文档文本内容
第03 讲 幂函数与二次函数
目 录
模拟·基础演练........................................................................................................................................................2
题型01 幂函数的概念及求值.................................................................................................................2
题型02 幂函数的图象及过定点.............................................................................................................3
题型03 幂函数的单调性和奇偶性.........................................................................................................5
题型04 利用幂函数单调性奇偶性求参数
........................................................................................6
题型05 利用幂函数单调性解不等式.....................................................................................................8
题型06 利用幂函数比较大小.................................................................................................................9
题型07 二次函数的解析式...................................................................................................................11
题型08 二次函数的图象和性质...........................................................................................................12
题型09 二次函数的实根分布...............................................................................................................14
题型10 二次函数的单调性与最值.......................................................................................................15
题型11 利用二次函数的单调性求参数
..........................................................................................16
题型12 利用二次函数的最值求参数
.............................................................................................17
题型13 二次函数的存在与恒成立问题
............................................................................................19
重难·创新演练......................................................................................................................................................22
真题·实战演练......................................................................................................................................................30
模拟·基础演练
考查重点：幂函数与二次函数的解析式求解、奇偶性判定、区间单调性分析；结合函数图象数形转
化，掌握定义法证单调、待定系数求参数，依托函数对称性简化区间性质推导，聚焦图象性质应用
与基础运算辨析。
题型01 幂函数的概念及求值
1.下列函数是幂函数且在(0,+ ∞)上是减函数的是（ ）
A．y = x
2
B．y = x
1
3
C．y =2 x
-1
D．y = x
- 2
3
【答案】D
【详解】对于AB，y = x
2与y = x
1
3都是幂函数，在(0,+ ∞)上都单调递增，AB 不是；
对于C，函数y =2 x
-1不是幂函数，C 不是；
对于D，函数y = x
- 2
3是幂函数，且在(0,+∞)上是减函数，D 是.
故选：D.
2.在函数y = x
-2，y =2 x
2，y =( x +1)
2，y =3 x中，幂函数的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】函数y = x
-2是幂函数，函数y =2 x
2，y =( x +1)
2都是二次函数，函数y =3 x是一次函数，它们都
不是幂函数，所以所给函数中幂函数的个数是1.
故选：B.
3．（2026·河北承德·模拟检测）已知幂函数
的图象与坐标轴无公共点，则
（
）
A．－2
B．1
C．－2 或1
D．－1 或2
【答案】A
【详解】因为
为幂函数，所以
，
即
，解得
或
.
当
时，
，其定义域为
，图象与坐标轴无公共点，符合题意；
当
时，
，其图象与坐标轴有公共点，不合题意.
综上，
.
故选：A.
4．已知
为幂函数，目
，则
.
【答案】
【详解】依题意，设
，由
可得
，解得
，则
，
于是
.
故答案为：
.
5．（2026·河北石家庄·阶段检测）若函数
（
且
）的图象过定点A，且点A
在幂函数
上，则
_______
.
【答案】
【详解】
是幂函数，则
，所以
，
．
在
中，令
，得
，所以定点为
，
故
，又
，解得
．
故答案为：
题型02 幂函数的图象及过定点
6．关于幂函数
的图象，下列说法正确的是（ ）
A．幂函数图象恒过原点 B．存在
，使得幂函数图象过第四象限
C．存在
，使得幂函数为非奇非偶函数 D．当
时，幂函数图象恒在
轴上方
【答案】C
【详解】若
的图象不过原点，A 错误；
对于幂函数
，当
时，
恒成立，因此函数图象不过第四象限，B 错误；
当
时，
的定义域为
，且在
上单调递增，为非奇非偶函数，C 正确；
当
时，
的图象过第一、三象限，D 错误．
故选：C.
7．（25-26 高三上·浙江·开学考试）函数
与
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】函数
为单调递减的指数函数，且过点
，其值域为
，排除B，D.
函数
为幂函数，定义域和值域都是
，且单调递增，过点
.
故选：A.
8．如图是幂函数
的部分图像，已知
取
、
、
、
这四个值，则于曲线
相对应的
依次为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当
时，幂函数
在
上单调递减，
当
时，幂函数
在
上单调递增，
可知曲线
、
对应的
值为正数，曲线
、
对应的
值为负数，
当
时，幂函数
在
上的增长速度越来越快，可知曲线
对应的
值为
，
当
时，幂函数
在
上的增长速度越来越慢，可知曲线
对应的
值为
，
令
，分别代入
，
，得到
，
，
因为
，可知曲线
、
对应的
值分别为
、
.
故选：A.
9．（25-26 高三上·陕西安康·开学考试）函数
的图象过定点
_______
.
【答案】
【详解】由
，解得
，代入函数
，可得
，
所以函数图象恒过定点
.
10．已知
为幂函数，则函数
的图象经过的定点坐标为
_______
.
【答案】(1,2)
【详解】因为幂函数的图象过定点(1,1)，即有
，所以
，即
的图象经过定点
(1,2)，
故答案为：
．
题型03 幂函数的单调性和奇偶性
11．（25-26 高三上·上海杨浦·开学考试）下列函数中在区间
上是严格减函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】对于A：
，在
上单调递增，不符合.
对于B：
是底数在
内的指数函数，所以在
上严格递减，从而在
上也严格递减．符合.
对于C：
在
上单调递增，不符合.
对于D：
在
上单调递增，又
，故不符合.
12．下列函数中，是奇函数且在定义域内是增函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】对A，因为
和
都是定义在
上的增函数，所以
是增函数，
又
，所以
为奇函数，正确；
对B，由反比例函数性质可知，
在定义域内不单调，错误；
对C，由对勾函数性质可知，
在定义域内不单调，错误；
对D，因为
，所以
，所以
是偶函数，
由幂函数性质可知，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，错误.
13．已知幂函数
的定义域为
，其图象关于原点对称，且在
上单调递增，则
的值可以
是 .（写出一个即可）
【答案】3（答案不唯一）
【详解】举例
，即
，其定义域为R，
又
，所以
为奇函数，其图象关于原点对称，
且
在
上单调递增，所以
满足题意.
故答案为：3.（答案不唯一）
14．（25-26 高三上·上海·开学考试）已知
，幂函数
的图象关于
轴对称，且与
轴和
轴
无交点，则
的值是
_______
.
【答案】
或
【详解】因为幂函数
的图象关于
轴对称，所以该幂函数是偶函数，设
，
则有
，所以有
为偶数，
幂函数
的图象与
轴和
轴无交点，所以
，
因为
，所以当
时，
为偶数，
当
时，
不是偶数，当
时，
为偶数，
综上所述：
的值是
或
.
故答案为：
或
题型04 利用幂函数单调性与奇偶性求参数
15．已知幂函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．
为奇函数
B．
在其定义域上单调递减
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
是幂函数，根据幂函数的定义可知
，当
时，
，等
式成立，因为
在R 上单调递增，故
为唯一解.此时
，其定义域为
.
A 选项，
，所以
是偶函数，A 选项错误.
B 选项，对
求导，可得
.当
时，
，当
时，
，
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
在其定义域上不单调递减的，B 错误；
C 选项，
，
在
上单调递减.因为
，所以
，即
，C 选项
正确.
D 选项，
，
在
上单调递增，
，所以
，即
，D 错误.
故选：C.
16．（25-26 高三上·甘肃定西·开学考试）若幂函数
是奇函数，则
_______
.
【答案】2
【分析】利用幂函数的定义以及奇函数的性质即可求解
【详解】由题可知
，即
，解得
或
．
当
时，
，其定义域为
，
，此时
为奇函数；
当
时，
，其定义域为
，
，此时
为偶函数；
综上，
.
故答案为：
17．已知幂函数
在区间
上单调递增，则
_______
.
【答案】2
【详解】因为幂函数
在区间
上单调递增，则
，解得
.
18．若幂函数
是偶函数，则整数m 的取值可以是__________（写一个即可）.
【答案】0
【详解】要使幂函数
为偶函数，需满足
,
则
取
，
此时，函数为
是偶函数。
故答案为：0
19.（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数
是幂函数，且在
上单调递
增，则
_______
.
【答案】3
【详解】因为
是幂函数，所以
，所以
或，因为
在
上单调递增，
所以
，所以
.
故答案为：.
题型05 利用幂函数的单调性解不等式
20．（25-26 高三上·江苏无锡·10 月月考）已知函数
，若
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】依题意，函数
的定义域为
；
因为
，所以函数
是奇函数；
因为
，所以
；
根据解析式及幂函数的单调性知函数
在
上单调递增；
所以
，解得
；故实数
的取值范围是
；
故选：A.
21．已知函数
，则不等式
的解集是
_______
.
【答案】
【详解】由
，
在R 上都单调递减，且都是奇函数，所以
是单调递减的奇函数，
故
，则
，即
，所以不等式的解集为
.
故答案为：
22．（25-26 高三上·重庆·月考）已知幂函数
则不等式
的解集为
_______
.
【答案】
【详解】由函数
，可得其定义域为
，关于原点对称，
且
，所以函数
为偶函数，图像关于
轴对称，
又由幂函数的性质，可得函数
在
为单调递增函数，所以函数
在
为单调递减函数，
不等式
，即为
，平方整理得
，解得
，
所以不等式
的解集为
.
故答案为：
.
23．（2026·湖南长沙·质检）已知幂函数
的图象关于
轴对称，且
在
上
单调递减，实数
满足
，则实数
的取值范围是
_______
.
【答案】
【详解】由于幂函数
在
上单调递减，
，解得
．
或
．
当
时，
为偶函数，满足条件，
当
时，
为奇函数，不满足条件，
则
，不等式
，即
在
上为增函数，
，解得
．
故答案为：
题型06 利用幂函数比较大小
24．已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，又
在
上为增函数，
所以
，综上，
，
故选：D
25．设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
，则
，
，
，即
，
，接下来比较
和
的大小关系，因为
，而
，
则
，根据幂函数
在
上单调递增得
，即
.
故
.
故选：D.
26．（25-26 高三下·湖北随州·月考）设
，则（ ）
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
【答案】B
【详解】
，
由幂函数
在
上单调递增，得
，即
；由指
数函数
在
上是单调递减，得
，即
；
.
27．已知
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
，
，
，
，
，所以
，
对于A，
在
单调递增，
，故A 错误；
对于B，
在
上单调递减，
，故B 错误；
对于C，
在
单调递减，
，故C 错误；
对于D，
在
单调递增，
,
又
在
单调递减，
,
，故D 正确.
故选：D
28．（2026·天津·模拟预测）若
，
，
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
在
上单调递增，则
，
由
在
上单调递减，则
，
所以
.
故选：D
题型07 二次函数解析式
29．已知
为二次函数且
，
，则
_______
.
【答案】
【详解】设
，
，
，
．
又
，
.
故答案为：
30．已知二次函数
的最小值为
，且
是其一个零点，
都有
．
（1）求
的解析式；
（2）求
在区间
上的最小值；
（3）若关于x 的不等式
在区间
上有解，求实数m 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）因为对
都有
，所以
的图象关于直线
对称，
又因为二次函数
的最小值为
，所以可设二次函数的解析式为
，
又因为
是其一个零点，所以
，解得
，
所以
的解析式为
.
（2）由（1）可知，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以，当
时，
，当
时，
，
.
（3）因为关于
的不等式
在区间
上有解，
即不等式
在
上有解，所以
，
记
，因为
，当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为4，所以
，即
，
故存在实数
符合题意，所求实数
的取值范围为
.
题型08 二次函数的图象和性质
31．（25-26 高三上·四川广元·阶段练习）如图，已知二次函数
的图象顶点在第一象
限，且经过
、
两个点.则下列说法正确的是：①
；②
；③
；④
.（ ）
A．①③
B．②③④
C．①②④
D．①②③④
【答案】D
【详解】根据题意，
，因为二次函数过点
，所以
，又顶点在第一象限，所以对称轴
，则
，即
，故①正确；二次函数图像过
，所以
，则
，
又
，
，所以
，则
，故②正确；由
，所以
，又
，
所以
，故③正确；
，故④正确.
故选：D.
32．将函数
的图象向左、向下分别平移2 个、3 个单位长度，所得图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】方法1，由题意得
可得函数的大致图象如图所示，
将其向左、向下分别平移2 个、3 个单位长度，所得函数图象为C 选项中的图象．
方法2，要得到
的图象，
只需把
的图象中
轴下方的图象沿
轴向上翻折并保留原来
轴上及其上方的图象，
再整体向上平移2 个单位长度即可，即为
的大致图象，如图，
将其向左、向下分别平移2 个、3 个单位长度，所得函数图象为C 选项中的图象．
方法3，平移后的图象对应函数
，C 选项中的图象正确．
故选：C.
题型09 二次函数的实根分布
33．函数
在
上有零点，则实数
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于函数
，开口向上，对称轴为
，
令
，由题意得方程
在区间
内有根.
，
当
，即
时，
没有零点，不符合题意；
当
，即
或
时，
当
时，
，零点为
，
，不符合题意；
当
时，
，零点为
，
，符合题意；
当
，即
或
时，方程有两个不相等的根
，
由题意方程至少有一个根在区间
内.
① 若
，解得
，
此时
，故零点为0 或
，符合题意；
② 若
，解得
，同上成立；
③若
，要使函数在
有零点，
，又
，
即
；综上可得
.
故选：D.
34.已知关于
的方程
有两个正根，则
的取值范围为
_______
.
【答案】
【详解】根据关于
的方程
有两个正根，可得
，解得
．
故实数
的取值范围为
．
题型10 二次函数的单调性与最值
35.（2026·河南濮阳·二模）
的最大值是（ ）
A．9
B．3
C．18
D．6
【答案】B
【详解】令
，则
，解得
，
所以函数
的定义域为
.
因为
在
处取得最大值，
最大值为3，所以
的最大值为3.
36．已知函数
，则其单调递增区间为
_______
.
【答案】
【详解】由函数解析式可知
，解得
的定义域为
，
令
，则在
上单调递减，在
上单调递增，
因为
，所以
在定义域内单调递增，所以
在
上单调递增，
故答案为：
37.已知函数
．
（1）已知
在
上单调递增，求
的取值范围；
（2）求
在
上的最小值．
【答案】（1）
．
（2）
【详解】（1）由函数
，可得
的图象开口向上，且对称轴为
，
要使得
在
上单调递增，则满足
，所以
的取值范围为
．
（2）由函数
，可得
的图象开口向上，且对称轴为
，
当
时，函数
在
上单调递增，所以
的最小值为
；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增，所以
的最小值为
；
当
时，函数
在
上单调递减，所以
的最小值为
，
综上可得，
在
上的最小值为
题型11 利用二次函数的单调性求参数
38．若函数
是
上的单调函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
函数
在
上单调，且
开口向下，在区间
上不可能单调递减，
函数
在
上不可能单调递减，故
在
上单调递增，
，解得
，
的取值范围是
．
39．若函数
的单调递增区间是
，则
__________.
【答案】2
【详解】因为函数
的对称轴为
，则其单调递增区间为
，
依题意可得
，解得
.
故答案为：2
40．已知函数
在区间
是减函数，则实数a 的取值范围是
_______
.
【答案】
【详解】
的对称轴为
，开口向上，递减区间为
.
所以
，所以
.
故答案为：
41．（25-26 高三上·江苏盐城·开学考试）已知函数
在
上单调递减，则实数
的取
值范围为
_______
.
【答案】
【详解】因为函数
在
上单调递减，
在
单调递增，
所以
在
上单调递减，且
恒成立，
即
，解得
.
故答案为：
.
题型12 利用二次函数的最值求参数
42．若函数
在区间[0，1]上的最大值是M，最小值是m，则
的值为（ ）
A．与
有关，且与
有关
B．与
有关，但与
无关
C．与
无关，且与
无关
D．与
无关，但与
有关
【答案】B
【详解】因为最值在
中取，所以最值之差一定与
无关.
故选B．
43．（多选）（25-26 高三上·辽宁·开学考试）已知函数
，则下列说法错误的是
（ ）
A．若
值域为
，则
B．若
定义域为
，则
C．若
最小值为0，则
D．若
最大值为2，则
【答案】ACD
【详解】令
，
，
对于A，因为
值域为
，则
时，
，此时
值域为
，不合题意，
当
时，则
，解得
，所以A 说法正确；
对于B，因为
定义域为
，则
时，
，此时
，符合题意，
当
时，
，解得
，所以
，所以B 说法错误；
对于C，因为
最小值为0，又
是增函数，则
有最小值，
又
的对称轴为
，则
，解得
，所以C 说法正确；
对于D，因为
最大值为2，又
是增函数，则
有最大值
，
又
的对称轴为
，则
，解得
，所以D 说法正确.
故选：ACD
44．已知t 为常数，函数
在区间[0，3]上的最大值为2，则
_______
.
【答案】1
【详解】显然函数
的最大值只能在
或
时取到，
若在
时取到，则
，得
或
，
时，
；
，
时，
（舍去）；
若在
时取到，则
，得
或
，
时，
；
，
时，
（舍去）
所以
45．（2026·四川成都·模拟预测）已知二次函数
的值域为
，则
的最
小值为
_______
.
【答案】4
【详解】因为二次函数
的值域为
，
所以
的最小值是
，且
，由二次函数性质得对称轴为
，
所以
的最小值为
，
所以
，即
，而
，
当且仅当
时取等，此时
.
故答案为：4
题型13 二次函数的存在与恒成立问题
46.函数
的值域为
，则实数a 的取值范围是
_______
.
【答案】
【详解】由题意可知，只需满足函数
的值域取遍大于
的所有数即可.
当
时，
，符合题意，
当
时，只需满足
即可，解得
，
综上所述，
的取值范围是
.
故答案为：
47. 知函数
，若
，使得不等式
成立，实数
的取值范围是
_______
.
【答案】
【详解】若对任意
，存在
，使得不等式
成立，
即只需满足
，
，对称轴
在
上单调递减，在
上单调递增，
，对称轴
，
①
即
时，
在
单调递增，
恒成立；
②
即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
，所以
，故
；
③
即.
时，
在
上单调递减，
，
所以
，解得
，综上
.
故答案为：
48.已知函数
，若对任意
，总存在
使得
，
则实数
的取值范围是
_______
.
【答案】
或
【分析】由题意可得
，分
，
和
三种情况讨论即可求解.
【详解】对任意
，总存在
使得
成立，等价于
.
当
时，
单调递减，
.
当
时，
图象的对称轴为直线
.
①当
时，
在
上单调递增，
，
，解得
；
②当
时，
在
上单调递减，
，
，解得
；
③当
时，
，
，
解得
或
，这与
相矛盾，故舍去.
综上所述，
或
.
故答案为：
或
.
49.（25-26 高三上·浙江·开学考试）已知函数
，
（1）若不等式
恒成立，求实数
的值；
（2）若函数
在区间
上有两个零点，求实数
的取值范围；
（3）若函数
在区间
上的值域为
，且
，求实数
的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立列出不等式求解.
（2）求出方程的两个根，再建立不等式组求解.
（3）按
图象对称轴与区间
的关系分段求出最小值，并建立不等式求解即可.
【详解】（1）函数
为开口向上的二次函数，当
恒成立时，
，
即
，所以
.
（2）由（1）知
，由
，得
，解得
，
，
由函数
在区间
上有两个零点，得
，解得
，
所以实数
的取值范围
.
（3）依题意，
，即
，则
，而
，又
，
则
，即
，又
，因此
，
（ⅰ）当
时，
在区间
上单调递增，则
，
于是
，解得
，且
或
，因此
；
（ⅱ）
，则
，于是
，
解得
，因此
，
所以实数
的取值范围是
.
重难·创新演练
设题创新: 融合幂函数、二次函数图象与性质，依托生活情境创设新定义题型；结合数形交叉设问，
灵活嵌套分段、奇偶、单调性综合条件，侧重知识迁移与图象转化的综合应用，拔高逻辑推理与多
方法解题能力。
1.（2026·黑龙江·阶段检测）已知
为幂函数，
为常数，且
，则函数
的图象
经过的定点坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为幂函数的图象过定点
，即有
，所以
，
即
的图象经过定点
.
故选：B.
2.（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
的最小值为
，则实数
的值是（
）
A．
B．
C．
D．4
【答案】B
【详解】设
，则
，函数
等价于函数
．
令
，则该函数的图象开口向上，对称轴为直线
．
当
，即
时，
在
上单调递增，此时无最值，不满足题意；
当
，即
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
或
（舍去）．
所以实数
的值是
.
故选：B.
3. 【新考法】函数
的一个单调增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】由题意，
，
令
，则
，所以函数
在
上单调递减，
在
上单
调递增，
而
的单调增区间是
，单调减区间是
，
对于A，当
时，
单调递减，且
，此时
单调递减，所以
是
的一个单调增区间；
对于B，当
时，
单调递减，
，此时
不是单调函数，所以
不
是
的一个单调增区间；
对于C，当
时，
单调递减，
，此时
单调递增，所以
不是
的
一个单调增区间；
对于D，当
时，
单调递减，
，此时
单调递增，所以
不是
的一个单调增区间，则
也不是
的一个单调增区间；
故选：A
4．【新考法】（25-26 高三上·上海浦东新·阶段检测）如图所示是函数
（
均为正整数且
互
质）的图象，则（ ）
A．
是奇数且
B．
是偶数，
是奇数，且
C．
是偶数，
是奇数，且
D．
是奇数，且
【答案】B
【详解】由幂函数性质可知：
与
恒过点
，即在第一象限的交点为
，
当
时，
，则
；
又
图象关于
轴对称，
为偶函数，
，
又
互质，
为偶数，
为奇数.
故选：B.
5．下列图象中，不可能成为函数
的图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意可知，
，又
，
所以
为奇函数，图象关于原点对称，
当
时
，结合幂函数的性质可知，D 选项符合；
当
时，若
，
，A 选项符合；
当
时，
，此时
在
和
上单调递增， B 选项符合；
结合选项可知，只有C.选项不可能.
故选：C.
6．【新角度】（2026·广东湛江·阶段检测）若直线
与幂函数
，
，
的图象从
左到右依次交于不同的三点
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】当
时，由
，得
；由
，得
；由
，得
.
因为
，所以
是关于
的减函数.又
，所以
，所以
.
故选：A.
7．【新考法】已知函数
，在
上的最大值为
，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由已知
，
函数
在
上单调递减，在
和
上单调递增，
当
时，
在
上单调递增，即函数
的最大值为
，符合；
当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，即函数
的最大值为
，
不符合；
当
时，
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
此时
的最大值为
，则
，即
，解得
．
综上所述，
.
故选：D
8．【新题型】（2026·吉林·三模）已知集合
，集合
，且
，
.记事件
“函数
是幂函数”，事件
“函数
在
上单调递增”，则
（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】设样本空间为
，则
，
对于事件
“函数
是幂函数”，可知
，
则
，可得
，
对于事件
“幂函数
在
上单调递增”，则
，
则
，可得
，
所以
.
9．（25-26 高三上·浙江·开学）（多选）已知幂函数
，下列说法正确的有（ ）
A．若
，则
的图象关于直线
对称
B．若
，则
是偶函数，且在
上单调递增
C．若
，则
的定义域为
，且在
上单调递减
D．若
，则对任意
，都有
【答案】BC
【详解】若
，
，定义域为
，
其图象上存在点
，而点(4,2)关于直线
对称点
不在其图象上，
，故不关于直线
对称，故A 错误.
若
，
，可知
是开口向上的二次函数，对称轴为
，
又
，
是偶函数，
，
在
上单调递增，故B 正确.
若
，
，可知
的定义域为
，
又
，
在
上单调递减，故C 正确.
若
，
，则
，
故只有当
时才有
，故D 错误.
故选：BC.
10. 【新情境】（多选）约定：如果一个函数的图象上存在一个点，该点的横坐标和纵坐标相等，那么就
称该点为该函数的一个回归点，称该函数是一个具有回归点的函数.如果一个函数有且仅有
个回归点，那
么就称该函数为一个具有
个回归点的函数.例如，点
和
都是函数
的回归点，函数
是一个具有两个回归点的函数.根据约定，下列选项中正确的是（ ）
A．函数
是一个具有回归点的函数
B．具有回归点的函数有无数个
C．存在无数个具有无数个回归点的函数
D．已知点
是函数
的一个回归点，则点
也是函数
的一个回归点
【答案】ABC
【详解】A.令
，解得
，函数
是一个具有回归点的函数，且回归点为
；
B. 具有回归点的函数有无数个，如幂函数
是回归函数,都至少存在回归点（1，1）；
C. 存在无数个具有无数个回归点的函数，如函数
，
，且
，则其图像上的任何
一个点都是回归点；
D. 已知点
是函数
的一个回归点，对于
，
是函数
的一个回归点，但
不
是函数
的一个回归点，排除.
故选：ABC.
11．【新考法】（2026·重庆·模拟预测）已知函数
，若
，则
的最大值为
.
【答案】2
【详解】因为
为增函数，不妨设
，
则
，即
，
变形得
.
若
异号，则
，
即
，
解得
，当且仅当
时，等号成立.
若
同号或
中有一个为0，则
，解得
.
综上，
的最大值为2.
故答案为：2.
12．如图，在第一象限内，矩形
的三个顶点
，
分别在函数
的图象
上，且矩形的边分别与两坐标轴平行，若A 点的纵坐标是2，则D 点的坐标是
_______
.
【答案】
【详解】由题意，
纵坐标都为2，则
点横坐标为8，即
点横坐标为8，
所以A 点的横坐标为
，
点纵坐标为
，
由
为矩形及题图知：D 点的坐标是
.
故答案为：
13．【新考法】（2026·河北保定·模拟预测）已知函数
在区间
上单调，
且
，则a 的取值范围为
_______
.
【答案】
【详解】若
在
上单调递减，且
.
则有
，
，
相减得
，
则
，
，
即
，
.
所以
，
为方程
在
上的两个根，
则有
且
，
得
．
若
在
上单调递增，
则有
，
，即
，
为方程
在
上的两个根，
则有
且
得
．
综上所述，得
．
故a 的范围为
14.已知二次函数
的单调递增区间为
，且有一个零点为．
（1）证明：
是偶函数．
（2）若函数
在
上有两个零点，求
的取值范围．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）证明：由二次函数
的单调递增区间为
，
可得
，解得
．又因为
有一个零点为
，则
，解得
或
（舍
去），
所以
，
因为
，所以
是偶函数．
（2）解：由（1）可知
，
因为
在
上有两个零点，则满足
，解得
，
所以实数
的取值范围为
．
真题·实战演练
高频考点：幂函数解析式求解与图象性质辨析、二次函数解析式选取与区间单调性分析，依托对称
轴数形结合求解参数；函数奇偶判定、利用对称性简化单调区间推导，侧重真题高频的性质应用与
基础运算考查。
1．（2024·天津·高考真题）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】根据立方的性质和指数函数的性质，
和
都当且仅当
，所以二者互为充要条件.
故选：C.
2．（2025·天津·高考真题）函数
的零点所在区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由指数函数、幂函数的单调性可知：
在
上单调递减，
在
单调递增，
所以
在定义域上单调递减，
显然
，
所以根据零点存在性定理可知
的零点位于
.
故选：B
3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
在R 上单调递增，则a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】因为
在
上单调递增，且
时，
单调递增，
则需满足
，解得
，即a 的范围是
.
故选：B.
4．（2023·全国甲卷·高考真题）已知函数
．记
，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】令
，则
开口向下，对称轴为
，
因为
，而
，
所以
，即
由二次函数性质知
，
因为
，而
，
即
，所以
，
综上，
，
又
为增函数，故
，即
.
故选：A.
5．（2023·天津·高考真题）设
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由
在R 上递增，则
，
由
在
上递增，则
.所以
.
故选：D
6．（2024·上海·高考真题）若函数
是奇函数，则实数
_______
.
【答案】0
【分析】根据奇函数的定义求解．
【详解】
是奇函数，则
恒成立，
所以
，解得
故答案为：0．
7．（2020·江苏·高考真题）已知y=f(x)是奇函数，当x≥0 时，
，则f(-8)的值是
_______
.
【答案】
【详解】
，因为
为奇函数，所以
故答案为：
