第23 讲 不等式恒成立 · 讲义
一、考情分析......................................................................................................................................1
二、知识清单......................................................................................................................................2
三、典题精练......................................................................................................................................3
考点一：直接法（构造函数法）..........................................................................................3
考点二：分离参数法..............................................................................................................5
考点三：端点效应与必要性探路..........................................................................................6
考点四：同构法与构造函数技巧..........................................................................................6
考点五：洛必达法则与max/min 函数问题..........................................................................7
四、高考真题......................................................................................................................................8
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份
题号与
题型
分值
考察类型
考察内容
2024
第18 题
解答
17 分
直接
利用端点效应（必要性探路）与分离参数法解决
不等式恒成立问题
2024
第6 题
单选
5 分
间接
利用分段函数的单调性转化为不等式恒成立求参
数范围
2025
第19 题
解答
17 分
直接
三角函数不等式恒成立求参数最值，结合特值法
（必要性探路）
2026
第6 题
单选
5 分
间接
已知函数最值求参数，转化为不等式恒成立及极
值点问题
近三年全国一卷对不等式恒成立问题的考查较为频繁，常作为压轴题出现，分值较高.
考查形式既有直接的函数不等式恒成立求参数，也有结合函数单调性、最值的间接考查.
2. 命题角度与特色
（1）核心考点：不等式恒成立求参数范围、端点效应（必要性探路）、分离参数法、
同构法.
（2）命题趋势：常作为解答题最后一题或单选最后一题出现，综合性强，常与函数
单调性、极值、最值、零点问题交汇考查.近年来对“必要性探路（端点效应/特值法）”
的考查频率显著增加.
（3）试题特点：计算量大，逻辑推理要求高.往往需要先通过特殊值或端点值缩小参
数范围，再进行严格的充分性证明；或者通过分离参数后构造复杂函数求最值.
3. 备考策略
（1）熟练掌握分离参数法和构造函数法，能够根据解析式结构灵活选择解题路径.
（2）强化“必要性探路”意识，遇到复杂恒成立问题时，优先尝试代入特殊点（如
端点、极值点）获取参数的必要条件.
（3） 提升复杂函数的求导与最值分析能力，熟练运用同构、洛必达法则、隐零点等
高级技巧处理超越方程和不等式.
二、知识清单
1. 利用导数研究不等式恒成立问题的求解策略：
（1） 通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的
取值范围；
（2） 利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题；
（3） 根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很
少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求
解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别.
2. 利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1） ∀x∈D，m≤f ( x)⇔m≤f ( x)min；
（2） ∀x∈D，m≥f ( x)⇔m≥f ( x)max；
（3） ∃x∈D，m≤f ( x)⇔m≤f ( x)max；
（4） ∃x∈D，m≥f ( x)⇔m≥f ( x)min.
3. 不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：
一般地，已知函数y = f ( x)，x∈[a,b]，y = g( x)，x∈[c ,d ].
（1） 若∀x1∈[a,b]，∀x2∈[c ,d ]，有f ( x1)<g( x2)成立，则f ( x)max< g( x)min；
（2） 若∀x1∈[a,b]，∃x2∈[c ,d ]，有f ( x1)< g( x2)成立，则f ( x)max<g( x)max；
（3） 若∃x1∈[a,b]，∃x2∈[c ,d ]，有f ( x1)<g( x2)成立，则f ( x)min<g( x)max；
（4） 若∀x1∈[a,b]，∃x2∈[c ,d ]，有f ( x1)= g( x2)成立，则f ( x)的值域是g( x)的
值域的子集.
4. 法则1 若函数f ( x)和g( x)满足下列条件：
（1） lim
x→a f ( x)=0及lim
x→a g( x)=0；
（2） 在点a的去心邻域(a- ε ,a)∪(a,a+ ε)内，f ( x)与g( x)可导且g
'( x)≠0；
（3）
lim
x→a f
'( x)
g
'( x)
=l，
那么
lim
x→a f ( x)
g( x)
=
lim
x→a f
'( x)
g
'( x)
=l.
法则2 若函数f ( x)和g( x)满足下列条件：
（1） lim
x→∞f ( x)=0及lim
x→∞g( x)=0；
（2） ∃A >0，f ( x)和g( x)在(-∞,- A )与( A ,+ ∞)上可导，且g
'( x)≠0；
（3）
lim
x→∞f
'( x)
g
'( x)
=l，
那么
lim
x→∞f ( x)
g( x)
=
lim
x→∞f
'( x)
g
'( x)
=l.
法则3 若函数f ( x)和g( x)满足下列条件：
（1） lim
x→a f ( x)=∞及lim
x→a g( x)=∞；
（2） 在点a的去心邻域(a- ε ,a)∪(a,a+ ε)内，f ( x)与g( x)可导且g
'( x)≠0；
（3）
lim
x→a f
'( x)
g
'( x)
=l，
那么
lim
x→a f ( x)
g( x)
=
lim
x→a f
'( x)
g
'( x)
=l.
【易错提醒】 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：
（1） 将上面公式中的x→a，x→+∞，x→-∞，x→a
+，x→a
-洛必达法则也成立.
（2） 洛必达法则可处理0
0，∞
∞，0⋅∞，1
∞，∞
0，0
0，∞-∞型.
（3） 在着手求极限以前，首先要检查是否满足0
0，∞
∞，0⋅∞，1
∞，∞
0，0
0，∞-∞型
定式，否则滥用洛必达法则会出错.当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这
时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限.
（4） 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.
lim
x→a f ( x)
g( x)
=
lim
x→a f
'( x)
g
'( x)
=
lim
x→a f
″( x)
g
″( x)
，如满足条件，可继续使用洛必达法则.
三、典题精练
考点一：直接法（构造函数法）
考法1：利用导数分析单调性与极值求参数范围
例1.（2026·黄山·一模）已知函数f ( x)=(2 x -m)ln x , g( x)=2nx -mn，若f ( x)≥g( x)恒成立，
则m
n 的取值范围是（ ）
A. [-∞,- 1
e ]∪[e+1,+ ∞)
B. [-∞,- 1
e ]∪[2e,+∞)
C. (-∞,0)∪[e+1,+ ∞)
D. (-∞,0)∪[2e,+ ∞)
考法2：结合函数奇偶性与对称性求参数范围
例2.（2025·深圳高中园·一模）已知函数f ( x)= ln(e
2 x+1)-ax -| x |，其中a∈R．
（1） 当a=0时，讨论函数f ( x)的单调性；
（2） 当a=1时，证明：曲线f ( x)是轴对称图形；
（3） 若f ( x)≤ln 2在R上恒成立，求a的取值范围．
考法3：结合切线方程与图象上下关系求参数范围
例3.（2025·萍乡实验·三月一模）已知函数f ( x)=( x -1)e
x -a x
2-1,a∈R．
（1） 当a=0时，求函数f ( x)的图象在点(1,f （1）)处的切线方程；
（2） 讨论函数f ( x)的单调性；
（3） 设g( x)= ln x -e
x - x
2+ x，若f ( x)≥g( x)，求实数a的取值范围．
考法4：结合二次函数、基本不等式或绝对值求参数范围
例4.（2026·新未来·五月测评）已知函数f ( x)=(ln x -ax -bx)( x
3-ax +2)，若存在a∈R，
使得f ( x)≤0对任意x∈(0,+∞)恒成立，则实数b的取值范围为＿＿＿＿＿＿．
考法5：双变量不等式恒成立与极值点偏移
例5.（2025·深圳中学·一阶）已知函数f ( x)=e
2 x -ae
x+6 x ,a∈R．
（1） 当a=8时，求函数f ( x)的单调区间；
（2） 设函数g( x)= ln x +ax +1
x
-ae
x+6 x，若函数g( x)与函数f ( x)的图象恰有一个公共点，
求实数a的值；
（3） 若函数f ( x)有两个极值点x1, x2，且f ( x1)+ f ( x2)<me
x1+me
x2恒成立，求实数m的取
值范围．
考法6：结合存在性问题或反证法证明不等式
例6.（2025·沧州运东·二模）已知关于x的函数y = f ( x), y = g( x)与h( x)=kx +b(k ,b∈R)在
区间D上恒有f ( x)≥h( x)≥g( x)．
（1） 若f ( x)= x
2+2 x , g( x)=- x
2+2 x , D =(-∞,+∞)，求h( x)的表达式；
（2） 若f ( x)= x
2- x +1, g( x)=k ln x ,h( x)=kx -k , D =(0,+ ∞)，求k的取值范围；
（3） 若
f ( x)= x
4-2 x
2, g( x)= 4 x
2-8,h( x)= 4(t
3-t )x -3t
4+2t
2(0<|t |≤❑√2), D =[m,n]⊆[- ❑√2,❑√2]，
求证：n-m≤❑√7．
【考点一 方法总结】
1. 处理双变量不等式恒成立问题时，若能将其转化为两个单调性相同的函数乘积大
于等于零的形式，则这两个函数必然具有相同的零点，从而将双变量转化为单变量函数求
最值.
2. 面对复杂的乘积形式不等式恒成立，先分析分母或部分因式的符号，将其转化为
分子或剩余因式恒大于等于零.再利用两个因式符号必须同步变化的特点，确定参数的临
界条件.
3. 解决“两因式乘积恒非正（或非负）”问题，核心在于判断两因式是否可能“同
解变号”.若通过代数推导排除同步变号的可能，问题即可降维为两个独立的恒成立问题.
4. 含绝对值的函数问题，首要步骤是去绝对值分段处理.在探究恒成立条件时，若正
面求解参数范围较困难，可结合导数分析单调性，并利用放缩法寻找反例.
5. 处理含有指数和对数的混合不等式时，同构法是常用的利器.通过变形将不等式转
化为具有相同结构的函数形式，再利用基本不等式e
x≥x +1进行整体放缩.
6. 处理区间长度的最值问题，常通过反证法或判别式法转化为关于参数的函数最值.
在多项式不等式恒成立中，利用特值代入（如x =0,1,-1）进行必要性探路，能快速确定
参数的可能取值.
考点二：分离参数法
考法7：全分离或半分离参数结合导数求最值
例7.（2026·枣庄·五月模拟）若∀x∈(0,+∞)，e
x
3(2mln x - 2 x
3 +1)≤x
m(m>0)，则实数m
的最大值为＿＿＿＿＿＿．
考法8：分离参数结合切线方程或换元法求参数范围
例8.（2025·深圳高中园·适应考）已知函数f ( x)= x
2+ a
x ,g( x)=2ln x + 1
x
2．
（1） 讨论函数f ( x)的单调性；
（2） 求函数g( x)的最小值；
（3） 当a=2时，证明：f ( x)ln x + 1
x
3 ≥1．
考法9：分离参数结合存在性问题或三角函数求参数范围
例9.（2026·江门·二模）已知函数f ( x)= x +2sin x +3．
（1） 求曲线y = f ( x)在点(0,f （0）)处的切线方程；
（2） 若不等式f ( x)>2❑√2sin( x + π
4 )+m对x∈[- π
2 , π
2 ]恒成立，求m的取值范围．
【考点二 方法总结】
1. 处理复杂的指数对数混合不等式，同构变形是首选.通过提取公共结构，将问题转
化为外层函数的不等式恒成立，进而确定内层函数的值域范围，实现问题的降维打击.
2. 处理复杂的超越不等式证明，多次求导是常规武器.通过不断构造新函数并求导，
直至导函数的符号易于判断，再逐层回推原函数的单调性与最值，从而完成证明.
3. 处理含有三角函数的恒成立问题，利用辅助角公式或和差角公式进行化简，然后
分离参数，构造新函数并利用导数求其在闭区间上的最值.
考点三：端点效应与必要性探路
考法10：利用端点恒成立求参数范围
例10. 已知函数f ( x)= ln(1+ x),g( x)= ax
e
x ,f
'( x)与g
'( x)分别是f ( x)与g( x)的导函数．
（1） 证明：当a=1时，方程f
'( x)= g
'( x)在(-1,0)上有且仅有一个实数根；
（2） 若对任意的x∈(0,+∞)，不等式f ( x)>g( x)恒成立，求实数a的取值范围．
考法11：利用端点不成立求参数范围
例11. 已知函数f ( x)=a ln x - x(a≠0)．
（1） 讨论函数f ( x)的极值；
（2） 当x>0时，不等式x
a
e
x -2f ( x)≥sin[ f ( x)]+1恒成立，求a的取值范围．
考法12：利用必要性探路缩小参数范围
例12.（2025·衡水中学·综合评价）已知a>0，f ( x)=(ae
x - 1
x )ln( x +b)，当x>0时，f ( x)≥0，
则a(1-b)
3的最大值为（ ）
A. 1
e
2
B. 2
e
2
C. 3
e
2
D. 4
e
2
【考点三 方法总结】
1. 利用端点处的导数值进行必要性探路，是解决恒成立求参数范围问题的常用技巧.
通过分析端点导数的符号，可初步筛选出可能的参数范围，再进行严格的充分性证明.
2. 处理复合函数不等式恒成立问题，关键是先通过导数探究外层函数的单调性与最
值，将外层函数的不等式转化为内层函数的值域限制，从而实现问题的降维.
3. 处理含有多个变量的最值问题，常通过恒成立条件寻找变量间的等量关系，从而
消元转化为单变量函数求最值.利用零点一致性得出变量间的关系是解题的关键.
考点四：同构法与构造函数技巧
考法13：利用同构法构造函数求参数范围
例13.（2025·南阳一中·三模）已知函数f ( x)= 2a
x e
2 x -1+ ln a,g( x)=2ln x +1．若f ( x)≥g( x)
恒成立，则a的最小值是＿＿＿＿＿＿．
考法14：利用特定构造函数技巧求参数范围
例14.（2025·郑州外国语·五月调研）已知函数f ( x)=e
x -e
- x -2sin x +2，若关于x的不等式
f (ln x + x
2-ax)+ f (e
x -2ln x)≥4在(0,+∞)上恒成立，则实数a的最大值为＿＿＿＿＿＿．
【考点四 方法总结】
1. 处理含有指数和对数的复杂不等式恒成立问题，通过代数变形，将不等式两边转
化为具有相同结构的函数形式，利用该函数的单调性脱去函数符号，从而将问题转化为常
规的求最值问题.
2. 利用函数的奇偶性与单调性解不等式，以及利用必要条件探路法求参数的最值，
是解决复杂函数不等式的有效手段.证明充分性时，巧妙构造基本不等式进行放缩是关键.
考点五：洛必达法则与max/min 函数问题
考法15：利用洛必达法则求参数范围
例15. 已知函数f ( x)=a ln x +bx(a,b∈R)在x = 1
2处取得极值，且曲线y = f ( x)在点
(1,f （1）)处的切线与直线x - y +1=0垂直．
（1） 求实数a,b的值；
（2） 若∀x∈[1,+ ∞)，不等式f ( x)≤(m-2)x - m
x 恒成立，求实数m的取值范围．
考法16：利用max/min 函数性质求参数范围
例16. 已知函数f ( x)= x
2- x - x ln x , g( x)= x
3-3ax +e．
（1） 证明f ( x)≥0恒成立；
（2） 用max {m,n}表示m,n中的最大值．已知函数h( x)= f ( x)
x
- x +2，记函数
φ( x)=max {h( x),g( x)}，若函数φ( x)在(0,+∞)上恰有2个零点，求实数a的取值范围．
考法17：双变量最值问题求参数范围
例17. 已知函数f ( x)= ln x ,g( x)=a x
2+bx +1，其中a,b∈R．
（1） 当a=0时，直线y = g( x)与函数y = f ( x)的图象相切，求b的值；
（2） 当a≠0时，若对任意x>0，都有f ( x)≤g( x)恒成立，求b
a的最小值．
【考点五 方法总结】
1. 当分离参数后得到的函数在端点处出现“0
0”型未定式时，可利用洛必达法则求
出极限值，从而确定参数的临界条件.
2. 处理max {h( x),g( x)}的零点问题，需分段讨论.先确定其中一个函数恒大于零的
区间，排除零点；再在剩余区间内，结合另一个函数的单调性与极值，分类讨论参数以满
足零点个数要求.
3. 处理双变量比值的最值问题，可先通过特殊点代入得到比值的一个界限，再通过
构造具体函数证明该界限可以取到.这种“猜证结合”的方法在处理复杂恒成立问题时非
常有效.
四、高考真题
1.（2024·全国一卷）已知函数f ( x)= ln
x
2- x +ax +b( x -1)
3．
（1） 若b=0，且f
'( x)≥0，求a的最小值；
（2） 证明：曲线y = f ( x)是中心对称图形；
（3） 若f ( x)>-2当且仅当1< x<2，求b的取值范围．
2.（2025·全国一卷）（1） 设函数f ( x)=5cos x -cos5 x，求f ( x)在[0, π
4 ]的最大值；
（2） 给定θ∈(0,π )，设a为实数，证明：存在y ∈[a-θ ,a+θ ]，使得cos y ≤cosθ；
（3） 若存在φ使得对任意x，都有5cos x -cos(5 x +φ)≤b，求b的最小值．
3.（2024·全国一卷）已知函数为f ( x)={
- x
2-2ax -a, x<0
e
x+ ln( x +1), x ≥0，在R上单调递增，则a取值的范
围是（ ）
A. (-∞,0]
B. [-1,0]
C. [-1,1]
D. [0,+∞)
4.（2026·全国一卷）已知函数f ( x)= x +2
e
x+a 的最大值为1，则a=（ ）
A. 1
2
B. 1
C. 3
2
D. 2
