知识解构
知识点1 指数与指数幂的运算 知识点2 指数函数的图象和性质
知识点3 底数
对指数函数图象的影响
题型破译 (含超链接）
题型
1
根式与指数幂的运算
题型
2 指数函数的概念、定义域及解析式
题型
3 指数函数的定点问题
题型
4 指数函数的图象问题
题型
5 指数函数的单调性
题型
6 指数函数的值域（最值）
【方法技巧】复合函数单调性的判断方法
题型
7 根据指数函数的最值求参数
题型
8 比较指数幂大小
【方法技巧】比较指数幂大小的方法
题型
9 解指数不等式
题型
10
指数应用题
第04 讲 指数与指数函数
内容导航
命题透视·考情前瞻
01
命题透视·考情前瞻
素养，研判高考命
对标
题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
04
真题溯源·考向感知
溯源真
，感知高考考向
题逻辑
05
课本典例·高考素材
立足
本典例，挖掘高考素材
课
——
素养，研判高考命
对标
题趋势
核心考点
2026 年
2025 年
2024 年
指数函数的图象
全国甲卷T8（5 分）
指数函数的性质
全国高考** 错误的表达式
**卷T13（5 分）
新高考** 错误的表达
式 **卷T8（5 分）
考情分析
本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握指
数的运算及指数函数的基本性质，难度中等偏下，分值为5-6 分
近三年考情显示，考点有判断指数函数的单调性、判断对数函数的单调性、根据
分段函数的单调性求参数、指数型复合函数单调性、二次函数单调性、比较指数
幂的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小。
复习目标
1.了解有理数指数幂、实数指数幂含义，掌握指数幂的运算性质.
2.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.
3.能画出具体指数函数的图象探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
4.能结合指数函数比较指数式大小.
思维建模·脉络梳理
——搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
知●识●解●构
知识点1 指数与指数幂的运算
1．根式
（1）
次方根的概念与性质
次
方
根
概念
一般地，如果
，那么
叫做
的
次方根，其中
，
.
性质
①当
是奇数时，正数的
次方根是一个正数，负数的
次方根是一个负数.这时，
的
次方根用符号
表示.
②当
是偶数时，正数
的
次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数
的正的
次
方根用符号
表示，负的
次方根用符号
表示.正的
次方根与负的
次方根可以合
并写成
.负数没有偶次方根.
③0 的任何次方根都为0，记作
.
（2）根式的概念与性质
根
式
概念
式子
叫做根式，这里
叫做根指数，
叫做被开方数.
性质
①
.
②当
为奇数时，
.
③当
为偶数时，
.
2．实数指数幂
（1）分数指数幂
①我们规定正数的正分数指数幂的意义是
. 于是，在条件
下，根式都可以写成分数指数幂的形式.
②正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定
且
.
③0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义.
（2）实数指数幂
对于任意实数
，均有下面的运算性质：
；
；
.
自主检测（多选）下列各式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】对于A：由
，故A 正确；对于B：由
，故B 正确；
对于C：当
为正奇数，则
，当
为正偶数，则
，如
，故C 错误；
对于D：由
，故D 正确.
故选：ABD
知识点2 指数函数的图象和性质
1．指数函数的概念
一般地，函数
叫做指数函数，其中
是自变量，函数的定义域是
.
【注】指数函数
的结构特征：
（1）底数：大于零且不等于1 的常数；（2）指数：仅有自变量x；（3）系数：
的系数是1.
2．指数函数的图象与性质
图象
性质
定义域
值域
最值
无最值
过定点
过定点
，即
时，
函数值
的变化
当
时，
；
当
时，
当
时，
；
当
时，
单调性
在
上是增函数
在
上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
对称性
与
的图象关于
轴对称
知识点3 底数
对指数函数图象的影响
函数
和
的图象如图所示
观察上图，有如下结论.
(1) 当
且
时，底数越大，图象越“陡”；
当
且
时，底数越小，图象越“陡”.
(2) 在
轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；
在
轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”.
必记结论
1.画指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),(-1, 1
a).
2.指数函数y＝ax(a>0,且a≠1)的图象和性质跟a 的取值有关,要特别注意应分
a>1 与0<a<1 来研究.
3.如图所示是指数函数
（1）y＝ax,（2）y＝bx,
(3)y＝cx,(4)y＝dx的图象,则c>d>1>a>b>0.
自主检测已知函数
的图象经过第一、二、四象限，则实数a 的取值范围是 ，实数b 的
取值范围是____________．
【答案】
【详解】当
时，如图1，由图象上下平移的可能情况，可知函数的图象不可能同时过第一、二、四象
限；当
时，满足条件，如图2，所以
，得
．
题●型●破●译
题型1 根式与指数幂的运算
例1-1（25-26 高三上·云南曲靖·开学）已知
，则
的分数指数幂形式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
．
故选：A
例1-2 计算：
（ ）
A．0
B．1
C．100
D．5
【答案】C
【详解】原式
．
故选：C
例1-3（25-26 高三上·河北衡水·月考）已知
，求
的值____________．
【答案】
【详解】由
，则
，即
，
，又
，则
，故
，故
.
故答案为：
【变式训练1-1·变考法】设
，那么
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
得
①；由
得
②．
得
，得
．
【变式训练1-2·变考法】（多选）已知
，下列各式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】因为
，所以A 正确；
，所以B 错误；由
可知
，
，所以
，所以C 正确；因为
，又
，所以原式
，所以D 正
确．
故选：ACD
【变式训练1-3·变载体】设函数
（
且
），如果
，那么
的值等于（ ）
A．32
B．64
C．16
D．8
【答案】B
【详解】由题意可得
．故
．
故选：B
【变式训练1-4】
____________．
【答案】
【详解】原式
.
故答案为：
.
题型2 指数函数的概念、定义域及解析式
例2-1（25-26 高三上·天津滨海新区·月考）函数
是指数函数，则a 的值为（ ）
A．
B．1
C．
D．1 或
【答案】A
【详解】因为函数
是指数函数，所以
且
，
即
且
，解得
.
故选：A.
例2-2 函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】令
，解得
且
，
所以函数
的定义域为
.
故选：D.
例2-3（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·开学）指数函数
的图象经过点
____________．
【答案】81
【详解】设指数函数
，
且
，
因为指数函数
的图象经过点
，则
，即
，可得
，
则
，所以
.
故答案为：81.
【变式训练2-1】函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】函数
的定义域满足
，解得
且
．则函数定义域为
，
故选：D
【变式训练2-2·变考法】（24-25 高三上·重庆渝中·开学）已知指数函数
的图象经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】A
【详解】因
为指数函数，则
.因
的图象经过点
，则
，
∴
.
故选：A.
【变式训练2-3】已知指数函数
，则实数
的取值范围是____________．
【答案】
【详解】由已知
且
，解得
且
，所以
的范围是
.
故答案为：
【变式训练2-4】函数
的定义域是____________．
【答案】
【详解】要使函数
有意义，则
，变形可得
，因为指数函数
在
上单调递增，则
，解得
，故函数
的定义域是
.
故答案为：
.
题型3 指数函数的定点问题
例3-1 函数
的图象恒过定点（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】令
，解得
，且
，故函数
的图象恒过定点
．
故选：C
例3-2【新思维】（25-26 高三上·湖南长沙·月考）已知函数
恒过定点
，且点
在函数
的图象上，则
的最小值为（ ）
A．
B．8
C．4
D．
【答案】C
【详解】
过定点
，所以
，
因为点
在函数
的图象上，所以
，
所以
，当且仅当
时等号成立.
所以
的最小值为4.
故选：C
【变式训练3-1·变设问】已知曲线
（
且
）过定点
，若
且
，
，
则
的最小值为（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
【答案】D
【详解】当
时，恒有
，因此曲线
过定点
，
，
所以
，当且仅当
时取等号.
故选：D
【变式训练3-2·变考法】（25-26 高三上·上海奉贤·开学）已知实数
，
，则函数
的图象
恒经过定点的坐标为____________．
【答案】
【详解】易知函数
的图象是由指数函数
向下平移两个单位得到的，
又因为函数
恒过定点
，
所以函数
的图象恒过定点
.
【变式训练3-3·原创题】（25-26 高三上·湖南长沙·开学考试）已知函数
（
，且
）的图象恒过定点P，则点P 的坐标为____________．
【答案】
【详解】因为
且
，
，
所以函数
（
，且
）的图象恒过定点
.
所以点P 的坐标为
.
【变式训练3-4·变考法】（25-26 高三上·四川成都·开学）已知函数
的图象恒过定点
A，且A 点在直线
上，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．4
【答案】C
【详解】因为函数
的图象恒过定点
，所以
.
又A 点在直线
上，所以
，即
，因为
，
所以
，
当且仅当
，即
时等号成立.所以
的最小值为2.
题型4 指数函数的图象问题
例4-1（25-26 高三上·江苏连云港·开学）（多选）设
，
为实数，
，
.已知函数
的图
象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】因为函数为递减函数，所以
，故B 正确；A 错误；
当
时，
，得
，故D 正确，C 错误.
故选：BD
例4-2 函数
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】函数
中，
，即
，解得
，
函数
定义域为
，
，
函数
是偶函数，图象关于
轴对称，选项AC 不满足；
当
时，
，选项D 不满足，B 符合题意.
故选：B
【变式训练4-1·变方向】（25-26 高三上·河北邯郸·阶段检测）已知函数
，且
的图
象如图所示.则函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
的图象可知
，由
知
，
所以函数
的两个零点分别在
和
上，且开口向上.
故选：C.
【变式训练4-2·变考法】（多选）已知实数a，b 满足等式
，则下列关系式可能成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】画出函数
和
的图象，借助图象分析
满足等式
时a，b 的大小关系，
如图所示．
令
，若
，则
；若
，则
；若
，则
．
【变式训练4-3·变载体】（25-26 高三上·陕西咸阳·月考）已知函数
的图象过原点，且无
限接近直线
但又不与该直线相交.则
的值为（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】D
【详解】由函数
过原点可知
，即可得
，即
；
又函数定义域为
，且满足
，可知函数
为偶函数，
当
时，
趋近于0，所以函数
趋近于
,因此可得
，所以
；
即
.
故选：D
【变式训练4-4·变方向】．（25-26 高三上·陕西汉中·开学）（多选）在如图所示的图象中，二次函数
与函数
在同一平面直角坐标系内的图象不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【详解】A：由图可得二次函数
的对称轴为
且
，结合图可得
，即
得
，
由图知
为减函数，则有
，符合
，故A 不合题意；
B：由图可得
且
，此时
、
异号，则与函数
为减函数相矛盾，故B 符合题意；
C：由图可得
且
，即得
，由图知
为减函数，则
，符合
，故C 不合题意；
D：由图可得
且
，此时
、
异号，则与函数
为减函数相矛盾，故D 符合题意；
故选：BD.
【变式训练4-5·变角度】（2026·北京顺义·二模）把函数
的图象
向右平移2 个单位
长度，再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的
倍，得到图象
，若此时图象
恰与
重合，则
的
值为（ ）
A．4
B．2
C．
D．
【答案】C
【详解】把函数
的图象
向右平移2 个单位长度，得到函数表达式为
，
再把所得图象上所有点的纵坐标变为原来的
倍，得到图象
的函数表达式为
，
因为图象
与
重合，所以
，即
，解得
，
.
故选：C
题型5 指数函数的单调性
例5-1（2026·河北保定·模拟）下列函数是增函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于A，
在
上先减后增，不合题意.
对于B，
为
上的减函数，不合题意.
对于C，
在
上先减后增，不合题意.
对于D，
为
上的增函数，符合题意.
例5-2 【新角度】(2026·湖北新八校协作体联考)函数f(x)＝
e
x
e
x＋1
－1
2,则对任意实数x,下列结论正确的是
（ ）
A.f(x)是偶函数,且在R 上单调递增 B.f(x)是奇函数,且在R 上单调递增
C.f(x)是奇函数,且在R 上单调递减 D.f(x)是偶函数,且在R 上单调递减
【解析】选B.f(x)的定义域为R,f(x)＝
e
x -1
2(e
x＋1)
,则f(－x)＝
e
- x -1
2(e
- x＋1)
＝－
e
x -1
2(e
x＋1)
＝－f(x),
故f(x)是奇函数.由于f(x)＝
e
x
e
x＋1
－1
2 ＝1
2 －
1
e
x＋1
,函数y＝ex＋1 单调递增,
故f(x)在R 上单调递增.
故选:B.
例5-3 已知函数
（
且
）在区间
上单调递增，则实数a 的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当
时，
，所以外函数是单调递减的指数函数，
此时要使得函数
在区间
上单调递增，
则满足二次函数
在区间
上单调递减，
即满足对称轴
，解得
，结合
，可得
；
当
时，
，所以外函数是单调递增的指数函数，
此时要使得函数
在区间
上单调递增，
则满足二次函数
在区间
上单调递增，
即满足对称轴
，解得
，结合
，可得
；
综上可得a 的取值范围是
或
，
故选：A.
例5-4 函数
的减区间是____________．
【答案】
【详解】令
，则函数t 的增区间是
．而函数
在
上单调递减，故
函数
的减区间是
．
故答案为：
方法技巧 复合函数
的单调性判断方法
①确定函数的定义域；
②将复合函数分解成两个简单函数:
与
；
③分别确定分解成的两个函数的单调性；
④若两个函数在对应区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数
为增函数；
若两个函数在对应区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数
为减函数；
【变式训练5-1·变考法】（2026·河南开封·模拟预测）已知函数
在
上单调递减，则a
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】令
，由题意知，
在
上单调递减，且
在
上恒成立.
所以
，解得
.a 的取值范围是
.
故选D.
【变式训练5-2·变考法】（2026·江苏南京·学情调研）已知
，当
时，
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】当
时，
，不妨设
，则
，
所以，函数
在
上为减函数，
又因为
，则
，解得
.
故选：D.
【变式训练5-3】函数
的单调递增区间是____________．
【答案】
或
【详解】函数
，令
， 则
在
上单调递增，在
上单调递减，由
的
，而
在
上单调递增，
所以
的单调递增区间是
或
.
故答案为：
或
.
【变式训练5-4·变设问】（2026·河南·模拟预测）若定义在
上的增函数
满足
，请写出
一个满足条件的函数
____________．
【答案】
（答案不唯一）
【详解】根据
是定义在
上的增函数，再结合题意，可以令
，则
，
满足题意
（答案不唯一，可以是
）.
题型6 指数函数的值域（最值）
例6-1【新设问】（2026·江辽宁沈阳·模拟）已知
，则函数
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】令
，则
，因为
在
上单调递增，
所以
，又
单调递减，且
，所以
，即
的值域是
.
故选：B.
例6-2 函数
（ ）
A．有最大值，也有最小值
B．没有最大值，有最小值
C．有最大值，没有最小值
D．没有最大值，也没有最小值
【答案】B
【分析】先换元设
，再应用指数函数的值域及二次函数单调性计算求解.
【详解】因为函数
，设
，
当
函数单调递减，当
函数单调递增，
所以当
时，函数取最小值
，函数无最大值.
故选：B.
例6-3（25-26 高三上·甘肃兰州·开学考试）已知函数
，
（1）求函数
的单调区间；
（2）求函数
的值域．
【答案】（1）
的减区间为
，增区间为
（2）
【详解】（1）
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
又因为
在
上单调递减，所以根据复合函数单调性判断法则：
的减区间为
，
增区间为
.
（2）令
，则
，则
，即
的值域为
.
【变式训练6-1·变考法】函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当
时，
，因为函数
在
上单调递增，
所以
，此时
；
当
时，因为函数
在
上为减函数，在
上为增函数，
故
，即
在
上的值域为
.
综上所述，函数
的值域为
.
故选：A.
【变式训练6-2·载体】（25-26 高三上·河南三门峡·期末）已知函数
，下列说法正确的有
（ ）
A．
为偶函数
B．
恰有2 个单调区间
C．
的最小值为
D．
值域是
【答案】ABD
【详解】根据题意，设
对于A，
的定义域为
，且
，则
为偶函数，A 正确；
对于B，
，易得
在
上单调递增，在
上单调递减，B 正确；
对于C，由于
，则
，
不存在最小值，C 错误；
对于D，
，则
，则
的值域为
，D 正确．
故选：ABD
【变式训练6-3·变考法】函数
的单调递减区间为 ；函数
的值域是
．
【答案】
；
【详解】令
，当
时，u 单调递增．而
在
上是减函数，所以函
数
的单调递减区间为
．又
，所以
．
故答案为：
；
【变式训练6-4】已知函数
是奇函数，
为实数．
（1）求
的值；
（2）当
时，求函数
的值域．
【答案】（1）
（2）
【详解】（1）函数
是奇函数，则
，解得
，
当
时，
，
为奇函数，所以
的值为2．
（2）由（1）知函数
，由
是
上的增函数，可得
为
上的减函数，
所以
在
上是增函数，可得
，
即
，故函数
的值域为
．
题型7 根据指数函数的最值求参数
例7-1【新角度】（25-26 高三上·河南·阶段检测）已知函数
的值域为
，则
（
）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】D
【详解】由
和
是增函数可知
，
所以
的值域为
，所以
，可得
.
故选：D.
例7-2 函数
的定义域为
，值域为
，则
的最大值为____________．
【答案】
【详解】函数
作出函数的图象如图所示，
令
，解得
或
，因为函数
的定义域为
，值域为
，
由图象可得，
的最大值为
．
故答案为：
．
【变式训练7-1·变考法】已知函数
的值域为
．若
，则实数
的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由
，可知
有解，且
无最大值，
即
有解，且
无最大值，
当
时，
有解，
无最大值，符合题意；
当
时，
，则
有解，
当
时，
有最大值，则
有最大值，不符合题意；
当
时，
有解需满足
，解得
，
此时
无最大值，
无最大值，满足题意．
综上，实数
的取值范围是
．
故选：A．
【变式训练7-2·变考法】（25-26 高三上·云南·开学考试）已知函数
（
且
），若函数
的值域是R，则实数a 的取值范围是____________．
【答案】
【详解】当
时，
，则函数
在
上的值域为
．
因为函数
的值域是R，故
在
上的值域需要包含
，
所以
解得
．
故实数a 的取值范围是
．
故答案为：
【变式训练7-3·变考法】若函数
的值域是
，则
的取值范围是____________．
【答案】
【详解】由于
的值域是
，令
，则要能取遍所有
的值，
，因此
，故
故答案为：
故答案为：
题型8 比较指数幂大小
例8-1（2026·辽宁抚顺·二模）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，
，则
.
故选：C
例8-2（25-26 高三上·湖南长沙·开学）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为幂函数
在
上单调递增，所以
，即
，
又因为对数函数
在
上单调递减，所以
，即
，所以
.
故选：C
例8-3（2026·湖南湘潭·三模）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
，所以
，则
．
令
，则
，
当
时，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
则
，则
，即
．故
．
故选：B
方法技巧 比较指数幂大小的方法
（1）同底数比较：直接利用指数函数单调性（
时，指数大的函数值大；
时相反）．
（2）同指数比较：构造幂函数
（如比较
与
），利用幂函数单调性（
时，底数大的函数
值大）．
（3）中间值法：引入中间量（如0、1）间接比较（如比较
与
，可先与1 比较，再通过取对数
或换底公式进一步分析）．
【变式训练8-1】已知实数
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】A：当
，则
，错；B：当
，则
，错；
C：当
，有
；当
，有
；当
，有
，对；
D：由
在定义域上单调递减，则
，错.
故选：C.
【变式训练8-2】下列大小关系正确的是（ ）
①
， ②
， ③
， ④
．
A．①②
B．③④
C．②③
D．①③
【答案】C
【详解】对于①，因为指数函数
单调递减，所以
，①错误．对于②，因为指数函数
单调递减，所以
；又因为幂函数
在
上单调递增，所以
，所
以
，②正确对于③，因为幂函数
在
上单调递增．所以
，③正确．对
于④，因为幂函数
在
上单调递减，所以
，即
，④错误．
【变式训练8-3】设
，
，
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为指数函数
在
上单调递增，所以
，即
；
因为对数函数
在
上单调递增，所以
，即
；
因为对数函数
在
上单调递增，所以
，即
，
所以
，即
.
故选：B.
【变式训练8-4】（25-26 高三上·贵州毕节·开学考试）设
，
，
，则
，
，
的大小关系为（（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为函数
是减函数，所以
，即
；
因为函数
是减函数，所以
，即
；
，
，所以
.
函数
是减函数，所以
，即
.
所以
.
题型9 解指数不等式
例9-1 已知不等式
成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，即
，即
，故不等式的解集为
，
故选：D.
例9-2【新思维】（25-26 高三上·陕西榆林·阶段检测）已知函数
，则关于
的
不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
，
得
的图象关于直线
对称，
设
，则
，
因为
在
上单调递增，且
在
上单调递增，
所以
在
上单调递增，由
，可得
，
所以
，整理得
，解得
或
．
故选：D
例9-3（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数
，则满足
的实数a 的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当
时，即
时，
，故
满足题意；
当
时，即
时，令
，则
+1 在
上单调递增，
所以函数
在
上单调递增，又
，
所以由
可得
，解得
，又
，故
.
综上，实数a 的取值范围为
.
故选：A
【变式训练9-1·变考法】（2025·甘肃白银·二模）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题设
，又
，所以
.
故选：A
【变式训练9-2·变载体】（2026·广东深圳·二模）已知函数
，则满足
的
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】函数
，定义域为
.
易知函数
只含
项，
因此
关于直线
对称.当
增大时，
增大，函数值增大，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
等价于
离
的距离小于
离
的距离大小问题，
即
.两边平方得
；
整理得
，解得
.
故
的取值范围为
.
故选：B
【变式训练9-3·变题型】（2026·安徽合肥·模拟预测）意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在
重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函
数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为
，相应的双曲正弦函数的表达式为
．设函数
，若实数
满足不等式
，则
的取值范围为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意，得
，
，
则
，所以函数
为奇函数，
又
，
由于
在
上单调递增，且
，故
在
上单调递增，
由
，则
，
即
，解得
，则
的取值范围为
.
故选：A
【变式训练9-4·变考法】（2026·吉林长春·二模）已知函数
，若
，则
的
取值范围是___________．
【答案】
【分析】先判断函数
的奇偶性，再判断函数
的单调性，利用函数性质求
的范围即可.
【详解】已知函数
，则
，
是奇函数，
是增函数，
是增函数，
是增函数，
因为
，
，即
，
是单调递增函数，
，解得
．所以
的取值范围是
.
故答案为：
【变式训练9-5·变考法】（25-26 高三上·广东广州·开学）已知函数
且
为奇函
数.
（1）求实数
的值及函数
的值域；
（2）解不等式
；
【答案】（1）
，
（2）
【详解】（1）因为
且
，则
的定义域为
，又
为奇函数，
则
，解得
，所以
，
则
，所以
满足题意，
又
，所以
，则
，所以函数
的值域为
.
（2）由（1）知
，由
，得到
，
整理得到
，解得
，所以不等式
的解集为
.
题型10 指数应用题
例10-1 预测人口变化趋势有多种方法，直接推算法使用的公式是
，其中
为预测期
人口数，
为初期人口数，
为预测期内人口增长率，
为预测期间隔年数，则下列说法不正确的为（
）
A．若在某一时期内
，则这期间人口数呈下降趋势
B．若在某一时期内
，则这期间人口数呈上升趋势
C．若在某一时期内
，则这期间人口数呈摆动变化
D．若在某一时期内
，则这期间人口数不变
【答案】C
【分析】根据公式
，结合
的不同取值范围分析人口数的变化趋势即可.
【详解】当
时，
，则
逐渐变小，所以这期间人口数呈下降趋势，故A 正确；
当
时，
，则
逐渐变大，所以这期间人口数呈上升趋势，故B 正确，C 错误；
时，
，则
值不变，所以这期间人口数不变，故D 正确.
故选：C.
例10-2（25-26 高三上·河南郑州·开学）氡气是一种从地表或建筑材料中自然散发的无色无味的放射性气体．
假设
氡气经过天后，氡气的剩余量（单位：g）为
，其中
，
为常数.在此条件下，已
知
氡气经过天后，氡气的剩余量为
，再经过天后，氡气的剩余量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意可得
，
，解得
．
．
【变式训练10-1·变情境】（25-26 高三上·陕西西安·期末）某人用手机拍摄月亮，发现每进行一次“2 倍数
码变焦”，画面中月亮的直径就变为原来的2 倍，若最初月亮在画面中的直径为2 毫米，则他连续进行4
次这样的“2 倍数码变焦”操作后画面中月亮的直径是（ ）
A．8 毫米
B．16 毫米
C．32 毫米
D．64 毫米
【答案】C
【详解】因为每次变焦后，直径变为前一次的2 倍，所以进行4 次变焦后，
则画面中月亮的直径是
（毫米）.
故选：C.
【变式训练10-2·变情境】某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量
（单位：
）与时间（单位：
）间的关系为
，其中
、
是正的常数.如果前
消除了
的污染
物，那么前
消除的污染物的占比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当
时，
，当
时，
，即
.
所以当
时，
，
即
后，还剩
的污染物，所以前
消除的污染物的占比为
.
故选：A.
【变式训练10-3·变情境】著名数学家，物理学家牛顿曾提出：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为
，空气温度为
，则分钟后物体的温度
（单位：
）满足：
．若当空气温度
为
时，某物体的温度从
下降到
用时
分钟，则再经过
分钟后，该物体的温度为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题知
，
，
，所以
，可得
，
再经过
分钟后，该物体的温度为
，
即该物体的温度为
．
故选：C．
【变式训练10-4·变题型】“阿秒光脉冲”是
年诺奖物理学获奖项目，主要用于研究物质中的电子动
力学.已知阿秒为时间单位，且阿秒等于
秒，光速约为
米/秒.将
米长的木棒每天截取它的一半，
按照此法，要使木棒长度小于光经阿秒所走的距离，至少需要经过的天数是 .（参考数据：
，
）
【答案】
【详解】设至少需要经过
天，木棒第一天剩余的长度为
米，
木棒第二天剩余的长度为
米，木棒第三天剩余的长度为
米，
，
以此类推可知，木棒第
天剩余的长度为
米，
由题意可得
，可得
，
所以，
，
所以，
，则
，故至少需要
天.
故答案为：
.
真题溯源·考向感知
——溯源真
，感知高考考向
题逻辑
1.（2025·新高考Ⅰ卷·高考真题）若2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z,则x,y,z 的大小关系不可能为（ ）
A.x>y>z B.x>z>y C.y>x>z D.y>z>x
【解析】选B.设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝m,所以x＝2m－2,y＝3m－3,z＝5m－5,
令m＝2,则x＝1,y＝3－1＝1
3,z＝5－3＝1
125,此时x>y>z,A 有可能;
令m＝5,则x＝8,y＝9,z＝1,此时y>x>z,C 有可能;
令m＝8,则x＝26＝64,y＝35＝243,z＝53＝125,此时y>z>x,D 有可能.
故选：B.
2．（2025·北京·高考真题）为了得到函数
的图象，只需把函数
的图象上所有点的（ ）
A．横坐标变为原来的
倍（纵坐标不变）
B．横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变）
C．纵坐标变为原来的
倍（横坐标不变）
D．纵坐标变为原来的3 倍（横坐标不变）
【答案】A
【详解】因为
，所以将函数
的图象上所有点的横坐标变成原来的
倍，纵坐标不变，即
可得到函数
的图象，
故选：A.
3．（2024·全国甲卷·高考真题）函数
在区间
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
又函数定义域为
，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又
，故可排除D.
故选：B.
4．（2024·天津·高考真题）设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
在
上递增，且
，所以
，
所以
，即
，因为
在
上递增，且
，
所以
，即
，所以
，
故选：D
5．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数
是河流水质的一个评价指标，其中
分别表示河
流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d 越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数
没有变化，生物个体总数由
变为
，生物丰富度指数由
提高到
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意得
，则
，即
，所以
.
故选：D.
6. （2026·全国II卷·高考真题）函数
有两个零点，则
的取值范围为__________.
【答案】
【详解】由
，当且仅当
，即
时取等号，记
，则
，图象关于直线
对称，切当
时，
，在
处取唯一的最小值4，所以
有两个不同实根，所以
.
故答案为：
7．（2023·北京·高考真题）已知函数
，则
．
【答案】1
【详解】函数
，所以
.
故答案为：1
课本典例·高考素材
——立足
本典例，挖掘高考素材
课
1.设
，则下列运算中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D.【详解】根据幂的运算性质可得：
，故A 错误；
，故B 错误；
，故C 错误；
，故D 正确.
故选：D.
【点睛】本题考查指数幂的基本运算，属简单题
2.设
，m，n 是正整数，且
，则下列各式
，
，
，
正确的个数是（ ）
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】A
【详解】∵a＞0，m，n 是正整数，且n＞1，∴
，正确，
显然
，正确，而
，∴
正确，
故选：A．
【点睛】本题考查分数指数幂的与根式的转换，属简单题
3.（1）已知
，求
的值；
（2）已知
，求
的值.
【答案】（1）
；（2）
.
【详解】（1）原式
；
（2）原式
.
【点睛】本题考查含有字母形式的指数幂的运算及转换应用，属基础题。
4．求下列函数可能的一个解析式：
（1）函数
的数据如下表：
x
0
1
2
3.50
4.20
5.04
（2）函数
的图象如下：
【答案】（1）
；（2）
．
【详解】（1）设
.把
代入得，
，解得
，
为可能的解析式；
（2）设
，将
代入，得
，解得
，
∴
为一个可能的解析式．
【点睛】本题考查函数解析式的的求法，属基础题
5．已知函数
的图象过原点，且无限接近直线
但又不与该直线相交.
（1）求该函数的解析式，并画出图象；
（2）判断该函数的奇偶性和单调性.
【答案】（1）
，图象见解析；（2）
为偶函数，
在
上为减函数，
在
上为增函数.
【解析】（1）由题意知，
，
，
，
∴
，图象如图：
（2）∵
，∴
，
为偶函数，又
，
∴
在
上为减函数，在
上为增函数．
【点睛】本题考查函数的解析式的求法、图象的画法，考查学生分析解决问题能力，属基础题
6．已知
，g（x）=
（a > 0，且a ≠ 1）.
（1）讨论函数f（x）和g（x）的单调性；
（2）如果f（x）< g（x），那么x 的取值范围是多少？
【答案】（1）答案见解析；（2）当a > 1 时，x 的取值范围是
；当0 < a < 1 时，x 的取值范围
是
.
【详解】（1）当a > 1 时，f （x）=ax 是R 上的增函数，
由于0 <
< 1，所以g（x）=
是R 上的减函数；
当0 < a < 1 时，f（x）=ax 是R 上的减函数，
由于
> 1，所以g（x）=
是R 上的增函数；
（2）
，
当a > 1 时，x < 0；当0 < a < 1 时，x > 0.
∴当a > 1 时，x 的取值范围是
；
当0 < a < 1 时，x 的取值范围是
.
【点睛】本题考查指数函数的单调性的判定与证明，同时考查指数不等式的求解方法，属中档题。
