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专题18：向量线性运算及四心综合归类（解析版）
目录
一、热点题型归纳
【题型一】基底就是坐标轴........................................................................................................................1
【题型二】基底拆分：绕三角形................................................................................................................4
【题型三】基底拆分：待定系数型............................................................................................................5
【题型四】基底拆分：均值不等式求最值型............................................................................................7
【题型五】基底拆分：求最值型................................................................................................................9
【题型六】三角换元型..............................................................................................................................12
【题型七】等和线型..................................................................................................................................15
【题型八】极化恒等式..............................................................................................................................18
【题型九】奔驰定理..................................................................................................................................20
【题型十】四心与向量1：重心...............................................................................................................21
【题型十一】四心与向量2：外心...........................................................................................................23
【题型十二】四心与向量3：内心...........................................................................................................25
【题型十三】四心与向量4：垂心...........................................................................................................26
【题型十四】向量点落在区域内..............................................................................................................28
【题型十五】向量超难压轴小题..............................................................................................................31
二、真题再现..............................................................................................................错误！未定义书签。
三、模拟检测..............................................................................................................错误！未定义书签。
【题型一】基底就是坐标轴
【典例分析】
．（2022·广东深圳·高三阶段练习）在ABC
中，D 为边BC 的延长线上一点，且
3
BC
CD
，记
,
AB
a AC
b
，则AD
（
）
A．
1
4
3
3
a
b
B．
1
2
3
3
a
b
C．4
1
3
3
a
b
D．
2
1
3
3
a
b
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【答案】A
【分析】根据题意，利用的向量的线性运算可得
4
4
3
3
AD
AB
BD
AB
BC
AB
AC
AB
，即可得解.
【详解】
方法一：基础拆解法：
4
4
1
4
1
4
3
3
3
3
3
3
AD
AB
BD
AB
BC
AB
AC
AB
AB
AC
a
b
，
故选：A.
方法二：坐标轴法，由题意可得如图,显然再第二象限，所以系数是（-，+）且y 方向分向量的模大于1，故选S
【提分秘籍】
基本规律
在平面向量的线性运算中，如图��റ
ሬሬሬሬ= ���റ
ሬሬሬሬ+ ���റ
ሬሬሬሬ，�, �的范围可仿照直角坐标系得出，��റ
ሬሬሬሬ，��റ
ሬሬሬሬ类比
于�, �轴，直角坐标系中有四个象限，类比在（�, ��റ
ሬሬሬሬ, ��റ
ሬሬሬሬ）中也有四个象限，如第Ⅰ象限有�> �
�> �，
第Ⅱ象限有�< �
�> �，第Ⅲ象限有�< �
�< �，第Ⅳ象限有�> �
�< �，也可类比得出其中的直线方程，二元
一次不等式组表示的平面区域等等.
在平面内，有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系，同样地，在平面内有公共原点且
不垂直的两条数轴构成的坐标系，我们称之为“斜坐标系”.如图，在斜坐标系中，两条坐标轴的公共
原点称为斜坐标系的原点，其坐标记为(0,0) ，点P 是斜坐标系xOy 中的任意一点，与直角坐标系相
类似，过点P 分别作两坐标轴的平行线，与x 轴、y 轴交于点M 、N ，若M 、N 在x 轴、y 轴上分
别对应实数a 、b ，则有序数对( ,
)
a b 叫做点P 在斜坐标系xOy 中的坐标，记为
( , )
P a b .若点
1
1
( ,
)
A x y
、
2
2
(
,
)
B x
y
是斜坐标系xOy （
xOy
）中任意两点.
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【变式演练】
1.（2022·广东·高三开学考试）在平行四边形ABCD中，点E 、F 分别满足
1
2
DE
EC
，
1
3
BF
FD
，若AB
a
，AD
b
，
则EF
（
）
A．5
3
12
4
a
b
B．11
5
12
4
a
b
C．13
3
12
4
a
b
D．19
5
12
4
a
b
【答案】A
【分析】结合向量加法法则与减法法则运算求解即可.
【详解】解：基础解法
因为在平行四边形ABCD中，点E 、F 分别满足
1
2
DE
EC
，
1
3
BF
FD
，
所以
(
)
(
)
EF
AF
AE
AB
BF
AD
DE
，
1
1
1
4
4
4
BF
BD
AD
AB
b
a
，
所以
1
1
5
3
4
3
12
4
a
b
a
b
EF
a
a
b
．故选：A
方法二：坐标轴法.
如图，建立坐标系。则EF
DH
AG
,显然处于第四象限，坐标是（+，—），分向量的模都小于1，并且x 分向量
的模小于1/2，故答案是A
2.（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）如图，在ABC
中，
2
B D
D C
，AD
mAB
nAC
uuur
uuur
uuur ，则m
n （
）
A．1
2
B．1
3
C．2
3
D．2
【答案】A
【分析】根据平面向量基本定理，平面向量的线性运算即可求解．
【详解】解：
方法一：基础解法
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在ABC
中，
2
B D
D C
，则
2
AD
AB
AC
AD
∴
1
2
3
3
AD
AB
AC
，又AD
mAB
nAC
uuur
uuur
uuur ，
1
3
m
∴
，
2
3
n
，
1
2
m
n
，故选：A．
方法二：坐标轴法
如图，作坐标轴平行线，可得E 为三等分点（近C），F 为三等分点（近A），故m 为1/3,n 为2/3,所以答案为A
【题型二】基底拆分：绕三角形
【典例分析】
（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O，且
2
EO
AE
，则EB =
（
）
A．1
5
6
6
AB
AD
B．1
5
6
6
AB
AD
C．5
1
6
6
AB
AD
D．5
1
6
6
AB
AD
【答案】C
【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得；
【详解】
方法一：因为
2
EO
AE
，所以
1
1
1
3
6
6
AE
AO
AC
AB
AD
，
所以
1
5
1
6
6
6
EB
AB
AE
AB
AB
AD
AB
AD
.。故选：C.
方法二：绕三角形法
1
1
5
1
(
)
6
6
6
6
EB
AB
AC
AB
AB
A
BC
AB
AB
E
AD
【提分秘籍】
基本规律
一部分基础不太好的同学，对于利用基底基础定理求解推导掌握的不是太顺利，可以把这个简化为“绕
三角形”：标记出基底（共起点），然后把要求的向量按照三角形法则来推导。
。。。三角形法则→共线（拉长或者缩短）→三角形法则→共线（拉长或者缩短）。。。。周期反复，一直
到推导为基底。
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【变式演练】
1.．
（2022·全国·高三专题练习）如图，ABCD
中，AB
a
，AD
b
，点E 是AC 的三等分点
1
3
EC
AC ，则DE
（
）
A．1
2
3
3
a
b
B．2
1
3
3
a
b
C．1
2
3
3
a
b
D．2
1
3
3
a
b
+
r
r
【答案】B
【分析】根据向量的加法法则和减法法则进行运算即可.
【详解】
2
2
2
1
(
)
3
3
3
3
DE
AE
AD
AC
AD
AB
AD
AD
a
b
故选：B.
2.（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD 中，
2
2
3
3
AE
AB CF
CD
，
，G 为EF 的中点，则DG
（
）
A．1
1
2
2
AD
AB
B．1
1
2
2
AB
AD
C．3
1
4
2
AD
AB
D．3
1
4
2
AB
AD
【答案】B
【分析】根据题意和平面向量的线性运算即可得出结果.
【详解】
1
1
1
1 1
1
2
1
1
1
·
2
2
2
2 3
2
3
6
2
2
DG
DE
DF
DA
AE
DC
AD
AB
AB
AB
AD
．
故选：B.
3.在����中，�为����的重心，�为��上一点，且满足��റ
ሬሬሬሬ= 3��റ
ሬሬሬሬ，则（
）
A．��റ
ሬሬሬሬ=
1
3 ��റ
ሬሬሬሬ+
1
12 ��റ
ሬሬሬ
B．��റ
ሬሬሬሬ=−
1
3 ��റ
ሬሬሬሬ−
1
12 ��റ
ሬሬሬ
C．��റ
ሬሬሬሬ=−
1
3 ��റ
ሬሬሬሬ+
7
12 ��റ
ሬሬሬ
D．��റ
ሬሬሬሬ=
1
3 ��റ
ሬሬሬሬ−
7
12 ��റ
ሬሬሬ
山东省滨州市2019 届高三第二次模拟（5 月)考试数学（理)试题
【答案】B
【分析】
根据三角形重心的性质，结合向量的加法和减法即可判断结论。
【详解】由题意，画出几何图形如下图所示：
根据向量加法运算可得��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ+ ��റ
ሬሬሬሬ
因为G 为△ABC 的重心，M 满足��റ
ሬሬሬሬ= 3��റ
ሬሬሬሬ所以��റ
ሬሬሬሬ=
2
3 ×
1
2 (��റ
ሬሬሬሬ+ ��റ
ሬሬሬ) =
1
3 (��റ
ሬሬሬሬ+ ��റ
ሬሬሬ)，��റ
ሬሬሬሬ=
1
4 ��റ
ሬሬሬ
所以��റ
ሬሬሬሬ=−
1
3 ��റ
ሬሬሬሬ+
1
3 ��റ
ሬሬሬ
+
1
4 ��റ
ሬሬሬ
=−
1
3 ��റ
ሬሬሬሬ−
1
12 ��റ
ሬሬሬ
所以选B
【题型三】基底拆分：待定系数型
【典例分析】
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（2022·全国·高三专题练习）在梯形ABCD 中，
//
AB CD 且
4
AB
CD
，点P 在边BC 上，若
2
5
AP
AB
AD
，则实数
（
）
A．4
5
B．2
5
C．4
15
D．3
20
【答案】A
【分析】延长AD 、CB 交于点E ，根据三点共线的推论得到
2
3
5
5
AP
AB
AE
，再根据梯形上下底的比例关系，即可
得到
4
3
AE
AD
，代入即可得解；
【详解】解：延长AD 、CB 交于点E ，则B 、P 、E 三点共线，于是可得
2
3
5
5
AP
AB
AE
，
因为
//
AB CD 且
4
AB
CD
，所以
4
3
AE
AD
，
所以
3
4
4
3
2
2
5
5
5
5
A
D
P
A
A
D
AB
B
，故
4
5
；
故选：A
【提分秘籍】
基本规律
平面向量基本定理(平面内三个向量之间关系)：若
1e
、
2e
是同一平面内的两个不共线向量，则对于这
一平面内的任一向量a
，有且只有一对实数
1、
2
，使
1 1
2
2
a
e
e
.
（1）选定基底，则
1、
2
，是唯一的
（2）处理技巧：可“绕三角形”，可待定系数，可建系。
【变式演练】
1.（2022·全国·高三专题练习）如图，在ABC
中，AD
DC
，E 是BD上一点，若
11
1
16
4
AE
AB
AC
，则实数的
值为（
）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】B
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【分析】由AD
DC
，得
1
AC
AD
，代入
11
1
16
4
AE
AB
AC
中，再由
,
,
E B D 三点共线，列方程可求出实数的
值
【详解】因为AD
DC
，得
1
AC
AD
，因为
11
1
16
4
AE
AB
AC
，所以
11
1
1
16
4
AE
AB
AD
，
因为
,
,
E B D 三点共线，所以11
1
1
16
4
，解得
4
，故选：B
2.（2020·四川·模拟预测（理））在△ABC 中，AD
DC
，P 是线段BD上一点，若
1
6
AP
mAB
AC
，则实数m 的值
为（
）
A．1
3
B．1
2
C．2
3
D．5
6
【答案】C
【分析】利用平面向量线性运算法则得
1
3
AP
mAB
AD
，再利用三点共线定理求解即可．
【详解】∵在△ABC 中AD
DC
，
1
1
6
3
AP
mAB
AC
mAB
AD
，
P
是线段BD上一点，
1
1
3
m
，则
2
3
m
.故选：C．
3.如图，四边形ABCD 是平行四边形，E 是BC 的中点，点F 在线段CD 上，且
2
CF
DF
，AE 与BF 交于点P，若
AP
AE
，则（
）
A．3
4
B．5
8
C．3
8
D．2
3
【答案】A
【分析】设出
1
1
AP
mAB
m AF
mAB
m
AD
DF
，求得
2
1
1
3
m
AP
AB
m AD
，再利用向
量相等求解即可.
【详解】连接AF，因为B，P，F 三点共线，所以
1
1
AP
mAB
m AF
mAB
m
AD
DF
，
因为
2
CF
DF
，所以
1
1
3
3
DF
DC
AB
，所以
2
1
1
3
m
AP
AB
m AD
.
因为E 是BC 的中点，所以
1
1
2
2
AE
AB
BC
AB
AD
.因为AP
AE
，
所以
2
1
1
1
3
2
m
AB
m AD
AB
AD
，则
2
1
3
1
1
2
m
m
，解得
3
4
.故选：A
【题型四】基底拆分：均值不等式求最值型
【典例分析】
（2023·全国·高三专题练习）如图，在ABC
中，D 是线段BC 上的一点，且
4
BC
BD
，过点D 的直线分别交直线AB ，
AC 于点M ，N ，若AM
AB
，AN
AC
(
0,
0)
，则
1
的最小值是（
）
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A．2 3
2
B．2 3
4
C．2 3
4
D．2 3
2
【答案】C
【分析】根据平面向量基本定理，以及三点共线，可确定
,
的关系，即
3
1
1
4
4
，可得
1
3
4
，再利
用基本不等式求最值即可．
【详解】由条件可得
1
1
3
1
4
4
4
4
AD
AB
BD
AB
BC
AB
AC
AB
AB
AC
，
∵
,
0,
0,
,
AM
AB AN
AC
∴
3
1
4
4
AD
AM
AN
，因为
,
,
M D N 三点共线，
∴3
1
1
4
4
，∴1
3
4
，∵
1
3
0,
0,
4
0
，
∴
3
4
，则
1
3
3
4
4
2 3
4
；
当且仅当
3
λ
，即
3
时取等号，故
1
的最小值是2 3
4
；故选：C．
【提分秘籍】
基本规律
利用向量基底理论，求出“和定”或者“积定”，再用均值不等式技巧求出最值和范围
【变式演练】
1.（2022·全国·高三专题练习）如图，在ABC
中，M，N 分别是线段AB ，AC 上的点，且
2
3
AM
AB
，
1
3
AN
AC
，
D，E 是线段BC 上的两个动点，且
( ,
)
AD
AE
xAM
yAN x y
R
，则1
2
x
y
的的最小值是（
）
A．4
B．4
3
C．9
4
D．2
【答案】B
【分析】根据平面向量共线定理可设AD
mAB
nAC
uuur
uuur
uuur ，
1
m
n
，AE
AB
AC
，
1
，再结合
AD
AE
xAM
yAN
得2
6
x
y
，最后运用基本不等式可求解.
【详解】设AD
mAB
nAC
uuur
uuur
uuur ，
1
m
n
，AE
AB
AC
，
1
，
则AD
AE
mAB
nAC
AB
AC
3
(
)
(
)
(
)
3(
)
2
m
AB
n
AC
m
AM
n
AN
xAM
yAN
，
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3 (
)
2 m
x
，3(
)
n
y
m
2
3 x，
1
3
n
y
，
2
1
2
2
2
6
3
3
m
n
x
y
x
y
.
所以1
2
1
1
2
(2
)
6
x
y
x
y
x
y
1
4
1
4
4
2
2
2
2
2
6
6
3
y
x
y
x
x
y
x
y
，
当且仅当
3
2
x
，
3
y 时等号成立.
所以1
2
x
y
的的最小值是4
3 .故选：B
2.（2022·全国·高三专题练习）在ABC
中，点F 为线段BC 上任一点（不含端点），若
2
0,
0
AF
xAB
yAC x
y
，
则1
2
x
y
的最小值为（
）
A．9
B．8
C．4
D．2
【答案】A
【分析】根据向量共线定理得推论得到
2
1
x
y
，再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.
【详解】因为点F 为线段BC 上任一点（不含端点），
所以
2
1
x
y
，
故
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1
4
5
2
9
y
x
y
x
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
，
当且仅当2
2
y
x
x
y
，即
1
3
x
y
时等号成立，故选：A
3.（2022·河南许昌·三模（文））在ABC
中，点D 在BC 上，且满足
1
4
BD
BC
，点E 为AD 上任意一点，若实数x，
y 满足BE
xBA
yBC
，则1
2
x
y
的最小值为（
）
A．2 2
B．4 3
C．4
2 3
D．9
4 2
【答案】D
【分析】先根据共线向量定理的推论，三点共线的结论可得，
4
1
x
y
，再根据“1”的代换即可求出．
【详解】因为
1
4
BD
BC
，所以BE
xBA
yBC
，即
4
BE
xBA
yBD
．
由, ,
A E D 三点共线可得
4
1
x
y
，且
0,
0
x
y
．
所以
1
2
1
2
2
4
4
9
9
2 8
9
4 2
x
y
x
y
x
y
x
y
y
x
，
当且仅当
2
x
y
，即
2 2
1
7
4
2
14
x
y
时取等号．故选：D．
【题型五】基底拆分：求最值型
【典例分析】
．在平行四边形ABCD 中，
2
AB
，
2
AD
，
135
A
，,
E F 分别是
,
AB AD 上的点，且AE
AB
，AF
AD
，
（其中,
(0,1)
），且4
1
.若线段EF 的中点为M ，则当MC
取最小值时，
的值为（
）
A．36
B．37
C．38
D．39
【答案】B
【分析】
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利用
2
MC
MC
，结合向量线性运算、数量积运算，以及4
1
，求得当,
为何值时MC
取得最小值，进
而求得
的值.
【详解】
依题意可知
cos135
2
AB AD
AB
AD
，
MC
AC
AM
1
2
AB
AD
AE
AF
1
1
1
1
2
2
AB
AD
，所以
2
MC
MC
2
2
2
2
1
1
1
1
1
2 1
1
1
2
2
2
2
AB
AB AD
AD
①.由于4
1,
1
4
，
所以①可化为
2
41
1
2
②，根据二次函数的性质可知，，当
1
1
41
41
2 2
时，②取得最小值，此时
37
1
4
41
，所以
37
.故选：B
【提分秘籍】
基本规律
1.基底拆分，可得系数和定值（实质是“等和线”）
2.也建系设点三角换元等
【变式演练】
1 如图，在OMN
中，A 、B 分别是OM 、ON 的中点，若OP
xOA
yOB
（x ，y
R
），且点P 落在四边形ABNM
内（含边界），则
1
2
y
x
y
的取值范围是（
）
A．1 2
,
3 3
B．1 3
,
3 4
C．1 3
,
4 4
D．1 2
,
4 3
【答案】C
【解析】
分析：利用平面向量的线性运算，得出,x y 满足的不等关系，再利用线性规划思想求解.
详解：由题意，当P 在线段AB 上时，
1
x
y
，当P 点在线段MN 上时，
2
x
y
，∴当P 在四边形ABNM 内（含
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边界）时，
1
2
0
0
x
y
x
y
x
y
（＊），又
1
1
1
2
1
1
y
x
x
y
y
，作出不等式组（＊）表示的可行域，如图，
1
1
y
x
表示可行域内点( , )
x y 与
( 1, 1)
P
连线的斜率，由图形知
0
( 1)
1
2
( 1)
3
PB
k
，
2
( 1)
3
0
( 1)
PC
k
，即
1
1
3
3
1
y
x
，∴1
1
3
3
1
x
y
，
1
1
3
1
4
4
1
1
x
y
，
故选C.
2.在ABC
中，点D 满足
3
4
BD
BC
，当E 点在线段AD 上移动时，若AE
AB
AC
，则
2
2
(
1)
t
的
最小值是（
）
A．3 10
10
B
82
4
．
C．9
10
D．41
8
【答案】C
【解析】
【分析】如图，存在实数m 使得
0
1
AE
mAD
m
，
3
3
1
3
4
4
4
4
AD
AB
BD
AB
BC
AB
AC
AB
AB
AC
，
所以
1
3
3
4
4
4
4
m
m
AE
m
AB
AC
AB
AC
，所以
4
3
4
m
m
，
原式
2
2
2
2
2
2
3
5
5
2
9
1
1
1
4
4
8
2
8
5
10
m
m
m
t
m
m
，
当
2
5
m
时，函数取得最小值
9
10 ，故选C.
3.
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3.设向量
2
(
2,
3 cos2 )
OA
x
x
，
( ,
sin
cos
)
2
y
OB
y
，其中, ,
x y 为实数，若
2
OA
OB
，则x
y
的取值
范围为（
）
A．[ 6,1]
B．[ 1,6]
C．[4,8]
D．(
,1]
【答案】A
【解析】
试题分析：由
2
OA
OB
，得
2
2
2
3 cos2
2sin
cos
x
y
x
y
，整理得
2
2 -2
2sin 2
3
x
y
x
y
，由
2
2sin 2
3
x
y
得
2
-2
2
x
y
，又
2 -2
x
y
，则
2
-2
4
1
2
y
y
，∴
2
2
4
9
2
0
4
9
6
0
y
y
y
y
，解得
1
2
4
y
，而
2
2
2
=
2
x
y
y
y
y
，故-6
1
x
y
，即选A.
【题型六】三角换元型
【典例分析】
在直角梯形ABCD 中，AB
AD
，
/ /
AD
BC ，
2
2
AB
BC
AD
，
,
E F 分别为BC ，CD 的中点，以A 为
圆心，AD 为半径的圆交AB 于G ，点P 在弧DG 上运动（如图）.若AP
AE
BF
，其中，
R
，则6
的取值范围是（
）
A．[1, 2]
B．[1,2 2]
C．[ 2,2 2]
D．[2,2 2]
【答案】D
【分析】
建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F（1，1.5），P（cosα，sinα）（0≤α
2
），
由AP
λ AE
μ BF
得，（cosα，sinα）＝λ（2，1）+μ（﹣1，3
2
），λ，μ用参数α进行表示，利用辅助角公式化简，即
可得出结论．
【详解】
解：建立如图所示的坐标系，
则A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F（1，1.5），
P（cosα，sinα）（0≤α
2
），
由AP
λ AE
μ BF
得，（cosα，sinα）＝λ（2，1）+μ（﹣1，3
2
）
⇒cosα＝2λ﹣μ，sinα＝λ
3
2
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⇒λ
3
1
8
4
cos
sin
，
1
1
2
4
sin
cos
∴6λ+μ＝6（3
1
8
4
cos
sin
）
1
1
2
4
sin
cos
2（sinα+cosα）＝2
2 sin（
4
）
∵
3
4
4
4
，
，∴sin（
4
）
2 1
2 ，
∴2
2 sin（
4
）∈[2，2
2 ]，即6λ+μ的取值范围是[2，2
2 ]．
故选D．
【提分秘籍】
基本规律
利用向量几何意义等知识转化为圆的概念和方程，再用圆的参数方程进行三角代换，可达到化繁为简
的目标
【变式演练】
1.在矩形ABCD 中，
3
AB
，
4
AD
，点P 是以点C 为圆心，2 为半径的圆上的动点，设AP
AB
AD
uuur
uuur
uuur
，则
的最小值为（
）
A．1
B．7
6
C．2
D．8
3
【答案】B
【分析】
以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，写出圆的方程，利用三角换元，结合向量的线性运算，将问题转化为三角函
数的最值求解，即可求得结果.
【详解】
如图，建立平面直角坐标系，故可得
3,4
C
，
0,0 ,
3,0 ,
0,4
A
B
D
，
故点P 在圆
2
2
:
3
4
4
C
x
y
上，
设
2cos
3,2sin
4
P
，
3,0 ,
0,4
AB
AD
，
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又AP
AB
AD
uuur
uuur
uuur
，所以
2cos
3
3
2sin
4
4
，
从而
2
1
5
7
cos
sin
2
sin
2
3
2
6
6
，
故选：B.
2.若向量a
，b
是不共线的两个向量，2
3
a
b
与a
b
共线，当
0
时，
3
2
的最小值为（
）
A．4
B．2
C．3 2
2
D．2 3
2
【答案】A
【分析】
利用平面向量共线定理求出,
的关系式，再利用基本不等式：积为定值，和有最小值即可求解.
【详解】因为2
3
a
b
与a
b
共线，由平面向量共线定理可知，2
3
，
所以
3
2
，所以
3
2
2
2
，因为
0
，所以
2
2
2
2 2
4
，
当且仅当
2
2
，即
1
时等号成立.故选：A
3.已知Rt ABC
，
3
AB
，
4
BC
，
5
CA
，P 为
ABC
外接圆上的一动点，且AP
xAB
yAC
，则x
y
的
最大值是（
）
A．5
4
B．4
3
C．
17
6
D．5
3
【答案】B
【分析】
以AC 的中点为原点，以AC 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设P 的坐标为5
5
cos ,
sin
2
2
，求出点
,
,
A B C 的坐标，根据向量的坐标和向量的数乘运算得到
5
1
sin
6
2
x
y
，根据正弦函数的图象和性质即可求
出答案.
【详解】解：以AC 的中点为原点，以AC 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
则
ABC
外接圆的方程为
2
2
2
5
( )
2
x
y
，设P 的坐标为5
5
cos ,
sin
2
2
，
过点B 作BD 垂直x 轴，∵
4
sin
5
A
，
3
AB
∴
12
sin
5
BD
AB
A
，
3
9
cos
3
5
5
AD
AB
A
，
∴
5
9
7
2
5
10
OD
AO
AD
，∴
7 12
,
10
5
B
，∵
5 ,0
2
A
，
5 ,0
2
C
∴
9 12
,
5
5
AB
，
5,0
AC
，
5
5 5
cos
,
sin
2
2 2
AP
∵AP
xAB
yAC
∴5
5 5
9 12
cos
,
sin
,
2
2 2
5
5
x
9
12
5,0
5 ,
5
5
y
x
y
x
∴5
5
9
cos
5
2
2
5 x
y
，5
12
sin
2
5 x
，∴
1
3
1
cos
sin
2
8
2
y
，
25 sin
24
x
，
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∴
1
2
1
5
1
cos
sin
sin
2
3
2
6
2
x
y
，其中
3
sin
5
，
4
cos
5
，
当
sin
1
时，x
y
有最大值，最大值为5
1
4
6
2
3
，故选B．
【题型七】等和线型
【典例分析】
（2023·全国·高三专题练习）如图，边长为2 的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP
xAB
yAC
，
则2
2
x
y
的最大值为（
）
A．8
3
B．2
C．4
3
D．1
【答案】A
【分析】等和线的问题可以用共线定理，或直接用建系的方法解决.
【详解】
作BC 的平行线与圆相交于点P，与直线AB 相交于点E，与直线AC 相交于点F，
设AP
AE
AF
，则
1
，
∵BC//EF，∴设AE
AF
k
AB
AC
，则
4
[0, ]
3
k
∴
,
AE
k AB AF
k AC
，AP
AE
AF
k AB
k AC
∴
,
x
k y
k
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∴2
2
x
y=
8
2
2
3
k
k
（
）
故选：A.
【提分秘籍】
基本规律
等和线原理：
(
)
+ =1
,
0
OA
B
OC
R
0
(
)
+ =m
m=
,
OF
OF
B
OC
R
OE
，则
【变式演练】
1.如图，延长正方形ABCD 的边CD 至点E，使得DE= CD，动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一
周后回到点A，若AP
AB
AE
，则下列判断正确的是（
）
A．满足λ+μ=2 的点P 必为BC 的中点
B．满足λ+μ=1 的点P 有且只有一个
C．满足λ+μ=3 的点P 有且只有一个
D．λ+μ= 3
2
的的点P 有且只有一个
【答案】C
【分析】
建立坐标系，讨论P
AB
，P
BC
，P
CD
，P
AD
四种情况，出
的范围，再判断每个选项的正误，即
可得出结果.
【详解】
如图建系，取
1
AB ，∵AE
AD
DE
AD
AB
，
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∴
(
)
(
) 1,0
0,1
,
AP
AB
AE
AB
AD
，
动点P 从点A 出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A 点，
当P
AB
时，有0
1
且
0
，∴0
1
≤
≤，∴0
1
，
当P
BC
时，有
1
且0
1
，则
1
，∴1
2
，∴1
3
，
当P
CD
时，有0
1
且
1
，则
1
，∴1
2
，∴2
3
，
当P
AD
时，有
0
且0
1
，则
，∴0
1
≤
≤，∴0
2
，
综上，0
3
，
选项A，取
1
，满足
2
，此时AP
AB
AE
AD
，因此点P 不一定是BC 的中点，故A 错误；
选项B，当点P 取B 点或AD 的中点时，均满足
1
，此时点P 不唯一，故B 错误；
选项C，当点P 取C 点时，
1
且
1
，解得
2
，
为3 ，故C 正确；
选项D，当点P 取BC 的中点或DE 的中点时，均满足
3
2
，此时点P 不唯一，故D 错误；
故选：C.
2.如图，ABC
中，
,
,
AD
DB AE
EC CD
与BE 交于F ，设AB
a
，AC
b
，AF
xa
yb
，则
,x y 为
A．1 1
,
3 3
B．2 2
,
3 3
C．1 1
,
2 2
D．2 1
,
3 2
【答案】A
【详解】延长AF 交BC 于点M ；
,
,
AD
DB AE
EC CD
与BE 交于F ，点F 是ABC
的重心，
2
3
AF
AM
，
1
=
(
)
2
AM
AB
AC
，
2
2
1
1
1
1
=
(
)=
(
)=
3
3
2
3
3
3
AF
AM
AB
AC
AB
AC
a
b
又AF
xa
yb
1
3
1
3
x
y
，则
,x y 为1 1
,
3 3
；故答案选A
3.如图，在边长为2 的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心在线段CD （含端点）上运动，P 是圆Q 上
及内部的动点，设向量AP
mAB
nAF
（m ，n 为实数），则m
n
的取值范围是（
）
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A．
1,2
B．
5,6
C．
2,5
D．
3,5
【答案】C
【解析】以
A
为坐标原点，AB
所在直线为
x
轴建立直角坐标系，则
2
2
2,0 ,
1, 3 ,
:
3
4 3
1, 2
3
B
F
Q
x
a
y
a
a
所以
2
, 3
P
m
n
n
，即
2
2
2
3
3
4 3
1
m
n
a
n
a
2
cos , 3
3
4 3
sin ,
0,1
m
n
a
r
n
a
r
r
3 4
cos
3 sin
π
sin
6
1
6
3,1
6
2
2,5
2
2
6
2 3
a
a
r
r
m
n
r
a
选C.
方法二：【解析】如图所示,①设点O 为正六边形的中心,则AO
AB
AF
当动圆Q 的圆心经过点C 时，与边BC 交于点P，点P 为边BC 的中点。连接OP，则AP
AO
OP
，
∵OP
与FB
共线,∴存在实数t,使得OP
tFB
∴此时m+n=1+t+1−t=2，取得最小值
②当动圆Q 的圆心经过点D 时，取AD 的延长线与Q 的交点P 时,
5
5
2
2
AP
AB
AF
此时m+n=5 取得最大值。故选：C.
【题型八】极化恒等式
【典例分析】
(2021 郑州密卷) 如图，已知点O 为△ABC 的重心，OA OB ，AB
6
，则
AC BC
的值
为
．
【解析】法1：连结CO 并延长交AB 于点M(如图1)，
则
AC BC
AO
OC
BO
OC
2
AO BO
OC BO
OC AO
OC
2
OC BO
OC AO
OC
OC
BO
AO
OC
2
2OC
，
因为
2
6
OC
OM
AB
，所以
72
AC BC
．
法2：以AB 的中点M 为坐标原点，AB 为x 轴建立平面直角坐标系(如图2)，则
3 0
A ，
，
3
0
B
，
，
设
(
)
C x
y
，
，则易得O
3
3
y
x ，
，因为OA OB，所以
0
AO BO
，从而
2
3
3
0
3
3
3
y
x
x
，
化简得，
2
2
81
x
y
，
所以
2
2
2
(
3)(
3)
9
72
AC BC
x
x
y
x
y
．
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法3：极化恒等式
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
18
6
72
4
4
4
AC BC
AC
BC
AC
BC
AM
AB
.
【提分秘籍】
基本规律
基础知识：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
4
a
b
a
ab
b
a
b
a
ab
b
a b
a
b
a
b
在△ABC 中，D 是边BC 的中点，则
2
2
AB
AC
AD
DB
.
【变式演练】
1.如图放置的边长为1 的正方形ABCD ，顶点
,
A D 分别在x 轴，y 轴正半轴（含原点）滑动，则OB OC
的最大值为
______________.
【解析】如图，
,
BC AD 中点
,
E F ，
2
2
2
2
2
1
1
1
2
4
4
4
OB OC
OB
OC
OB
OC
OE
BC
OE
因为
1
3
9
1
1
2
2
3
4
4
OE
OF
EF
OB OC
2.(2020 南通三调)如图，已知正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，以A 为圆心，AE 为半径，作圆交AD 于
点F ，若P 为劣弧EF 上的动点，则PC PD
的最小值是____________.
【解析】
2
2
2
1
1
4
PC PD
PG
CD
PG
当
,
,
A P G 三点共线时PG 最小，此时
min
'
'
5
1
5
2 5
P G
AG
AP
PC PD
3.如图，在平面四边形ABCD 中，
2
AC
AD
，
120
DAC
，
90
ABC
，
则BD BC
的最大
值为
.
解析：取CD的中点E ，连接EA ，EB ，
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由
2
AC
AD
,
120
,
sin60
3
DAC
AE
CD DE
AD
，
由
90
, , ,
ABC
AEC
A B C E
四点共圆，且直径为AC .
则
2
2
2
2
2
2
3
3
2
3
1
BD BC
BE
ED
BE
AC
所以
max
1
BD BC
.
【题型九】奔驰定理
【典例分析】
在ABC
中，O 为其内部一点，且满足
3
0
OA
OC
OB
，则AOB
和AOC
的面积比是（
）
A．3：4
B．3:2
C．1:1
D．1:3
【答案】D
【解析】
取AC 中点M
,则由
3
0
OA
OC
OB
得2
3
OM
OB
,所以2|
| 3
OM
OB
,O 在线段BM 上,因此
:
:2
:2
13
AOB
AOC
AOB
AOM
S
S
S
S
OB
OM
：，选D.
【提分秘籍】
基本规律
奔驰定理
m
+s
+t
0
t
1
2
:
t
s
m
m+s+t
ABO
ABO
ACO
CBO
ABC
OA
OB
OC
S
S
S
S
S
（）
；（）
：
：：
【变式演练】
1.设点O 在ABC
的内部，且2
3
4
0
OA
OB
OC
，若ABC
的面积是27，则AOC
的面积为（
）
A．9
B．8
C．15
2
D．7
【答案】A
【详解】
延长OC到D，使得OD=2OC,因为2
3
4
0
OA
OB
OC
，所以
3
2
0
2
OA
OB
OC
，
以OA，OD 为边作平行四边形OAED,对角线交点为F,OE 交AC 于H,因为
2
OD
OC
,所以
3
2
OE
OB
,
因为OC:AE=1:2,所以OH:HE=1:2,所以3
,
3
1
2
2
OH
OB
OH
OB
,所以
1
3
OH
BH
,
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所以AOC
的面积是ABC
面积的
1
3 ，所以AOC
的面积为9.故选：A
2.已知等边����边长为4，�为其内一点，且4��റ
ሬሬሬሬ+ 7��റ
ሬሬሬሬ+ 3��റ
ሬሬሬሬ= 0റሬ，则����的面积为
A．
4 3
7
B．
6 3
7
C．
3 3
7
D．
1
2
【答案】B
【解析】
∵4��റ
ሬሬሬሬ+ 7��റ
ሬሬሬሬ+ 3��റ
ሬሬሬሬ= 0റሬ，∴��റ
ሬሬሬሬ+
7
4 ��റ
ሬሬሬሬ=
3
4 ��റ
ሬሬሬሬ．如图所示，
延长��到点�，使得��റ
ሬሬሬሬ=
7
4 ��റ
ሬሬሬሬ，分别以��റ
ሬሬሬሬ, ��റ
ሬሬሬሬ为邻边作平行四边形����，则��റ
ሬሬሬሬ+ ��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ+
7
4 ��റ
ሬሬሬሬ= ��റ
ሬሬሬሬ=
3
4 ��റ
ሬሬሬሬ，又
��റ
ሬሬሬሬ=
7
4 ��റ
ሬሬሬሬ，可得��റ
ሬሬሬሬ=
7
4 ��റ
ሬሬሬሬ，∴��റ
ሬሬሬሬ=
4
11 ��റ
ሬሬሬሬ=
3
11 ��റ
ሬሬሬሬ，∴��റ
ሬሬሬሬ=
3
14 ��റ
ሬሬሬሬ，∴�△���=
3
14 �△���=
3
14 ×
3
4 × 42 =
6 3
7 ，故选
B.
3.已知P 为ABC
内一点，且，3
2
0
PA
PB
PC
，则
:
PAB
ABC
S
S
为（
）
A．1: 2
B．1:3
C．1:5
D．1:6
【答案】D
【解析】
如图：设D 、E分别为AB 、AC 的中点，∵3
2
0
PA
PB
PC
，
∴
3
PC
PB
PB
PA
（
），
3 2
6
BC
PD
PD
，同理由
2
PA
PC
PB
PA
（
）
（
），即2
2
PE
PD
，
∴
1
3
PE
BC
．∴P 到AB 的距离等于C 到AB 的距离的1
6
，设ABC
的面积为S，则
1
6
PAB
S
S
，故
:
PAB
ABC
S
S
为1:6 ，故选D.
【题型十】四心与向量1：重心
【典例分析】
过ABC
内一点M 任作一条直线，再分别过顶点
,
,
A B C 作l 的垂线，垂足分别为
,
,
D E F ，若
0
AD
BE
CF
恒
成立，则点M 是ABC
的（
）
A．垂心
B．重心
C．外心
D．内心
河北省保定市2018-2019 学年度第一学期高三期末调研考试数学试题
【答案】B
【详解】本题采用特殊位置法较为简单.因为过ABC
内一点M 任作一条直线，可将此直线特殊为过点A，则
0
AD
，
有
0
BE
CF
.如图：
则有直线AM 经过BC 的中点，
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同理可得直线BM 经过AC 的中点，直线CM 经过AB 的中点，所以点M 是ABC
的重心，故选B
【提分秘籍】
基本规律
（1）O 是ABC
重心
0
OA
OB
OC
，
（2）P 是平面ABC 内任一点，
1
2
PG
PA
PB
PC
G
是ABC
重心．
【变式演练】
1.在����中，角�，�，�所对的边分别为�，�，�，�为����的外心，�为��边上的中点，�= 4，��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= 5，sin�+ sin�−
4sin�= 0，则cos�=（
）
A．
3
2
B．
1
2
C．
1
4
D．
2
8
【答案】C
【解析】
由题意，�为����的外心，�为��边上的中点，可得：��Ԧ
ሬሬሬሬ=
1
2 (��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬ) ，因为AOԦ
ሬሬሬሬ⋅ADԦ
ሬሬሬሬ= 5，可得：��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅
1
2 (��Ԧ
ሬሬሬሬ+ ��Ԧ
ሬሬሬ) =
1
2 (��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ) +
1
2 (��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ) = 5 ，又��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ=
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬሬ2, ��Ԧ
ሬሬሬሬ⋅��Ԧ
ሬሬሬ=
1
2 ��Ԧ
ሬሬሬ2 ，所以有
��Ԧ
ሬሬሬሬ2
4 +
��Ԧ
ሬሬሬሬ2
4 = 5 即
�2
4 +
�2
4 = 5 ，因为�= 4 ，
所以�= 2 ，又因为sinC + sinA −4sinB = 0，所以4�−�= �, �= 4 ，由余弦定理：cos�=
�2+�2−�2
2��
=
1
4 ，故选C.
2.已知A ，B ，C 是不在同一直线上的三个点，O 是平面ABC 内一动点，若
1
2
OP
OA
AB
BC
，
0,
，
则点P 的轨迹一定过ABC
的（
）
A．外心
B．重心
C．垂心
D．内心
【答案】B
【分析】设出BC 的中点D ，利用向量的运算法则化简
1
2
AB
BC
；OP
OA
据向量共线的充要条件得到P 在三角形的
中线上，利用三角形的重心定义：三中线的交点，得到选项
【详解】解：如图，取BC 的中点D ，连接AD ，
则
1
2
AB
BC
AB
BD
AD
．又
1
(
)
2
OP
OA
AB
BC
，OP
OA
AD
，即AP
AD
．
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又
0,
，
P
点在射线AD 上．故P 的轨迹过ABC
的重心．故选：B．
3.在四边形ABCD中，G 为
BCD
△
的重心，
2
AG
，点O 在线段AG 上，则
OA OB
OC
OD
的最小值为（
）
A．3
B．2
C．1
D．0
【答案】A
【分析】首先根据平面向量的加法几何意义，三角形重心的性质和平面数量积的概念得到
(
)
3
OA OB
OC
OD
OA OG
，再利用基本不等式性质即可得到答案.
【详解】如图所示：
因为
,
,
OG
OB
BG OG
OC
CG OG
OD
DG
，
所以
3
OB
OC
OD
OG
，
于是有
(
)
3
3
OA OB
OC
OD
OA OG
OA OG
，
又
2
1
2
OA
OG
OA OG
，当且仅当
1
OA
OG
时取等号，
所以
(
)
3
3
OA OB
OC
OD
OA OG
.
故选：A
【题型十一】四心与向量2：外心
【典例分析】
已知O 为锐角
ABC
△
的外接圆的圆心，tan
2
A
，若cos
cos
2
sin
sin
B
C
AB
AC
mAO
C
B
，则m 的值为（
）
A．
5
5
B．2 5
5
C．
3
3
D．2 3
3
【答案】B
【详解】如图所示，取AB 的中点
,
D AC 的中点E ，连接
,
OD OE ，则
,
OD
AB OE
AC
；
所以
2
2
cos
,
2
2
AB
AC
AB AO
AB AO
BAO
AC AO
，所以由cos
cos
2
sin
sin
B
C
AB
AC
mAO
C
B
，
设ABC
的外接圆半径为R ，则AO
R
，由正弦定理得
2
sin
sin
AB
AC
R
C
B
，
所以
2 sin
,
2 sin
AB
R
C AC
R
B
，且AO
R
，代入可得
2
2
2
2cos
sin
2cos
sin
2
B
C R
C
B R
mR
，
所以sin
cos
cos
sin
sin(
)
sin
C
B
C
B
B
C
A
m
，又因为tan
2
A
，可得
2 5
sin
5
A
，即
2 5
5
m
，故选
B．
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【提分秘籍】
基本规律
（1）O 是ABC
外心
OA
OB
OC
，
（2）若O 是ABC
外心，则sin2
sin2
sin2
0
AOA
BOB
COC
．
（3 ）若O
是
ABC
外心，则对于平面内任意点
P
，均有：
cos
cos
cos
2sin sin
2sin sin
2sin sin
A
B
C
PO
PA
PB
PC
B
C
A
C
A
B
【变式演练】
1.已知ABC
，
6
AB
，
3
AC
，N 是边BC 上的点，且
2
BN
NC
，O 为ABC
的外心，AN
AO
的值为（
）
A．8
B．10
C．18
D．9
【答案】D
【详解】因为
2
BN
NC
，所以
2
2
AN
AB
AC
AN
，因此
1
2
3
3
AN
AB
AC
；
取AB ，AC 中点分别为
,
D E ，则
OD
AB ，OE
AC
；
因此
2
1
18
2
AB
AO
AB AD
AB
，
2
1
9
2
2
AC
AO
AC AE
AC
所以
1
2
1
2
6
3
9
3
3
3
3
AN
AO
AB
AC
AO
AB AO
AC AO
.故选D
2.已知△���外接圆的圆心为�，��= 2 3，��= 2 2，�为钝角，�是��边的中点，则��റ
ሬሬሬሬ⋅��റ
ሬሬሬሬ=(
)
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】C
【解析】∵�是��边的中点，∴��റ
ሬሬሬሬ＝
1
2 (��റ
ሬሬሬሬ+ ��റ
ሬሬሬ)，
∵�是△���的外接圆的圆心，∴��റ
ሬሬሬሬ⋅��റ
ሬሬሬሬ＝��റ
ሬሬሬሬ
⋅��റ
ሬሬሬሬ���∠���=
1
2 ��റ
ሬሬሬሬ2 =
1
2 × (2 3)2＝6．同理可得
��റ
ሬሬሬሬ⋅��റ
ሬሬሬ＝
1
2 |��റ
ሬሬሬ|2＝
1
2 × (2 2)2＝4．∴��⋅��=
1
2 (��റ
ሬሬሬሬ+ ��റ
ሬሬሬሬ) ⋅��=
1
2 ��റ
ሬሬሬሬ⋅��+
1
2 ��റ
ሬሬሬሬ⋅��=
1
2 × （6 + 4）= 5．故
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选C．
3. 在
ABC
中, 内角
,
,
A B C 的对边分别为
, , ,
a b c O 是
ABC
外接圆的圆心, 若
2 cos
2
B
c
b
, 且
cos
cos
sin
sin
B
C
AB
AC
mAO
C
B
,则m 的值是(
)
A．
2
4
B．
2
2
C．
2
D．2 2
【答案】C
【解析】因为
2 cos
2
a
B
c
b
，由余弦定理得
2
2
2
2
2
2
a
c
b
a
c
b
ac
，整理得
2
2
2
2
b
c
a
bc
，所以
2
2
2
2
cos
2
2
b
c
a
A
bc
，即
4
A
，因为O 是
ABC
的外心，则对于平面内任意点P ，均有：
cos
cos
cos
2sin sin
2sin sin
2sin sin
A
B
C
PO
PA
PB
PC
B
C
A
C
A
B
，
令
P
与
A
重
合
，
及
4
A
得
cos
cos
2
cos
cos
2
sin
sin
2sin
2sin
B
C
B
C
AO
AB
AC
AB
AC
C
B
C
B
，∵cos
cos
sin
sin
B
C
AB
AC
mAO
C
B
，∴
2
m
．故
选C．
【题型十二】四心与向量3：内心
【典例分析】
（2022·江苏·高三模拟）在△ABC 中，
3
cos
4
A
，O 为△ABC 的内心，若
,
R
AO
xAB
yAC x y
，则x＋y 的最大
值为（
）
A．2
3
B．6
6
5
C．7
7
6
D．8
2 2
7
【答案】D
【分析】设
x
A
A
D
AO
B
yAC
，根据三点共线可得
1
AO
AO
x
y
AD
AO
OD
，结合图像分析运算．
【详解】如图：圆O 在边
,
AB BC 上的切点分别为
,
E F ，连接
,
OE OF ，延长AO交BC 于点D
设
OAB
，则
2
3
cos
cos2
1 2sin
4
A
，则
2
sin
4
设
x
A
A
D
AO
B
yAC
∵
,
,
B D C 三点共线，则
1
x
y
，即
1
x
y
1
1
1
1
1
8
2 2
1
sin
7
2
1
1
1
4
AO
AO
AO
OF
OE
AD
AO
OD
AO
OF
AO
AO
即
8
2 2
7
x
y
故选：D．
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【提分秘籍】
基本规律
（1）O 是ABC
内心
0
AB
AC
BA
BC
CA
CB
OA
OB
OC
AB
AC
BA
BC
CA
CB
（2）O 是ABC
内心
0
aOA
bOB
cOC
，
（2）O 是ABC
内心
sin
sin
sin
0
AOA
BOB
COC
．
【变式演练】
1.点O 为
ABC
△
所在平面内一点，
,
|
|
|
|
AB
AC
OA OB
OA OC AO
AB
AC
则
ABC
△
的形状为（
）
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
【答案】B
【详解】
,
)
0
OA OB
OA OC
OA OB
OC
OA CB
（
,所以OA
BC
.
|
|
|
|
AB
AC
AO
AB
AC
AO 在∠BAC 的角平分线上，所以AO 既在BC 边的高上，也是∠BAC 的平分线，
所以△ABC 是等腰三角形.故选：B
2.O 是平面上一定点，, ,
A B C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足：
,
[0,
)
|
|
|
|
AB
AC
OP
OA
AB
AC
，则
P 的轨迹一定通过ABC
的(
)
A．内心
B．垂心
C．重心
D．外心
【答案】A
【详解】
|
|
AB
AB
、
AC
AC
分别表示向量AB
、AC
方向上的单位向量AB
AC
AB
AC
的方向与
BAC
的角平分线一
致又
(
)
|
|
|
|
AB
AC
OP
OA
AB
AC
，
(
)
|
|
|
|
AB
AC
OP
OA
AP
AB
AC
向量AP
uuur的方向与
BAC
的角平分线一致
一定通过ABC
的内心故选：A ．
3.已知非零向量��Ԧ
ሬሬሬሬ, ��Ԧ
ሬሬሬ满足(
��Ԧ
ሬሬሬሬ
|��| +
��Ԧ
ሬሬሬሬ
|��| ) ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= 0，且
��Ԧ
ሬሬሬሬ
|��| ⋅
��Ԧ
ሬሬሬሬ
|��| =
1
2，则����的形状是（）
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等腰（非等边）三角形
D．等边三角形
【答案】D
【解析】试题分析：因为(
��Ԧ
ሬሬሬሬ
|��Ԧ
ሬሬሬሬ| +
��Ԧ
ሬሬሬሬ
|��Ԧ
ሬሬሬሬ| ) ⋅��Ԧ
ሬሬሬሬ= 0，所以∠���的平分线与��垂直，三角形是等腰三角形，又因为
��Ԧ
ሬሬሬሬ
|��Ԧ
ሬሬሬሬ| ⋅
��Ԧ
ሬሬሬሬ
|��Ԧ
ሬሬሬሬ| =
1
2，
所以∠���=
�
3，所以三角形是正三角形，故选D．
【题型十三】四心与向量4：垂心
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【典例分析】
设H 是ABC
的垂心，且4
5
6
0
HA
HB
HC
，则cos
AHB
_____．
河南省商丘市第一高级中学2021-2022 学年高三下学期五月月考数学试卷
【答案】
22
11
【分析】由三角形垂心性质及已知条件可求得
2
4
11
HA HB
HA
，
2
1
2
HA HB
HB
，由向量的夹角公式即可求解．
【详解】∵H 是ABC
的垂心，
∴HA
BC
，
0
HA BC
HA
HC
HB
，
∴HA HB
HC HA
，同理可得，HB HC
HC HA
，
故HA HB
HB HC
HC HA
，
∵4
5
6
0
HA
HB
HC
，
∴
2
4
5
6
0
HA
HA HB
HA HC
，
∴
2
4
11
HA HB
HA
，同理可求得
2
1
2
HA HB
HB
，
∴
2
cos
4
11 HA
HB HA
HB HA
AHB
HB HA
，
2
1
cos
2 HB
HB HA
HB HA
AHB
HB HA
，
∴
2
2
os
11
c
AHB
，即
22
cos
11
AHB
.
故答案为：
22
11
．
【提分秘籍】
基本规律
（1）O 是ABC
垂心
OA OB
OB OC
OC OA
，
（2）若O 是ABC
垂心，则tan
tan
tan
0
AOA
BOB
COC
．
【变式演练】
1.已知O 是平面内一点，A ，B ，C 是平面内不共线的三点，若OA OB
OB OC
OC OA
，O 一定是ABC
的（
）
A．外心
B．重心
C．垂心
D．内心
【答案】C
【分析】结合向量数量积的运算求得正确答案.
【详解】由题意知，ABC
中，OA OB
OB OC
OC OA
，
则
0
OB
OA
OC
，即
0
OB CA
，所以OB
CA
，即OB
CA
，同理，OA
BC
，OC
AB
；
所以O 是ABC
的垂心.故选：C
2.已知H 为ABC
的垂心，若
1
2
3
5
AH
AB
AC
，则sin
BAC
（
）
A．15
5
B．10
5
C．
6
3
D．
3
3
【答案】C
28 / 45
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【分析】
2
2
3
5
BH
AB
AC ，
1
3
3
5
CH
AB
AC ，利用
0
BH AC
、
0
CH
AB
得
3
cos
5
AC
BAC
AB
，
5
cos
9
AB
BAC
AC
，解得
2
1
cos
3
BAC
，再利用平方共线可得答案.
【详解】依题意，
2
2
3
5
BH
BA
AH
AB
AC
，同理
1
3
3
5
CH
CA
AH
AB
AC
．
由H 为△ABC 的垂心，得
0
BH AC
，即
2
2
0
3
5
AB
AC
AC
，
可知
2
2
2
cos
5
3
AC
AC AB
BAC
，即
3
cos
5
AC
BAC
AB
．同理有
0
CH
AB
，
即1
3
0
3
5
AB
AC
AB
，可知
2
1
3
cos
3
5
AB
AC AB
BAC
，即
5
cos
9
AB
BAC
AC
，解得
2
1
cos
3
BAC
，
2
2
3
1
cos
2
sin
1
1
3
BAC
BAC
，又
0,π
BAC
，
所以
6
sin
3
BAC
．故选：C．
3.点P 为△���所在平面内的动点，满足
��
Ԧ
ሬሬ= �(
��
Ԧ
ሬሬሬ
|
��
Ԧ
ሬሬሬ|cos�
+
��
Ԧ
ሬሬሬ
|
��
Ԧ
ሬሬሬ|cos�
)，�∈(0, + ∞)，则点P 的轨迹通过△���的(
)
A．外心
B．重心
C．垂心
D．内心
【答案】C
【详解】处理原式得到��റ
ሬሬሬሬ⋅��റ
ሬሬሬሬ= �
��റ
ሬሬሬሬ⋅��റ
ሬሬሬሬ
��റ
ሬሬሬሬcos�+
��റ
ሬሬሬሬ⋅��റ
ሬሬሬሬ
��റ
ሬሬሬሬcos�= ���റ
ሬሬሬሬ−��റ
ሬሬሬሬ
= 0
故��റ
ሬሬሬሬ所在的直线与三角形的高重合，故经过垂心，故选C。
【题型十四】向量点落在区域内
【典例分析】
在直角ABC
中，
C
是直角，CA=4，CB=3，ABC
的内切圆交CA，CB 于点D，E，点P 是图中阴影区域内的一点(不
包含边界)．若CP
xCD
yCE
，则x
y
的值可以是（
）
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A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】B
【分析】先由内切圆性质求出半径，再利用坐标法得到x
y
的几何意义，最后利用线性规划方法数形结合可解.
【详解】在Rt ABC
中，CA=4，CB=3，则AB=5，
设内切圆半径为r，且2r
CD
CE
AC
BC
AB
，
则
1
2
AC
BC
AC
r
，
以C 为坐标原点建立如图所示的直角坐标系，则
(0,1)
CD
，
(1,0)
CE
.
(0,1)
(1,0)
( , )
CP
xCD
yCE
x
y
y x
，令x
y
t
，则点P 在直线y
x
t
上(t 为截距).
又点P 是图中阴影区域内的一点(不包含边界)．即直线与阴影区域(不包含边界)有公共点.
由图可知，当0
4
t
且
1
t 时，才满足题意，所以排除选项ACD.
故选：B.
【提分秘籍】
基本规律
对于向量终点落在某些区域内题型，可以从以下几个方向切入解题：
1.等和线法
2.建系求点法
3.向量四边形或者三角形法。
【变式演练】
1.如图，OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内（不含边界），且OP
OA
OB
，
则满足条件的实数对( , )
可以是（
）
A．1
1
( ,
)
4
4
B．
2 5
(
, )
3 3
C．
1 3
(
, )
4 4
D．
1 7
(
, )
5 5
【答案】C
【分析】利用平面向量的基本定理和平行四边形法则，可以将四个答案一一代入，判断点的位置，排除错误答案，即
可得到结论．
【详解】根据平面向量基本定理和平行四边形法则，
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A（1
4 ，
1
4
），
1
1
1
4
4
4
OP
OA
OB
BA
，此时P 在线段AB 上，
B（
2
3
，5
3 ），
2
2
2
3
3
3
OP
OA
OB
OB
AB
OB
，此时P 在直线AB 的上方，
同理，D（
1
5
，7
5 ），
1
7
5
5
OP
OA
OB
，此时P 在直线AB 的上方，
因此ABD 均不正确，故选：C．
2.如图，在OAB
中，点P 是线段OB 及AB 、AO的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，且OP
xOA
yOB
，
则在直角坐标平面上，实数对
,x y 所表示的区域在直线
3
y
x
的右下侧部分的面积是（
）
A．7
2
B．9
2
C．4
D．不能求
【答案】A
【分析】由点P 是由线段OB 及AB 、AO的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，作OB 的平行线，把
OP
xOA
yOB
uuur
uur
uuur
中x 、y 所满足的不等式表示出来，然后作出不等式组所表示的可行域，并计算出可行域在直线
3
y
x
的右下侧部分的面积即可.
【详解】如下图，过P 作
//
MN OB ，交AO的延长线于M ，交AB 的延长线于N ，
设OM
mAO
uuur
uuur ，MP
nMN
uuur
uuur ，
0
m
，0
1
n
，
则
OP
OM
MP
mAO
nMN
mAO
n AM
AN
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
1
1
nAO
n
m
AB
AO
mAO
n
m OB
uuur
uuur
uuur
uuur
uuur
，
所以
1
x
m
y
n
m
，得
0
0
1
1
x
y
n
x
，所以
0
0
1
x
y
x
y
.
作出不等式组
0
0
1
3
x
y
x
y
y
x
对应的可行域，如下图中阴影部分所示，
故所求面积为1
1
7
3 3
2 1
2
2
2
，故选：A.
3.如图,OM
AB
，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且OP
xOA
yOB
.当
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1
2
x
时，y 的取值范围是（
）
A．
0
，
B．1 3
2 2
，
C．1
2
，
D．
1 3
2 2
，
【答案】B
【分析】根据向量加法的平行四边形法则，OP 为平行四边形的对角线，该四边形应是以OB 与OA 的反向延长线为两
邻边，当
1
2
x
时，要使P 点落在指定区域内，即P 点应落在DE 上，得到y 的取值范围.
【详解】
如图，OM
AB
，
点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动，
且OP
xOA
yOB
uuur
uur
uuur
.，由向量加法的平行四边形法则，OP 为平行四边形的对角线，
该四边形应是以OB 与OA 的反向延长线为两邻边，
当
1
2
x
时，要使P 点落在指定区域内，即P 点应落在DE 上，
1
3
,
2
2
CD
OB CE
OB
，y 的取值范围为
1 3
2 2
，
.故选：B
【题型十五】向量超难压轴小题
【典例分析】
已知平面向量, ,
a b c
，满足|
| 2,|
| 1,
b
a
b
c
a
b
且
2
1
，若对每一个确定的向量a
，记| |
c
的最小值
为m ，则当a
变化时，m 的最大值为（
）
A．1
4
B．1
3
C．1
2
D．1
【答案】B
【分析】
根据题意,建立平面直角坐标系.令
,
OP
a OB
b
OC
c
. E 为OB 中点.由
1
a b
即可求得P 点的轨迹方程.将
c
a
b
变形,结合
2
1
及平面向量基本定理可知
,
,
P C E 三点共线.由圆切线的性质可知| |
c
的最小值m 即
为O 到直线PE 的距离最小值,且当PE 与圆M 相切时, m 有最大值.利用圆的切线性质及点到直线距离公式即可求得
直线方程,进而求得原点到直线的距离,即为m 的最大值.
【详解】
根据题意,|
| 2,
b
设
,
,
2,0
OP
a
x y
OB
b
,
,
1,0
OC
c E
则
2
b
OE
由
1
a b
代入可得
2
2
2
1
x
y
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即P 点的轨迹方程为(
)
2
2
2
1
x
y
+
+
=
又因为c
a
b
,变形可得
2
2
b
c
a
,即
2
OC
OP
OE
,且
2
1
所以由平面向量基本定理可知
,
,
P C E 三点共线,如下图所示:
所以| |
c
的最小值m 即为O 到直线PE 的距离最小值。根据圆的切线性质可知,当PE 与圆M 相切时, m 有最大值
设切线PE 的方程为
1
y
k x
,化简可得kx
y
k
0
由切线性质及点M 到直线距离公式可得
2
2
1
1
k
k
k
,化简可得
2
8
1
k
即
2
4
k
所以切线方程为
2
2
0
4
4
x
y
或
2
2
0
4
4
x
y
所以当a
变化时, O 到直线PE 的最大值为
2
2
2
4
1
3
2
1
4
m
即m 的最大值为1
3
故选:B
【变式演练】
1.已知向量m，n，若
1
m
，
2
2
m
n
，则m
n
n
的最大值为(
)
A．
5
B．10
C．4
D．5
【答案】A
【分析】
设
(1,0),
( , )
m
n
x y
，由
2
2
m
n
可得点( , )
x y 的轨迹方程，再对m
n
n
两边平方，利用一元二次函数的性
质求出最大值，即可得答案.
【详解】
设
(1,0),
( , )
m
n
x y
，
2
(1
2 , 2 )
m
n
x
y
，
∵
2
2
m
n
，∴
2
2
(1
2 )
( 2 )
2
x
y
2
2
(1
2 )
( 2 )
4
x
y
，
整理得：
2
2
1
(
)
1
2
x
y
.
∵
2
2
2
2
7
3
(
1)
4
4
m
n
n
x
y
x
y
x
x
，
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∴
2
7
3
7
3
5
7
3
(
)
2 (
)(
)
2 (
)(
)
4
4
4
4
2
4
4
m
n
n
x
x
x
x
x
x
，
当
1
2
x
时，
2
(
)
m
n
n
的最大值为5 ，∴m
n
n
的最大值为
5 .故选：A.
2.正方形ABCD 的边长为2，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点P 满足
2
2
OP
，若AP
mAB
nAD
，其中
,
m nR ，则2
1
2
2
m
n
的最大值是(
)
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】
先以O 为坐标原点，平行于边AD 为x 轴，转化条件可得
1
2
y
m
，
1
2
x
n
，再把2
1
2
2
m
n
转化为点P 与点
3, 2
连线的斜率利用圆的切线性质即可得解.
【详解】
如图建系：
正方形ABCD 的边长为2，
0,2
AB
，
2,0
AD
，设点
,
P x y ，
1,
1
AP
x
y
，又AP
mAB
nAD
，
1
2
y
m
，
1
2
x
n
，2
1
2
2
2
3
m
y
n
x
，
又动点P 满足
2
2
OP
,
2
2
1
2
x
y
，取点
3, 2
Q
，
+2
3
PQ
y
k
x
,
则直线
:
2
3
PQ
PQ y
k
x
，当直线PQ 与圆
2
2
1
2
x
y
相切时
PQ
k
满足
2
3
2
2
2
1
PQ
PQ
k
k
,
解得
7
1
17
PQ
k
或
，2
1
2
2
m
n
的最大值为1.故选：A.
3.已知平面向量a
，b
满足
2
4
a
b
a b
，则对任意共面的单位向量e
，a e
b e
的最大值是（
）
A．2 7
B．2 3
C．3
D．2
【答案】B
【分析】根据条件可求出向量,a b
的夹角为60，a e
, b e
分别表示向量a
，b
在向量e
上的投影长度，然后用几
何意义求解.
【详解】
2
2
4
a
b
a b
,得
=4
a
，
2
b
，
1
= 2
a b
.所以
=60
a b
，
.
设
,
a
OA b
OB
,则
4,
2,
60
OA
OB
AOB
,则由余弦定理有
2
2
4
2
2 2 4 cos60
2 3
AB
.
a e
, b e
分别表示向量a
，b
在向量e
上的投影长度当e
a
时，
3
a e
b e
.
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当e
b
时如图（1），a e
b e
= 2 3 .当e
与a
，b
的夹角均为锐角时,如图（2）
1
|
|
a e
OA
,
1
|
|
b e
OB
,则
1
1
|
| |
| =2 3
a e
b e
A B
AB
,
(当e
与AB
平行时，取得等号)
当e
与a
，b
的夹角均为钝角时,
(
)
(
)
a e
b e
a
e
b
e
，
则e
与a
，b
的夹角均为锐角，同理可得
=2 3
a e
b e
,
当e
与a
，b
的夹角一个为锐角，另一为钝角时，设当e
与b
的夹角为钝，如图（3）
则b e
等于向量b
的相反向量在e
的相反向量上的投影的长，即
2
|
|
b e
OB
,
所以
1
2
|
| |
| =2 3
a e
b e
A B
AB
综上
|2 3
a e
b e
,故选：B.
1．（2022·全国·高考真题）在ABC
中，点D 在边AB 上，
2
BD
DA
．记CA
m CD
n
，
，则CB
（
）
A．3
2
m
n
B．2
3
m
n
C．3
2
m
n
D．2
3
m
n
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D 在边AB 上，
2
BD
DA
，所以
2
BD
DA
，即
2
CD
CB
CA
CD
，
所以CB
3
2
3
2
CD
CA
n
m
2
3
m
n
．
故选：B．
2．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形ABCD，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点（如图所示），设AB
a
，AD
b
，
则EF
等于（
）
A．
1
2 a
b
B．
1
2 a
b
C．
1
2 b
a
D．1
2 a
b
【答案】A
【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】连结AC ，则AC 为ABC
的中位线，
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1
1
1
2
2
2
EF
AC
a
b
，
故选：A
3．（·山东·高考真题）如下图，M 是线段OB 的中点，设向量OA
a
，OB
b
，那么AM
能够表示为（
）
A．
1
2
a
b
B．
1
2
a
b
C．
1
2
a
b
D．
1
2
a
b
【答案】B
【分析】由向量的线性运算，可得解
【详解】由题意，
1
2
AM
OM
OA
b
a
．故选：B
4．（·湖南·高考真题（理））已知,a b
是单位向量，
0
a b
.若向量c
满足
1,
c
a
b
c
则
的取值范围是（）
A．
2-1 ,
2+1
，
B．
2-1,
2+2
，
C．1,
2+1
，
D．1,
2+2
，
【答案】A
【详解】因为
1
c
a
b
，
(
)
1
c
a
b
，做出图形可知，当且仅当c与(
)
a
b
方向相反且
1
c
a
b
时，c取到
最大值；最大值为2 1
；当且仅当c与(
)
a
b
方向相同且
1
a
b
c
时，c取到最小值；最小值为2 1
.
5．（天津·高考真题（理））已知
为等边三角形，AB=2，设点P，Q 满足
，
，
，
若
3
2
BQ CP
，则
=
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设
,
,
2,
,
,
3
AB
a AC
b
a
b
a b
且
(1
)
,
,
BQ
AQ
AB
b
a CP
AP
AC
a
b
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2
3
1
[(1
)
] (
)
2
2
2
,
.
2
2
BQ CP
b
a
a
b
6．（·广东·高考真题（理））在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交
于点F，若AC
a
，BD
b
，则AF
A．1
1
4
2
a
b
B．2
1
3
3
a
b
C．1
1
2
4
a
b
D．1
2
3
3
a
b
【答案】B
【分析】利用平面几何知识求解
【详解】如图，可知
2
2
2 (
)
3
3
3
AF
AC
CF
AC
CD
AC
AB
AC
AO
OB
=
2 1
1
2 1
1
2
1
3 2
2
3 2
2
3
3
AC
AC
BD
a
a
b
a
b
，选B.
7．（·安徽·高考真题（理））在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点
,
A B 满足
，则点集
|
,
1, ,
P OP
OA
OB
R
所表示的区域的面积是
A．2 2
B．2 3
C．4 2
D．4 3
【答案】D
【详解】
，则知OAB
是等边三角形，以O 为直角坐标系原点，OA在x 轴，则
(2,0), (1, 3)
A
B
，
当
0,
0
，P 表示的区域是下图中的①；
当
0,
0
，P 表示的区域是下图中的②；
当
0,
0
，P 表示的区域是下图中的③；
当
0,
0
，P 表示的区域是下图中的④；
则P 表示的区域就是图中的平行四边形，其面积为
1
4
3
2
4 3
2
S
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8．（·全国·高考真题（理））设a b c
、、是单位向量，且·
0
a b
＝，则
a
c
b
c
的最小值为
A．2
B．2
2
C．1
D．1
2
【答案】D
【分析】根据向量的乘法运算展开,结合向量的数量积运算和夹角的有界性,即可求得最小值.
【详解】
, ,
a b c
是单位向量
a
c
b
c
2
·
(
)
b
a
a
c
c
b
0
1
a
b
c
1
2cos
,
a
b c
1
2
故选D
9．（2019·江苏·高考真题）如图，在ABC
中，D 是BC 的中点，E 在边AB 上，BE=2EA，AD 与CE 交于点O .若
6
AB AC
AO EC
，则AB
AC 的值是_____.
【答案】
3 .
【分析】由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.
【详解】如图，过点D 作DF//CE，交AB 于点F，由BE=2EA，D 为BC 中点，知BF=FE=EA,AO=OD.
3
6
3
2
AO EC
AD AC
AE
AB
AC
AC
AE
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2
2
3
1
3
1
1
2
3
2
3
3
AB
AC
AC
AB
AB AC
AB
AC
AB AC
2
2
2
2
3 2
1
1
3
2 3
3
2
2
AB AC
AB
AC
AB AC
AB
AC
AB AC
，
得
2
2
1
3
,
2
2
AB
AC
即
3
,
AB
AC
故
3
AB
AC
.
10．（陕西·高考真题（理））如图，平面内有三个向量OA
、OB
、OC
,其中与OA
与OB
的夹角为120，OA
与OC
的夹
角为30,且|
| |
1
OA
OB
，|
| 2 3
OC
，若
(
)
，
OC
λOA
μOB λ
μ
R
,则
的值为_________.
【答案】6
【详解】
2
OC
λOA
μOB
OC OA
λOA
μOB OA
2
OC OB
λOA OB
μOB
3
1
2 3
(
)
4
2
2
,
6
2
1
0
2
λ
μ
λ
λ
μ
μ
λ
μ
故答案为：6
11．（江西·高考真题（理））如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB、AC 于不同的两点
M、N,若
,则m+n 的值为_________．
【答案】2
【详解】略
12．
（2021·天津·高考真题）在边长为1 的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE
AB
且交AB 于点E．
//
DF AB
且交AC 于点F,则| 2
|
BE
DF
的值为____________；(
)
DE
DF
DA
的最小值为____________．
【答案】
1
11
20
【分析】设BE
x
，由
2
2
2
(2
)
4
4
BE
DF
BE
BE DF
DF
可求出；将(
)
DE
DF
DA
化为关于x 的关系式即可求出最
值.
【详解】设BE
x
，
1
0, 2
x
，
ABC
为边长为1 的等边三角形，DE
AB
，
30 ,
2 ,
3 ,
1 2
BDE
BD
x DE
x DC
x
，
//
DF AB，
DFC
为边长为1
2x
的等边三角形，DE
DF
，
2
2
2
2
2
(2
)
4
4
4
4 (1
2 ) cos0
(1
2 )
1
BE
DF
BE
BE DF
DF
x
x
x
x
，
| 2
| 1
BE
DF
，
2
(
)
(
) (
)
DE
DF
DA
DE
DF
DE
EA
DE
DF EA
2
2
2
3
11
( 3 )
(1 2 ) (1
)
5
3
1
5
10
20
x
x
x
x
x
x
，所以当
3
10
x
时，(
)
DE
DF
DA
的最小值为11
20 .
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故答案为：1；11
20 .
13．（2020·天津·高考真题）如图，在四边形ABCD中，
60 ,
3
B
AB
，
6
BC
，且
3
,
2
AD
BC
AD AB
，
则实数的值为_________，若
,
M N 是线段BC 上的动点，且|
| 1
MN
，则DM DN
的最小值为_________．
【答案】
1
6
13
2
【分析】可得
120
BAD
，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建
立平面直角坐标系，设点
,0
M x
，则点
1,0
N x
（其中0
5
x
），得出DM DN
关于x 的函数表达式，利用二次函
数的基本性质求得DM DN
的最小值.
【详解】
AD
BC
，
//
AD BC
，
180
120
BAD
B
，
cos120
AB AD
BC AB
BC
AB
1
3
6
3
9
2
2
，解得
1
6
，
以点B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴建立如下图所示的平面直角坐标系xBy ，
6
6,0
BC
C
，
,
∵
3,
60
AB
ABC
，∴A 的坐标为
3 3 3
,
2
2
A
,
∵又∵
1
6
AD
BC
,则
5 3 3
,
2
2
D
，设
,0
M x
，则
1,0
N x
（其中0
5
x
），
5
3 3
,
2
2
DM
x
，
3
3 3
,
2
2
DN
x
，
2
2
2
5
3
3 3
21
13
4
2
2
2
2
2
2
DM DN
x
x
x
x
x
，
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所以，当
2
x
时，DM DN
取得最小值13
2 .
故答案为：1
6 ；13
2 .
1.（2023·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD中，,
M N 分别是
,
AD CD 的中点，BM
a
，BN
b
，则BD
（
）
A．3
2
4
3
a
b
B．2
2
3
3
a
b
+
r
r
C．2
3
3
4
a
b
D．3
3
4
4
a
b
【答案】B
【分析】设
,
AB
m AD
n
，根据向量的线性运算，得到
1
1
(
)
(
)
2
2
BD
x
y n
x
y m
，结合BD
n
m
，列出方程组，求
得,x y的值，即可求解.
【详解】如图所示，设
,
AB
m AD
n
，且BD
xa
yb
uuur
r
r
，
则
1
1
1
1
(
)
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
BD
xa
yb
x
n
m
y
n
m
x
y n
x
y m
，
又因为BD
n
m
，
所以
1
1
2
1
1
2
x
y
x
y
，解得
2
2
,
3
3
x
y
，所以
2
2
3
3
BD
a
b
.
故选：B.
2.（2022·全国·高三专题练习）如图平面四边形ABCD 中，
3
,
3
AD
AE BC
BF
，则EF
可表示为（
）
A．1
1
3
3
AB
DC
B．2
2
3
3
AB
DC
C．1
2
3
3
AB
DC
D．2
1
3
3
AB
DC
【答案】D
【分析】利用向量的线性运算的几何表示即得.
【详解】∵
3
,
3
AD
AE BC
BF
，∴2
0,2
0
EA
ED
BF
CF
，∵
,2
2
2
2
EF
EA
AB
BF
EF
EA
AB
BF
，
又EF
ED
DC
CF
，
∴3
2
2
2
2
EF
EA
AB
BF
ED
DC
CF
AB
DC
，即
2
1
3
3
EF
AB
DC
.故选：D.
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3.（2023·全国·高三专题练习）已知ABC
中，点D 为线段BC （不包括端点）上任意一点，且实数x，y 满足
2
AD
xAB
yAC，则1
1
x
y
的最小值为（
）
A．3 2 2
B．6
C．4 2
D．4 6
【答案】A
【分析】由已知可得
2
1
x
y
，所以1
1
1
1 (
2 )
x
y
x
y
x
y
，化简后利用基本不等式可求得其最小值
【详解】因为点D 为线段BC （不包括端点）上任意一点，且实数x，y 满足
2
AD
xAB
yAC，
所以
2
1
x
y
，
0,
0
x
y
，所以1
1
1
1 (
2 )
x
y
x
y
x
y
2
3
y
x
x
y
2
3
2
3
2 2
y x
x
y
，当且仅当2y
x
x
y
，即
2
2
2
1,
2
x
y
时取等号，
所以1
1
x
y
的最小值为3 2 2
，故选：A
4.（2023·全国·高三专题练习）如图，在△ABC 中，点D 是线段BC 上的动点（端点除外），且AD
xAB
yAC
，则9
1
x
y
的最小值为（
）
A．16
B．17
C．18
D．19
【答案】A
【分析】由题意可得
1
x
y
，则9
1
9
1 (
)
x
y
x
y
x
y
，化简后可利用基本不等式可求得结果
【详解】因为点D 是线段BC 上的动点（端点除外），且AD
xAB
yAC
，
所以
1
x
y
，且
0,
0
x
y
，所以9
1
9
1 (
)
x
y
x
y
x
y
9
9
1
y
x
x
y
9
10
2
16
y x
x
y
，当且仅当9y
x
x
y
，即
3
1
,
4
4
x
y
时，取等号，
所以9
1
x
y
的最小值为16，故选：A
5.如图，在
ABC
中，
1
3
AN
NC
，P 是BN 上的一点，若
2
2
9
9
AP
m
AB
BC
，则实数m 的值为(
)
A．1
9
B．1
3
C．1
D．3
辽宁省庄河市高级中学2019-2020 学年高三下学期期末考试数学（文）试题
【答案】A
因为
2
2
9
9
AP
m
AB
BC
2
9
mAB
AC
，设BP
tBN
，而
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3
1
(
)
(
)
(1
)
4
4
AP
AB
BP
AB
t BC
CN
AB
t BC
AC
t AB
t AC
，所以
1
m
t
且
2
4
9
t
，故
8
1
1
1
9
9
m
t
，应选答案A．
6.给定两个长度为1 的平面向量OA
和OB
，它们的夹角为90，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若
OC
xOA
yOB
，其中,
x y
R
，则3
5
x
y
的最大值为（
）
A．
34
B．5
C．
37
D．6
【答案】A
【分析】如图所示，建立直角坐标系．可得
( , )
OC
xOA
yOB
x y
，设
cos , sin
C
（
0 , 2
）．可得
3
5
3cos
5sin
34 sin
x
y
，其中
5
3
cos
,sin
34
34
．利用三角函数性质即可得出最值．
【分析】解：如图所示，建立直角坐标系．
1, 0 ,
0, 1
A
B
．
( , )
OC
xOA
yOB
x y
，设
cos , sin
C
（
0 , 2
）．
则
3
5
3cos
5sin
34 sin
x
y
，其中
5
3
cos
,sin
34
34
．
∴3
5
34
x
y
，当且仅当
sin
1
时取等号．
故选A．
7. 如图，
Rt ABC
中，
P 是斜边BC 上一点，且满足：
1
2
BP
PC
, 点
,
M N 在过点P 的直线上，若
,
AM
AB AN
AC
,( ,
0)
,则
2
的最小值为（
）
A．2
B．8
3
C．3
D．10
3
【答案】B
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【解析】
2
1
2
1
3
3
3
3
AP
AB
AC
AM
AN
，因为
,
,
M N P 三点共线，所以2
1
1
3
3
，因此
2
1
4
4
4
4
8
2
2
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
，选B.8.
8.（2021 南京、盐城一模）在△ABC 中，已知
3
AB
，
3
C
，则CA CB
的最大值为
.
解析：设D 是AB 的中点，连接CD，点O 是△ABC 的外心，连接DO 并延长交圆O 于
'
C ，
由△
'
ABC 是等边三角形，
3
3
'
2
2
AD
C D
，
则
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
'
2
4
2
4
2
CA CB
CD
DA
CD
C D
所以
max
3
2
CA CB
.
9.设G 为等边ABC
的重心，过G 作直线l 分别交
,
AB AC（不与端点重合）于
,
P Q ，若AP
AB
，AQ
AC
，
若PAG
与QAG
的面积之比为2
3
，则（
）
A．1
3
B．2
3
C．3
4
D．5
6
【答案】D
【解析】连接AG 并延长，则通过BC 的中点M ，过
,
P Q 分别向AG 所在直线作垂线，垂足分别为
,
D E ，如图所示，
由于PAG
与
QAG
面积比为2
3
，于是得到
2
3
PD
QE
，于是根据三角形相似可知
2
3
PG
GQ
，所以
2
5
PG
PQ
，则
2
5
AG
AP
PG
AP
AQ
AP
，即
3
2
3
2
5
5
5
5
AG
AP
AQ
AB
AC
，又根据G 为ABC
的重心，所
以
2
1
3
3
AG
AM
AB
AC
，根据待定系数法有2
1
5
3
，所以
5
6
，故选择D.
10.已知ABC
的重心为G，经过点G 的直线交AB 于D，交AC 于E，若AD
AB
uuur
uuur ，AE
AC
，则1
1
________.
【答案】3
【分析】先由向量的线性运算求得
1
1
3
3
AG
AD
AE
，再由G，D，E 三点共线得1
1
1
3
3
，即可求得1
1
3
.
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【详解】
如图，设F 为BC 的中点，则
2
1
3
3
AG
AF
AB
AC
，又
1
AB
AD
uuur
uuur
，
1
AC
AE
，
则
1
1
3
3
AG
AD
AE
，又G，D，E 三点共线，∴1
1
1
3
3
，即1
1
3
.
故答案为：3.
11.已知�是△���的外心，∠�= 45∘，则��Ԧ
ሬሬሬሬ= ���Ԧ
ሬሬሬሬ+ ���Ԧ
ሬሬሬሬ(�, �∈�)，则�+ �的取值范围是(
)
A．[ −
2,
2]
B．[ −
2, 1）
C．[ −
2, −1]
D．(1,
2]
【答案】B
【解析】
由题意∠���= 90°，以��, ��为�, �轴建立直角坐标系，如图，不妨设�(1,0), �(0,1)，则�在圆O 上优弧AB 上，设
�(cos�, sin�)，则�∈(
�
2 , 2�)，显然��Ԧ
ሬሬሬሬ= cos���Ԧ
ሬሬሬሬ+ sin���Ԧ
ሬሬሬሬ，即�= cos�, �= sin�，�+ �= cos�+ sin�=
2sin(�+
�
4 )，
由于�∈(
�
2 , 2�)，所以�+
�
4 ∈(
3�
4 ,
9�
4 )，sin(�+
�
4 ) ∈[ −1,
2
2 )，所以�+ �∈[ −
2, 1)，故选B
12.已知非零向量��Ԧ
ሬሬሬሬ和��Ԧ
ሬሬሬ满足(
��Ԧ
ሬሬሬሬ
|��Ԧ
ሬሬሬሬ| +
��Ԧ
ሬሬሬሬ
|��Ԧ
ሬሬሬሬ| )•��Ԧ
ሬሬሬሬ= 0，且
��Ԧ
ሬሬሬሬ
|��Ԧ
ሬሬሬሬ| ∙
��Ԧ
ሬሬሬሬ
|��Ԧ
ሬሬሬሬ| =
1
2，则����为（
）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．三边均不相等的三角形
【答案】A
【解析】
��Ԧ
ሬሬሬሬ
|��Ԧ
ሬሬሬሬ|即��Ԧ
ሬሬሬሬ方向上的单位向量，
��Ԧ
ሬሬሬሬ
|��Ԧ
ሬሬሬሬ|即��Ԧ
ሬሬሬ方向上的单位向量，向量
��Ԧ
ሬሬሬሬ
|��Ԧ
ሬሬሬሬ| +
��Ԧ
ሬሬሬሬ
|��Ԧ
ሬሬሬሬ|在∠���的平分线上，由(
��Ԧ
ሬሬሬሬ
|��Ԧ
ሬሬሬሬ| +
��Ԧ
ሬሬሬሬ
|��Ԧ
ሬሬሬሬ| ) ⋅
��Ԧ
ሬሬሬሬ= 0 可知��= ��，由
��Ԧ
ሬሬሬሬ
|��Ԧ
ሬሬሬሬ| ⋅
��Ԧ
ሬሬሬሬ
|��Ԧ
ሬሬሬሬ| = 1 ⋅1 ⋅cos�=
1
2 , �=
π
3，所以三角形为等边三角形.
13.已知在ABC
中，
,
6
AB
AC BC
，点H 为ABC
的垂心，则BH BC
=________．
【答案】18
【分析】延长AH 交BC 于点D ，根据AB
AC
及垂心的性质得到D 为BC 的中点，AH
BC
，再根据数量积的运算
性质即可得答案
【详解】延长AH 交BC 于点D ，因为AB
AC
，点H 为ABC
的垂心，所以D 为BC 的中点，AH
BC
，
所以
cos
BH BC
BH BC
HBC
2
1
18
2
BD BC
BC
，故答案为：18
14.如图所示，已知OAB
，由射线OA 和射线OB 及线段AB 构成如图所示的阴影区（不含边界）.已知下列四个向量：
①
1
2
OM
OA
OB ；②
2
3
1
4
3
OM
OA
OB
；③
3
3
1
4
5
OM
OA
OB ；④
4
4
8
9
9
OM
OA
OB .对于点
1
M ，
2
M ，
3
M ，
4
M
落在阴影区域内（不含边界）的点有________（把所有符合条件点都填上）
【答案】①②④
射线OM 与线段AB 的公共点记为N ，根据平面向量基本定理，可得到
(1
)
ON
tOA
t OB
，由M 在阴影区域内可得
实
1
r ，从而
(1
)
OM
rtOA
r
t OB
，且
(1
)
1
rt
r
t
r
得出结论
【详解】解：设M 在阴影区域内，则射线OM 与线段AB 有公共点，记为N ，
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则存在实数
(0,1]
t
，使得
(1
)
ON
tOA
t OB
，
且存在实数
1
r ，使得OM
rON
，从而
(1
)
OM
rtOA
r
t OB
，且
(1
)
1
rt
r
t
r
．
又由于0
1
t
，故(1
)
0
r
t
．
对于①中
1, (1
)
2
rt
r
t
，解得
3
1
3,
r
t
，满足
1
r 也满足(1
)
0
r
t
，故①满足条件．
对于②中
3
1
, (1
)
4
3
rt
r
t
，解得
13
9
,
12
13
r
t
，满足
1
r 也满足(1
)
0
r
t
，故②满足条件，
对于③
3
1
, (1
5
)
4
rt
r
t
，解得
19 ,
15
20
19
r
t
，不满足
1
r ，故③不满足条件，
对于④
, (1
8
9
)
4
9
rt
r
t
，解得
,
4
1
3
3
r
t
，满足
1
r 也满足(1
)
0
r
t
，故④满足条件．
故答案为：①②④．
15.如图，在ABC
中，
3
BAC
，
2
AD
DB
，P 为CD 上一点，且满足
1
2
AP
mAC
AB
，若ABC
的面积
为2 3 ，则AP
的最小值为(
)
A．
2
B．4
3
C．3
D．
3
【答案】D
【分析】
运用平面向量基本定理，得到m 的值，结合向量模长计算方法，建立等式，计算最值，即可．
【详解】
AP
AC
CP
AC
kCD
AC
k AD
AC
2
3
AC
k
AB
AC
2
1
1
3
2
k AB
k AC
mAC
AB
，得到
2
1
1
, 3
2
k
k
m
，所以
1
4
m
，结合
ABC
的面积为2 3 ，得到1
3
2 3
2
2
AC
AB
,得到
8
AC
AB
，所以
2
2
2
2
1
1
1
1
16
1
3
16
4
8
16
AP
AC
AB
AC
AB
AC
AC
，故选D．
