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专题05 均值不等式培优归类
题型1 公式基础
重要基础不等式
（1）
_
（
）；
（2）
（
）；
（3）
2（
）；
（4）
_
_ 或
（
）；
（5）
1．（2025·辽宁鞍山·二模）已知
、
是函数
的图象上两个不同的点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三·安徽合肥·模拟）若
，则
的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三·湖南长沙·开学考试）已知函数
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高二上·湖南长沙·期末）已知数列
为等差数列，
为等比数列，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三上·吉林长春·阶段练习）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型2 取等条件
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构
成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是
所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
1．（24-25 高二下·江苏·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．函数
的最小值是2
B．函数
的最小值为4
C．“
且
”是“
”的充分不必要条件
D．不等式
与
有相同的成立条件
2．（24-25 高一上·北京·期末）若
，且
，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三·全国·阶段练习）下列结论正确的是（ ）
A．若
，且
，则
B．当
时，
C．当
时，
的最小值为2
D．当
时，
4．（24-25 高三·上海·模拟）已知两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，类比此定理，有以
下结论：三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即当
均为正实数时，
，
当且仅当
时等号成立；利用上述结论，判断下列命题真假，则真命题为（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
5．（2023·河北·三模）已知
，那么以下关于式子
的分析判断正确的选项是（ ）
（1）
；
（2）上式当且仅当
即
时，等号成立；
（3）所以当
时，
取得最小值
A．以上全正确
B．（1）错
C．（2）错
D．（3）错
题型3 基本型：凑配对勾型
对勾型结构：
，
容易出问题的地方，在于能否“取等”,如
，
对勾添加常数型
对于形如
，则把cx+d 转化为分母的线性关系：
可消去。不必
记忆，直接根据结构转化
1．（2025 高三浙江阶段练习）已知
，则
的最小值是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
正数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．8
D．9
3．（2025 高三·湖南郴州·阶段练习）已知
，则
的最大值为（ ）
A．
B．0
C．4
D．
4．（24-25 高二下·北京·期中）若函数
在
处取最小值，则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．2 或4
5．（22-23 高三全国·阶段练习）函数y＝3x2＋
的最小值是( )
A．3
－3
B．3
C．6
D．6
－3
题型4 重要基础：分离常数型构造
分离常数型构造法：
，可以考虑直接分离常数构造对勾型，或者分母换元构造对勾。
1．（24-25 高三下·广东东莞·阶段练习）若
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三·云南昭通·阶段练习）函数
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．
3．（23-24 高按·安徽芜湖·模拟）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025 高三·全国·专题练习）函数
的最小值为（ ）
A．
B．12
C．9
D．
5．（24-25 高三·云南昆明·阶段练习）已知
，则函数
有（ ）
A．最大值
B．最大值
C．最小值6
D．最小值8
题型5 “1”的代换：基础模型
“1”的代换
.利用常数
代换法。多称之为“1”的代换。
1．（24-25 高三·贵州贵阳·阶段练习）若随机变量
，且
，其中m，
，
则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三·黑龙江哈尔滨模拟）在各项均为正数的等差数列
中，若
，则
的最小值
为（ ）
A．
B．
C．4
D．
3．（24-25 高三重庆九龙坡·阶段练习）已知
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．9
B．
C．4
D．6
4．（24-25 高一下·贵州遵义·期中）已知
，且
，则
的最小值是（ ）
A．6
B．12
C．
D．27
5．（2025·河南信阳·模拟预测）已知
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．
题型6 “1”的代换：单变量隐“和”构造型
单变量隐“和”构造型：
形如
1．（23-24 高三·陕西咸阳·阶段练习）已知实数x 满足
，则
的最小值为（ ）
A．9
B．18
C．27
D．36
2．（24-25 高三上·湖北·阶段练习）已知随机变量
，且
，则
的最小值为（ ）
A．9
B．3
C．
D．
3．（24-25 高一上·河北承德·期末）已知
，则
的最小值为（ ）
A．25
B．6
C．10
D．5
4．（24-25 高一上·浙江丽水·期中）设
，则
的最小值为（ ）
A．81
B．27
C．9
D．3
5．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）已知实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．20
B．25
C．30
D．35
题型7 “1”的代换：“积、和”混合同除型
“积、和”混合同除型原理：
1.关系：如
与
，可以通过同除（乘）ab 互化。
2.化归：如
化为
，则复合“1”的代换模型结构。
1．（24-25 高二下·浙江·期中）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．12
B．9
C．8
D．6
2．（24-25 高三·广东广州·模拟）已知
，且
，求
的最小值为（ ）
A．9
B．12
C．15
D．18
3．（22-23 高三·新疆·阶段练习）已知
，
，且
，若
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·四川成都·模拟）已知
，
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．17
5．（24-25 高三上·陕西西安·期末）已知正数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．5
D．9
题型8 “1”的代换：“积、和”混合解不等式型
“积、和”混合解不等式型原理：
1.原理：如
有“和”有“积”，则结合所求的是和（或
积），则对积（或和）用均值，达到“消去”积（或和）的目的，
然后再解关于积（或和）的一元二次不等式。
2.易错： 对于求和型，需要满足条件等式中的和的系数比与所求的
系数比相等。如：满足
，求
。若
，求
型，则
失败。需要用反解代入等其它方法
1．（24-25 高三·湖南长沙·模拟）已知
，则
的最小值是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
2．（2025·云南昆明·模拟预测）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
3．（24-25 高三·云南昭通·模拟）若正实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（24-25 高三上·山东泰安·期末）若
，则
的最小值为（ ）
A．12
B．16
C．20
D．25
5．（24-25 高三·山东滨州·模拟）若
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．25
C．5
D．1
题型9 构造分母型：单分母基础型
形如pa+b=t，求
型，则可以凑配（pa+m）+（b）=t+m，再利用“1”的代换来求解。
其中可以任意调换a、b 系数，来进行变换凑配。
1．（24-25 高二下·河北保定·阶段练习）已知
，
，
，
，则
的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（24-25 高三上·山东临沂·阶段练习）已知
，
，且
，若
恒成立，则实
数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（19-20 高二上·天津·期中）已知
，
，
，则
的最小值是（ ）
A．3
B．
C．
D．9
4.（2024·安徽·模拟预测）已知
，若正实数
满足
，则
的
最小值是（ ）
A．
B．
C．2
D．4
5.（24-25 高三上·河北石家庄·阶段练习）已知非负实数x，y 满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．4
D．
题型10 构造分母型：双分母基础型
形如a+b=t，求
型，则可以凑配（a+m）+（b+n）=t+m+n，再利用“1”的代换来求解。
其中可以任意调换a、b 系数，来进行变换凑配。
1.．（24-25 高一上·重庆·期中）已知实数
，满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．1
D．2
2.（24-25 高三·浙江金华·阶段练习）已知
且
，若
恒成立，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
或
C．
D．
3.（24-25 高三·河南漯河·阶段练习）已知实数
，
，满足
，则
的最小值是
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
4.（2025·福建泉州·二模）若
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5.（24-25 高三·福建三明·阶段练习）设正数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型11 构造分母型：三角函数型
三角函数型构造：
1. 利用
定值结构构造求解。
2. 利用三角函数两角和与差等恒等公式求解
1.（20-21 高一上·山西临汾·期末）若
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（20-21 高三陕西安康·阶段练习）已知䌼角
满足
，则
的最小值为
（ ）
A．2
B．4
C．8
D．18
3.（2023·河南开封·模拟预测）已知锐角
满足
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．
D．
4.（20-21 高一上·黑龙江哈尔滨·期末）函数
的最小值为（ ）
A．
B．3
C．
D．
5.（23-24 高一上·浙江杭州·期末）设
，则
的最小值为 .
题型12 构造分母型：待定系数（凑配）型
型如
1．（21-22 高三上·河南·阶段练习）已知
，若
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（22-23 高三上·河北保定·阶段练习）不等式
的解集为
，其中
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（22-23 高一上·浙江杭州·期末）若
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．
C．
D．
4、（22-23 高二下·浙江温州·期中）点
在线段
上（不含端点），
为直线
外一点，且满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
5.（23-24 高三上·四川巴中·开学考试）已知
且
，则
的最小值为（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7
题型13 构造分母：分离再构造型
对于分式型不等式求最值，如果分子上有变量，可以通过常数代换或者分离常熟，消去分子上变
量，转化为分式型常数代换或者分式型分母和定来求解
1.（21-22 高三上·辽宁·阶段练习）若实数
（
），则
的最小值为（ ）
A．6
B．4
C．3
D．2
2.（2022·安徽·模拟预测）若实数
，
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（23-24 高三·广东佛山·阶段练习）已知正数
，
满足
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（23-24 高三·江苏南通·阶段练习）已知
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
5.（24-25 高一上·贵州贵阳·阶段练习）若
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．0
B．
C．
D．4
题型14 因式分解型
1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解
原理
2.最常见的因式分解：a+b+ab+1=（a+1）（b+1）
1.（23-24 高一上·福建莆田·期中）已知
，
，
，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（23-24 高一上·福建龙岩·期末）已知
，
，且
，则
的最小值是（ ）
A．
B．4
C．
D．5
3.（24-25 高三上·江苏·阶段练习）已知
，
，
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．
4.（24-25 高三·河北石家庄·阶段练习）已知
，且
，则
的最小值为
.
5.（24-25 高一上·河南·期末）设
，
，且
，则
的最大值为
．
题型15 齐次同除换元型
一般是齐次型分式，可以考虑同除，构造单变量型，或者构造对勾型。
基本规律
一般情况下，满足（1）分式；（2）分子分母齐次。则可以同除构造单变量来求最值。
1.（23-24 高三·上海浦东新·模拟）已知实数
，则
的最大值为 ．
2.（22-23 高三上·江苏南通·阶段练习）已知
中有且仅有一个元素，则
的最小值为 ．
3.（2021 高三·浙江杭州·阶段练习）若
，则
的取值范围是
．
4.（22-23 高三·浙江·模拟）已知a，b，
，记
，则T 最大值为
.
5.（22-23 高一上·上海宝山·阶段练习）已知
为正实数，则
的取值范围是 .
题型16 反解代入消元型
条件等式和所求等式之间互化难以实现，可以借助反解代入消元，再重新构造。
当题目中有2 个字母时，利用题目的方程将所求式子进行消元是常用方法.
1.（2022·全国·高三专题练习）已知
，且满足
，则
的最小值为 .
2.（2020·江苏南京·南京市第五高级中学校考模拟预测）已知正实数x，y 满足
，则
的最
小值为___________.
3.（2021·天津蓟州·天津市蓟州区第一中学校考模拟预测）设
，
，且
，则
的最小
值为 .
4.（2023·全国·高三专题练习）若
均为非负实数，且
，则
的最小值为 .
5.（2022 秋·全国·高一专题练习）已知正数
、
满足
，则
的最小值为 .
题型17 换元型
换元型：
1.二次配方型，可以三角换元
2.和前边分母构造换元型一样，可以代数换元，
3.齐次分式同除型，可以代数换元，
1.（22-23 高三·浙江·阶段练习）已知
，则
的最小值为
（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
2.（21-22 高二下·河南洛阳·阶段练习）已知正数
，
满足
，则
的最小值是
（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（22-23 高一上·浙江杭州·期末）若
，
，且
，则
的最小值为（ ）
A．4
B．
C．
D．
4.（2025·河北衡水·模拟预测）已知正数
，
，满足
，则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
5.（24-25 高三·河南新乡·阶段练习）已知正实数
满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
题型18 两次均值型
一般情况下均值用两次，要保证相同字母“取等”条件和数值一致。两次均值，逐次消去，取等条件
一致才能成立
1.（2022·全国·高一课时练习）已知
，则
的最小值是（ ）
A．2
B．
C．
D．6
2.（2021·全国·高三专题练习）已知
，
，且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2022 秋·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）设
，则
取得
最小值时，
的值为（ ）
A．
B．2
C．4
D．
题型19 万能“K”型
设K 法的三个步骤：
⑴、问谁设谁：求谁，谁就是K；
⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）；
⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0 确定最值
1.（24-25 高三上·山东聊城·阶段练习）已知正数
，
满足
，则
的最小值为
．
2.（24-25 高三·河北·阶段练习）已知
，
，
，则
的最小值为 .
3.（22-23 高二上·湖南怀化·期末）已知正数
满足：
，则
的最小值是
．
4.（22-23 高三·浙江丽水·阶段练习）若正数
满足
，且
，则
A．
为定值，但
的值不定
B．
不为定值，但
是定值
C．
，
均为定值
D．
，
的值均不确定
题型20 无条件：“裂项”型
1.（24-25 高三·上海·阶段练习）设
是正实数，则
的最大值为 .
2（2024·辽宁大连·模拟预测）已知x，y，z 均为正实数，则
的最大值为 .
3.（22-23 高三·湖北武汉模拟）
是不同时为0 的实数，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（23-24 高一上·上海徐汇·期中）若x，y，z 均为正实数，则
的最大值是 ．
题型21 三元型不等式
一般地，处理多元最值问题的思考角度有以下几个：
从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法；
从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等
等；
从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列
结构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件.
1.（24-25 高三上·广东深圳·期末）已知
的最小
值为 .
2.（24-25 高三上·安徽合肥·阶段练习）定义
表示实数
，
中的较大者，若
，
，是正实数，
则
的最小值是 ．
3.（24-25 高一上·重庆·期中）已知正实数
、
、满足
，则
的最小值为 ，
的最小值为 .
4.（24-25 高三·天津西青·阶段练习）设正实数
，
，
，满足
，则当
取得最大
值时，
的最大值为
题型22 压轴小题综合应用
1．（2025·湖南郴州·三模）（多选）设正实数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 年全国阶段练习）（多选）设
且
，下列不等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·甘肃陇南·一模）（多选）已知
，关于x 的不等式
的解集为
，
则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高三上·河南信阳·阶段练习）（多选）已知
，
，
，则以下正确的是
（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．
最小值为3
D．
最大值为2
5．（22-23 高三上·江苏盐城·阶段练习）（多选）设正实数
，
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
结束
