文档文本内容
第03 讲 三角函数的图像与性质
目 录
模拟·基础演练.......................................................................................................................................2
题型01 三角函数的图像识别与判断.................................................................................2
题型02 三角函数的定义域与值域（最值）.....................................................................10
题型03 三角函数的单调性与单调区间.............................................................................18
题型04 三角函数的奇偶性、周期性与对称性
.........................................................27
题型05 三角函数的图像变换...........................................................................................35
题型06 三角函数性质的综合应用
...............................................................................45
重难·创新演练...................................................................................................................................55
真题·实战演练.....................................................................................................................................70
模拟·基础演练
考查重点：三角函数性质的综合应用
题型01 三角函数的图像识别与判断
一、单选题
【新思维】1．（2026·湖南怀化·三模）已知函数
在区间
上单调递
增，直线
为
的图象的一条对称轴，则方程
在区间
上所有不相等的实数根
之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据对称轴求出
或
，再根据单调性得到
，分为
和
两种情况分
别解方程即可求出答案.
【详解】因为直线
为
的图象的一条对称轴，
所以
，即
，
又
，所以
或
.
当
时，
，当
时，
，
函数
在
上单调递增，
故
在
上单调递增，符合题意；
当
时，
，当
时，
，
函数
在
上不单调递增，
故
在
上不单调递增，不符合题意.
所以
，
，
当
时，方程
可化为
，方程无解，
当
时，方程
可化为
，
所以
，
当
时，
，
所以
或
或
，解得
或
或
，
所以方程在区间
上所有不相等的实数根之和为
.
2．（2026·湖南长沙·模拟预测）下列函数中，在区间
上为减函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据指数函数，对数函数及幂函数，正弦函数单调性判断各个选项.
【详解】
在
上单调递减，A 选项正确；
在
上单调递增，B 选项不正确；
在
上单调递增，C 选项不正确；
在
上单调递增，所以在区间
上不是减函数，D 选项不正确；
3．函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】分别根据奇偶性的概念以及函数的区间符号判断即可.
【详解】因为
的定义域为
，又因为
，
所以
不是奇函数，排除A，B 项.
时，
，故
，此时
恒成立，排除C 项.
故选：D
【新角度】4．（2025·江苏扬州·三模）当
时，曲线
与
的交点个数为
（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【分析】根据五点法作图，在同一坐标系中画出函数图形，判断交点个数.
【详解】作
图像，列表：
0
0
1
0
0
1
0
0
作
图像，列表：
0
0
2
0
0
2
0
在同一坐标系中画出图形，如下图所示，
则两个函数在
上有4 个交点.
故选：B.
5．函数
的部分图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】首先判断函数的奇偶性，再由函数值的特征，利用排除法判断即可.
【详解】函数
的定义域为
，
又
，所以
为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、
D；
当
时
，
，所以
，故排除C.
故选：B
6．已知函数
（
），若
在
部分的图象与直线
恰好产生了三个交点，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用辅助角公式、诱导公式、两角和的正弦公式把原函数解析式化成余弦型函数形式，再利用换
元法，结合余弦函数性质进行求解即可.
【详解】
令
，
，
，所以
，
问题转化为直线
与函数
，当
时，有三个交点，
由
，
于是有
，
故选：C
7．（2026·北京东城·二模）已知函数
的部分图象如图所示，若
，则
可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用奇偶性可排除AD；根据
轴右侧两零点间的距离可确定C 正确.
【详解】由图象可知：
为奇函数；
对于A，
，
为偶函数，A 错误；
对于D，
，
为偶函数，D 错误；
对于BC，不妨设
，
，
令
，解得：
；令
，解得：
或
；
则
在
轴右侧接近
的两个零点依次为
和
；
在
轴右侧接近
的两个零点依次为
和
，
，
，
由图象可知：B 错误，C 正确.
【新思维】8．已知函数
，则方程
在区间
上的实数根个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
可得
，数形结合可得结果.
【详解】当
时，由
可得
，
作出函数
、
在
时的图象如下图所示：
由图象可知，函数
、
在
时的图象的交点个数为
，
故方程
在区间
上的实数根个数为
.
故选：C.
二、多选题
9．（2026·山东青岛·模拟预测）已知函数
在区间
上有且只有三个零点，
则（ ）
A．
是
的一个周期
B．
的最大值为1
C．
的取值范围是
D．
有两个极大值点
【答案】BD
【分析】先求出整体角
的范围，作出
的图象，根据题意即可求得
，判断C 项；
取
，得
，利用周期定义检验判断A 项；利用函数在
上的图象即可判
断B，D 项.
【详解】因
，设
，则
，作出函数
的图象如下：
要使函数
在区间
上有且只有三个零点，
需使
，解得
，故C 错误；
不妨取
，则
，
，
因
，故
不是
的一个周期，故A 错误；
又由图知，函数
在区间
上取得两个极大值，也是最大值，为1，故B，D
正确.
故选：BD.
10．设函数
，
，则下列结论正确的有（ ）
A．
和
有相同的值域
B．
和
有相同的最小正周期
C．
的零点都是
的极值点
D．
的零点都是
的极值点
【答案】AC
【分析】分别分析
和
的值域、最小正周期、零点和极值点，即可进行判断，
其中，在对
进行分析时，可用诱导公式进行变换.
【详解】对于A，
的值域为
，
的值域为
，选项A 正确；
对于B，
的最小正周期
，
的最小正周期
，
选项B 错误；
对于C，令
，解得
，
的极值点为
，
的零点都是
的极值点，选项C 正确；
对于D，
的极值点为
，
令
，解得
，
，
的零点不是
的极值点，选项D 错误.
故选：AC.
11．（2026·重庆九龙坡·二模）(多选)函数
的部分图象如图所示，
则正确的有（ ）
A．
B．
C．
的图象关于点
对称
D．方程
=sin2x 在
上有个解
【答案】AC
【详解】对于A：由图象可知，当
时，
有最大值为
；
当
时，
有最小值为
；
所以
，所以
，所以
，故A 正确；
对于B：由图象可知，当
时，
有最大值为
；
当
时，
有最小值为
；所以
，所以
，
因为
，
所以
，所以
，即
，
又因为
，所以当
时，
，故B 错误；
对于C：因为
，当
时，
，
由于
是正弦函数的一个对称中心，故点
是
图象的一个对称中心，故C 正确；
对于D：由题意可得
，
展开可得：
，
即
，即
，可得
，
令
，由
得到
，即
，
由于正切函数在每个周期内有唯一解，且在
和
各有一个解，
所以
在
内有两个解，即
在
内有两个解，故D 错误.
题型02 三角函数的定义域与值域（最值）
一、单选题
【新考法】1．（2026·河南·模拟预测）若复数
（
），则
的最大值是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】利用复数的性质识别复数的实部和虚部，再利用模的公式结合三角函数的性质计算.
【详解】已知
，则
，
，
因为
，所以
，
所以
，当且仅当
时等号成立，即最大值为3.
2．（2026·安徽合肥·三模）将函数
的图象上各点的横坐标扩大为原来的3 倍，纵坐标不变，再将
图象向左平移
的单位长度，得到函数
的图象；若函数
在
上有最小值，没有最大值，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数平移变换得
的解析式，再根据正弦函数性质列不等式计算求解；
【详解】函数
的图象上各点的横坐标扩大为原来的3 倍，纵坐标不变，得
，
再将图象向左平移
的单位长度，得到函数
的图象，所以
，
当
时，
，
要使函数
在
上有最小值，没有最大值，
则
，解得
，
所以
的取值范围是
.
3．（2026·河南·三模）已知直线
与曲线
和
分别交于
两个不同的点，
则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】令
，
，整理可得
，结合正弦函数有界性运算求解，
注意
.
【详解】令
，解得
，即
，
由题意可知：
，
，则
，
令
，
，则
，
可得
，
因为
，则
，可得
，
则
，
又因为
，即
，
所以
的取值范围是
.
【新考法】4．（2026·河南·模拟预测）函数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题先利用三角函数平方关系化简函数表达式，再通过换元法将其转化为二次函数，最后根据二
次函数性质求出原函数最小值.
【详解】因为
，
，
所以
．
令
，设
，则
．
当
时，
，所以
的最小值为
．
5．（2026·内蒙古赤峰·三模）已知向量
，则函数
的最大值为
（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】B
【分析】应用平面向量的数量积公式结合余弦函数值域列式求解.
【详解】因为
，
又
，且
，
所以
，则函数
的最大值为
.
6．（2026·重庆北碚·模拟预测）已知
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由余弦函数性质计算可得
与
关系，结合
计算即可得
的取值范围.
【详解】由
，
则
或
，
若
，则
，由
，不符；
若
，则
，
则
，
由
，则
.
7．（2026·河北保定·三模）若函数
的图象关于直线
对称，则a 的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分析可知函数
的定义域为
，整理可得
，结合正弦函数对称性
运算求解.
【详解】令
，可得
，
，
所以函数
的定义域为
，
且
，
令
，
，则
，
，
若函数
的图象关于直线
对称，则
，
，
且
，当
时，a 取到最小值
.
二、多选题
8．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知函数
，其中
是常数，则（ ）
A．对任意
的最大值是1
B．存在
，使得
的最小值是
C．对任意
，存在
，使得
D．对任意
，存在
，使得
【答案】BCD
【分析】利用余弦函数的图像和性质求解
【详解】
，
选项A，
的最大值为，此时
，
当
时，
，此范围内
的最大值为
，故选项A 错误；
选项B，
的最小值为
，此时
，
当
时，
，需要
，
则
，即
，又
，
则
时，
，
故存在
，使得
的最小值是
，故选项B 正确；
选项C，反证法，假设存在
使得对于任意的
，
，即
，
又
的解集为
，这个开区间的长度为
，
又
的范围是闭区间且长度也为
，则无法完全包含于开区间内，
例如，当
时，
，端点处的函数值
，
故假设不成立，故原命题成立，故选项C 正确；
选项D，反证法，假设存在
，使得对于任意的
，
，
即
，
又
的解集为
，这个开区间的长度为
，
又
的范围是闭区间且长度也为
，则无法完全包含于开区间内，
例如，当
时，
，端点处的函数值
，
故假设不成立，故原命题成立，故选项D 正确.
9．（2026·青海西宁·二模）已知函数
的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．函数
图象的对称中心为
C．当
时，
的值域为
D．不等式
的解集为
【答案】BCD
【分析】利用图象求出函数
的最小正周期，结合正切型函数的周期公式可判断A 选项；利用正切型
函数的对称性可判断B 选项；由
可得出
的取值范围，结合正切型函数的基本性质求出函
数
的值域，可判断C 选项；化简函数
的解析式，利用正切型函数的基本性质解不等式
，可判断D 选项.
【详解】对于A，设函数
的最小正周期为
，则有
，
由函数的图象可知
，则
．
又
，则
，即
，A 错误；
对于B，令
，解得
，
即
图象的对称中心为
，B 正确；
对于C，当
时，
，
故
，则
，C 正确；
对于D，当
时，
，此时
无解，
当
时，则
，解得
，
由
，可得
，
此时
，解得
，
故不等式
的解集为
，D 正确．
10．（2026·上海·三模）已知点
是函数
的一个对称中心．
(1)求
的值；
(2)若函数
的最大值为
，求
的最小值和单调递增区间．
【答案】(1)
(2)
的最小值为
，单调递增区间为
【分析】(1)利用余弦函数的对称中心性质即可求出
的值.(2)先利用二倍角公式和辅助角公式化简
,即
可求解最值和单调性.
【详解】（1）已知点
是对称中心，则有
，
解得
，又因为
，所以当
时，
.
（2）由(1)知，
则
即
因为
，所以
的最大值为
由题意可知
.
所以
，所以
的最小值是
.
解得，
所以
单调递增区间为
题型03 三角函数的单调性与单调区间
一、单选题
1．（2026·天津南开·模拟预测）已知函数
，
，若函数
在区间
内单调递增，且函数
的图象关于直线
对称，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
函数
的图象关于直线
对称，
，即
，
，
，
，
函数
在
内单调递增，
，
，解得
，
．
二、多选题
2．（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数
周期为4，则
B．当
时，函数
的图象关于点
对称
C．若函数
在
单调，则
有最大值
D．若函数
在区间
上恰有三个零点，则
【答案】BCD
【分析】A 选项由周期公式可判断；B 选项代入对称中心公式计算即可；用整体法计算
的范围，要
保证函数单调，这个区间必须落在正弦函数的单调递增区间内，进而判断C 选项；D 选项同样由整体法计
算零点落在对应区间即可计算范围.
【详解】对于选项A，若函数
周期为4，可得
，解得
，即选项A 错误；
对于选项B，当
时，函数
的对称中心横坐标满足
，解得
，
可得选项B 正确；
对于选项C，当
时，
，所以
，
若函数
在
单调，则
，解得
，即
有最大值
，可得选项C 正确；
对于选项D，令
.
设
的零点为
，因为函数
在区间
上恰有三个零点，
则
，解得
，可得选项D 正确.
3．（2026·河北邢台·二模）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
的图象关于点
对称
B．
C．
在
上单调递增
D．
是偶函数
【答案】ACD
【分析】借助辅助角公式可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数对称性、单调性、奇偶性等逐项
计算并判断即可得.
【详解】
；
对A：当
时，
，
由
关于点
对称，
故
的图象关于点
对称，故A 正确；
对B：
，
故
不恒成立，故B 错误；
对C：当
时，
，
由
在
上单调递增，
故
在
上单调递增，故C 正确；
对D：
，
由
为偶函数，故
为偶函数，故D 正确.
4．（2026·河北沧州·三模）函数
的最小正周期为
，则下列说
法正确的是（ ）
A．若
在
上单调，则
B．
C．方程
在
内的解有16 个
D．若
在
上有且仅有两个极值点，则
【答案】ACD
【分析】利用二倍角的正余弦公式和辅助角公式化简得
，利用最小正周期求得函数
解析式.利用整体法求解可判断AD；直接计算可判断B；解三角方程可判断C.
【详解】
，
因为函数
的最小正周期为
，所以
，解得
，
所以
.
当
，所以
，
因为
在
上单调，所以
，解得
，故A 正确；
，故B 错误；
由
，可得
，
所以
或
，
解得
或
，
又
，所以
有8 个解，
有8 个解，故共16 个解，故C 正确；
，
因为
，所以
，
因为
在
上有且仅有两个极值点，
所以
，解得
，所以
，故D 正确.
5．（2026·陕西咸阳·二模）已知函数
，则（ ）
A．将
的图象向右平移
个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数
B．对任意
，都有
C．
在区间
上先增后减
D．若
（
），则
的最小值为
【答案】BD
【详解】选项A，将
的图象向右平移
个单位长度，
得到
，
定义域为
，且满足
，
是奇函数，不是偶函数，故A 错误.
选项B，
，故B 正确.
选项C，当
时，令
，则
，
在
上单调递减，在
上单调递增，
因此
在
上先减后增，故C 错误.
选项D，令
，则
，
解得：
，即：
或
，
故
的最小值为
，D 正确.
6．（2026·山东济南·三模）已知函数
图象的两条相邻对称轴之间的距离为
，
则（ ）
A．
B．
为奇函数
C．
在
上单调递减
D．
的图象可由函数
的图象向左平移
个单位长度得到
【答案】ABD
【分析】对A，根据相邻对称轴距离求出函数周期，计算得到ω；对B，利用奇函数定义判断；对C，换
元判断函数单调性；对D，根据图象变换求解判断.
【详解】对于A：因为函数
图象的两条相邻对称轴之间的距离为
，即
，所以
，
，A 正确；
对于B：由选项A 分析可知
，所以
，
令
，则
定义域为
，且
，所以
是奇函数，
所以
为奇函数，B 正确；
对于C：由
，得
，令
，
因为
在
单调递减，在
单调递增，所以
在
单调递减，在
单调递增，
C 错误；
对于D：函数
的图象向左平移
个单位长度，得到
，D
正确.
7．（2026·甘肃·模拟预测）设函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．若函数
图象的两个相邻对称中心之间的距离为
，则
B．若将函数
的图象向右平移
个单位长度，所得函数图象关于原点对称，则
的最小值为
C．若函数
在
上单调递增，则
的取值范围是
D．若函数
在
上恰有两个极值点和三个零点，则
的取值范围是
【答案】BD
【分析】对于A，结合余弦函数的性质可得
，进而结合余弦型函数的周期公式求解判断即可；对于
B，先根据函数的平移求得函数解析式，再根据余弦函数的奇偶性判断即可；对于C，根据余弦函数的单
调性列不等式组求解判断即可；对于D，结合余弦函数的图象、极值点、零点的定义求解判断即可.
【详解】对于A，因为函数
图象的两个相邻对称中心之间的距离为
，
所以
，则
，即
，故A 错误；
对于B，将函数
的图象向右平移
个单位长度，得到
，
因为所得函数图象关于原点对称，所以
，
则
，又
，则
时，
取得最小值
，故B 正确；
对于C，当
，
时，
，
因为函数
在
上单调递增，
所以
，
，则
，
，
又
，则
，
，即
的取值范围是
，故C 错误；
对于D，当
，
时，
，
因为函数
在
上恰有两个极值点和三个零点，
所以
，则
，
即
的取值范围是
，故D 正确.
【新思维】8．已知
，则下列不等关系正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】利用正切函数的基本性质可判断A 选项；推导出
，结合函数
的单调
性可判断B 选项；利用函数
在
上的单调性可判断C 选项；利用基本不等式可判断D 选项.
【详解】对于A 选项，因为
，则
，
所以，
，故
，A 对；
对于B 选项，因为
，则
，所以，
，
因为函数
在
上为增函数，
所以，
，即
，B 对；
对于C 选项，构造函数
，其中
，则
，
所以，函数
在
上为增函数，所以，
，
即
，即
，故
，C 对；
对于D 选项，因为
，
所以，
，D 错.
故选：ABC.
三、填空题
9．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
在区间
内单调递增，则
的最大值为
__________.
【答案】5
【分析】根据正切函数的单调性列不等式计算，再分
讨论即可求出最大值.
【详解】由函数
在区间
内单调递增，
可得
，且
，解得
.
当
时，
1，又
，所以
；
当
时，
；
当
时，不等式
无解.
综上，
的最大值为5.
故答案为：5.
四、解答题
【新考法】10．（2026·北京·三模）已知函数
（
）．
(1)若
，求
及
的单调递增区间；
(2)已知
在区间
上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使
函数
存在且唯一确定，求
的最小正周期.
条件①：
；
条件②：点
在
的图象上；
条件③：
．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解
答计分．
【答案】(1)
，单调递增区间
，
；
(2)选①，最小正周期
；
选③，最小正周期
．
【分析】（1）利用二倍角公式与辅助角公式，先对函数解析式进行化简，根据所给条件，利用整体代换
的思想求解函数的单调递增区间；
（2）通过题干所给条件先求出参数的取值范围，再根据所选择的条件计算出参数的具体取值，再利用周
期公式计算最小正周期．
【详解】（1）
；
因为
，则
；
；
令
，解得
；
故
的单调递增区间为
，
；
（2）由（1）知，
，
令
，
；
解得
；当
时，
；
已知
在区间
上单调递增，故
，解得
；
选①
因为
，即
，
解得
，因为
，则
，
故
，解得
；
，
的最小正周期
；
选②
因为点
在
的图象上，
则
，即
，
，解得
，
综上，
，
；
，
；
此时
不唯一，故不符合题意；
选③
因为
，则对称轴为
，
则
，解得
，
因为
，故
，
；
，
的最小正周期
．
题型04 三角函数的奇偶性、周期性与对称性
=
一、单选题
1．（2026·河南开封·模拟预测）若函数
是奇函数，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先利用奇函数
求解参数
，化简函数后通过奇偶性定义验证，再代入自变量计算函数值.
【详解】由
为定义在
上的奇函数，得
，
即
，
，
.
结合
，得
.
所以
.
验证奇偶性：
，满足奇函数定义.
因此，
.
2．（2026·山东临沂·二模）若
为函数
的一个零点，且
的最小正周期
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先根据余弦函数的零点性质求出
的表达式，再结合周期公式和周期的取值范围确定
的值．
【详解】已知
为函数
的一个零点，
根据余弦函数的性质，若
是
的零点，则
，即
，
．
所以
，则
．
所以
．
对于余弦函数
，其最小正周期
，
已知
的最小正周期
，则
．
解不等式
，得
，即
；
解不等式
，得
，因为
，所以
．
综上，
．
因为
，
，且
，当
时，
，
满足
．因此
的值为
．
3．（2026·重庆·模拟预测）函数
的图象关于点
对称，且直线
与函数
图象的相邻两交点间距离为
，则正实数
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先由直线
与
图象相邻交点的距离求出周期，进而得到
的值，再结合正切函数对称中
心的性质推导
的表达式，求得正实数
的最小值.
【详解】因为直线
与函数
图象的相邻两交点间距离为
，
所以
的最小正周期
，
所以，由
，得
，解得
，
因为正切函数的对称中心满足
，函数
的图象关于点
对
称，
所以，将
代入得：
， 整理得
，
因为
所以，取
，得
，即为满足条件的最小正实数值，即正实数
的最小值为
.
二、多选题
4．（2026·河南·三模）已知函数
与
的部分图像如图所示，
，
为两曲线相邻的交点的横坐标，记
，则（ ）
A．
B．
的最小正周期为
C．若
在
上有9 个零点，则
D．
【答案】ACD
【分析】根据图像求解
的解析式即可判断AB；根据正切函数的性质判断C；根据诱导公式，
同角三角函数的平方关系及两角差的正弦公式判断D．
【详解】对于A，B，
．
若
，则
，得
，所以
，
又
且
，得
，此时
，符合题意；
若
，则
，得
，所以
，
又
且
，得
，此时
，
在其单调递减区间内，与图像不符，
所以
，最小正周期为
，A 正确，B 错误；
对于C，由
得
，
所以
相邻两零点的距离为
，因为
在
上有9 个零点，
所以
，即
，C 正确；
对于D，由
，得
，
又由
，且
，
，
则
，
所以
，
所以
，故D 正确．
5．（2026·湖南·模拟预测）下列函数的图象关于直线
对称的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】
的图象关于直线
对称，A 正确．
令
，则
，所以
的图象关于直线
对称，B 正确．
的图象关于直线
对称，且在
上单调递减，在
上单调递增，故C 错误．
令
，则
，所以
的图象关于直线
对称，D
正确．
6．（2026·云南·三模）将函数
的图象向左平移
个单位得到函数
的图象，
若
的图象与
的图象关于
轴对称，则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．
是
的一条对称轴
D．对任意的
，都存在
，使得
【答案】ACD
【分析】由正弦函数与余弦函数的性质求解即可.
【详解】对于A，根据题意得，
，
因为
的图象与
的图象关于
轴对称，所以
，
即
，
可得
或
，
因
,则得
，又因
，所以
，故A 正确；
对于B，由A 得
，所以
，故B 错误；
对于C，由
，可得
，当
时，
，故C 正确；
对于D，当
时，
，此时
，
而当
时，
，此时
所以
，故D 正确.
7．（2026·四川资阳·三模）已知函数
的部分图象如图所示，则
（ ）
A．
的最小正周期为
B．
C．
D．若将
的图象向右平移
个单位，则所得函数是偶函
数
【答案】ACD
【分析】根据函数的图象，求函数的解析式，再根据函数的性质判断选项.
【详解】由图象可知，
，得
，函数
的最小正周期为
，
时，
，得
，
，且
，
所以
，所以
，C 正确；
函数
的最小正周期
，A 正确；
，B 错误；
将
的图象向右平移
个单位，得到函数
，为偶函
数，故D 正确.
8．（2023·河南开封·一模）函数
的图象向左平移
个单位长度后与原图象关于
轴对称，则下列结论一定正确的是（ ）
A．
B．
的一个周期是
C．
是偶函数
D．
在
上单调递减
【答案】ABD
【分析】根据三角函数图象平移变换结合平移后图象性质可得
，即可得
，由此将
代入可判断A；根据周期性定义可判断B；求出
的
表达式结合偶函数定义判断C；结合x 的范围，确定
，结合余弦函数单调性，判断D.
【详解】函数
的图象向左平移
个单位长度后得到
的图象，
由题意可得
，即
，
故
，故
，由于
，故
,
故
，
对于A，
，A 正确；
对于B，
，
即
的一个周期是
，B 正确；
对于C，
，
不妨取
，此时
，此时函数不是偶函数，
即
不是偶函数，C 错误；
对于D，当
时，
，
，
由于
在
上单调递减，故
在
上单调递减，D 正确，
故选：ABD
9．（2026·广东梅州·模拟预测）函数
的部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．函数
的图象关于直线
对称
D．若函数
在区间
上不单调，则实数
的取值范围是
【答案】ACD
【分析】根据正切型三角函数的图象性质确定其最小正周期，从而得
的值判断A；再根据函数特殊点求
得
的值，从而可得解析式，代入计算判断B；计算可得
判断C；当
时，
，当
时，
，再由函数在区间
不单调，可得实数
的取值范围判断D.
【详解】对于A，函数的最小正周期为
，则有
，
即
，因此A 正确；
对于B，由函数的图象可知：
，
因为
，所以
，即
，
由图象可知：
，则
，
所以
，故B 错误．
对于C，因为
，
所以
，函数
的图象关于直线
对称，C 正确；
对于D，
当
时，
，
当
时，
，
当函数
在区间
上不单调时，
则有
，故D 正确．
三、填空题
10．（2026·河北张家口·三模）若函数
是偶函数，则
最小正周期的最大值为
_________．
【答案】4
【详解】因为
为偶函数，所以
.
由
，得
，
所以
的最小正周期
，当且仅当
时等号成立.
所以
最小正周期的最大值为4.
题型05 三角函数的图像变换
一、单选题
1．已知函数
，先将
图象向左平移
个单位，再将图象上点的横坐标变为原来的2 倍
（纵坐标不变），得到函数
的图象．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】将
图象向左平移
个单位，得到函数
，
再将
图象上点的横坐标变为原来的2 倍（纵坐标不变），
得到
，
由
，得
，
所以
.
二、多选题
2．（2026·云南昆明·二模）已知函数
．则下列结论正确的有（ ）
A．
的最大值为
B．
在区间
上单调递减
C．把函数
的图象上所有点向右平移
个单位长度，可得到函数
的图象．
D．若函数
的图象关于
轴对称，则正数
的最小值为
【答案】BD
【分析】应用两角和正弦公式结合二倍角公式和辅助角公式化简得出解析式判断A，应用正弦函数单调性
判断B，应用平移变换判断C，由对称性得出
即可判断D.
【详解】因为
所以
的最大值为
，故A 错误；
若
，则
，
所以得
在区间
上单调递减，故B 正确；
将
的图象上所有点向右平移
个单位长度，
得到
的图象，故C 错误；
若
的图象关于
轴对称，
则
，
所以
，所以
的最小正值为
，故D 正确.
3．（2026·河南濮阳·模拟预测）若将函数
的图像向左平移
个单位长度后得到
的
图像，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．
在
上单调递增
C．
D．
是奇函数
【答案】AC
【分析】根据周期公式判断A；根据正弦函数的图像判断B；根据函数平移与解析式关系判断C；根据诱
导公式判断D．
【详解】由题知，
，
对于A，
的最小正周期为
，故A 正确；
对于B，当
时，
，
因为
在
上不单调，
所以
在
上不单调，故B 错误；
对于C，
，故C 正确；
对于D，因为
，所以
为偶函数，故D 错误．
4．（2026·福建厦门·模拟预测）已知函数
（
，
）的部分图象如图所示，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
是
图象的一条对称轴
D．
的图象向左平移
个单位长度得到的图象关于原点对称
【答案】ABD
【详解】对A，将
代入函数得
又
，故
，选项A 正确.
对B，将
和
代入函数得
由图可得
，即
，又
，所以
取
，得
，选项B 正确.
对C，
不是最值，故
不是对称轴，选项C 错误.
对D，将
向左平移
个单位，得
是奇函数，图像关于原点对称，选项D 正确
5．（2026·安徽合肥·三模）已知函数
为奇函数，则（ ）
A．
的最小正周期为
B．将
的图象向右平移
个单位可得到函数
的图象
C．
在区间
上单调递增
D．直线
是曲线
的一条对称轴
【答案】ABD
【详解】由题意，
，由
，则
，故
．
对于A，
的最小正周期为
，故A 正确；
对于B，将
的图象向右平移
个单位可以得到函数
，故B 正确；
对于C，当
时，
，而函数
在
上单调递减，故C 错误；
对于D，
，
时，
,
所以
是其对称轴，故D 正确．
6．（2026·安徽·模拟预测）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．函数
的最小正周期为
B．函数
在区间
上单调递增
C．函数
的图象关于直线
对称
D．函数
的图象可由
的图象向左平移
个单位长度得到
【答案】AC
【分析】先化简
.对于A，由周期公式
计算即可；对于B，由复合函
数的单调性求解；对于C，由整体法求解即可；对于D，图像平移遵循“左加右减”的基本原则，但D 中
平移前后两个函数的振幅不同，所以D 错误.
【详解】由题意得
，
对于A，
，A 正确；
对于B，当
时，
，
此时正弦函数
在
上单调递增，
在
上单调递减，因此
在
上不单调，B 错误；
对于C，
对称轴满足
，
令
，解得
是图像的对称轴，C 正确；
对于D，将
的图象向左平移
个单位长度得到
，
且平移后的函数与
的振幅不同，并非同一函数，D 错误.
7．（2026·广东深圳·三模）已知函数
的周期为
，且向右平移
个单位
后所得到的函数为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
在
上单调递减
B．函数
的图象关于点
中心对称
C．函数
的图象关于直线
对称
D．函数
在
处取极值
【答案】AC
【分析】先根据周期公式求出
值，再结合函数平移后为奇函数的性质确定
值，得到函数解析式
.再根据正弦函数的性质，逐一判断
、
、
各选项是否正确. 先对函数求导，再根据极
值点的定义，判断选项
是否正确.
【详解】由
，得
，则
，
将
向右平移
个单位长度，得
.
因为
是奇函数，所以，
，得，
.
由
，得
. 所以，
.
选项A：令
，则
可转化为
.
由
，得
，因
在
上单调递减，
故
在
上单调递减，故A 正确.
选项B：因为
，故B 不正确.
选项C：当
时，
，故C 正确.
选项D：
，所以，
，
所以
在
处一定不取极值，故D 不正确.
8．（2026·河北保定·二模）函数
的部分图象如图所示，则下列说法正确
的是（ ）
A．
B．函数
的图象与函数
的图象只有2 个交点
C．函数
在区间
上有6 个零点
D．函数
的图象可由函数
的图象向右平移
个单位长度得到
【答案】ABD
【分析】选项A，结合图像和最小正周期公式求解；选项B，求出
的表达式，在同一直角坐标系中画
出
和
的图像，结合图像得解；选项C，求出
在区间
上的零点个数即可得解；选项
D，利用平移知识求解即可得到结论.
【详解】选项A，
，
，
，
，
，
故选项A 正确；
选项B，
过点
，且该点是单调递增范围内的点，
，
，
，
，
，
作出
与函数
的图象，如图所示，
当
时，又
，则
，即
，
通过图像可知函数
和
的图像只有2 个交点，故选项B 正确；
选项C，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
由5 个值，
故函数
在区间
上有5 个零点，故选项C 错误；
选项D，
的图象向右平移
个单位长度得到
，此函数的表达式与
相同，故选项D 正确.
三、解答题
9．（2026·安徽·模拟预测）已知函数
.
(1)求
的单调递增区间；
(2)先将
的图象上各点的横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），再向右平移
个单位长度，得到
的图象，若方程
在区间
上有解，求m 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦函数性质，可得
的定义域，根据辅助角公式，二倍角的正弦公式，可得
的解析式，根据正弦函数的性质，代入求解，即可得答案.
（2）根据图象平移、伸缩变换的方法，可得
的解析式，根据x 的范围，可得
的范围，结合正
弦函数的性质，可得
的值域，即可得答案.
【详解】（1）原解析式中分母不为0，即
，
所以
，得
，
则
令
，解得
，
故
的单调递增区间为
.
（2）由题意知
，且
.
当
时，
，
则
，所以
.
又
的定义域不含
，
所以
在区间
上的值域为
，
故
的取值范围是
.
【新考法】10．（2026·北京丰台·三模）已知
，函数
，
从①②③中任选两个条件作为已知条件．使得
唯一确定．
①
在
处取得最大值；
②
是偶函数；
③
相邻两个零点之间的距离为
．
(1)求
的解析式；
(2)将函数
的图象上各点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变，得到函数
的图象，求函数
在区间
上恰有3 个零点，求t 的取值范围．
【答案】(1)选①③，
；
选②③，
；
(2)选①③，
；
选②③，
．
【分析】先对
解析式利用降幂公式，两角和与差公式，进行化简，利用所给条件求出参数
的值，
得到
的解析式，利用图象的变换得到
的解析式，利用整体代换的思想，根据正弦函数的图象零
点分布情况，计算参数t 的取值范围．
【详解】（1）
；
选①②
因为
在
处取得最大值，故
；
又因为
为偶函数，则
关于
对称，
则
，
式与
式相加即可得
，
因为
，则
，解得
；
则
，解得
，因为
，
故
，故
的值不唯一，故不选①②.
选①③
因为
在
处取得最大值，故
；
因为
相邻两个零点之间的距离为
，则
，解得
；
代入
可得：
，解得
，
因为
，故
，
；
故
的解析式为
；
选②③
因为
相邻两个零点之间的距离为
，则
，解得
；
又因为
为偶函数，则
关于
对称，
则
，即
，
因为
，故
，
；
故
的解析式为
；
（2）选①③，
由
的图象上各点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变，
可得
，
当
时，
；
因为
在区间
上恰有3 个零点，
故
，解得
；
故t 的取值范围为
；
选②③
由
的图象上各点的横坐标缩短到原来的
，纵坐标不变，
可得
，
当
时，
；
因为
在区间
上恰有3 个零点，
故
，解得
；
故t 的取值范围为
．
题型06 三角函数性质的综合应用
一、单选题
1．（2026·江苏南京·三模）已知函数
在
上单调，则
的最大值是（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】C
【分析】由正切函数
的单调递增区间为
，求得函数
的单调
递增区间为
；再根据函数
在
上单调，得
，从而得到不等式组，确定
的取值，结合
的条件，确定
的最大值.
【详解】由正切函数
的单调递增区间为
；
令
，解得
；
函数
的单调递增区间为
.
由
(
)在
上单调，得
；
，解得
；
，
，解得
；
，
；
，得
；
的最大值为
.
2．（2026·山西忻州·模拟预测）函数
，（
，
）的部分图像如图所示，
则
（ ）
A．1
B．-1
C．
D．
【答案】D
【分析】根据图象求得
的解析式，进而求得
.
【详解】由函数
的图像过点
，得
，即
.
又
，故
或
.
由图象可知，函数在
右侧附近单调递增，当
时，
增大，
增大，
减小，函数单调递减，与图象矛盾；
当
时，
增大，
增大，
增大，
函数单调递增，与图象相符，故
.
由图象过点
，且该点为
轴右侧第一个零点，
，
，相位
从
增加到
，
所以
，解得
，即
.
因此，
.
代入
，得
.
3．（2026·陕西渭南·模拟预测）如图为函数
的部分图象，
为图象与
轴的两个交点坐标，则
（ ）
A．
B．
C．0
D．
【答案】C
【详解】由图可得
解析式，然后由
周期性可得答案.
【点睛】由图可得
最小正周期为
，则
，又
，则
.
又由图可得
，则
，取
，得
，
从而
，
.
结合
最小正周期为4，
，则
.
4．（2026·江苏南京·三模）已知
，
与
在
上有三个交点
，若
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据
求出
，从而可得出
三点的坐标，再根据
，得
，结合数量积的坐标公式求解即可.
【详解】令
，则
，
即
，化简得
，
解得
（
舍去），
因为
，所以
，
所以
，
所以
，
，
由
，得
，
不妨设
，
则
，
由
，得
，
即
，
解得
（负值舍去）.
二、多选题
【新角度】5．（2026·云南玉溪·模拟预测）摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的
座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色．某摩天轮最高点距离地面高度为60 米，转盘直径为50
米，设置有24 个座舱，摩天轮开启前，距地面最近的点为0 号座舱，距地面最远的座舱为12 号，座舱逆
时针排列且均匀分布，游客甲坐2 号舱位，乙坐6 号舱位，开启后按逆时针方向匀速旋转，转一周需要24
分钟，游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为
米，下列说法正确的是（ ）
A．
关于的函数解析式为
B．开启后第20 分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同
C．开启后第10 分钟游客乙距离地面47.5 米
D．开启后第10 分钟至第18 分钟游客甲和乙运动方向相同（上升或下降）
【答案】BCD
【分析】根据题意建立三角函数模型，然后结合三角函数的图象与性质判断选项即可.
【详解】设游客甲距离地面的高度
与时间
的函数为
，
由题意，
，所以
，
由摩天轮转一周需要
，知座舱转动的角速度约为
，故
，
则
，
又游客甲坐2 号舱位，当
时，游客甲的位置达到摩天轮最高点，所以
，
即
，所以
，所以
，
不妨取
，则
，故
，A 错误；
由于摩天轮旋转一周需24 分钟，故游客甲和乙第二次距离地面高度相同时，
需经历
分钟，B 正确；
根据题意游客乙在摩天轮转动过程中距离地面的高度函数为：
，
则开启后第10 分钟游客乙距离地面高度为
米，C 正确；
对于函数
，
令
得
，
所以函数
的单调递减区间为
，
当
时，函数
的单调递减区间为
，
所以开启后第10 分钟至第18 分钟游客甲在下降，
对于函数
，
令
得
，
所以函数
的单调递减区间为
，
当
时，函数
的单调递减区间为
，
所以开启后第10 分钟至第18 分钟游客乙也在下降，
即开启后第10 分钟至第18 分钟游客甲和乙运动方向相同，D 正确.
6．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数
(
)，
，则下列说法正确的有
( )
A．
B．函数
在
上单调递增
C．函数
在
内有两个零点
D．函数
的最小值为
【答案】ABC
【分析】先利用
求出参数
，再根据三角函数的单调性、零点及和差化积公式逐一分析选项.
【详解】由
，结合
，得
，即
，故A 正确.
此时
.
令
(
)，解得
(
).
当
时，单调递增区间为
，故B 正确.
令
，得
(
)，即
(
).
在
内，
时
，
时
，共2 个零点，故C 正确.
，
则
，
由和差化积公式，得
，
其最小值为
，故D 错误.
三、填空题
7．（2026·北京·模拟预测）设函数
，若
恒成立，且
在
上存在零点，写出一个满足题意的
的值为___________.
【答案】4(答案不唯一)
【分析】先由周期推出
为正偶数，再由区间零点条件得到
，即
只要取大于等于
的偶数就可以.
【详解】由
恒成立可知，
是函数
的一个周期，
因为
，函数的最小正周期为
，因此
是
的整数倍，
即
，可得
，即
为正偶数；
因为当
时，
，
又因为
在
上存在零点，所以
，得
，
综上，
是大于等于
的偶数.
【新思维】8．（2026·山西大同·三模）已知函数
在区间
上恰有
3 个零点，则
的取值范围是______．
【答案】
【分析】由余弦及正弦函数的性质可知
，从而得
在
上恰有3 个实数根，
可得
，
，由正弦函数的性质可知
，求解即可.
【详解】因为
，所以
，
所以函数
在区间
上恰有3 个零点，
即
在
上恰有3 个实数根，
所以
，
，
又
，
所以
在
上恰有3 个实数根，
所以
，
解得
，
即
的取值范围是
．
四、解答题
9．（2026·河北邢台·三模）如图为函数
的部分图象.
(1)求函数
的解析式；
(2)设
为坐标原点，
轴于点
为线段
上一点，且
，求
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据给定的图象，结合五点法作图求出
即可.
（2）由
的三角函数表示
，再列式并利用辅助角公式求解.
【详解】（1）观察函数图象，得函数
的最小正周期
，而
，
解得
，由
，得
，
又
，则
，
所以函数
的解析式是
.
（2）设
，
由函数
的图象知
，
，
则
，
则
，
由
，得
，
整理得
，即
，则
，
又
，因此
，解得
，
所以
.
【新考法】10．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数
．
(1)若
，求
及
的单调递增区间；
(2)已知
在区间
上单调递增，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使
函数
存在且唯一确定，求
的最小正周期．
条件①：
；条件②：
是
的一个极值点；条件③：
是
的一个零点．
注：如果选择的条件不符合题目要求，第（2）问得0 分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一
个解答计分．
【答案】(1)
，
，
．
(2)条件③不符合题目要求，选①或②时
的最小正周期均为
．
【分析】（1）利用三角函数恒等式化简函数解析式，根据整体思想，结合正弦函数单调性以及复合函数
单调性，可得答案；
（2）根据正弦型函数的单调性以及周期内的零点，可得参数的范围，再根据所给条件，结合三角函数的
周期性与对称性，可得答案.
【详解】（1）因为
，
当
时，
，
所以
．
令
，
，
解得
，
．
所以
的单调递增区间为
，
．
（2）因为
，
在区间
上单调递增，且
，
所以
，解得
．
若选①：因为
，又
在区间
上单调递增，
所以曲线
关于
对称．
所以
，所以
，
．
解得
，
．
又
，所以
．
所以
的最小正周期为
．
若选②：
是
的一个极值点，又
在区间
上单调递增，
所以
在
处取得最大值．
所以
．
所以
，
．解得
，
．
又
，所以
．
所以
的最小正周期为
．
若选③：因为
，
，则
，
由于
在区间
上单调递增，所以
，
解得
.
因为
是
的一个零点，所以
，
解得
，
又
，所以
或
，
所以函数
不唯一确定，故条件③不符合题目要求
重难·创新演练
设题创新:综合考察
一、单选题
【新思维】1．（2026·上海虹口·三模）若对于任意的
，总存在
，使得
，则实数
可以是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意可得
在
内的值域包含
，只需
，
即可，进而将选项中的角，依次代入验证，即可求解.
【详解】因为对任意
，都存在
，使得
成立，
所以
，
因为
，所以
，
，
若对任意
，都存在
，使得
成立，
可知
在
内的值域包含
，
只需
，
即可，
因为
，则
，
对于A：当
时，
，则
，
因为
，所以
的取值不符合条件，故A 错误；
对于B：当
时，
，则
，
因为
，所以
的取值不符合条件，故B 错误；
对于C：当
时，
，则
，
因为
，
，取值符合条件，故C 正确；
对于D：当
时，
，则
，
因为
，所以
的取值不符合条件，故D 错误；
2．（2026·天津滨海新区·三模）若函数
（
，
）在区间
上单调递增，且
，
，则以下说法中正确的个数是（ ）
①
；
②
；
③函数
是偶函数；
④若函数
在区间
内有个零点，则在此区间内
有且只有
个极大值点．
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】A
【分析】先根据正弦函数的性质结合题设条件列出关于
的方程组，求解并利用单调性确定
的值，再
根据各选项要求，利用函数奇偶性定义，函数与方程思想等判断即得.
【详解】由题意，可得
且
，
即
，则有
，
解得
，
因函数
在区间
上单调递增，则该函数的最小正周期
满足
，
即
，故由（*）可得
，则
，
又由
可得
，则得
，
即
，因
，则
，故①错误；
由上分析，得
，则
，故②错误；
于是
，因为
，故
为偶函数，故③正确；
当
时，
，要使函数
在区间
内有个零点，需使
，
此时若
，则函数
有3 个极大值，若
，则函数
有2 个极大值，故④
错误.
【新思维】3．（2026·安徽·模拟预测）在锐角
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且
，
，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用正弦函数最大值及条件求出
，再利用正弦定理，结合锐角三角形条件求
出范围.
【详解】在锐角
中，由
，得
，则
，
即
，因此
，且
，
，此时
，即
，
，由正弦定理得
，
，
所以
的取值范围为
.
4．设函数
向左平移
个单位后得到函数
，若点
是函数
与
的图象上从左至右依次相邻的三个交点，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数平移变换求得
，令
，求得
，代入
求得纵坐
标，进而得到相邻两点在
轴方向上的距离，根据
得到
的距离，结合三角函数求解即可.
【详解】函数
向左平移
个单位后得到
，
又
，所以
，
因为
，
，所以
，取
，则
.
令
，则
（无解）或
，
解得
，即
.
将
代入
中，得
，
当
为偶数时，
；
当
为奇数时，
；
过
作
，则相邻两点在
轴方向上的距离为
.
又
，则相邻交点的横坐标间隔为
，则
.
根据对称性可知，
为等腰三角形.
又
，所以
.
在
中，
，即
，所以
.
则
.
故
.
【新角度】5．（2026·陕西铜川·三模）已知函数
，
，假
如
，
，
是曲线
，
上从左往右依次连续相邻的三个交点，
，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】先利用辅助角公式化简
，再根据函数图象的平移规律得到
，数形结合得到
为等
腰三角形，通过添加辅助线，得到关于
的不等式，进而求解
的取值范围.
【详解】
所以将
的图象向左平移
个单位长度后可得到
的图象，如图所示：
是
与
图象从左往右依次连续相邻的三个交点，
为等腰三角形，
，
由
，得
，即
，
又因为
解得
，
故
交点的纵坐标为
，
过
作
交
于点
，由对称性可知
，
为等腰三角形，
，
，
，
，得
，
，解得
实数
的取值范围为
.
故选：B.
二、多选题
6．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．若
在
单调递增，则
B．若
在
上恰有三个零点，则
C．若
在
上恰有三个零点
，则
D．若
向左平移
后的图象与
图象关于
对称，则
【答案】CD
【分析】对于A，根据正弦函数的单调区间，确定区间端点满足的不等式求解即可，对于B，根据正弦函
数零点表达式分析即可，对于C，由B 可知
，代入后结合诱导公
式即可求解，对于D，由图象变换结合函数对称性即可求解.
【详解】对于A，若
，则
，
由正弦型函数的单调递增区间有
，
，
解得
，
，
当
时，结合
，则有
，
当
时，有
，
很明显当
取其它值时，
有更多的取值范围，故A 错误；
对于B，令
，即
，
当
时，
，
若只有3 个零点，则
，解得
，故B 错误；
对于C，由B 选项可知，这三个零点对应的相位分别是
，
则有
，即
，
即
，即
，
则
，故C 正确；
对于D，由题意得平移后的函数为
，
图象与
图象关于
对称，则
，
代入得
，
即
，化简得
，故D 正确.
（因为要确保
，所以
）
7．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数
（
），则（ ）
A．
的最大值为2
B．当
时，
在区间
上单调递增
C．将
的图象向右平移
个单位长度后得到函数
的图象
D．若
在
上有两个零点，则
的取值范围是
【答案】AD
【分析】由辅助角公式化简原函数，结合正弦型函数的性质可以判断A；结合正弦型函数的单调性可以判
断B；结合三角函数图象平移变换规律可以判断C；结合“整体法”和正弦型函数零点的性质可以判断D.
【详解】由题意得
选项A，当
时，
的最大值为2，正确；
选项B，当
时，
，
时，
，
在
上单调递减，因此
在区间
上单调递减，错误；
选项C，图象右移
个单位可得：
，
仅当
时才得到
，对任意
不成立，错误；
选项D，
时，
，
即
，
要区间内有两个零点，即有两个
落在
内，
对应两个零点为
、
，
则
，解得
，
即
，正确.
8．（2026·四川成都·模拟预测）已知函数
，其中常数
．将函数
的图象向左平
移
个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
倍，纵坐标不变，再向上平移1 个单位，得到
函数
的图象．（ ）
A．若
，则
B．若
，
，则
C．若
在
上单调递增，则
D．若
，
在区间
上至少含有30 个零点，则
的最小值为
【答案】ACD
【分析】根据函数图象的平移变换，得到
，结合正弦型函数的周期性、值域即可
判断AB；根据正弦型函数的单调性得到
，
，由此求解即可判
断C；要使
最小，则
，
，研究
的零点进而求出结果，判断D．
【详解】函数
的图象向左平移
个单位，得到
；
将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
倍，纵坐标不变，得到
；
向上平移1 个单位，得到函数
的图象，所以
.
对于A，若
，则
，A 正确.
对于B，若
，
，
当
时，
，
，则
，B 错误.
对于C，若
在
上单调递增，则
，所以
.
则
，
，解得
，
，当
时，
，
又
，所以
，C 正确.
对于D，若
，
，
令
，则
.
令
，设
在区间
上的30 个零点分别为
，
则
，
，
，
在
上有30 个零点，
要使
最小，则
，
，因为
在每个周期内各有两个函数值为
，
所以15 个周期里面有30 个零点，则
最小时，
若
，
，
则
，所以
，即
的最小值为
，D 正确．
三、填空题
9．（2026·重庆渝中·模拟预测）当
时，曲线
的图象与曲线
的图象
有唯一交点，则正实数
的取值范围是_____.
【答案】
【分析】根据题意，转化为
在区间
上有唯一解，求得
和
，
结合方程有唯一的解，分类讨论，确定方程解的情况，即可得到答案.
【详解】要使得
时，曲线
的图象与曲线
的图象有唯一交点，
等价于方程
在区间
上仅有唯一解，
可得
或
，
所以
或
，
（1）当
时，
，
，
此时
无解；
，则需
，即
，
此时
，故
无解；
即当
时，方程
在区间
上无解，不符合题意；
（2）当
时，对于
，则
，
若
，则
，要使得
，即
，即
，
当
时，
，此时
，
当
时，
；当
时，
；
此时，当
时的解
，则交点的个数就会大于1，不符合题意；
若
，分别变为
，此时无解；
若
，左边
，右边
，等式不成立，无解；
对于
，右边
，
方程
，因为
，
，则
，
要使得
，可得
，解得
，
此时当
时的解为
，
加上
的解，则交点个数大于1，不符合题意；
所以只需考虑
，此时方程的解为
，
，
①当
且
时，则满足
且
，
因为
，解得
且
，此时实数
不存在；
②当
无解或
且
时，
则满足
或
或
且
，
因为
，解得
且
，所以
，
验证端点，当
时，方程
存在唯一的解
符合题意；
③当
时，即
，
可得
，解得
，
即
，此时方程存在唯一的解
，符合题意，
综上可得，正实数
的取值范围为
.
四、解答题
10．（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数
．
(1)若直线
是
的图象的一条对称轴，求
的单调递增区间；
(2)若函数
的所有正零点从小到大排列构成数列
，且
，
，
构成等比数列，求
的前
项和
．
【答案】(1)
的单调递增区间是
(2)
【分析】（1）利用两角差的正弦公式整理后结合正弦型函数的对称轴可求得
，再利用整体法求解单调
区间即可；
（2）解方程得到两个等差数列形式的正零点，根据参数范围确定奇数项和偶数项分别对应这两个数列，
利用
，
，
构成等比数列可列方程，解出参数，代入参数后写出奇数项和偶数项的通项，将前20 项
按奇偶配对求和，每对的和构成等差数列，计算总和即可.
【详解】（1）因为
，
又直线
是
的一条对称轴，
所以
，
，即
，
，
又因为
，所以
，
．
由
，
，
解得
，
，
所以
的单调递增区间是
．
（2）令
，即
，
所以
或
，
，
即
，
或
，
．
又因为
，所以
，
所以当
时，
；
当
时，
．
即
，
，
．
又因为
，
，
构成等比数列，所以
，
即
，解得
．
所以
，
，
所以
．
故
．
11．（2026·陕西咸阳·二模）已知函数
(1)若曲线
是中心对称图形，证明：
；
(2)若
，证明：
在
存在极小值；
(3)若
，且
在
单调递增，求
的取值集合．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）设对称中心
，根据
恒成立代入解析式化简得到
，
再化简证明即可.
（2）令
，
，根据零点存在定理以及函数的单调性得到
在
单调递增且存
在唯一的零点，进而得到
在
存在极小值；
（3）将题意转化为
恒成立，先得
；再考虑
时导函数非负的条件，通过分析
三角函数与二次函数的大小关系，求解得到
的取值集合.
【详解】（1）若
是中心对称图形，设对称中心为
，则对任意
恒有
.
则
化简得
等式对任意
恒成立，
故各项系数必须为
，即
，
.
（2）当
时，即
时，令
，则
，其中
，
设
，则
，
因为
在
为增函数，故
在
为增函数.
由于
，且
，
由零点定理知存在
使
.
令
.
当
，
，从而
.
所以
在
单调递增，进而
在
上单调递减，在
上单调递增，
因此
是
的极小值点，即
在
存在极小值.
（3）已知
，则
，导数为
.
要使得
在
上单调递增，需
对所有
成立.
当
时，
，而
，故不等式成立.
只需考虑
，其中
.
在
处，
，得
，即
.
先考虑区间
.
若
，则对任意
，有
，此时
，故
成立.
若
，令
，其中
.
当
时，
，
；
当
时，设
，
则
，不等式化为
，
记
，需
对
恒成立.
，设
，
则
，因为
，故
，
故
在
上递增，
，
.
若
，则
在
递增，
即
时
恒成立.
若
，则
，
.
存在唯一
使
，
当
时，
，当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，故
，
故
，整理得
，解得
，
而
，故
，
而
即
，
因为
在
为减函数，故
，
故
，
结合
可得故
即
，
故
，
综上
，
结合
的周期可得
的取值集合为
.
真题·实战演练
高频考点：三角函数图象性质的综合应用
一、单选题
1．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.
【详解】对A，设
，函数定义域为
，但
，
，则
，故A 错误；
对B，设
，函数定义域为
，
且
，则
为偶函数，故B 正确；
对C，设
，
，
，则
不是偶函数，故C 错误；
对D，设
，函数定义域为
，
因为
，且
不恒为0，
则
不是偶函数，故D 错误.
故选：B.
2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数
，
，当
时，曲线
与
恰有一个交点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】解法一：令
，分析可知曲线
与
恰有一个交点，结
合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得
，并代入检验即可；解法二：令
，可知
为偶函数，根据偶函数的对称性可知
的零点只能为0，即可
得
，并代入检验即可.
【详解】解法一：令
，即
，可得
，
令
，
原题意等价于当
时，曲线
与
恰有一个交点，
注意到
均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，
可得
，即
，解得
，
若
，令
，可得
因为
，则
，当且仅当
时，等号成立，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
则方程
有且仅有一个实根0，即曲线
与
恰有一个交点，
所以
符合题意；
综上所述：
.
解法二：令
，
原题意等价于
有且仅有一个零点，
因为
，
则
为偶函数，
根据偶函数的对称性可知
的零点只能为0，
即
，解得
，
若
，则
，
又因为
当且仅当
时，等号成立，
可得
，当且仅当
时，等号成立，
即
有且仅有一个零点0，所以
符合题意；
故选：D.
3．（2023·天津·高考真题）已知函数
的图象关于直线
对称，且
的一个周期为4，则
的解析式可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意分别考查函数的最小正周期和函数在
处的函数值，排除不合题意的选项即可确定满足
题意的函数解析式.
【详解】由函数的解析式考查函数的最小周期性：
A 选项中
，B 选项中
，
C 选项中
，D 选项中
，
排除选项CD，
对于A 选项，当
时，函数值
，故
是函数的一个对称中心，排除选项A，
对于B 选项，当
时，函数值
，故
是函数的一条对称轴，
故选：B.
4．（2022·天津·高考真题）关于函数
，给出下列结论：
①
的最小正周期为
；
②
在
上单调递增；
③当
时，
的取值范围为
；
④
的图象可由
的图象向左平移
个单位长度得到．
其中正确结论的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．
【详解】因为
，所以
的最小正周期为
，①不正确；
令
，而
在
上递增，所以
在
上单调递增，②正确；因为
，
，所以
，③不正确；
由于
，所以
的图象可由
的图象向右平移
个
单位长度得到，④不正确．
故选：A．
5．（2005·天津·高考真题）要得到函数
的图象，只需将函数
的图象上所有的
点的（ ）
A．横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），再向左平行移动
个单位长度
B．横坐标缩短到原来的
（纵坐标不变），再向右平行移动
个单位长度
C．横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），再向左平行移动
个单位长度
D．横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），再向右平行移动
个单位长度
【答案】C
【分析】先从伸缩变换排除AB 选项，再从左右平移排除D 选项，C 选项满足题意.
【详解】
，将
横坐标伸长原来的2 倍（纵坐标不变），得到
；而将
横坐标缩短为原来的
（纵坐标不变），得到
，
AB 选项排除；
C 选项：再向左平移
个单位长度，得到
符合要求；
D 选项：再向右平移
个单位长度，得到
，不满足要求，故D 选项错误.
故选：C
6．（2021·全国乙卷·高考真题）把函数
图像上所有点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，
再把所得曲线向右平移
个单位长度，得到函数
的图像，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】解法一：从函数
的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到
，
即得
，再利用换元思想求得
的解析表达式；
解法二：从函数
出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到
的解析表达
式.
【详解】解法一：函数
图象上所有点的横坐标缩短到原来的
倍，纵坐标不变，得到
的图象，再把所得曲线向右平移
个单位长度，应当得到
的图象，
根据已知得到了函数
的图象，所以
，
令
,则
,
所以
,所以
；
解法二：由已知的函数
逆向变换，
第一步：向左平移
个单位长度，得到
的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，得到
的图象，
即为
的图象，所以
.
故选：B.
二、填空题
7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
在区间
有且仅有3 个零点，则
的取值范围是________．
【答案】
【分析】令
，得
有3 个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解.
【详解】因为
，所以
，
令
，则
有3 个根，
令
，则
有3 个根，其中
，
结合余弦函数
的图像性质可得
，故
，
故答案为：
.
三、解答题
8．（2026·北京·高考真题）已知函数
，
，
．
最小正周
期为
，且
，
．
(1)求
、
的值；
(2)求
的单调递减区间．
【答案】(1)
，
(2)
【分析】（1）利用两角和正弦公式化简可得
，结合正弦型函数周期公式列方程求
，
再由
列式求
；
（2）根据正弦型函数单调区间求法求结论.
【详解】（1）因为
，
所以
，
又
的最小正周期为
，
，
所以
，所以
，
因为
，
所以
，
，
所以
，
，
所以
，
所以
，
（2）令
，
，可得
，
，
函数
的单调递减区间为
.
9．（2026·上海·高考真题）已知函数
.
(1)当
，
，求函数
在
处的切线方程；
(2)若函数
的最小正周期为
，且
在
上恰好有1351 个解，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
或
，
【分析】（1）根据
以及
可得
，即可求导以及点斜式求解直线方程，
（2）利用整体法，结合正弦函数的性质即可分类讨论求解.
【详解】（1）当
时，则
，
根据
可得
，故
，故
，
由于
，故
，故
，
，则
，
故函数
在
处的切线方程为
，故
，
（2）函数
的最小正周期为
，故
，所以
，
令
，当
，则
，
令
，则
或
，
当
时，要使得
有1351 个实数根，则
，解得
，
当
时，要使得
有1351 个实数根，则
，解得
，
当
时，要使得
有1351 个实数根，则
，无解，
综上可得
或
.
