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第04 讲 基本不等式及其应用
内容导航
命题透视·考情前瞻
01
命题透视·考情前瞻
对标素养，研判高考命题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知识框架，构建系统思维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳题型技巧
知识解构
知识点1 基本不等式核心公式 知识点2 两个最值模型
知识点3 “1”的代换 知识点4 含负数、不等取等的处理
题型破译 (含超链接）
题型
1
基本不等式成立条件辨析
【方法技巧】
【易错分析】
题型
2
配凑定值求最值（拆项、配系数）
【方法技巧】
【易错分析】
题型
3 "1
的代换
"
求最值
【方法技巧】
【易错分析】
题型
4
特殊情况处理
（含负数、等号取不到）
【方法技巧】
【易错分析】
题型
5 基本不等式实际应用
【方法技巧】
【易错分析】
题型
6 含参恒成立问题
【方法技巧】优先使用分离参数法
【易错分析】
04
真题溯源·考向感知
溯源真题逻辑，感知高考考向
05
课本典例·高考素材
立足课本典例，挖掘高考素材
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对标素养，研判高考命题趋势
——
考情分析
基本不等式是高中不等式板块重难点，新高考弱化繁杂配凑技巧，强化 一正二
“
定三相等 条件考查
”
，常与函数、数列、解析几何、应用题融合。
1.
题型：单选 / 多选第 3～6 题（5 分），解答题穿插于导数、解三角
形、圆锥曲线求最值（3～6 分），总分 5～11 分；整体中等难度，高
频必考。
2.
四大考查方向：
① 基本不等式成立条件判断（正、定、等易错点）；
② 配凑和定积最大、积定和最小求代数式最值；
③ 含参恒成立、取值范围求解；
④ 实际问题（成本、面积、利润）建模用不等式。
3.
综合融合：常结合指数对数、三角函数、数列通项、几何边长，考查数
学建模与运算素养。
复习目标
1.
熟记基本不等式原始公式、变形公式，精准牢记一正二定三相等使
用前提；
2.
熟练掌握配凑法（拆项、添系数、凑定值）两类核心最值模型；
3.
掌握 “1 的代换 经典题型解题套路；
”
4.
会处理多变量、含负号、分式型不等式最值；
5.
能建立实际应用题数学模型，利用基本不等式求解最优值。
思维建模·脉络梳理
搭建知识框架，构建系统思维
——
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知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳题型技巧
——
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知识解构
●
●
●
知识点1 基本不等式核心公式
1.1 核心原型（算术 - 几何均值不等式）
若a>0,b>0，则 ，当且仅当a=b 时取等号。
一正：a,b 全为正数（负数不能直接套原式）；
二定：求和最值则乘积为定值；求积最值则和为定值；
三相等：等号可取（a=b 在定义域内有解，取不到则改用函数单调性）。
1.2 拓展重要不等式（无条件 / 放宽条件）
1.
a=b 取等（全体实数可用，无正数限制）；
2.
（积和平方四分之一，常用放缩）；
≤
3.
同号：
； ab<0 时
。
1.3 四项均值不等式链
对于正数a,b，有：
其中：
：调和平均数（HM）
：几何平均数（GM）
：算术平均数（AM）
：平方平均数（QM）
当且仅当a=b 时，所有等号同时成立。
自主检测已知a>b>0，且a+b=1，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．❑√e<e
a
B．1
a-b < 1
b
C．❑√a+ ❑√b<❑√2
D．sin a<cosb
知识点2 两大最值模型
1. 积定求和最小：ab=k（定值，a,b>0）
，a=b 取最小；
2. 和定求积最大：a+b=k（定值，a,b>0）
，a=b 取最大。
核心操作：无定值时，需要通过拆项、配系数等方法凑出定值，这是基本不等式应用的关键。
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自主检测（2026·江苏苏锡常镇·二模）已知a>0，则(a x
3+ 1
a x
2)
4
关于x的展开式中各项系数之和的最小
值为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
知识点3 经典题型：“1 的代换”
已知ma+nb=1(a,b>0)，求
类最值：整体乘 1，展开后配凑均值。
例：a>0,b>0,a+b=1，求
。
自主检测已知正实数a，b 满足2a+ 1
b =1，则b+ 1
2a的最小值为______．
知识点4 易错拓展：含负数、不能取等的处理
1.
x<0：令t=-x>0，变形后用不等式；例
2.
定义域限制无法a=b：放弃基本不等式，用 。
自主检测已知a>b>0，且a+b=1，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A．1
a-b > 1
a
B．1
a-b < 1
b
C．❑√a+ ❑√b<❑√2
D．1
a + 1
b >4
题型破译
●
●
●
题型1 基本不等式条件正误判断
例1-1 已知x>0，那么以下关于式子x
2+ 1
x 的分析判断正确的选项是（ ）
（1）x
2+ 1
x ≥2❑√x；
（2）上式当且仅当x
2= 1
x 即x =1时，等号成立；
（3）所以当x =1时，x
2+ 1
x 取得最小值2
A．以上全正确
B．（1）错
C．（2）错
D．（3）错
例1-2 已知正实数a，b 满足a+b=1，则（ ）
A．ab≤1
4
B．a
2+b
2≤1
2
C．1
a + 1
b ≤4
D．❑√a+ ❑√b≥❑√2
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方法技巧 不等式性质的快速判断
1.
特殊值秒杀法：优先代入负数、0、边界值（如a=b、x=0）快速排除错误选项；
2.
三条件逐项核验法：按 "一正二定三相等
→
→
" 顺序逐一验证，缺一不可；
3.
性质区分法：明确
（全体实数）与
（仅正数）的适用范
围。
易错分析 忽略前提条件
1.
忽略 "一正" 条件，直接对负数使用基本不等式；
2.
忽略 "二定" 条件，无定值时强行求最值；
3.
忽略 "三相等" 条件，等号取不到时仍用不等式结果；
4.
混淆两个基本不等式的适用范围，导致判断错误。
【变式训练1-1】（多选题）已知正实数a,b满足a+b=2，则（ ）
A．ab≤1
B．❑√a+ ❑√b≤2
C．a
2+b
2≤2
D．1
a + 1
b ≤1
【变式训练1-2】（多选题）若6
a=2，6
b=3，则下列判断正确的是（ ）
A．a+b=1
B．ab< 1
4
C．a
2+b
2< 1
2
D．b< 1
2
【变式训练1-3】（多选题）若a>0，b>0，a+b=1，则（ ）
A．ab≤1
4
B．❑√a+ ❑√b≤1
C．a+lnb<0
D．e
a+b<2
【变式训练1-4】（多选题）已知a>b>0,c>0，则下列不等式成立的是（ ）
A．1
a < 1
b
B．b+c
a+c > b
a
C．c
a>c
b
D．(a+ 1
c)⋅(
1
a +c)≥4
题型2 配凑定值求最值（拆项、配系数）
例2-1 已知x>0，y >0，且3 x + y + xy =9，则3 x + y的最小值为（ ）
A．6
B．8
C．10
D．12
例2-2【新考法】（2026·河北沧州二中·预测（一））已知实数m,n满足m
2+n
2=8m-12，则m+ ❑√3n
❑√8m-12的
最大值为__________.
方法技巧
拆项法（凑和为定值）：
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适用：
型；
操作：
，此时
为定值。
配系数法（凑积为定值）：
适用： x(k-mx)型；
操作：
，此时mx+(k-mx)=k 为定值。
分离常数法：
适用：
型；
操作：将分子配成分母的倍数 + 常数，转化为整式 + 分式形式。
易错分析
1.
拆项时漏加常数项，导致结果偏小；
2.
配系数时漏乘倒数，导致结果扩大或缩小；
3.
等号条件不在定义域内，未改用函数单调性；
4.
混淆和定与积定的应用场景，凑错定值类型。
【变式训练2-1·变载体】（多选题）已知离散型随机变量ξ的分布列如表所示.其中a>0,b>0,且E (ξ)=0.3，
则下列说法正确的是（ ）
ξ
-1
0
1
2
P
0.2
c
a
b
2
A．ab≤1
16
B．a
2+b
2≥1
4
C．4
a + 1
b ≥18
D．4 a
4 -a +
b
1-b ≥5
9
【变式训练2-2·】已知x>0，y >0，且x +2 y -2 xy =0，则x +2 y的最小值是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【变式训练2-3】（多选题）已知正实数x , y满足：x +2 y =1，下列说法正确的是（ ）
A．0< y < 1
2
B．xy ≤1
8
C．1
x + 1
y ≥4 +2❑√2
D．x
2+ 4 y
2≤1
2
【变式训练2-4】已知正实数a，b满足ab+a+b=8，则ab的最大值是__________．
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题型3 "1 的代换" 求最值
例3-1（陕西省镇安中学2026 届高三模拟）已知函数f ( x)=5 x
3+ x，正数a,b满足f (a)+ f (b-1)=0，则
1
a + 4
b 的最小值为（ ）
A．2
B．5
C．8
D．9
例3-2 已知实数x>-1，y >0，且满足(❑√4 x
2+1-2 x)(❑√y
2+2 y +2- y -1)=1，则1
x +1 + 1
y 的最小值为
（ ）
A．5
B．3+2❑√2
C．3+ 4 ❑√2
D．9
方法技巧 求代数式范围的规范步骤
标准解题模板：
1.
变形定值：将ma+nb=k 化为
；
2.
整体乘 1：所求代数式乘以
；
3.
展开配凑：展开得到 "整式 + 可均值分式"；
4.
用基本不等式求最值，验证等号条件。
变形技巧：若已知
，直接将px+qy 乘以
即可。
易错分析 范围扩大问题
1.
乘错 "1" 的形式，未使用已知的定值条件；
2.
展开时乘法分配律应用错误，导致系数错误；
3.
联立方程求解等号条件时计算错误；
4.
多次使用基本不等式，未保证所有等号同时成立。
【变式训练3-1】（湖南株洲市第二中学2026 届高三全真模拟）已知m,n∈(0,+∞)，2m+n=1，则
n
m + 1
n的取值范围是（ ）
A．(0,+ ∞)
B．[❑√2+1,+∞)
C．[4 ,+∞)
D．[2❑√2+1,+ ∞)
【变式训练3-2】已知x>0，y >0且x + y =1，则1
x + 4
y 的最小值为（ ）
A．5
B．6
C．7
D．9
【变式训练3-3】已知x，y均为正数，且x +2 y = 4，则2
x + 1
y 的最小值为___________
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题型4 特殊情况处理（含负数、等号取不到）
例4-1 已知函数f (x)=¿在定义域内有最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A．[6,+ ∞)
B．(-∞,-6]
C．(-∞,3]
D．[3,+∞)
例4-2（多选题）下列不等式正确的是（ ）
A．❑√6- ❑√3<❑√5- ❑√2
B．sin
2 x +
4
sin
2 x
的最小值是4
C．若0<a<1，则1
a +
1
1-a ≥4
D．0<log2(- x
2+ 4 x)≤2
方法技巧
1.
含负数的处理：换元转化为正数，注意不等号方向改变；
2.
等号取不到的处理：改用对勾函数单调性或导数求最值。
易错分析
1.
负数直接使用基本不等式，未改变不等号方向；
2.
等号取不到时仍用基本不等式的结果；
3.
对勾函数的单调性记反，导致最值求错；
4.
换元后未重新确定新变量的定义域。
【变式训练4-1·变载体】（重庆市七校联盟2026 届高三考前联合诊断）已知数列{an}满足an+1=
an
2an+1，
a1=1，数列{bn}满足b1=1，bn-bn-1= 1
an
(n≥2)，则数列{
bn+13
n }的最小值为__________．
【变式训练4-2·变考法】已知直线l: x -1=0与圆O: x
2+ y
2=1相切于点T，A是圆O上一动点，点P满足
PO⊥ OA，且以P为圆心，PA为半径的圆恰与l相切，则当cos∠PTO取最小值时，点P的坐标可以为
______.
【变式训练4-3·变考法】已知实数x , y满足|3 x -2 y|+|y - x|=|2 x - y|且y ≠0，则
2 xy
9 x
2+3 xy + 4 y
2的最
大值是______．
题型5 基本不等式实际应用
例5-1 如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构
成的面积为200 m
2的十字形地域．计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为4200 元/ m
2；在四个相同
的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210 元/ m
2；在四个空角（图中四个三角形）上铺草
坪，造价为80 元/ m
2．设总造价为S（单位：元），则当总造价S 最小时，AD 的长度为（ ）
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A．2❑√10 m
B．❑√10 m
C．10 m
D．10 ❑√2m
例5-21471 年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根竖直的悬杆呈现最
长？我们把地球表面视为平面α，悬杆视为直线l 上两点A，B 间的连线，则上述问题可以转化为以下的数
学问题：如图1 所示，直线l 垂直于平面α，直线l 上有两点A，B 位于平面α的同侧，求平面上一点C，使
得∠ACB最大．建立如图2 所示的平面直角坐标系．若A，B 两点的坐标分别为(0,8)，(0,4)，点C 的坐标
为(c ,0)，则当∠ACB最大时，c 的值为（ ）
A．64
B．32
C．8 ❑√2
D．4 ❑√2
方法技巧
建模解题四步走：
1.
设变量：根据题意设出合适的变量（通常设长、宽、产量为x）；
2.
列关系式：建立目标函数和变量的取值范围；
3.
求最值：利用基本不等式求最值，验证等号条件；
4.
作答：将数学结果转化为实际问题的答案。
易错分析
1.
忽略实际意义对变量的限制（如长度为正、墙长限制）；
2.
目标函数建立错误，导致成本、利润计算错误；
3.
等号条件不符合实际，未改用函数单调性；
4.
单位不统一，导致计算结果错误。
【变式训练5-1】已知正三棱锥的各顶点都在体积为36π的球面上，正三棱锥体积最大时，该正三棱锥的
高为______.
【变式训练5-2】某夏令营在△ABC区域内活动，三个内角满足2sin A +sin B =3sinC．
(1)求cosC的最小值；
(2)夏令营活动组织者要求在A点集合，设小明从B点出发准时到达A点的概率为p，小红从C点出发准时到
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达A点的概率为q，两人是否准时到达A点互不影响，已知两人中有且仅有一人准时到达A点的概率为
0.52，至少有一人准时到达A点的概率为0.76，求|p-q|的值．
【变式训练5-3】某学校计划改造一间高为6米，底面积为24平方米，且背面靠墙的长方体形状的运动场地.
因场地的背面靠墙，无须建造费用，设运动场地前面墙体的长为x米（4≤x ≤6）. 现有甲、乙两支工程
队参加竞标，甲队的报价方案为：场地前面新建墙体每平方米400元，左右两面新建墙体每平方米300元，
屋顶和地面以及其他共计28800元；乙队给出的整体报价为(1+ 2
x )×6k ×10
4元（k >0）. 假设甲、乙工
程队均不考虑其他因素.
(1)若项目由甲工程队完成，则至少要付给甲工程队多少费用？
(2)若乙工程队要确保竞标成功，求实数k的取值范围.
题型6 含参恒成立问题
例6-1 已知数列{an}满足an+1= an
2+3
2an
(n=1，2，3，⋯)，给出下面3 个结论，
①若{an}为常数列，则a1= ❑√3；
②当a1>2时，总有
❑√3<an≤a1；
③当a1=-2时，{an}为递增数列，且存在常数M <0，使得an≤M恒成立．
其中正确结论的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
例6-2 已知正实数x，y满足x + y - 1
2 xy =0，且不等式x + y -a>0恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．a<2
B．a<8
C．a<6
D．a<4
方法技巧
用分
参数法
优先使
离
1.
分离参数：将参数移到一边，变量移到另一边；
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2.
求最值：求函数f(x)的最大值或最小值；
3.
得范围：若
恒成立，则
；若
恒成立，则
。
易错分析
1.
分离参数时，除以负数未改变不等号方向；
2.
求函数最值时忽略等号条件；
3.
恒成立问题遗漏端点值；
4.
混淆恒成立与能成立的最值要求。
【变式训练6-1】已知x>0, y >0，且x + y =5，若4
x +1 +
1
y +2 ≥2m+1恒成立，则实数m的取值范围是
（ ）
A．(-∞, 1
16]
B．(-∞, 2
5]
C．(-∞, 1
2]
D．(-∞,4]
【变式训练6-2】（多选题）已知a>0，b>0，则下列说法正确的是（ ）
A．若ab=a+b+3，则ab≥9
B．a
2+
4
a
2+3的最小值为1
C．若a+b=9，则36
a + a
b 的最小值为8
D．若❑√a+ ❑√5b≤k ❑√a+b恒成立，则k的最小值为❑√5
【变式训练6-3】（多选题）已知函数f (x)=sin x -ln x ,f
' (x)是其导函数.若存在x1, x2∈(0,π)且x1< x2，
满足f
'(x1)= f
'(x2)，则（ ）
A．f (x1)>f (x2)
B．x1 x2>1
C．f (x1)f (x2)>1
D．f (x1)+ f (x2)<2
【变式训练6-4】已知数列{an}的前n项和为Sn，2Sn+n
2+2n+3=an．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn=|a2n|，对任意n∈N
*，bn+ 25
bn
≥t恒成立，求t的取值范围．
真题溯源·考向感知
溯源真题逻辑，感知高考考向
——
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一、单选题
1．（2024·北京·高考）已知(x1, y1)，(x2, y2)是函数y =2
x的图象上两个不同的点，则（ ）
A．log2
y1+ y2
2
< x1+ x2
2
B．log2
y1+ y2
2
> x1+ x2
2
C．log2
y1+ y2
2
< x1+ x2
D．log2
y1+ y2
2
> x1+ x2
二、填空题
2．（2023·上海·高考）已知正实数a、b 满足a+ 4 b=1，则ab的最大值为_______________．
3．（2023·天津·高考）在△ABC中，BC =1，∠A =60
∘，AD
→
= 1
2 AB
→
,CE
→
= 1
2 CD
→
，记⃗AB =⃗a,⃗AC =⃗b，
用a
→
,b
→
表示AE⃗=_________；若⃗BF = 1
3⃗BC，则⃗AE⋅⃗AF的最大值为_________．
4．（2024·上海·春季高考）已知ab=1，4 a
2+9b
2的最小值为______．
5．（2025·上海·高考）设a,b>0,a+ 1
b =1，则b+ 1
a的最小值为_________．
三、解答题
6．（2023·新课标全国
卷
Ⅰ
·高考）在直角坐标系xOy中，点P到x轴的距离等于点P到点(0, 1
2)的距离，
记动点P的轨迹为W ．
(1)求W 的方程；
(2)已知矩形ABCD有三个顶点在W 上，证明：矩形ABCD的周长大于3 ❑√3．
课本典例·高考素材
立足课本典例，挖掘高考素材
——
一、解答题
1．（19-20 高一·全国·课后作业）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买10 g
黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码
放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.你认为顾
客购得的黄金是小于10 g，等于10 g，还是大于10 g？为什么？
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2．（19-20 高一·全国·课后作业）已知x>0，求证：2-3 x - 4
x 的最大值是2- 4 ❑√3.
3．（19-20 高一·全国·课后作业）已知x、y、z都是正数，求证：(x + y)( y + z)(z + x)≥8 xyz.
4．（19-20 高一·全国·课后作业）已知-1≤x ≤1，求1- x
2的最大值.
5．（19-20 高一·全国·课后作业）当x取什么值时，x
2+ 1
x
2取得最小值？最小值是多少？
6．（19-20 高一·全国·课后作业）已知x、y都是正数，求证：
（1）如果积xy等于定值P，那么当x = y时，和x + y有最小值2❑√P；
（2）如果和x + y等于定值S，那么当x = y时，积xy有最大值1
4 S
2.
