🌈
⾼三冲刺笔记-基本不等式
📌
考点归纳：基本不等式
📍
题型训练：和定积最⼤
🌶
📍
题型训练：积定和最⼩
🌶
⼀基本不等式
:
1
.
设a
, b 是两个正数
,
则
a
+b
称为正数
a
, b 的算术平均数
,
ab 称为正数a
. b 的⼏何平均数
。
α
. 均值不等式定理
:
若ar 0
,
b 7 o
,
则
atb
≥2 ab
, 即a
+ b
≥
ab
.
eg
:
若x
> 0
,
则
X +
X
≥
2
x *
= 2
π 万
a
b
3
, 常⽤的基本不等式
:
1
a
2
+ ba
≥
2 ab
( a
.
b
ER
)
2
ab
≤a
'
+ b
=
( a
, b
σ R
)
3
ab
≤
za
+ b
(
)
"
=
4
a + b
(
P
( a > 0
,
b > 0 )
4
2
a
^ tb
≥
2
a+(
)
P
(
a
. bcR )
4
. 最值定理
:
没⼊
,
y
都为正数
, 则有
以若
x + Y
=
S
( 和为定值)
, 则当
λ= Y
时
, 积xy 取得最⼤值
(2 )
若
x
, y
= P
( 积为定值)
,
则当
x
= Y
时
,
和
xty 取得最⼩值2难
B
解
:
:
a
,
b
ER
,
atb =
1
,
:
ab
≤
a
+bP
: 4
A
解
:
∵a> 0
,
b
>
0
,
a + 2b
= 2
:
2 =
a +
2 b
,
2
aab
:
abs z
c
解:
∵x + 2 y
=
1
则
2
*
+ 4
Y
=
2
*
+ 22
Y
≥
2
2
*
,
.
2Y
=
2
2
x + zy
= 2没
题型训练：凑项/变号
🌶
c
X + y
Δ
x+ y
解
:
:
2
* + 2 Y
=
1
≥
2
2
*
. 2
Y
:
2
2
∴
α
≥
2
: 47 ,
2
xty
即2
≈
≥
2
xty
.
∴
Xty
≤
- 2
6
解
:
:
ab = atbt3
:
atbt 3
≤
4
at( )
p
. ∴
4 ( a+ b)
+
12
≤
( a+ b )
2
即
atb
(
P
- 4 (atb)
- 12
≥
0
→
" -
元= 次不等处
.
∴(a+
b +α
) (a +
b -
6
)≥0
,
“ ⼗字相乘
”
"
a+ b
≤
- 2
或
atb
≥
6
舍
)
α
解
:
∵
x +
2 y
=
3
.
2 xy
=
3
-
x
.
( 2 y )
≥
3
-
D
+ 2( )
即
x + 2 y
2 ≥
3
-
( ②+
2 y
)
2
即
( x +2 y )
α
+ 升( x+ 2 y )
- 12 ≥0
s
( x + 2 Y
- 2 ) (
x + 2 y + 6 )
≥0
.
"
X +2 y
≥
2
3
解
:
∵: λ>
"
∴
Y
=
x
-1
+
)xli
+
"
≥2
(
x 1
)
" ( xi"
+
1
= 3
7
解
:
Y
= 4 ×
- 5
+
4X
-5
t 5
≥
2
( 4X 5 )
-
4x -
5 i
+ 5
=
7
c
解:
∵: X <⑤: 4x
- 5
α 0
: Y = Hx-
2 +
4
x-5
=
( 4x
- 5 )
+
4x
- 5
l i
+ 3
=
3
- I (
5
- 4 x
)
+
5
-4x
J
≤
3
- 2
( 5
- 4x )
-
5
- 4x
1 ,
⼀什
=
1
解
:
∵x < 3 则
Y
=
X
4
+
x =
-
[ ( -
x ) +
(
-
* ) ] ≤
-
2
(
-
x ) ,
· (
-* )
=
- 4
题型训练：换元
🌶
2
解:
∵x <④
,
∴
5
- 4 x
70
1
.
∴Y
=
4x
-
1
+
4x
- 5
=
· ∴
( 5
- 4x )
+
5
- 4
X ] +
4
≤-
2 (
5 -4 x
)
5
- 4X
+ 4 = 2
什
解:
∵ab 为还且axb
1
. :
a
2 t ab
+
aca
-bs
=
a
'
- ab tab
+
a 5
+
aca
- b )
= aca
- b )
t
aca
-bj
+
ab + ab
1
'2 aca-
b-
aca
- b )
'
iaaba☆= 4
.
⼭
解
:
:
ab + aca
- b ]
= a
2
,
令
ab
= x
,
a* ab
= y
则
a* xty
∴ais
tab
tacoby
= xty +
为+
j
≥2 +
2 =
4
4
解
:
令
λ+ 2
= s
,
y +
1
:
t
,
则
Stt
=
λ ty t3
= 4
犯
y
2
5
- 2
(
1
P
+
( t
-
1 )
'
=
( S
- 4 +$
)
+
(
t
-
2
+ i
)
∵
X+ 2
⼗
y +
1
:
S
七
=
( stt )
+
( 4
+ i
)
-
6
=
( 5
+
÷
)
- 2
:
$
tt
=
4
( 4
+ t
)
( stt )
= 4
( 4
t
+
E
t 5 )
≥9
4st 4t
+
tstt
"
=
s
4
t +
+ 5
"
收
" 川的妙⽤
“
S
∴
Δ
x +2
^
+
y
+ t 1
≥9
- 2
= 4
≥,
4
4
解…
∵
Y
>
2 x
:
岁
> 2
∴令七
= *
- α
=
0
步=
tt 2
. ∴φ
2
-
2xy
+
λ
2
=
x
(
)
β
-
2 步+
1
=
L + (
)
=
-
2 (
t
+ 2 ) +
1
Xy
- 2 x
α
步
⼀⽂
七
⼆
t
2
+α tt
1
= t
+ t
+ 2
≥
2 tt
t
2
=
4
七
题型训练：“1”的妙⽤
🌶
1
↴
解
: ∵λ≥⑤
∴
⽗t
=
2 λ
- 4
≥
1
:
X
=
2
t + 4
φ ⼀⼜”
-
4
. 2
+ 4
⼗分
⼆
τ=+ 4
= 4
+
七
≥
1
七
壮
c
解
:
∵xty
=
1
:
* + 4
=
( xty ) ( * +
4
)
= 1 H * +
x
+ 4
≥5 + 2 步4×=
9
B
解
:
∵X> 0
,
y > 0
, ☆+ y
8
=
1
∴
xty
=
( xty )
( * + ⑨)
= 2 +
8 + Y
+ yx
≥1
10 +
2
划
. yx
=
18
c
解: ∵
过
( 1 "
) :
a +
5
=
1 ∴atb
= ( δ+ 5 ) ( a + b
)
= 2 + ⻓+≥4
B
解
:
Y = *
+
成
= *
+
1成
1
(
x + 1
-
x ) =
4 + r
-*
+
4 (
1
- x )
+
1
×
∵
x
<
1
:
1
- X 30
∴
×
⼗
4
(
1
- x )
≥1 4
.
…
Y
≥, 9
1
- X
λ
A
解
:
∵Q+ b
= 2
:
a
-
1
+
b
=
1
:
ai
t 5
=
( a
- 1
+ b )
(ai +
2 ) = 3+
点
+ 2 <
a
台
c
≥
3 + 2
点
x
α (台
⼆少⼗2注
解
: 由题⼊
+
5 y
=
1
:
3 x
+ 4Y
=
( x+
5 j)
( 3 x + 4 Y) =
9 +
5 +
5 x2 Y
+ 5
yx
| 24
.
3 ×
≥5
B
+ 2
5 ×
5 y
= 5
📍
题型训练：代⼊消元法
c
解
: 原求化为家
+
3 +
xtay=
1 .
.
∴2xty
=Ʃ
( 4x +
2 y )
= Z [
( 3 x+
3
) +
( x + 2 Y )
- 3J
= Ʃ I 3 x +
3 ( )
+ ( x +2 y ]
] -
3
= ⽂[ ( 3 x + 3 )
+
( x+ 2 y ) ]
(
3 X+ 3
+
x+ay
) -
3 ( x + 2 y )
:
2 x + Y : Z I
4 +
3 x +3
+
xtayxt
3 }
- Ʃ
, 叉
( 4 + 2 ☆)
- ③
= D
+ 巧
B
解
:
∵
为
+ y
=
1
.
: Xty :
xy
:
4x
t
qy
4x ( y
-
1 )
+
qy (
x- )
4x4
- 4x + qxy
- qy
x
^
1
y
-
1
≥
x1
(
) ( y
-
1
)
=
λ y
-
( x + y )
+
1
| 3 xy
- 4 x
-
qy
>
=
xy
-
( x + y ) +
1
=
BxY
- 4x
-
qy
=
13 ( x + y)
- 4 x
- 9 y
⼜
∵*
+ y
=
1
.
=
qx + 4 Y
.
.
…
4 x
t
y -
+9
y
= qx +4
y
( )(
* + y
)
= 1 B +
*
划
+
yx
≥25
) x
-
1
c
2
千
8 a
⼗
⼗
解
:
∵ab
= 4
则
- a
+
1i
5
=
- a
1
-
4a
=
升⼀个a
4Q
-
1
2 ( 4a
-
1 ) + 2
4
⼵
>
= 4 a
+
4 a
-
1
=
4
- * a
+
4a
-
1
+ 2
)
= 5 ( 出4a
+
年a
.
,
) [
( 4
- 4a )
+
( 4a
-
1
) J
+ 2
“
” 的妙⽤
= 5 [
6 +
4
- *
a
4 ( 4a
-
1
)
+
4a -
12 [
4 -4 a
)
]
+ 2 ≥
3 ( 6
+ 208
) +
2 = 4
+
4z
.
📍
题型训练：分离法
🌶
8
解
:
:
(
x -1 ) ( y +
1
)
=
16 ∴
x
= + 1
+
1
6
∴
λty
=
+1
+
y + 1
≥
,
2
( y + 1 )
,
y +
1
= 8
(
-
∞
,
- VƩ
- ZJ
U [
VE
-Ʃ
,
+∞)
解
:
∵
X +
2 xy
-
1
= 0
∴Y
=
2xx
( xF 0 )
1
- x
则⼒ty
=
X +
α x
=
X +
2 义
- 2
当x > 0
时
, xty
≥
2
x
.
对
⼀⽂
= 项
- ⽂
1
当x
α 0 时
,
λ+Y
=
-
(
- X
+
(
. 2x
,
)
- Ʃ
≤
-
2
(
x ) .
(
-
2 x)
⽂-
:
- E
- z
216
- 3
正
4 位
4
- 2 X
解
:
∵λY
+
2 x + y
= 4
:
y
=
x+ 1
( O
<
X
< 2 )
∴
X+ y
=
x +
4
- 2 X
=λ+
1
+
x+
6 -
3
≥26
- 3
λ+
1
∵4
-
xy
=
2xty
≥
2
2 xy
:
( 4
- xy )
=
≥
8 xY
即
x) 2
-16 xy
+ 16
≥0
.
∴XY ≤
8 -4 河或λ Y ≥
8 + 4 B
( 舍)
□求max
”
B
( x+ 1 )
+
+
1
解: Y
=
+1=
(
xt1 ) + (
x +i)
,
2
当且仅当
λ+
1
=
x*
即λ加0 时
“
⼆
” 成交
D
解
:
∵
Y =
x
+1
( x+ 1
)
=+
4
= (x
+ 1
)
+
≥
4
当且仅当
λ+
1
= x
* 即
X = 1 时
“
=
“ 成⽴
4
.
解
:
Y
= x + *
,
4
.
题型训练：凑系数
题型训练：判别式法
D
解:
∵× 1
∴4
- 3 ×
70
∵λ ( 4
- 3λ )
= 3
. 3 x
.
( 4
-
3 x )
≤5 .(
23x
+ 4-
3
λ
) :
当且仅当了x = 4
- 3 x . 即λ=
取
“
=
"
汉
2atb
=
=
a
+ b( P
解
:
ab
= z
.
2 ab
≤z
-
2
(
,
2 a + b
(
)
2
"
2atb 1
+ 6
≤
8
a
2
tb ≥
12 或2
a+b≤
-
4 ⾦+
5
解
:
∵
O < x
< 5
,
∴
0 α 5
. 4 x
< 5
"
x ( 5
- 4 x )
=
4
. 4x
.
( 5
- 4x)
Ʃ
2
24
x +5
-
* R
= 5
c
解:
⽗y : t
,
Y =
声
,
代⼊
x+ Y
= 8
得
x + *
=
18
即
p
- 8 x
+ t
→
由Δ=
i
8
P
-
4 t
≥0
得
.
t
≤81
解
:
及λty
= t
.
y
=
t
- x
.
>
λ
2
+
3 x tt
- x
- 3
= 0
…
X
*
+ 2 x + t
-
3
= 0
.
∴
由0 =
4
-
4 .
(t - 3 )
≥0
.
it ≤币
.
[万能k 法了
。
⽗xtyk
>
2 ( x
2
+
y
2
)
+λ
2
-
6 x =
0
稚荐
…
>
x
2
-
6 x
+ 2 k
= 0
Δ≥
0
7
36
-
8 K
7≥0
.
∴
k
≤
㉙
( 错误)
