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第03 讲 基本不等式
A 夯实基础 B 相遇高考（模拟） C 素养提升
A 夯实基础
一、单选题
1．（2025·河北·三模）已知
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．9
【答案】C
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】应用常值代换结合基本不等式计算求出最小值.
【详解】由
，得
，
当且仅当
时取等号得出最小值4，
故选：C.
2．（2025·河南·三模）函数
过定点A，若
，则
的最小值为（ ）．
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】C
【知识点】对数型函数图象过定点问题、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】根据给定条件，求出点
的坐标，进而求出
的关系式，再借助＂1＂的妙用计
算作答．
【详解】当
，即
时，恒有
，即
过定点
，
因为
，所以点
在
上，
则
，且
，
于是得
，
当且仅当
，即
时取＂
＂，由
且
得：
，
所以当
时，
取得最小值8．
故选：C
3．（2025·广东·模拟预测）已知正实数
，
满足
，则
的最大值为
（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】A
【知识点】对数的运算性质的应用、基本不等式求积的最大值
【分析】根据对数的运算性质及基本不等式计算可得.
【详解】因为正实数
，
满足
，
所以
，当且仅当
，即
、
时等号成立.
故选：A
4．（2025·湖南·三模）已知点
是函数
在第一象限内的图象上的一点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】基本不等式求和的最小值
【分析】由题意得出
，
且
，利用基本不等式可求得
的最小值.
【详解】由题意可知，
，
且有
，所以
，
当且仅当
时，即当
时，等号成立，故
的最小值为
.
故选：A.
5．（2025·云南昆明·模拟预测）已知
，
，且
，则
的最小值为
（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
【答案】C
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、条件等式求最值
【分析】利用基本不等式转化为一元二次不等式即可求解．
【详解】由题意可知
，当
时等号成立，
即
，
令
，则
解得
或
舍
即
，
当且仅当
时，等号成立．
故选：C.
6．（2025·山东济宁·模拟预测）已知
，
，且
，则
的最大值
（ ）
A．12
B．
C．36
D．
【答案】D
【知识点】基本不等式求积的最大值
【分析】由条件
得
，代入
再运用均值不等式即可求出
的
最大值.
【详解】由
，得
，则
，
因为
，
，所以
当且仅当
，
时等号成立，
所以
的最大值为
，
故选：D.
7．（2025·广东·二模）若
，且
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】B
【知识点】条件等式求最值
【分析】由条件可得
，然后由基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】因为
，即
，即
，
且
，则
，
则
，
当且仅当
时，即
时，等号成立，
所以
的最小值为
.
故选：B
二、多选题
8．（24-25 高三上·内蒙古赤峰·期末）已知
，下列命题中正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】AC
【知识点】求指数函数在区间内的值域、基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最
小值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】根据给定条件，利用基本不等式逐项分析求解.
【详解】对于A，由
，
，得
，当且仅当
时取等号，A 正确；
对于B，由
，得
，当且仅当
时取等号，B 错
误；
对于C，由
，
，得
，
，
则
，
当且仅当
，即
时取等号，C 正确；
对于D，由
，
，得
，
，当且仅当
时取等号，D 错误.
故选：AC
三、填空题
9．（2026 高三·全国·专题练习）当
时，函数
的最大值为
．
【答案】3
【知识点】基本不等式求积的最大值
【分析】根据题意，化简得到
，结合基本不等式，即可
求解.
【详解】由
，
当且仅当
，即
时等号成立，所以
．
故答案为：.
10．（2024 高三·全国·专题练习）函数
的最小值为
【答案】3
【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值
【分析】由题意得
，则原式可化简为
，结合基本不等式，即可得答案.
【详解】因为
，则
，
所以
，
当且仅当
即
时等号成立，
故答案为：3.
【点睛】本题考查利用基本不等式求最值问题，难点在于将题干进行配凑，再求解，考查
分析理解，计算求值的能力，属基础题.
四、解答题
11．（24-25 高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）（1）已知
，求
的最小
值；
（2）若
，求
的最大值.
【答案】（1）10；（2）8
【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值
【分析】（1）将
变形为
，利用基本不等
式即可求得结果；
（2）将
变形为
，利用基本不等式即可求得结果；
【详解】（1）因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号.
所以
的最小值是10.
（2）因为
，所以
，
所以
，
当且仅当
，即
时取等号.
所以
的最大值为8.
12．（2025 高三·全国·专题练习）若正数
满足：
，
(1)求
的取值范围；
(2)求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
．
【知识点】基本（均值）不等式的应用
【分析】（1）利用基本不等式进行放缩，得到
，再通过一元二次不等式的解
法进行求解；
（2）利用基本不等式进行放缩，得到
，再通过一元二次不等式的解法
进行求解.
【详解】（1）由条件等式与基本不等式，得
，即
，
即
，解得
，所以
，当且仅当
时取等号，
所以
的取值范围为
．
（2）由条件等式与基本不等式，得
，
令
，得
，
解得
或
（舍去），即
，
所以
的取值范围为
.
13．（2025 高三下·全国·专题练习）已知
，
，
，求
的最大值．
【答案】3
【知识点】基本不等式求积的最大值、条件等式求最值
【分析】法一：由已知可得
，利用换元法令
，则得
，
解出，即可求得
的最大值；
法二：由已知可得
，则
，再利用基本不等式
即可求得
的最大值．
【详解】法一：因为
，
，
，
则
，
，
令
，
，
，即
，
解得
，
，
，
当且仅当
，即
，
时取等号，
的最大值为3．
法二：因为
，
，
，则
，
，
当且仅当
，即
，
时取等号，
的最大值为3．
B 相遇高考（模拟）
1．（2025·河南·三模）若
，
，且
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式“1”的妙用求最值
【分析】根据“1”的代换，结合基本不等式求出
的最小值，即可得出答案.
【详解】因为
，
，且
，
所以
，
当且仅当
，
，
，即
，
时等号成立，
所以
的最大值为
．
故选：A.
2．（多选）（2025·河北·二模）已知
，
，
，则下列说法正确的是
（ ）
A．
的最大值为
B．
的最小值为4
C．
的最大值为2
D．
的最小值为
【答案】AD
【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、求点到直线的距离、基
本不等式“1”的妙用求最值
【分析】利用基本不等式计算并判断A，结合常数代换可计算并判断B，C，利用两点间距
离公式和点到直线的距离公式可计算并判断D.
【详解】因为
，所以
，当且仅当
，即
，
时等号
成立，所以
的最大值为
，故A 正确；
因为
，当且仅当
，即
，
时等号成立，
所以
的最小值为6，故B 错误；
因为
，当且仅当
，
时等号成立，
所以
的最小值为2，故C 错误；
可以看作直线
落在第一象限内的点到原点距离的平方，易知最短距离
为
，
所以
的最小值为
，故D 正确.
故选：AD.
3．（多选）（2024·四川攀枝花·一模）已知实数
，且满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由基本不等式比较大小、对数的运算
【分析】根据不等式的性质，以及基本不等式，即可判断选项.
【详解】A.由条件可知，
，则
，故A 正确；
B.
，当且仅当
时等号成立，故B 正确；
C.
，当
时等号成立，
故C 错误；
D.因为
，
，故D 正确.
故选：ABD
4．（2025·江西·二模）已知
，
，
，则
的最小值为 .
【答案】
【知识点】基本不等式求和的最小值、二次与二次（或一次）的商式的最值
【分析】由
得
，根据基本不等式得
，即可求得
的最小值.
【详解】因为
，
，
，所以
，
因为
，
所以
，当且仅当
即
（负值舍去），等号成立，
此时
，整理得
，
解得
，
（不符合题意舍去），
即当
，
时，
有最小值为
.
故答案为：
C 素养提升
1．（25-26 高三上·全国·课后作业）已知
，由此式
可得不等式
，当且仅当
时等号成立．利用此不等式求
解以下问题：设
，则
的值不可能是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式的恒成立问题
【详解】由已知可得
，而
，所以
，所以
，故
的值不可能为2．
2．（多选）（2025·四川·三模）已知集合
，则称集合为
分集．下列说法正确
的是（ ）
A．当
时，
是唯一的
分集
B．对任意
，总存在至少一个
分集
C．若是
分集，则
D．若是
分集，则
【答案】AD
【知识点】利用不等式求值或取值范围、解不含参数的一元二次不等式、基本不等式求积
的最大值、集合新定义
【分析】根据
分集的定义，利用基本不等式、求解一元二次不等式及利用不等式求取值
范围等逐一判断即可.
【详解】由
得
，当且仅当
时等号成立.
即
对于A， 当
时，则
，又
，故
，故A 正确；
对于B，
时，
，不符合
，故B 不正确；
对于C， 当
时，
，所以
，故C 不正确；
对于D，当
时，
，
又
，所以
，解得
，
.故D 正确.
故选：AD.
3．（24-25 高三下·河南·期中）设平面内两个非零向量
，
的夹角为
，定义一种运算“
”
．试求解下列问题：
(1)已知向量
，
满足
，
，
，求
的值；
(2)若向量
，
满足
，
，求证：
；
(3)已知向量
，
，
，求
的最小值．
【答案】(1)3；
(2)证明见解析；
(3)
.
【知识点】向量夹角的计算、向量新定义、数量积的运算律、基本不等式“1”的妙用求最
值
【分析】（1）利用垂直关系的向量表示及数量积的运算律求出夹角余弦，再利用新定义求
解.
（2）利用向量的夹角公式及新定义推理得证.
（3）利用（2）的结论，结合基本不等式求出最小值.
【详解】（1）由
，
，
，得
，
解得
，
，
，
所以
.
（2）由
，得
，
则
，
，
所以
.
（3）由（2）得
，而
，
，
于是
，
，
，当且仅当
，即
时取等号；
所以
的最小值是
.
