文档文本内容
第03 讲 幂函数与二次函数
目 录
模拟·基础演练........................................................................................................................................................2
题型01 幂函数的概念及求值.................................................................................................................2
题型02 幂函数的图象及过定点.............................................................................................................2
题型03 幂函数的单调性和奇偶性.........................................................................................................3
题型04 利用幂函数单调性奇偶性求参数
........................................................................................3
题型05 利用幂函数单调性解不等式.....................................................................................................4
题型06 利用幂函数比较大小.................................................................................................................4
题型07 二次函数的解析式.....................................................................................................................5
题型08 二次函数的图象和性质.............................................................................................................5
题型09 二次函数的实根分布.................................................................................................................6
题型10 二次函数的单调性与最值.........................................................................................................6
题型11 利用二次函数的单调性求参数
............................................................................................6
题型12 利用二次函数的最值求参数
...............................................................................................7
题型13 二次函数的存在与恒成立问题
..............................................................................................7
重难·创新演练........................................................................................................................................................8
真题·实战演练......................................................................................................................................................11
模拟·基础演练
考查重点：幂函数与二次函数的解析式求解、奇偶性判定、区间单调性分析；结合函数图象数形转
化，掌握定义法证单调、待定系数求参数，依托函数对称性简化区间性质推导，聚焦图象性质应用
与基础运算辨析。
题型01 幂函数的概念及求值
1.下列函数是幂函数且在(0,+ ∞)上是减函数的是（ ）
A．y = x
2
B．y = x
1
3
C．y =2 x
-1
D．y = x
- 2
3
2.在函数y = x
-2，y =2 x
2，y =( x +1)
2，y =3 x中，幂函数的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2026·河北承德·模拟检测）已知幂函数
的图象与坐标轴无公共点，则
（
）
A．－2
B．1
C．－2 或1
D．－1 或2
4．已知
为幂函数，目
，则
.
5．（2026·河北石家庄·阶段检测）若函数
（
且
）的图象过定点A，且点A
在幂函数
上，则
_______
.
题型02 幂函数的图象及过定点
6．关于幂函数
的图象，下列说法正确的是（ ）
A．幂函数图象恒过原点 B．存在
，使得幂函数图象过第四象限
C．存在
，使得幂函数为非奇非偶函数 D．当
时，幂函数图象恒在
轴上方
7．（25-26 高三上·浙江·开学考试）函数
与
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．如图是幂函数
的部分图像，已知
取
、
、
、
这四个值，则于曲线
相对应的
依次为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（25-26 高三上·陕西安康·开学考试）函数
的图象过定点
_______
.
10．已知
为幂函数，则函数
的图象经过的定点坐标为
_______
.
题型03 幂函数的单调性和奇偶性
11．（25-26 高三上·上海杨浦·开学考试）下列函数中在区间
上是严格减函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12．下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
13．已知幂函数
的定义域为
，其图象关于原点对称，且在
上单调递增，则
的值可以
是 .（写出一个即可）
14．（25-26 高三上·上海·开学考试）已知
，幂函数
的图象关于
轴对称，且与
轴和
轴
无交点，则
的值是
_______
.
题型04 利用幂函数单调性与奇偶性求参数
15．已知幂函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
为奇函数
B．
在其定义域上单调递减
C．
D．
16．（25-26 高三上·甘肃定西·开学考试）若幂函数
是奇函数，则
_______
.
17．已知幂函数
在区间
上单调递增，则
_______
.
18．若幂函数
是偶函数，则整数m 的取值可以是__________（写一个即可）.
19.（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数
是幂函数，且在
上单调递
增，则
_______
.
题型05 利用幂函数的单调性解不等式
20．（25-26 高三上·江苏无锡·10 月月考）已知函数
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
21．已知函数
，则不等式
的解集是
_______
.
22．（25-26 高三上·重庆·月考）已知幂函数
则不等式
的解集为
_______
.
23．（2026·湖南长沙·质检）已知幂函数
的图象关于
轴对称，且
在
上
单调递减，实数
满足
，则实数
的取值范围是
_______
.
题型06 利用幂函数比较大小
24．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
25．设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
26．（25-26 高三下·湖北随州·月考）设
，则（ ）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
27．已知
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
28．（2026·天津·模拟预测）若
，
，
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型07 二次函数解析式
29．已知
为二次函数且
，
，则
_______
.
30．已知二次函数
的最小值为
，且
是其一个零点，
都有
．
（1）求
的解析式；
（2）求
在区间
上的最小值；
（3）若关于x 的不等式
在区间
上有解，求实数m 的取值范围．
题型08 二次函数的图象和性质
31．（25-26 高三上·四川广元·阶段练习）如图，已知二次函数
的图象顶点在第一象
限，且经过
、
两个点.则下列说法正确的是：①
；②
；③
；④
.（ ）
A．①③
B．②③④
C．①②④
D．①②③④
32．将函数
的图象向左、向下分别平移2 个、3 个单位长度，所得图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型09 二次函数的实根分布
33．函数
在
上有零点，则实数
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
34.已知关于
的方程
有两个正根，则
的取值范围为
_______
.
题型10 二次函数的单调性与最值
35.（2026·河南濮阳·二模）
的最大值是（ ）
A．9
B．3
C．18
D．6
36．已知函数
，则其单调递增区间为
_______
.
37.已知函数
．
（1）已知
在
上单调递增，求
的取值范围；
（2）求
在
上的最小值．
题型11 利用二次函数的单调性求参数
38．若函数
是
上的单调函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
39．若函数
的单调递增区间是
，则
__________.
40．已知函数
在区间
是减函数，则实数a 的取值范围是
_______
.
41．（25-26 高三上·江苏盐城·开学考试）已知函数
在
上单调递减，则实数
的取
值范围为
_______
.
题型12 利用二次函数的最值求参数
42．若函数
在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则
的值为（ ）
A．与
有关，且与
有关
B．与
有关，但与
无关
C．与
无关，且与
无关
D．与
无关，但与
有关
43．（多选）（25-26 高三上·辽宁·开学考试）已知函数
，则下列说法错误的是
（ ）
A．若
值域为
，则
B．若
定义域为
，则
C．若
最小值为0，则
D．若
最大值为2，则
44．已知t 为常数，函数
在区间[0，3]上的最大值为2，则
_______
.
45．（2026·四川成都·模拟预测）已知二次函数
的值域为
，则
的最小
值为
_______
.
题型13 二次函数的存在与恒成立问题
46.函数
的值域为
，则实数a 的取值范围是
_______
.
47. 知函数
，若
，使得不等式
成立，实数
的取值范围是
_______
.
48.已知函数
，若对任意
，总存在
使得
，
则实数
的取值范围是
_______
.
49.（25-26 高三上·浙江·开学考试）已知函数
，
（1）若不等式
恒成立，求实数
的值；
（2）若函数
在区间
上有两个零点，求实数
的取值范围；
（3）若函数
在区间
上的值域为
，且
，求实数
的取值范围．
重难·创新演练
设题创新: 融合幂函数、二次函数图象与性质，依托生活情境创设新定义题型；结合数形交叉设问，
灵活嵌套分段、奇偶、单调性综合条件，侧重知识迁移与图象转化的综合应用，拔高逻辑推理与多
方法解题能力。
1.（2026·黑龙江·阶段检测）已知
为幂函数，
为常数，且
，则函数
的图象
经过的定点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
的最小值为
，则实数
的值是（
）
A．
B．
C．
D．4
3. 【新考法】函数
的一个单调增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．【新考法】（25-26 高三上·上海浦东新·阶段检测）如图所示是函数
（
均为正整数且
互
质）的图象，则（ ）
A．
是奇数且
B．
是偶数，
是奇数，且
C．
是偶数，
是奇数，且
D．
是奇数，且
5．下列图象中，不可能成为函数
的图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．【新角度】（2026·广东湛江·阶段检测）若直线
与幂函数
，
，
的图象从
左到右依次交于不同的三点
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．【新考法】已知函数
，在
上的最大值为
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．【新题型】（2026·吉林·三模）已知集合
，集合
，且
，
.记事件
“函数
是幂函数”，事件
“函数
在
上单调递增”，则
（
）
A．
B．
C．
D．
9．（25-26 高三上·浙江·开学）（多选）已知幂函数
，下列说法正确的有（ ）
A．若
，则
的图象关于直线
对称
B．若
，则
是偶函数，且在
上单调递增
C．若
，则
的定义域为
，且在
上单调递减
D．若
，则对任意
，都有
10. 【新情境】（多选）约定：如果一个函数的图象上存在一个点，该点的横坐标和纵坐标相等，那么就
称该点为该函数的一个回归点，称该函数是一个具有回归点的函数.如果一个函数有且仅有
个回归点，那
么就称该函数为一个具有
个回归点的函数.例如，点
和
都是函数
的回归点，函数
是一个具有两个回归点的函数.根据约定，下列选项中正确的是（ ）
A．函数
是一个具有回归点的函数
B．具有回归点的函数有无数个
C．存在无数个具有无数个回归点的函数
D．已知点
是函数
的一个回归点，则点
也是函数
的一个回归点
11．【新考法】（2026·重庆·模拟预测）已知函数
，若
，则
的最大值为
.
12．如图，在第一象限内，矩形
的三个顶点
，
分别在函数
的图象
上，且矩形的边分别与两坐标轴平行，若A 点的纵坐标是2，则D 点的坐标是
_______
.
13．【新考法】（2026·河北保定·模拟预测）已知函数
在区间
上单调，
且
，则a 的取值范围为
_______
.
14.已知二次函数
的单调递增区间为
，且有一个零点为．
（1）证明：
是偶函数．
（2）若函数
在
上有两个零点，求
的取值范围．
真题·实战演练
高频考点：幂函数解析式求解与图象性质辨析、二次函数解析式选取与区间单调性分析，依托对称
轴数形结合求解参数；函数奇偶判定、利用对称性简化单调区间推导，侧重真题高频的性质应用与
基础运算考查。
1．（2024·天津·高考真题）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2025·天津·高考真题）函数
的零点所在区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
在R 上单调递增，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
．记
，则（
）
A．
B．
C．
D．
5．（2023·天津·高考真题）设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·上海·高考真题）若函数
是奇函数，则实数
_______
.
7．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0 时，
，则f(-8)的值是
_______
.
