用基本不等式求
的最小值.
【详解】由
，得
，
则
，
∴
，
当且仅当
，即
时等号成立．
∴
的最小值是18.
故选：B
例题2．（24-25 高三下·江苏常州·阶段练习）已知
，则
的最小值是
（ ）
A．0
B．
C．
D．1
【答案】A
【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值
【分析】根据已知得
，进而有
，应用基本不等式求最小值即可.
【详解】由题设
且
，则
，
所以
，
当且仅当
时取等号，
所以
的最小值是0.
故选：A
精练高频考点
1．（25-26 高三上·全国·课后作业）已知
，且
，则
的最小值是
．
【答案】
【知识点】条件等式求最值
【详解】因为
，所以
，则
，当且仅当
，即
时，取等号．
2．（24-25 高三下·浙江湖州·阶段练习）已知正实数x，y 满足
，则
的最大值为 ．
【答案】1
【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值
【分析】根据条件变形，待求式转化为一元变量后，利用基本不等式求解.
【详解】因为
，
所以
，则
,
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
故答案为：1
高频考点四：基本不等式的恒成立问题
典型例题
例题1．（2025·吉林延边·一模）已知正实数
，
满足
，且不等式
恒成立，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】对题目等式变形得
，再利用乘“1”法即可得到答案.
【详解】因为正实数
,
满足
，所以
，
则：
，
当且仅当
时取等号，因为不等式
恒成立，所以
．
故选：B．
例题2．（2025 高三·全国·专题练习）已知
，且
，若
恒成立，则实数t 的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】恒成立问题先转化为
的最值问题，由条件等式利用常数的代换将式子
转化为
，再利用基本不等式求出最值，最后求解关于的不等式可得.
【详解】已知
，则
，
因为
，
当且仅当
时等号成立，由
，
解得
．
故
的最小值为4．
因为
恒成立，
所以
，即
，
解得
，即
．
故选：D
例题3．（23-24 高三上·天津南开·期中）已知
，若不等式
恒成立，则
的
最大值是 .
【答案】6
【知识点】基本不等式的恒成立问题
【分析】根据
，
，得到
，利用“1”的代换转化为
，
再用基本不等式求解即可
【详解】因为
，
，
所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立，
所以
，即
，所以
的最大值是
.
故答案为：
.
精练高频考点
1．（24-25 高三上·江西宜春·期末）已知
，且
，若
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】由已知条件得出
，将代数式
与
相乘，展开后利用
基本不等式求出
的最小值，根据题意可得出关于
的不等式，解之即可.
【详解】因为
，
，且
，则
，
则
，
所以
，
当且仅当
时，
即当
，
时，所以
的最小值为
，
因为
恒成立，所以
，解得
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：A.
2．（2024 高三·全国·专题练习）已知
，若不等式
恒成立，则
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．
D．5
【答案】C
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】由题意可知
，利用基本不等式中“1”的用法求出
即可.
【详解】由不等式
恒成立可知，只需
小于等于
的最小值．
由
，
可得
，
当且仅当
，即
时取等号，
的最大值为
.
故选：C．
3．（24-25 高三上·四川成都·期中）若不等式
在区间
上恒成立，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】基本不等式的恒成立问题、函数不等式恒成立问题
【分析】利用换元法构造函数，利用新函数的最值进行求解即可.
【详解】解：令
，因为
，则
，
所以原不等式等价于
在
上恒成立；
令
，
在
时单调递减，在
时单调递增，
所以当
时，
，
若
在
上恒成立，则
，所以
.
故选：A
高频考点五：利用基本不等式解决实际问题
典型例题
例题1．（2025·上海青浦·模拟预测）道路通行能力指单位时间（1 小时）内通过道路上指定断面的最大车
辆数，是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究
某城市道路通行能力，现给出如下假设：
假设1：车身长度均为4.8 米；
假设2：所有车辆以相同的速度（单位：千米／小时）匀速行驶；
假设3：安全距离
（单位：米）与车辆速度近似满足
.
该城市道路通行能力的最大值约为 .（结果保留整数）
【答案】821
【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、基本（均值）不等式的应用
【分析】由题意，先进行单位换算统一单位，整理函数解析式，利用基本不等式，可得答案.,
【详解】1 小时
秒，车辆速度（千米／小时）换算为米／秒是
米／秒.
1 小时内通过的车辆数
.
根据基本不等式
（
），
，
当且仅当
时等号成立.所以
，
即该城市道路通行能力的最大值约为821.
故答案为：821.
例题2．（24-25 高三上·安徽铜陵·阶段练习）美国国家海洋和大气管理局
最近发布的一则预测引
发全球关注：预计在
年
月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以
逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成：
①固定成本(与生产产品的数量无关)：
万元；
②生产所需材料成本：
万元，
(单位：万套)为每月生产产品的套数．
(1)该企业每月产量
为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？
(2)若每月生产
万套产品，每万套售价为：
万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制
定计划，才能确保该套装每月的利润不低于
万元．
【答案】(1)
万套时，每万套的最低成本为12 万元；
(2)该企业至少要生产30 万套，才能确保该套装每月的利润不低于
万元.
【知识点】一元二次不等式的实际应用、基本（均值）不等式的应用
【分析】（1）根据已知有平均每万套的成本
，应用基本不等式求最小值；
（2）由题设得到
，解一元二次不等式求解，即可得结论.
【详解】（1）由题设，平均每万套的成本
，
当且仅当
万套时取等号，平均每万套的成本最低为12 万元/万套；
（2）由题设，该套装每月的利润为
，
所以
，可得
，
所以
，即该企业至少要生产30 万套，才能确保该套装每月的利润不低于
万元.
精练高频考点
1．（2025·江西·模拟预测）在生物界中，部分昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.已知某类昆虫
在水平方向上速度为（单位：米/秒）时的跳跃高度
（单位：米）满足
，则该类昆虫的最
大跳跃高度为（ ）
A．0.25 米
B．0.5 米
C．0.75 米
D．1 米
【答案】A
【知识点】基本（均值）不等式的应用
【分析】求出
，利用基本不等式可得答案.
【详解】由
可知
，且
，
故
，
当且仅当
即
时等号成立，即该类昆虫的最大跳跃高度为0.25 米.
故选：A.
2．（2025·广西·一模）现使用一架两臂不等长的天平称中药，操作方法如下：先将100g 的砝码放在天平
左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些中
药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总重量（ ）
A．等于200g
B．大于200g
C．小于200g
D．以上都有可能
【答案】B
【知识点】基本（均值）不等式的应用
【分析】用平衡条件得出
的表达式，结合基本不等式可得答案.
【详解】设天平左臂长为
，右臂长为
，
且
，左盘放的药品为
克，右盘放的药品为
克，
则
，解得
，
，
当且仅当
时，取到等号，而
，所以
.
故选：B
3．（2026 高三·全国·专题练习）某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形
，如图）上设计三
个等高的宣传栏（栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形），宣传栏（图中阴影部分）的面积
之和为
．为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为
．当直角梯形的高
为 cm 时，用纸量最少（即矩形
的面积最小）．
【答案】
【知识点】基本（均值）不等式的应用
【分析】利用给定条件将矩形面积用一元函数进行表示，再利用基本不等式求解最值即可.
【详解】设直角梯形的高为
，
宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为
，
且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为
，
海报宽
，海报长
，
故
，
当且仅当
，即
时，等号成立．
当直角梯形的高为
时，用纸量最少．
故答案为：
第四部分：典型易错题型
备注：利用基本不等式解题容易忽视“一正”，“三相等”
1．（多选）（2024·江苏南通·一模）下列函数中最小值为4 的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、基本不等式求和的最小值
【分析】对于A：举反例说明即可；对于BCD：利用基本不等式运算求解即可.
【详解】对于选项A：例如
，则
，可得
，
所以
的最小值不为4，故A 错误；
对于选项B：因为
，
则
，当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为4，故B 正确；
对于选项C：因为
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为4，故C 正确；
对于选项D：因为
，且
，
则
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以
的最小值为4，故D 正确；
故选：BCD.
2．（多选）（24-25 高三上·浙江温州·期中）下列为真命题的是（ ）
A．函数
的最小值为2
B．函数
的最小值为3
C．函数
的最大值为1
D．函数
的最小值为2
【答案】BC
【知识点】判断命题的真假、利用函数单调性求最值或值域、基本不等式求和的最小值、根据解析式直接
判断函数的单调性
【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：利用基本不等式运算求解即可；对于C：根据函数单调性分析
判断；对于D：换元令
，结合对勾函数单调性分析判断.
【详解】对于选项A：令
，则
，可知函数
的最小值不为2，故A 错误；
对于选项B：因为
，则
，
可得
，
当且仅当
，即
时，等号成立，
所以函数
的最小值为3，故B 正确；
对于选项C：因为
在
内单调递增，
可知函数
在
内单调递增，且当
时，
，
所以函数
的最大值为1，故C 正确；
对于选项D：令
，可得
，
可知
在
内单调递增，且当
时，
，
所以函数
的最小值为
，故D 错误；
故选：BC.
