文档文本内容
知识解构
知识点1 幂函数 知识点2 二次函数及其性质
题型破译 (含超链接）
题型
1 幂函数的概念及求值
题型
2 幂函数的图象及过定点
题型
3 幂函数的单调性和奇偶性
题型
4 利用幂函数单调性奇偶性求参数
题型
5 利用幂函数单调性解不等式
题型
6 利用幂函数比较大小
题型
7 二次函数的解析式
题型
8 二次函数的图象和性质
【方法技巧】求二次函数解析式的三个策略 【方法技巧】二次函数图象的辨析
题型
9 二次函数的实根分布
题型
10
二次函数的单调性与最值
【方法技巧】二次函数的最值类型及求解策略
题型
11
利用二次函数的单调性求参数
题型
12
利用二次函数的最值求参数
题型
1 3 二次函数的存在与恒成立问题
第03 讲 幂函数与二次函数
内容导航
命题透视·考情前瞻
——对标素养，研判高考命题趋
01
命题透视·考情前瞻
对标素养，研判高考命题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知识框架，构建系统思维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知识，归纳题型技巧
04
真题溯源·考向感知
溯源真题逻辑，感知高考考向
05
课本典例·高考素材
立足课本典例，挖掘高考素材
核心考点
2026 年
2025 年
2024 年
幂函数
二次函数
全国Ⅰ卷T6（5 分）
全国Ⅱ卷T6（5 分）
考情分析
幂函数与二次函数是常见的重要函数，是高考常考的热点内容，主要出现在选择题、填空题
中，难度较易.
近三年高考显示，函数较少单独考查，常与指、对数函数结合考查，包括比较指对幂的大小、
解不等式等考法，二次函数常与其他知识相结合，考查二次函数的图象与性质.
复习目标
1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.
2.掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、最值等）.
思维建模·脉络梳理
——搭建知识框架，构建系统思维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知识，归纳题型技巧
知●识●解●构
幂函数与二次函数
知识点1 幂函数
1.定义：一般地，函数 的称为幂函数，其中x 是自变量，
α 为常数
2.幂函数的图象
3. 幂函数的性质
（1）幂函数在（0，＋）上都有定义；
∞
（2）当α＞0 时，幂函数的图象都过点
和
，且在（0，＋）上单调递增；
∞
（3）当α＜0 时，幂函数的图象都过点
，且在（0，＋）上单调递减；
∞
（4）当α 为奇数时，y＝xα为
；当α 为偶数时，y＝xα为
.
必记结论
①幂函数的单调性
f (x)=xα{
α ＞0时，f (x)在第一象限单调递增
α ＜0时，f (x)在第一象限单调递减
②幂函数的奇偶性
f (x)=xα{
α 为整数{
α 为偶数，f (x)为偶函数
α 为奇数，f (x)为奇函数
α 为分数，设α= q
p{
p为偶数时，f (x)为非奇非偶函数
p为奇数时{
q为奇数，f (x)为奇函数
q为偶数，f (x)为偶函数
自主检测已知幂函数
的图像过点
，则该幂函数的值域是 ．
知识点2 二次函数及其性质
（1）二次函数
①一般式：
(
)，对称轴是
顶点是 ；
②顶点式：
(
)，对称轴是
顶点是 ；
③交点式：
(
)，其中（
），（
）是抛物线与x 轴的交点
（2）二次函数的性质
①函数
的图象关于直线 对称。
②
时，在对称轴 （
）左侧，
值随
值的增大而减少；
在对称轴（
）右侧；
的值随
值的增大而增大。当
时，
取得最小值
③
时，在对称轴 （
）左侧，
值随
值的增大而增大；
在对称轴（
）右侧；
的值随
值的增大而减少。当
时，
取得最大值
必记结论
二次函数在闭区间上的最值
设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，闭区间为[m，n].
当－≤m 时，最小值为f(m)，最大值为f(n).
（2）当m＜－≤时，最小值为f，最大值为f(n).
(3)当＜－≤n 时，最小值为f，最大值为f(m).
(4)当－＞n 时，最小值为f(n)，最大值为f(m).
自主检测（多选）设
，则二次函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
题●型●破●译
题型1 幂函数的概念及求值
例1-1 下列函数是幂函数的是（ ）
A．y = 1
x
3
B．y =2
x
C．y =2 x
2
D．y =- x
-1
例1-2 下列函数是幂函数且在(-∞,0)是增函数的是（ ）
A．y = 1
x
B．y = x
3+1
C．y = x
-2
D．y = ❑√|x|
例1-3 已知幂函数的图象过点
，则函数的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练1-1】下列函数中，属于幂函数的是（ ）
A．y =(2 x)
2
B．y = ❑√x
C．y =- 1
x
D．y =2
x
【变式训练1-2】下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ）
A．y = x
3
B．y = x
2
C．y = x
3+1
D．y = ❑√x
【变式训练1-3】已知幂函数
的图象经过点
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．3
D．9
【变式训练1-4·变考法】（2026·江苏盐城·10 月阶段检测）“
”是“
为幂
函数”的（ ）条件．
A．充要
B．必要不充分
C．既不充分也不必要 D．充分不必要
【变式训练1-5】已知幂函数
的图像过点
，则该幂函数的值域是 ．
题型2 幂函数的图象及过定点
例2-1【新思维】（多选）（2026 高三·全国·专题练习）以下关于幂函数
图像的说法，正
确的有（ ）
A．
的图像一定过原点
B．
的图像一定过点
C．
的图像可能经过第三象限
D．
的图像可能经过第四象限
例2-2 函数
的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
例2-3（2026 高三·全国·专题练习）若幂函数
与
在第一象限内的图象如图所示，则
与
的取值情况为（ ）
A．
B．
C．
D．
例2-4（25-26 高三上·山西·阶段检测）已知函数
（
为常数）的图象恒过定点
，则
．
【变式训练2-1】（25-26 高三上学期·云南文山·开学考试）函数
的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-2】函数
的图象恒过定点（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练2-3·变考法】(多选)现有4 个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（ ）
A．
，
，
，
B．
，
，
，
C．
，
，
，
D．
，
，
，
【变式训练2-4】已知
函数
的大致图像如图所示，则
．
【变式训练2-5】已知函数
，且
的图像恒过定点P，且P 在幂函数
的图象上，
则 ．
题型3 幂函数的单调性和奇偶性
例3-1 下列函数是偶函数，且在
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
例3-2（2026·山东滨州·检测）设
，则使函数
的定义域为R 且为奇函数的所有
值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
例3-3【新思维】（2026·山西太原·模拟预测）下了函数中，满足“
”的单调递增函
数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-1·变考法】下列函数中，既是偶函数，又是在区间
上单调递减的函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练3-2】已知函数
，则此函数是（ ）
A．偶函数，且在区间
上单调递减B．偶函数，且在区间
上单调递增
C．奇函数，且在区间
上单调递减D．奇函数，且在区间
上单调递增
【变式训练3-3】幂函数
在
上单调递减，且经过点
，请写出符合条件的一个函数解
析式 ．
题型4 利用幂函数单调性与奇偶性求参数
例4-1 已知幂函数
在
上单调递增，则m 的值为（ ）
A．1
B．-3
C．-4
D．1 或-3
例4-2【新角度】已知
，若幂函数
为奇函数，且在
上递减，则
．
【变式训练4-1·变考法】（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数
在
上单调递减，
则实数m 的值为（ ）
A．0 或1
B．
或1
C．1
D．0
【变式训练4-2·变考法】（25-26 高三上·河北衡水·阶段检测）已知幂函数
在
上单调递减，若正数a，b 满足
，则
的最小值为（ ）
A．16
B．12
C．8
D．4
【变式训练4-3·变考法】（2026·湖北武汉·模拟检测）若函数
在［－1，2］上的最大
值为4，最小值为m，且函数
在
上是增函数，则
．
题型5 利用幂函数的单调性解不等式
例5-1（25-26 高三上·江苏连云港·阶段测试）已知幂函数
的图象过点
，且
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
例5-2（25-26 高三上·河北唐山·阶段检测）设
是幂函数，若
，则
的取值范围是 ．
例5-3（25-26 高三上·上海虹口·开学）已知幂函数
在
上是严格减函数，其中
．
（1）求
的值；
（2）求关于
的不等式
的解集．
【变式训练5-1·变题型】（原创题）已知幂函数
，则（ ）
A．
B．
的定义域为
C．
为非奇非偶函数
D．不等式
的解集为
【变式训练5-2·】若
，则满足
的
取值范围是 ．
【变式训练5-3·变考法】试用函数观点解不等式
，则该不等式的解集为 ．
【变式训练5-4·变题型】（25-26 高三上·辽宁·月考）已知幂函数
的图象关于原点对
称，若
，则实数
的取值范围是 ．
题型6 利用幂函数比较大小
例6-1（2026·重庆北碚·模拟预测）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例6-2【新思维】（25-26 高三上·浙江杭州·开学）已知
，那么（ ）
A．
B．
C．
D．
例6-3【新角度】 (多选)若实数
，
，
满足
，则下列不等关系可能成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
例6-4【新思维】（2026·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）已知点
在幂函数
的图象上，
设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-1】已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-2】设a＝
，b＝
，c＝
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a
【变式训练6-3】（2026·天津·一模）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-4·变考法】若
，
，
，则正数
大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练6-5·变考法】已知函数
为幂函数，若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型7 二次函数解析式
例7-1 图象是以
为顶点且过原点的二次函数
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
例7-2 已知函数
为二次函数，
的图象过点
，对称轴为
，函数
在R 上最小值为
，则
的解析式为 ．
例7-3 二次函数
满足
，且
．
（1）求
的解析式；
（2）在区间
上，
的图象恒在
图象的上方，试确定实数
的取值范围．
方法技巧 求二次函数解析式的三个策略
（1）已知三个点的坐标，宜选用一般式.
（2）已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式.
（3）已知图象与x 轴的两交点的坐标，宜选用零点式.
【变式训练7-1】已知二次函数
满足
，且
的最大值是8，则此二次函数
的解析式为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练7-2】设函数
的定义域为
，且
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【变式训练7-3】二次函数
的图象经过点
，在x 轴上截得的线段长为2，且
，都有
，试确定
的解析式．
题型8 二次函数的图象和性质
例8-1 设
，二次函数
的图象可能是
A．
B．
C．
D．
例8-2 已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f（4）>f（1），则（ ）
A．a>0，4a＋b＝0
B．a<0，4a＋b＝0
C．a>0，2a＋b＝0
D．a<0，2a＋b＝0
例8-3 若函数
，
的图象关于直线
对称，则
．
方法技巧二次函数图象的辨析
【变式训练8-1·变考法】（25-26 高一上·湖北十堰·开学考试）如图，二次函数
的图
象与
轴的一个交点为
，对称轴为直线
．则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．若点
是抛物线上的两点，若
，则
【变式训练8-2·变考法】关于函数
，以下表达错误的选项是（ ）
A．函数的最大值是1
B．函数图象的对称轴是直线
C．函数的单调递减区间是
D．函数图象过点
【变式训练8-3·变考法】已知二次函数
的图象如图所示，则函数
和
在第一
象限的图象可能为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
题型9 二次函数的实根分布
例9-1 已知
,
是关于
的一元二次方程
的两个实数根，且
,
，则实数
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
例9-2 关于
的方程
，求
为何值时？
（1）方程有唯一实根；
（2）方程一根大于1，一根小于1．
【变式训练9-1·变考法】函数
在
上有零点，则实数
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练9-2·真题改编】已知函数
的两个零点为2，3．若函数
的两个
零点分别在区间
内，则实数m 的取值范围为 ．
题型10 二次函数的单调性与最值
例10-1 函数
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
例10-2（24-25 高一上·天津·阶段练习）已知函数
的单调递增区间为__________.
例10-3 已知函数
．
（1）当
时，求函数的最大值和最小值；
（2）求实数
的取值范围，使
在区间
上是单调函数．
方法技巧 二次函数的最值类型及求解策略
（1）类型：①对称轴、区间都是固定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间动．
（2）求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合
配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.
【变式训练10-1·变考法】函数
的单调递增区间区间为 ．
【变式训练10-2·变考法】在函数
中，若a，b，c 成等比数列且
，则
有最
值（填“大”或“小”），且该值为 ．
【变式训练10-3】【新思维】（2025·湖北·模拟预测）函数
的最小值为
，此时
．
题型11 利用二次函数的单调性求参数
例11-1 函数
(
，且
)在区间
上单调递增，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
例11-2 若函数
在区间
上不具有单调性，则实数
的取值范围是 ．
【变式训练11-1·变载体】若函数
与
在区间
上都是减函数，则
的取值范
围（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练11-2·变载体】（2026·甘肃金昌·三模）已知
，
，若函数
在
上单调递减，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练11-3】已知函数
，若
，则实数
的取值范围是 ．
【变式训练11-4· 变载体】（25-26 高三上· 云南保山· 开学考试）定义域为
的函数
在
单调递减，则实数k 的取值范围是 ．
题型12 利用二次函数的最值求参数
例12-1（原创题）已知函数
的最大值为2027，则
的值为（ ）
A．
B．-1
C．1
D．
或-1
例12-2（25-26 高三上·湖北恩施·开学考试）已知
，当
时，
的最小值是
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例12-3 已知函数
，记
是
在区间
上的最大值.
（1）证明：当
时，
；
（2）当
，
满足
，求
的最大值.
【变式训练12-1·变考法】（2026·全国·模拟预测）已知函数
在区间
上有最大
值或最小值，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练12-2·变考法】已知函数
，则“b＜0”是“
的最小值与
的最小值相
等”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式训练12-3·载体】（2026·江西赣州·二模）已知函数
在区间
上的最大值为
，在区
间
上的最大值为
．若
，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练12-4·真题改编】
为实数，函数
在区间
上的最大值记为
. 当
时，
的值最小.
题型13 二次函数的存在与恒成立问题
例13-1（2026·辽宁抚顺·二模）已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，若
在
上恒成立，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
例13-2 已知函数
，
，若对于任一实数
，
与
的值至少有一
个为正数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练13-1·变考法】设函数
，命题“
，
”是假命题，则实
数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练13-2·变考法】（2026·北京·模拟预测）已知函数
若对于任意的
，都有
，那么实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式训练13-3】【新思维】已知
，
，若对任意的
，总存在
，使
成立，则实数
的取值范围是 ．
真题溯源·考向感知
——溯源真题逻辑，感知高考考向
1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2022·天津·高考真题）设
，
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·天津·高考真题）若
，对
，均有
恒成立，则
的
最小值为 ．
4．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线
与
在
上有两个不同的交点，则
的
取值范围为 ．
5．（2024·天津·高考真题）设
，函数
.若
恰有一个零点，则
的取
值范围为 ．
课本典例·高考素材
——立足课本典例，挖掘高考素材
1．若
，且
，
，求
的值.
2．已知函数
在
上具有单调性，求实数k 的取值范围.
3．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
（1）
，
； （2）
，
.
4．根据单调性和奇偶性的定义证明函数
的单调性和奇偶性.
5．证明：幂函数
在区间
上是增函数.
6．试用描点法画出函数
的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶性，并证明.
7．已知幂函数
的图象过点
，试求出此函数的解析式，并画出图象，判断奇偶性、单
调性.
8．画出函数
的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性.
