高中数学向量线性运算及四心综合归类
一、题型归纳....................................................................................2
【题型一】基底就是坐标轴..............................................................................2
【题型二】基底拆分：绕三角形......................................................................3
【题型三】基底拆分：待定系数型..................................................................4
【题型四】基底拆分：均值不等式求最值型..................................................4
【题型五】基底拆分：求最值型......................................................................5
【题型六】三角换元型......................................................................................6
【题型七】等和线型..........................................................................................9
【题型八】极化恒等式....................................................................................11
【题型九】奔驰定理........................................................................................12
【题型十】四心与向量1：重心.....................................................................13
【题型十一】四心与向量2：外心.................................................................14
【题型十二】四心与向量3：内心.................................................................15
【题型十三】四心与向量4：垂心.................................................................16
【题型十四】向量点落在区域内....................................................................17
【题型十五】向量超难压轴小题....................................................................19
二、真题演练..................................................................................19
三、各地模拟...........................................................................22
【题型一】基底就是坐标轴
【例题剖析】
．
（2022·广东深圳·高三阶段练习）在ABC
中，D 为边BC 的延长线上一点，且
3
BC
CD
，记
,
AB
a AC
b
，
则AD
（
）
A．
1
4
3
3
a
b
B．
1
2
3
3
a
b
C．4
1
3
3
a
b
D．
2
1
3
3
a
b
【提分笔记】
基本规律
在平面向量的线性运算中，如图��റ
ሬሬሬሬ= ���റ
ሬሬሬሬ+ ���റ
ሬሬሬሬ，�, �的范围可仿照直角坐标系得出，��റ
ሬሬሬሬ，��റ
ሬሬሬሬ类比
于�, �轴，直角坐标系中有四个象限，类比在（�, ��റ
ሬሬሬሬ, ��റ
ሬሬሬሬ）中也有四个象限，如第Ⅰ象限有�> �
�> �，
第Ⅱ象限有�< �
�> �，第Ⅲ象限有�< �
�< �，第Ⅳ象限有�> �
�< �，也可类比得出其中的直线方程，二元一
次不等式组表示的平面区域等等.
在平面内，有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系，同样地，在平面内有公共原点且
不垂直的两条数轴构成的坐标系，我们称之为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，两条坐标轴的公共原
点称为斜坐标系的原点，其坐标记为(0,0)，点P是斜坐标系xOy 中的任意一点，与直角坐标系相类似，
过点P分别作两坐标轴的平行线，与x 轴、y 轴交于点M 、N ，若M 、N 在x 轴、y 轴上分别对应
实数a 、b ，则有序数对( , )
a b 叫做点P在斜坐标系xOy 中的坐标，记为( , )
P a b .若点
1
1
( ,
)
A x y 、
2
2
(
,
)
B x y
是斜坐标系xOy （
xOy
）中任意两点.
【举一反三】
1.（2022·广东·高三开学考试）在平行四边形ABCD中，点E 、F 分别满足
1
2
DE
EC
，
1
3
BF
FD
，若AB
a
，
AD
b
，则EF
（
）
A．5
3
12
4
a
b
B．11
5
12
4
a
b
C．13
3
12
4
a
b
D．19
5
12
4
a
b
2.（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）如图，在ABC
中，
2
BD
DC
，AD
mAB
nAC
uuur
uuur
uuur
，则m
n
（
）
A．
1
2
B．1
3
C．2
3
D．2
【题型二】基底拆分：绕三角形
【例题剖析】
（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O，且
2
EO
AE
，则
EB =
（
）
A．1
5
6
6
AB
AD
B．1
5
6
6
AB
AD
C．5
1
6
6
AB
AD
D．5
1
6
6
AB
AD
【提分笔记】
基本规律
一部分基础不太好的同学，对于利用基底基础定理求解推导掌握的不是太顺利，可以把这个简化为“绕
三角形”：标记出基底（共起点），然后把要求的向量按照三角形法则来推导。
。。。三角形法则→共线（拉长或者缩短）→三角形法则→共线（拉长或者缩短）。。。。周期反复，一直
到推导为基底。
【举一反三】
1.．（2022·全国·高三专题练习）如图，ABCD
中，AB
a
，AD
b
，点E 是AC 的三等分点
1
3
EC
AC ，
则DE
（
）
A．1
2
3
3
a
b
B．2
1
3
3
a
b
C．1
2
3
3
a
b
D．2
1
3
3
a
b
+
r
r
2.（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD 中，
2
2
3
3
AE
AB CF
CD
，
，G 为EF 的中点，则DG
（
）
A．1
1
2
2
AD
AB
B．1
1
2
2
AB
AD
C．3
1
4
2
AD
AB
D．3
1
4
2
AB
AD
3.在����中，�为����的重心，�为��上一点，且满足��റ
ሬሬሬሬ= 3��റ
ሬሬሬሬ，则（
）
A．��റ
ሬሬሬሬ=
1
3 ��റ
ሬሬሬሬ+
1
12 ��റ
ሬሬሬ
B．��റ
ሬሬሬሬ=−
1
3 ��റ
ሬሬሬሬ−
1
12 ��റ
ሬሬሬ
C．��റ
ሬሬሬሬ=−
1
3 ��റ
ሬሬሬሬ+
7
12 ��റ
ሬሬሬ
D．��റ
ሬሬሬሬ=
1
3 ��റ
ሬሬሬሬ−
7
12 ��റ
ሬሬሬ
【题型三】基底拆分：待定系数型
【例题剖析】
（2022·全国·高三专题练习）在梯形ABCD 中，
//
AB CD 且
4
AB
CD
，点P 在边BC 上，若
2
5
AP
AB
AD
，
则实数（
）
A．4
5
B．2
5
C．4
15
D．3
20
【提分笔记】
基本规律
平面向量基本定理(平面内三个向量之间关系)：若
1e
、
2e
是同一平面内的两个不共线向量，则对于这
一平面内的任一向量a
，有且只有一对实数
1、
2
，使
1 1
2
2
a
e
e
.
（1）选定基底，则
1、
2
，是唯一的
（2）处理技巧：可“绕三角形”，可待定系数，可建系。
【举一反三】
1.（2022·全国·高三专题练习）如图，在ABC
中，AD
DC
，E 是BD 上一点，若
11
1
16
4
AE
AB
AC
，
则实数的值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
2.（2020·四川·模拟预测（理））在△ABC 中，AD
DC
，P是线段BD 上一点，若
1
6
AP
mAB
AC
，则
实数m 的值为（
）
A．1
3
B．
1
2
C．2
3
D．5
6
3.如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且
2
CF
DF
，AE 与BF 交于
点P，若AP
AE
，则（
）
A．3
4
B．5
8
C．3
8
D．2
3
河北省邢台市2019-2020 学年高三下学期期中数学试题
【题型四】基底拆分：均值不等式求最值型
【例题剖析】
（2023·全国·高三专题练习）如图，在ABC
中，D 是线段BC 上的一点，且
4
BC
BD
，过点D 的直线分
别交直线AB ，AC 于点M ，N ，若AM
AB
，AN
AC
(
0,
0)
，则
1
的最小值是（
）
A．2 3
2
B．2 3
4
C．2 3
4
D．2 3
2
【提分笔记】
基本规律
利用向量基底理论，求出“和定”或者“积定”，再用均值不等式技巧求出最值和范围
【举一反三】
1.（2022·全国·高三专题练习）如图，在ABC
中，M，N 分别是线段AB ，AC 上的点，且
2
3
AM
AB
，
1
3
AN
AC
，D，E 是线段BC 上的两个动点，且
( ,
)
AD
AE
xAM
yAN x y
R
，则1
2
x
y
的的最小值是
（
）
A．4
B．4
3
C．9
4
D．2
2.（2022·全国·高三专题练习）在ABC
中，点F 为线段BC 上任一点（不含端点），若
2
0,
0
AF
xAB
yAC x
y
，则1
2
x
y
的最小值为（
）
A．9
B．8
C．4
D．2
3.（2022·河南许昌·三模（文））在ABC
中，点D 在BC 上，且满足
1
4
BD
BC
，点E 为AD 上任意一点，
若实数x，y 满足BE
xBA
yBC
，则1
2
x
y
的最小值为（
）
A．2 2
B．4 3
C．4
2 3
D．9
4 2
【题型五】基底拆分：求最值型
【例题剖析】
在平行四边形ABCD 中，
2
AB
，
2
AD
，
135
A
，,
E F 分别是
,
AB AD 上的点，且AE
AB
，
AF
AD
，（其中,
(0,1)
），且4
1
.若线段EF 的中点为M ，则当MC
取最小值时，
的
值为（
）
A．36
B．37
C．38
D．39
【提分笔记】
基本规律
1.基底拆分，可得系数和定值（实质是“等和线”）
2.也建系设点三角换元等
【举一反三】
1 如图，在OMN
中，A、B 分别是OM 、ON 的中点，若OP
xOA
yOB
（x ，y
R
），且点P 落
在四边形ABNM 内（含边界），则
1
2
y
x
y
的取值范围是（
）
A．1 2
,
3 3
B．1 3
,
3 4
C．1 3
,
4 4
D．1 2
,
4 3
2.在ABC
中，点D 满足
3
4
BD
BC
，当E 点在线段AD 上移动时，若AE
AB
AC
，则
2
2
(
1)
t
的最小值是（
）
A．3 10
10
B
82
4
．
C．9
10
D．41
8
3.设向量
2
(
2,
3 cos 2 )
OA
x
x
，
( ,
sin
cos )
2
y
OB
y
，其中, ,
x y 为实数，若
2
OA
OB
，
则x
y
的取值范围为（
）
A．[ 6,1]
B．[ 1,6]
C．[4,8]
D．(
,1]
【题型六】三角换元型
【例题剖析】
在直角梯形ABCD 中，
AB
AD
，
/ /
AD
BC ，
2
2
AB
BC
AD
，
,
E F 分别为BC ，CD 的
中点，以A为圆心，AD 为半径的圆交AB 于G ，点P 在弧DG 上运动（如图）.若AP
AE
BF
，
其中，
R
，则6
的取值范围是（
）
A．[1,
2]
B．[1,2 2]
C．[ 2,2 2]
D．[2,2 2]
【校级联考】福建省福州市八县（市）协作校2018-2019 学年高三上学期期末联考数学试题
【提分笔记】
基本规律
利用向量几何意义等知识转化为圆的概念和方程，再用圆的参数方程进行三角代换，可达到化繁为简
的目标
【举一反三】
1.在矩形ABCD 中，
3
AB
，
4
AD
，点P是以点C为圆心，2为半径的圆上的动点，设AP
AB
AD
uuur
uuur
uuur
，
则
的最小值为（
）
A．1
B．7
6
C．2
D．8
3
2.若向量a
，b
是不共线的两个向量，2
3
a
b
与
a
b
共线，当
0
时，
3
2
的最小值为（
）
A．4
B．2
C．3 2
2
D．2 3
2
3.已知Rt ABC
，
3
AB
，
4
BC
，
5
CA
，P 为ABC
外接圆上的一动点，且AP
xAB
y AC
，
则x
y
的最大值是（
）
A．5
4
B．4
3
C．
17
6
D．5
3
【题型七】等和线型
【例题剖析】
（2023·全国·高三专题练习）如图，边长为2 的等边三角形的外接圆为圆O ，P为圆O 上任一点，若
AP
xAB
yAC
，则2
2
x
y
的最大值为（
）
A．8
3
B．2
C．4
3
D．1
【提分笔记】
基本规律
等和线原理：
(
)
+ =1
,
0
OA
B
OC
R
0
(
)
+ =m
m=
,
OF
OF
B
OC
R
OE
，则
【举一反三】
1.如图，延长正方形ABCD 的边CD 至点E，使得DE= CD，动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方
向运动一周后回到点A，若AP
AB
AE
，则下列判断正确的是（
）
A．满足λ+μ=2 的点P 必为BC 的中点
B．满足λ+μ=1 的点P 有且只有一个
C．满足λ+μ=3 的点P 有且只有一个
D．λ+μ= 3
2
的的点P 有且只有一个
2.如图，ABC
中，
,
,
AD
DB AE
EC CD
与BE 交于F ，设AB
a
，AC
b
，AF
xa
yb
，
则
,x y 为
A．1 1
,
3 3
B．2 2
,
3 3
C．1 1
,
2 2
D．2 1
,
3 2
3.如图，在边长为2 的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD （含端点）上运动，
P 是圆Q 上及内部的动点，设向量AP
mAB
nAF
（m ，n为实数），则m n
的取值范围是（
）
A．
1,2
B．
5,6
C．
2,5
D．
3,5
【题型八】极化恒等式
【例题剖析】
(2021 郑州密卷) 如图，已知点O 为△ABC 的重心，OA OB ，AB
6
，则AC BC
的值
为
．
【提分笔记】
基本规律
基础知识：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
4
a
b
a
ab
b
a
b
a
ab
b
a b
a
b
a
b
在△ABC 中，D 是边BC 的中点，则
2
2
AB
AC
AD
DB
.
【举一反三】
1.如图放置的边长为1 的正方形ABCD ，顶点
,
A D 分别在x 轴，y 轴正半轴（含原点）滑动，则OB OC
的最大值为______________.
2.(2020 南通三调)如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，以A 为圆心，AE 为半径，
作圆交AD 于点F ，若P 为劣弧EF 上的动点，则PC PD
的最小值是____________.
3.如图，在平面四边形ABCD 中，
2
AC
AD
，
120
DAC
，
90
ABC
，则BD BC
的最大
值为
.
【题型九】奔驰定理
【例题剖析】
在ABC
中，O 为其内部一点，且满足
3
0
OA
OC
OB
，则
AOB
和AOC
的面积比是（
）
A．3：4
B．3:2
C．1:1
D．1:3
2020 届辽宁省沈阳市省示范协作校高三第一次模拟考试数学（文)试卷
【提分笔记】
基本规律
奔驰定理
m
+s
+t
0
t
1
2
:
t
s
m
m+s+t
ABO
ABO
ACO
CBO
ABC
OA
OB
OC
S
S
S
S
S
（）
；（）
：
：：
【举一反三】
1.设点O 在ABC
的内部，且2
3
4
0
OA
OB
OC
，若ABC
的面积是27，则AOC
的面积为（
）
A．9
B．8
C．15
2
D．7
2.已知等边����边长为4，�为其内一点，且4��റ
ሬሬሬሬ+ 7��റ
ሬሬሬሬ+ 3��റ
ሬሬሬሬ= 0റሬ，则����的面积为
A．
4 3
7
B．
6 3
7
C．
3 3
7
D．
1
2
3.已知P 为ABC
内一点，且，3
2
0
PA
PB
PC
，则
:
PAB
ABC
S
S
为（
）
A．1:2
B．1:3
C．1:5
D．1:6
【题型十】四心与向量1：重心
【例题剖析】
过ABC
内一点M 任作一条直线，再分别过顶点, ,
A B C 作l 的垂线，垂足分别为
,
,
D E F ，若
0
AD
BE
CF
恒成立，则点M 是ABC
的（
）
A．垂心
B．重心
C．外心
D．内心
【提分笔记】
基本规律
（1）O 是ABC
重心
0
OA
OB
OC
，
（2）P 是平面ABC 内任一点，
1
2
PG
PA
PB
PC
G
是ABC
重心．
【举一反三】
1.在����中，角�，�，�所对的边分别为�，�，�，�为����的外心，�为��边上的中点，�= 4，��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= 5，
sin�+ sin�−4sin�= 0，则cos�=（
）
A．
3
2
B．
1
2
C．
1
4
D．
2
8
2.已知A ，B，C 是不在同一直线上的三个点，O 是平面ABC 内一动点，若
1
2
OP
OA
AB
BC
，
0,
，则点P的轨迹一定过ABC
的（
）
A．外心
B．重心
C．垂心
D．内心
3.在四边形ABCD中，G 为
BCD
△
的重心，
2
AG
，点O 在线段AG 上，则
OA
OB
OC
OD
的最小
值为（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
【题型十一】四心与向量2：外心
【例题剖析】
已知O 为锐角
ABC
△
的外接圆的圆心，tan
2
A
，若cos
cos
2
sin
sin
B
C
AB
AC
mAO
C
B
，则m 的值为（
）
A．
5
5
B．2 5
5
C．
3
3
D．2 3
3
浙江省杭州市西湖区杭州学军中学2018-2019 学年高三下学期期中数学试题
【提分笔记】
基本规律
（1）O 是ABC
外心
OA
OB
OC
，
（2）若O 是ABC
外心，则sin2
sin2
sin2
0
AOA
BOB
COC
．
（3 ）若O
是
ABC
外心，则对于平面内任意点
P
，均有：
cos
cos
cos
2sin sin
2sin sin
2sin sin
A
B
C
PO
PA
PB
PC
B
C
A
C
A
B
【举一反三】
1.已知ABC
，
6
AB
，
3
AC
，N 是边BC 上的点，且
2
BN
NC
，O 为ABC
的外心，AN
AO
的值为（
）
A．8
B．10
C．18
D．9
2.已知△���外接圆的圆心为�，��= 2 3，��= 2 2，�为钝角，�是��边的中点，则��റ
ሬሬሬሬ⋅��റ
ሬሬሬሬ=(
)
A．3
B．4
C．5
D．6
3.在ABC
中,内角
, ,
A B C 的对边分别为, , ,
a b c O 是ABC
外接圆的圆心,若
2 cos
2
B
c
b
,且
cos
cos
sin
sin
B
C
AB
AC
mAO
C
B
,则m 的值是(
)
A．
2
4
B．
2
2
C．
2
D．2 2
【题型十二】四心与向量3：内心
【例题剖析】
（2022·江苏·高三模拟）在△ABC 中，
3
cos
4
A
，O 为△ABC 的内心，若
,
R
AO
xAB
yAC x y
，则x
＋y 的最大值为（
）
A．2
3
B．6
6
5
C．7
7
6
D．8
2 2
7
【提分笔记】
基本规律
（1）O 是ABC
内心
0
AB
AC
BA
BC
CA
CB
OA
OB
OC
AB
AC
BA
BC
CA
CB
（2）O 是ABC
内心
0
aOA
bOB
cOC
，
（2）O 是ABC
内心
sin
sin
sin
0
AOA
BOB
COC
．
【举一反三】
1.点O 为
ABC
△
所在平面内一点，
,
|
|
|
|
AB
AC
OA OB
OA OC AO
AB
AC
则
ABC
△
的形状为
（
）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
2.O 是平面上一定点，
, ,
A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：
,
[0,
)
|
|
|
|
AB
AC
OP
OA
AB
AC
，则P 的轨迹一定通过ABC
的(
)
A．内心
B．垂心
C．重心
D．外心
3.已知非零向量��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬ满足(
��Ԧ
ሬሬሬሬ
|��| +
��Ԧ
ሬሬሬሬ
|��| ) ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= 0，且
��Ԧ
ሬሬሬሬ
|��| ⋅
��Ԧ
ሬሬሬሬ
|��| =
1
2，则����的形状是（）
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等腰（非等边）三角形
D．等边三角形
【题型十三】四心与向量4：垂心
【例题剖析】
设H 是ABC
的垂心，且4
5
6
0
HA
HB
HC
，则cos
AHB
_____．
河南省商丘市第一高级中学2021-2022 学年高三下学期五月月考数学试卷
【提分笔记】
基本规律
（1）O 是ABC
垂心
OA OB
OB OC
OC OA
，
（2）若O 是ABC
垂心，则tan
tan
tan
0
AOA
BOB
COC
．
【举一反三】
1.已知O 是平面内一点，A ，B，C 是平面内不共线的三点，若OA OB
OB OC
OC OA
，O 一定是ABC
的（
）
A．外心
B．重心
C．垂心
D．内心
2.已知H 为ABC
的垂心，若
1
2
3
5
AH
AB
AC
，则sin
BAC
（
）
A．
15
5
B．
10
5
C．
6
3
D．
3
3
3.点P 为△���所在平面内的动点，满足
��
Ԧ
ሬሬ= �(
��
Ԧ
ሬሬሬ
|
��
Ԧ
ሬሬሬ|cos�
+
��
Ԧ
ሬሬሬ
|
��
Ԧ
ሬሬሬ|cos�
)，�∈(0, + ∞)，则点P 的轨迹通过△���
的(
)
A．外心
B．重心
C．垂心
D．内心
【题型十四】向量点落在区域内
【例题剖析】
在直角ABC
中，
C
是直角，CA=4，CB=3，ABC
的内切圆交CA，CB 于点D，E，点P 是图中阴影区域
内的一点(不包含边界)．若CP
xCD
yCE
，则x
y
的值可以是（
）
A．1
B．2
C．4
D．8
【提分笔记】
基本规律
对于向量终点落在某些区域内题型，可以从以下几个方向切入解题：
1.等和线法
2.建系求点法
3.向量四边形或者三角形法。
【举一反三】
1.如图，OM ∥AB ，点P在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且
OP
OA
OB
，则满足条件的实数对( , )
可以是（
）
A．1
1
(
,
)
4
4
B．
2 5
(
, )
3 3
C．
1 3
(
,
)
4 4
D．
1 7
(
, )
5 5
2.如图，在OAB
中，点P是线段OB 及AB 、AO 的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，
且OP
xOA
yOB
，则在直角坐标平面上，实数对
,x y 所表示的区域在直线
3
y
x
的右下侧部分的面积
是（
）
A．7
2
B．9
2
C．4
D．不能求
3.如图,OM
AB
，点P在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且
OP
xOA
yOB
.当
1
2
x
时，y 的取值范围是（
）
A．
0
，
B．1 3
2 2
，
C．1
2
，
D．
1 3
2 2
，
【题型十五】向量超难压轴小题
【例题剖析】
已知平面向量, ,
a b c
，满足|
|
2,|
| 1,
b
a
b
c
a
b
且
2
1
，若对每一个确定的向量a
，记|
|
c
的最小值为m ，则当a
变化时，m 的最大值为（
）
A．1
4
B．1
3
C．1
2
D．1
【举一反三】
1.已知向量m，n，若
1
m
，
2
2
m
n
，则m
n
n
的最大值为(
)
A．
5
B．10
C．4
D．5
2.正方形ABCD 的边长为2，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点P 满足
2
2
OP
，若
AP
mAB
nAD
，其中
,
m nR ，则2
1
2
2
m
n
的最大值是(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
3.已知平面向量a
，b
满足
2
4
a
b
a b
，则对任意共面的单位向量e
，a e
b e
的最大值是
（
）
A．2 7
B．2 3
C．3
D．2
1．（2022·全国·高考真题）在ABC
中，点D 在边AB 上，
2
BD
DA
．记CA
mCD
n
，
，则CB
（
）
A．3
2
m
n
B．2
3
m
n
C．3
2
m
n
D．2
3
m
n
2．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形ABCD，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点（如图所示），设AB
a
，
AD
b
，则EF
等于（
）
A．
1
2 a
b
B．
1
2 a
b
C．
1
2 b
a
D．1
2 a
b
3．
（·山东·高考真题）如下图，M 是线段OB 的中点，设向量OA
a
，OB
b
，那么AM
能够表示为（
）
A．
1
2
a
b
B．
1
2
a
b
C．
1
2
a
b
D．
1
2
a
b
4．（·湖南·高考真题（理））已知,
a b
是单位向量，
0
a b
.若向量c
满足
1,
c
a
b
c
则
的取值范围是（）
A．
2-1, 2+1
，
B．
2-1, 2+2
，
C．1,
2+1
，
D．1, 2+2
，
5．
（天津·高考真题（理））已知
为等边三角形，AB=2，设点P，Q 满足
，
，
，若
3
2
BQ CP
，则
=
A．
B．
C．
D．
6．（·广东·高考真题（理））在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O，E 是线段OD 的中点，AE 的延长
线与CD 交于点F，若AC
a
，BD
b
，则AF
A．1
1
4
2
a
b
B．2
1
3
3
a
b
C．1
1
2
4
a
b
D．1
2
3
3
a
b
7．
（·安徽·高考真题（理））在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点,A B满足
，
则点集
|
,
1, ,
P OP
OA
OB
R
所表示的区域的面积是
A．2 2
B．2 3
C．4 2
D．4 3
8．（·全国·高考真题（理））设a b c
、、是单位向量，且·
0
a b
＝，则
a
c
b
c
的最小值为
A．2
B．
2
2
C．1
D．1
2
9．（2019·江苏·高考真题）如图，在ABC
中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE=2EA，AD 与CE 交于点O .
若
6
AB AC
AO EC
，则AB
AC 的值是_____.
10．（陕西·高考真题（理））如图，平面内有三个向量OA
、OB
、OC
,其中与OA
与OB
的夹角为120，OA
与OC
的夹角为30,且|
| |
1
OA
OB
，|
| 2 3
OC
，若
(
)
，
OC
λOA
μOB λ
μ
R
,则
的值为_________.
11．（江西·高考真题（理））如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB、AC 于
不同的两点M、N,若
,则m+n 的值为_________．
12．（2021·天津·高考真题）在边长为1 的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE
AB
且交AB 于
点E．
//
DF AB且交AC 于点F,则| 2
|
BE
DF
的值为____________；(
)
DE
DF
DA
的最小值为____________．
13．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形ABCD中，
60 ,
3
B
AB
，
6
BC
，且
3
,
2
AD
BC
AD AB
，则实数的值为_________，若
,
M N 是线段BC 上的动点，且|
| 1
MN
，则
DM DN
的最小值为_________．
1.（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中，
,
M N 分别是
,
AD CD的中点，BM
a
，BN
b
，
则BD
（
）
A．3
2
4
3
a
b
B．2
2
3
3
a
b
+
r
r
C．2
3
3
4
a
b
D．3
3
4
4
a
b
2.（2022·全国·高三专题练习）如图平面四边形ABCD 中，
3
,
3
AD
AE BC
BF
，则EF
可表示为（
）
A．1
1
3
3
AB
DC
B．2
2
3
3
AB
DC
C．1
2
3
3
AB
DC
D．2
1
3
3
AB
DC
3.（2023·全国·高三专题练习）已知ABC
中，点D 为线段BC （不包括端点）上任意一点，且实数x，y
满足
2
AD
xAB
y AC ，则1
1
x
y
的最小值为（
）
A．3
2 2
B．6
C．4 2
D．4 6
4.（2023·全国·高三专题练习）如图，在△ABC 中，点D 是线段BC 上的动点（端点除外），且AD
xAB
yAC
，
则9
1
x
y
的最小值为（
）
A．16
B．17
C．18
D．19
5.如图，在ABC
中，
1
3
AN
NC
，P 是BN 上的一点，若
2
2
9
9
AP
m
AB
BC
，则实数m 的值
为(
)
A．1
9
B．1
3
C．1
D．3
6.给定两个长度为1 的平面向量OA
和OB
，它们的夹角为90，点C在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，
若OC
xOA
yOB
，其中,
x y
R
，则3
5
x
y
的最大值为（
）
A．34
B．5
C．
37
D．6
7.如图，Rt ABC
中，P 是斜边BC 上一点，且满足：
1
2
BP
PC
,点
,
M N 在过点P 的直线上，若
,
AM
AB AN
AC
,( ,
0)
,则
2
的最小值为（
）
A．2
B．8
3
C．3
D．10
3
8.（2021 南京、盐城一模）在△ABC 中，已知
3
AB
，
3
C
，则CA CB
的最大值为
.
9.设G 为等边ABC
的重心，过G 作直线l 分别交
,
AB AC （不与端点重合）于,
P Q ，若AP
AB
，
AQ
AC
，若PAG
与QAG
的面积之比为2
3
，则（
）
A．1
3
B．2
3
C．3
4
D．5
6
10.已知ABC
的重心为G，经过点G 的直线交AB 于D，交AC 于E，若AD
AB
uuur
uuur
，AE
AC
，则
1
1
________.
11.已知�是△���的外心，∠�= 45∘，则��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ(�, �∈�)，则�+ �的取值范围是(
)
A．[ −
2,
2]
B．[ −
2, 1）
C．[ −
2, −1]
D．(1,
2]
12.已知非零向量��Ԧ
ሬሬሬሬ和��Ԧ
ሬሬሬ满足(
��Ԧ
ሬሬሬሬ
|��Ԧ
ሬሬሬሬ| +
��Ԧ
ሬሬሬሬ
|��Ԧ
ሬሬሬሬ| )•��Ԧ
ሬሬሬሬ= 0，且
��Ԧ
ሬሬሬሬ
|��Ԧ
ሬሬሬሬ| ∙
��Ԧ
ሬሬሬሬ
|��Ԧ
ሬሬሬሬ| =
1
2，则����为（
）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．三边均不相等的三角形
13.已知在ABC
中，
,
6
AB
AC BC
，点H 为ABC
的垂心，则BH BC
=________．
14.如图所示，已知OAB
，由射线OA 和射线OB 及线段AB 构成如图所示的阴影区（不含边界）.已知下列
四个向量：①
1
2
OM
OA
OB ；②
2
3
1
4
3
OM
OA
OB
；③
3
3
1
4
5
OM
OA
OB ；④
4
4
8
9
9
OM
OA
OB .
对于点
1
M ，
2
M ，
3
M ，
4
M 落在阴影区域内（不含边界）的点有________（把所有符合条件点都填上）
15.如图，在ABC
中，
3
BAC
，
2
AD
DB
，P 为CD 上一点，且满足
1
2
AP
mAC
AB
，若ABC
的面积为2 3 ，则AP
的最小值为(
)
A．
2
B．
4
3
C．3
D．
3
