文档文本内容
第03 讲 导数与函数的极值、最值
目 录
模拟·基础演练.....................................................................................................................2
题型01 （导）函数图象与极值.............................................................................................................2
题型02 求函数的极值（点）.................................................................................................................6
题型03 已知函数的极值（点）求参数
..........................................................................................9
题型04 已知极值（点）个数求参数
............................................................................................12
题型05 求不含参函数的最值...............................................................................................................17
题型06 导数在解决实际问题中的应用
........................................................................................21
题型07 根据函数的最值求参数...........................................................................................................27
题型08 求含参函数的极值和最值.......................................................................................................31
题型09 利用极值、最值解决函数的零点问题
............................................................................35
题型10 恒成立问题
....................................................................................................................... 40
重难·创新演练..................................................................................................................45
真题·实战演练..................................................................................................................52
模拟·基础演练
考查重点：本模块围绕导数极值、最值展开，重点依托导函数图像判断极值，掌握极值、最值常规
求解与含参逆向计算；结合实际应用、零点、恒成立综合题型，考查构造转化与分类讨论，突出数
形结合与综合运算能力。
题型01 （导）函数图象与极值
1．（多选）若函数
导函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．
是
的一个极大值点
B．
是
的一个零点
C．
不是
的一个极小值点
D．
是
的一个极大值点
【答案】ACD
【详解】对于A 选项，由图可知，在
左右两侧，导函数左正右负，函数
左增右减，
是
的一
个极大值点，A 正确；
对于B 选项，由图可知，在
左右两侧，导函数左负右正，函数
左减右增，
是
的一个极小值
点，不是零点，B 错误；
对于C 选项，由图可知，在
左右两侧，导函数恒大于零，函数
单调递增，
不是
的一个极值
点，C 正确；
对于D 选项，由图可知，在
左右两侧，导函数左正右负，函数
左增右减，
是
的一个极大值
点，D 正确．
2．已知函数
的大致图象如图所示，则（ ）
A．
，
，
，
B．
，
，
，
C．
，
，
，
D．
，
，
，
【答案】A
【详解】由题意可知函数
在
上单调递增，在
上单调递减，极大值点为
，极小值点为
，
所以
的两根为
，
，且
，
所以
，所以
，
由题意可得函数与
轴的交点位于
轴的正半轴，所以
.
综上，
，
，
，
.
3．已知
是定义域为
的函数
的导函数，且函数
的图象如图所示，则（ ）
A．
在
上为增函数
B．
的最小值为
C．
的极大值为
，极小值为
D．
的极小值点为0，极大值点为1
【答案】D
【详解】由图像可知，当
时，
，所以
.
所以
，所以
在
上为减函数，A 错误；
当
时，
，所以
.
所以
，所以
在
上为增函数，
当
时，
，所以
.
所以
，所以
在
上为减函数，所以
的最小值为
或
，B 错误；
因为
在
上为减函数，在
上为增函数，在
上为减函数，
所以
的极大值为
，极小值为
，极大值点为1，极小值点为0，所以C 错误D 正确；
故选：D.
4．（多选）已知
是
上连续可导函数，若函数
的图象如图所示，则下列说法正确的是
（ ）
A．
有三个极值点
B．
在
单调递减
C．
D．
【答案】BC
【详解】由函数
的图象知，
当
时，
，当
时，
，
当
时，
，当
时，
，
所以，
在
上单调递减，选项B 正确；
是
的极大值点，2 为函数
的极小值点，1 不是函数
的极值点，选项A 错误；
当
时，
，
在
上单调递减，
，选项C 正确；
当
时，
，
在
上单调递减，
，选项D 错误．
5．（多选）函数
的图象如图所示，设
是函数
的导函数，则下列
结论正确的是（ ）
A．
的解集是
B．
C．
时，
取得最大值
D．
的解集是
【答案】BC
【详解】对于A 项，由图象可得，函数
在
上单调递增，
所以
的解集是
，故A 项错误；
对于B 项，因为
，结合A 可得
，故B 项正确；
对于C 项，又
为二次函数，根据三次函数的图象可知
.
因为函数
在
以及
处取得极值，
故
，故
，
因为
，所以
时，
取得最大值，故C 项正确；
对于D 项，由
可得
或
.
由图象知，当
时，
.
又
的解集为
，所以由
可得
；
由图象知，当
时，
.
又
的解集为
.
所以由
可得
.
所以，
的解集是
，故D 项错误.
故选：BC.
题型02 求函数的极值（点）
6．请写出函数
的一个极值点_________．
【答案】（或
）
【详解】对函数
求导，根据乘积求导法则得：
，
令
，解得
或
.
当
时
，当
时
，故
是极大值点；
当
时
，当
时
，故
是极小值点.
综上，
和
均为函数的极值点，写出一个即可.
7．已知三次函数
的导函数为
，若
，则函数
的极大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】由题意得：
，所以
，解得
，
所以
，
所以
，
令
，解得
或
，
由
或
，由
，
所以
在
单调递减，在
单调递增，
所以
的极大值为：
.
8．已知函数
.
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)若函数
存在最小值，且该最小值大于0，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）当
时，
，则
，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
函数
在
处取得极小值，极小值
.
（2）可知
，
当
时，
在
上恒成立，即
在
上单调递增，此时不存在最小值，
当
时，令
，即
，解得
，
则当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
在
处取得极小值，也是最小值，
最小值
，
令函数
，则
，
可知函数
在
上单调递减，可知
时，
，且
，
所以存在
，使
，
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
，
在
上单调递减，
因为
时，
，
，
所以在
时，
，所以实数a 的取值范围为
.
9．
，下列说法正确的是（ ）
A．0 是极大值点
B．
是极大值点
C．
是极小值点
D．
是极大值点
【答案】D
【详解】
，
令
，解得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，
则0 不是极值点，A 错误；
是极小值点，B 错误；
是极大值点，C 错误；
是极大值点，D 正确．
10．已知等比数列
的各项均为正数，
，
是函数
的两个极值点，则
（ ）
A．1013
B．1014
C．2025
D．2026
【答案】A
【详解】
，
因为方程
的判别式
，
所以方程
有两个不相等的实数根，设其根为
，其中
，
则
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
所以
为函数
的极值点，且
，
由已知
，
题型03 已知函数的极值（点）求参数
11．已知函数
为其一个极值点，且
，则
______．
【答案】4
【详解】由
，求导得
，
为其一个极值点，
，解得
，
，此时
，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
所以
满足条件，又
，
，解得
．
故答案为：4．
12．已知函数
在
处取得极值，则
的值为_______.
【答案】-2
【详解】由题
，因为
在
处取得极值，所以
，
所以
，此时
，
为增函数，
令
，所以当
时，
；当
时，
，
所以函数
在
处取得极值，故
.
13．已知函数
在
处有极值44，则
（ ）
A．-6 或10
B．-6
C．6
D．10
【答案】D
【详解】对函数求导可得，
，
由题意可得，
，
∴
，
∴
，即得
，所以
或
，
当
时，
，所以
，
所以
单调递减，
单调递增，在
处有极小值，符
合题意；
当
时，
，所以
，
所以
单调递增，无极值，不符合题意，舍去
∴
14．已知函数
在
处取得极值0，则
______.
【答案】24
【详解】函数
，则
，
又
在
处取得极值0，
则
，解得
或
，
当
时，
，
函数
在
上单调递增，无极值，不符合题意；
当
时，
，
当
或
时，
，当
时，
，
所以
在
，
上单调递增，在
上单调递减，
故
在
处取得极小值，符合题意，
所以
，
，则
.
故答案为：
.
15．已知函数
；
(1)若函数
在
处取得极小值－4，求实数
的值；
(2)写出当
时函数
的单调区间；
【答案】(1)
(2)
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
.
【分析】
【详解】（1）函数
的定义域为
，
，
由题可得
，即
，所以
，
当
时，
，
当
或
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
在
处取得极小值，所以
；
又极小值为
，所以
，所以
，
所以
.
（2）函数
的定义域为
，
，
当
时，
的两根为
，且
，
所以当
或
时，
；当
时，
，
所以
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
.
题型04 已知极值（点）个数求参数
16．已知函数
，若
有且只有1 个极值点，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】函数
有且只有1 个极值点，
当
时，没有极值点；
当
时，
，取
，得到
，
当
时，函数为二次函数，则
，故
，
综上所述：
.
故选：C.
17．若函数
在区间
内存在2 个极值点，则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，因为函数
在区间
内存在2 个极值点，
所以
在区间
内有两个解.
即
在区间
内有两个解.
设
，
，
，
当
时，
，函数
在
上为增函数；
当
时，
，函数
在
上为减函数，
又
，
，
，则
，如图所示.
由图知，当且仅当
时，函数
与函数
有两个交点，
此时即
在区间
内有两个解，故实数a 的取值范围为
.
故选：B
18．对任意
，函数
不存在极值点的充要条件是________.
【答案】
【详解】
，
,
由于函数
不存在极值点，
无实根或有两个相等的实根.
①
时，原方程化为
，不成立，原方程无解，符合题意；
②
时，
为一元二次方程，
故
,解得：
综上所述，
故答案为：
19．已知函数
是一个奇函数
(1)若
的最小值为
，求
的单调区间；
(2)若
不存在极值，求的取值范围．
【答案】(1)单调递增区间为
和
；单调递减区间为
；
(2)
【分析】
【详解】（1）因为
是一个奇函数，
所以
，
又因为
，
由
，可得
，解得
，
所以
，
所以
，
所以
，
所以
，
，
所以当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增；
所以函数
的单调递增区间为
和
；单调递减区间为
；
（2）由题意可得
，
，
所以
，
所以
，
由题意可得
不存在变号零点，
当
时，
不存在变号零点，满足题意；
当
时，
存在变号零点
，不满足题意；
综上，当
不存在极值时，
.
20．已知函数
．
(1)若
存在两个极值点，求实数
的取值范围；
(2)设函数
，且
在
上有
个零点，若
，证明：
．
【答案】(1)
；
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）由
，得
，
因为方程
有两个不等实根，
即方程
有两个不等实根，
所以
，即
，
即
的取值范围为
；
（2）由
，得
，即
，
设函数
，
则
，
设函数
，则
，函数
为增函数，
因为
，
，
，
所以
，且
，
当
时，
，
，
当
时，
，
，
所以当
时，
取得极大值，也为最大值，
且极大值为
，
因为
，
所以当
在
上有
个零点时，
．
21．已知函数
.
(1)当
时，证明：
；
(2)若
在区间
上有且只有一个极值点，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
函数的定义域为
，当
时，
.
要证
，只需证：当
时，
.
令
，则
.
当
时，
；当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，
，即
时，
，
得证.
(2)
【分析】
【详解】（1）略
（2）
，
令
，
①当
时，
在
上无极值点，不符合题意；
②当
时，
，即
在
上单调递减，且
.
取
，其中
.
显然，
，
则
.
由根的存在性定理可知，存在唯一的
，使得
.
当
时，
，即
；当
时，
，即
.
此时
在区间
上有且仅有一个极值点
，满足题意.
综上，
.
题型05 求不含参函数的最值
22．已知函数
，
，则函数
的最大值为__________.
【答案】
【详解】由函数
，得
，
令
，解得
或者
，
列表：
所以
是函数在
上唯一极大值点，也是最大值点，
因此函数的最大值为
.
23．函数
的最小值为______.
【答案】
【详解】求导得：
，
所以
时，
，此时函数
单调递增，
时，
，即此时函数
单调递减，
所以
.
即该函数的最小值为
24．已知函数
．
(1)当
时，求函数
的最小值；
(2)若函数
有极小值，记
的极小值为
，证明：
．
【答案】(1)0
(2)证明见解析
【分析】
【详解】（1）当
时，
，函数
的定义域为
，
当
时，
单调递减；当
时，
单调递增，
因此
．
（2）证法1：函数
的定义域为
．
当
时，
在
上单调递减，
无极小值，不符合题意；
当
时，令
，解得
．
当
时，
单调递减；当
时，
单调递增．
因此函数
有极小值，极小值为
，故
．
令
，则
在
上单调递增．
因为
，
所以存在唯一的
，使得
，即
．
当
时，
单调递减；当
时，
单调递增，
因此
，故
．
证法2：函数
的定义域为
．
当
时，
在
上单调递减，
无极小值，不符合题意；
当
时，令
，解得
．
当
时，
单调递减；当
时，
单调递增．
因此函数
有极小值，极小值为
，故
．
由（1）知
，即
，当且仅当
时取等号．
令
，则
．
令
，则
．
当
时，
单调递减；当
时，
单调递增．
因此
，即
，当且仅当
时取等号，
由于等号不能同时取到，因此
，即
．
证法3：函数
的定义域为
．
当
时，
在
上单调递减，
无极小值，不符合题意；
当
时，令
，解得
．
当
时，
单调递减；当
时，
单调递增．
因此函数
有极小值，极小值为
，故
．
要证
，即证
．
令
，则
．当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增．因此
，当且仅当
时取等号．故
，即
，
，即
，当且仅当
时取等号，
因此
，原不等式成立．
证法4：函数
的定义域为
．
当
时，
在
上单调递减，
无极小值，不符合题意；
当
时，令
，解得
．
当
时，
单调递减；当
时，
单调递增．
因此函数
有极小值，极小值为
，故
．
令
，则
．当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增．因此
，当且仅当
时取等号．
故
，即
．
令
，则
．
令
，则
．当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增．
因此
，即
，当且仅当
时取等号，
因此
，即
．
25．已知函数
，
是
的导函数．
(1)求
的值；
(2)求曲线
在
处的切线方程；
(3)求
的最小值．
【答案】(1)
(2)
（或等价形式
）
(3)
【分析】
【详解】（1）已知
，则
，
进而
.
（2）令
，则
.
则在
处切线斜率
.
根据（1）知，切点为
.
由点斜式得直线方程
，整理得切线方程
.
（3）由
，因
，故
，即
在
上单调递增.
又
，则当
时，
，
单调递减;
当
时，
，
单调递增.
故
在
处取最小值，
，即
最小值为
.
26．已知函数
（a 为常数），若曲线
在点
处的切线垂直于直线
．
(1)求a 的值；
(2)求
的单调区间和最值．
【答案】(1)
(2)单调递减区间为
，单调递增区间为
；最小值为1，无最大值
【分析】
【详解】（1）
，
，
，
由曲线
在点
处的切线垂直于直线
，
所以两条直线的斜率乘积为
，又直线
的斜率为
，
所以
，解得
；
（2）由（1）知
，所以
，
，
因为
，所以
为偶函数；
当
时，
，令
，
，
因为
，所以
在
上单调递增，
且
，
，所以
在
上单调递增，
又
是偶函数，所以
在
上单调递减，
所以
的单调递减区间为
，单调递增区间为
；
当
时，
，当
时，
；
所以当
时，
为函数
的最小值，无最大值.
题型06 导数在解决实际问题中的应用
27．某校开展阳光体育活动，羽毛球筒的盖子如图呈圆锥漏斗形状，已知圆锥的母线长是
，它的值是固
定的，该圆锥的高为，当盖子体积最大时，
______．
【答案】
【详解】已知圆锥的母线长是
，高为，
由题意可知
，所以
，其中是圆锥底面圆的半径，
则圆锥体积
，对
求导得
，
令
，即
，解得
，即
，
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减；
因此
在
时取极大值，也是最大值，
因此当盖子体积最大时，
.
28．如图，一块边长为6cm 的正方形铁片上有四块全等的阴影部分.将这些阴影部分裁下来，然后用余下的
四个全等的等腰三角形拼凑成一个正四棱锥形容器（不考虑铁片的损耗），则该容器容积（忽略铁片的厚
度）的最大值为______
.
【答案】
【详解】设该容器的底面边长为
，则该容器的高为
，
设该容器的容积为
，则该容器的容积
．
设函数
，得
．
当
时，
，则
在
上单调递增，
当
时，
，则
在
上单调递减，
则
，所以
.
29．有一直角转弯的走廊（两侧与顶部都封闭），已知两侧走廊的高度都是
米，左侧走廊的宽度为
米，右侧走廊的宽度为米，现有不能弯折的硬管需要通过走廊.为了方便搬运，规定允许通过此走廊的硬
管的最大实际长度
为可通过的最大极限长度的
倍，则
的值是_________.
【答案】
【分析】先分析水平平面内的硬管极限长度：即将走廊的水平截面看作 “直角拐角”（左侧宽
米，右
侧宽1 米）；再求
的最小值：即水平方向能通过的最长硬管长度；最后结合高度求空间极限长度：即
走廊高度为6 米，硬管需同时满足“水平长度≤8”和“高度≤6”，因此空间中硬管的极限长度为“水平极
限长度与高度构成的空间对角线”，计算出实际长度
即可.
【详解】设硬管与左侧走廊水平方向的夹角为
，则水平方向硬管长度
为：
，
则
，
令
，得
，即
，
所以
，即
，代入得：
水平极限长度：
，
空间极限长度=
=10，
因为实际长度为极限长度的0.8 倍，所以
.
故
的值是8.
故答案为：.
30．某企业扩大了某型号设备的生产，全年需投入固定成本200 万元，每生产x 万台设备，则每台另需投
入成本
元，且
．已知每台设备售价10000 元，且生产的设备能全部
销售完，则生产________万台设备时，全年利润最大．（结果保留两位小数）
【答案】24.30
【详解】设利润
，
则设
，
当
时，
，
则
，
则
，
令
，解得
或
（舍
去），
当
时，
，当
时，
，
所以
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
所以当
时，
取到极大值也是最大值
.
当
时，此时
，
则
，
则
，令
，得
，
当
时，
，此时
单调递减，
所以
.
又因
，所以生产
万台设备时，全年利润最大.
故答案为：
.
31．将一个边长为
的正方形铁片的四角截去四个边长为
的小正方形后，做成一个无盖的方形盒子，盒
子的容积为
.
(1)建立
关于
的函数，并求
的最大值；
(2)在实际生产中，为控制包装成本，设无盖盒子的容积为
，要使得无盖盒子的表面积最小，求截去的小
正方形的边长
的取值（用仅含
的式子表示）.
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）∵底边长为
，高为
，
.
，
，
令
，即
，解得
（
舍去.
当
时，
，当
时，
.
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
可得
.
（2）盒子的表面积
，
由
，得
，即
，
代入表面积公式得
，则
.
令
，得
，即
，解得
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以当
时，表面积最小.
32．为拉动假期经济，某集团在“五一”劳动节期间对旗下高档海景民宿进行调价，已知该民宿的每日入
住量
（单位：间）与价格
（单位：千元/间）满足
，其中
，该民宿的综合成
本为千元/间．
(1)将该民宿每日所获利润
表示为价格
的函数；
(2)当每日所获利润最大和最小时，价格分别是多少？
（参考数据：
，
，
）
【答案】(1)
(2)当销售单价为
（千元）时，利润最大；当销售单价为
（千元）时，利润最小
【分析】
【详解】（1）由题意：
.
（2）因为
，
设
，
则
，
因为
，所以
，所以函数
在
上单调递增.
又
，
，又
，
当
时，
，所以
，所以
在
上单调递减；
当
时，
，所以
，所以
在
上单调递增.
又
，
，
.
所以当销售单价
（千元）时，利润最大；当销售单价
（千元）时，利润最小．
题型07 根据函数的最值求参数
33．若函数
在区间
上存在最小值
，则实数
的取值范围是_________.
【答案】
【详解】∵
，
∴
.
令
，解得
或
.
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增.
故
是
的极小值点，极小值为
.
令
，即
，整理得
，
因式分解得
，解得
或
.
∵ 函数
在开区间
上存在最小值
，且
，
开区间端点处的函数值无法取到，且
时
；
所以
的最小值
仅在
处可取到，
∴ 极小值点
必须落在区间
内，即
，得
；
综上，实数
的取值范围是
.
34．已知函数
在
上的最小值为0，则实数a 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意得
在
上恒成立，且能取等，
即
在
上恒成立，且能取等，
令
，则
的最小值为0，
因为
，
所以当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
，解得
．
35．已知函数
，
在
上的最小值为
，则
的最大值为
_____________．
【答案】1
【详解】函数
，
当
时，
.
若
，则
，
，所以
在
上单调递增，
在
上的最小值为
，符合题意；
若
，则
，
，所以
在
上单调递减，
在
上的最小值为
，不符合题意；
若
，则当
时，
；当
时，
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
在
上的最小值为
，不
符合题意.
综上所述，
的取值范围是
.
所以
的最大值为.
36．函数
在
上的最大值是1，则
在
上的最小值是______．
【答案】
【详解】
，则
，
令
，得
或
.
当
时，
，则
为增函数；
当
时，
，则
为减函数.
∴当
时，
取得最大值为
，得
，
又
，
.
∴
在
上的最小值是
.
37．已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
在
上的最小值为
，求
的值．
【答案】(1)
，
在
上单调递增；
，
在
上单调递减，在
上单调递
增
(2)
【分析】
【详解】（1）函数
的定义域为
，求导得
，
当
时，
恒成立，故
，
在
上单调递增，
当
时，令
得
，
当
时，
；当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）由（1）可得：若
，则
在
上单调递增，最小值为
，与
矛盾，
若
，则
的极小值点为
，
①当
，即
时，
在
上单调递增，最小值为
，与
矛盾，
②当
，即
时，
在
上单调递减，最小值为
，解得
，满足
，
③当
，即
时，最小值为
，解得
，即
，但
，
不满足
，故舍去，
综上，
.
38．设函数
（
为常数）．
(1)若
在
上是增函数，求a 的取值范围；
(2)是否存在a，使得当
时，
有最大值
？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】
【详解】（1）由题意
，
因为
在
上是增函数，所以
在
上恒成立，
即
，则
，
令
，
，
因为
在
上单调递增，所以
，
因此
，则a 的取值范围是
.
（2）假设存在a，使得当
时，
有最大值
.
当
时，
在
上是增函数，则
，解得
（舍），
当
时，令
，解得
，
因为
，所以
，
当
时，
，则
单调递增，
当
时，
，则
单调递减，
所以
，
则
，解得
，又
，得
，
所以存在
，使得当
时，
有最大值
.
题型08 求含参函数的极值和最值
39．已知函数
(1)讨论函数
的单调性；
(2)求函数
在区间
上的最大值.
【答案】(1)当
时，函数
在
上单调递增；当
时，函数
在区间
和
上单调递增，在区间
上单调递减.
(2)当
时，函数
在
上的最大值为
，当
时，函数
在
上的最大值为0.
【分析】
【详解】（1）函数的定义域为
，因为
，所以
当
时，
恒成立，函数
在定义域内单调递增；
当
时，由
得
，由
得
或
，
所以函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，在区间
上单调递增.
综上，当
时，函数
在
上单调递增；
当
时，函数
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，在区间
上单
调递增.
（2）由（1）知，当
时，函数
在
上单调递增，故
；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，又
所以，当
时，
；当
时，
当
时，函数
在
上单调递减，
，
综上，当
时，函数
在
上的最大值为
，
当
时，函数
在
上的最大值为0.
40．已知
是实数，函数
(1)若
，求
的值及曲线
在点
处的切线的方程；
(2)当
时，求
在区间
上的最小值．
【答案】(1)
，切线方程为
；
(2)
【分析】
【详解】（1）
由
，代入得
此时
，
，切线斜率为，由点斜式得切线方程
整理得
（2）令
，得
或
，
当
，即
时，在区间
上，
，
单调递减，因此最小值为
当
，即
时，
，
，
单调递减；
时
，
单调递增，因此最小值在
处取得
综上，
41．已知函数
为
上的奇函数.
(1)确定
的值并求出函数的值域
(2)若函数
，讨论
的极值取得情况.
【答案】(1)
，
(2)当
时，无极值；当
时，
在
处取得极大值
，无极小值
【分析】
【详解】（1）因为函数
为
上的奇函数，由
，
，
此时
，显然为奇函数.所以
，
的值域为
（2）由（1）得：
，
定义域为
，
，
当
时
，
在
上单调递减，无极值；
当
时
得
，
当
时，
;当
时，
,
在
上单调递增，
在
上单调递减，
所以
在
处取得极大值，
；无极小值
42．设函数
．
(1)当
时，求
的最小值；
(2)求
在
上的极值．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】
【详解】（1）当
时，函数
，可得
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增，
所以，当
时，
取得最小值，最小值为
.
（2）由函数
，可得
，
令
，即
，解得
，
若
，即
时，
，
在
上单调递增，
无极值；
若
时，即
时，
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增，
当
时，
取得极小值
，无极大值.
综上可得，当
时，函数
无极值；当
时，
的极小值为
，无极大值.
43．已知函数
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，讨论函数
在区间
上的单调性及最小值．
【答案】(1)极大值为
，无极小值
(2)当
时，
在
上单调递减，最小值是
；当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；此时若
，最小值为
；若
，最小值为
；当
时，
在
上单调递增，最小值是
.
【分析】
【详解】（1）当
时，
，
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递增，在
上单调递减，
的极大值为
，无极小值.
（2）由
得：
，
，
令
，解得：
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递增，在
上单调递减；
①当
，即
时，
在
上单调递减，
此时
的最小值为
；
②当
，即
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
，
，
，
当
时，
，此时
；
当
时，
，此时
；
③当
，即
时，
在
上单调递增，
此时
的最小值为
；
综上所述：当
时，
在
上单调递减，最小值是
；当
时，
在
上单调
递增，在
上单调递减；此时若
，最小值为
；若
，最小值为
；当
时，
在
上单调递增，最小值是
.
题型09 利用极值、最值解决函数的零点问题
44．已知函数
．若函数
有两个不同的零点，则
的取值范围为__．
【答案】
【详解】
的定义域为
，
.
当
时，
，所以
在
上单调递增，不可能有两个零点，舍去；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
因为
有两个不同的零点，所以
，解得
.
当
时，
，所以
在
上存在一个零点，
因为
，所以
在
上也存在一个零点.
综上，
.
45．已知函数
，若函数
有2 个零点，则实数m 的取值范围是_________．
【答案】
【详解】当
时，
，则
，
令
，解得
，
，解得
，
所以当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
所以当
时，
，
，当
时，
，
当
时，
，则
，
令
，解得
，
，解得
，
所以当
时，
单调递增,当
时，
单调递减，
当
时，
，
，当
时，
，
作出函数
的大致图象，如图所示：
因为函数
有2 个零点，所以
与
的图象有2 个交点，
由图知
和
，即实数
的取值范围为
.
46．已知函数
（是自然对数底数）在定义域
上有三个零点，则实数的取值
范围是______．
【答案】
．
【详解】当
时，由
得
.
要使该零点满足
，需满足
即
.
所以函数在区间
上恰有一个零点，当且仅当
．
当
时，由
得
.
设
，则
.
因为
，
，
，所以
的符号由
决定．
故
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增．
所以
在
处取得最小值，且
.
于是：当
时，方程
有两个不等实根．
当
时，方程
有一个实根．
当
时，方程
无实根．
所以函数在区间
上有两个零点，当且仅当
．
由题意，函数在定义域上有三个零点，所以必须同时满足：
在区间
上有一个零点，且在区间
上有两个零点．
因此
解得
.
故实数 的取值范围是
．
47．已知函数
．
(1)若
是
的极值点，求
；
(2)若
有两个零点，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】
【详解】（1）函数
求导得
，已知
是极值点，
则
，解得
．
当
时，
，
当
时，
；当
时，
，故
是极小值点，符合题意．
故
．
（2）已知
有两个零点，即方程
有两个正实数根，
则
，
设
，问题转化为
与
的交点个数，
令
，则
，
，令
，得
，
当
时，
，
单调递减；
当
且
时，
，
单调递增；
当
时，
在
处取得极小值，
，
故
在
处取得极小值，为
；
当
和
时，
；
当
时，
且单调递增，故
单调递增且
，
故方程
最多有一个零点；
要使
有两个零点，需满足
与
在
内有两个交点，即
．
48．已知函数
．
(1)当
时，求函数
的极值；
(2)讨论函数
的零点个数．
【答案】(1)极小值
，无极大值
(2)当
时，
在
上有0 个零点；当
时，
在
上有1 个零点；
当
时，
在
上有2 个零点
【详解】（1）由题意，函数
的定义域为
，
当
时，
，得
，
令
，即
，解得
；
令
，即
，解得
，
则当
时，
单调递增；
令
，即
，解得
，
则当
时，
单调递减；
所以当
时，函数
取极小值
，无极大值；
（2）由
得方程
，
令
，则函数
零点的个数就是
与
交点的个数，
由（1）可知当
时，
单调递减，当
时，
单调递增，
当
时，
；
；
当
时，
，所以
，
画出函数
的图象如下：
由图可知，当
时，函数
与
无交点；
当
或
时，函数
与
有一个交点；
当
时，函数
与
有两个交点．
所以当
时，
在
上有0 个零点；
当
时，
在
上有1 个零点；
当
时，
在
上有2 个零点．
题型10 恒成立问题
49．已知不等式
对任意的
恒成立，则正数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
对任意的
恒成立，
则
对任意的
恒成立，
令
，易知
在
单调递增，
，
，
，
，
令
，则
，
令
得
，令
得
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
的最小值为
，故
，
又
，
的取值范围
.
50．设函数
，若
恒成立，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当
时，
的定义域为
，值域为
，
不恒成立，不合题意；
当
时，函数
的定义域为
，
函数
在
上都单调递增，则函数
在
上单调递增，
当
时，
，不合题意；
当
时，函数
的定义域为
，
求导得
，
当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
因此
，解得
，则
，
令函数
，求导得
，
当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，所以
的最大值为
.
51．已知函数
，曲线
在点
处的切线方程为
.
(1)求实数
的值；
(2)当
时，
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
，
(2)
【分析】
【详解】（1）已知函数
，求导得
，
由题意，得
且
，
所以
，
．
（2）由（1）可知，
，
由
，得
，
又
，所以
，
设
，
，
又
，
，由
，解得
，
当
时，
，当
时，
，
所以函数
在区间
上单调递减，在区间
上单调递增，
所以
，所以
，即实数
的取值范围为
．
52．已知函数
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，试确定
的零点个数；
(3)若不等式
在
上恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)1 个
(3)
.
【分析】
【详解】（1）求导得：
，
当
时，
对
恒成立，故
，
所以
在
上单调递增；
当
时，
若
，则
，所以
在
上单调递减；
若
，则
，所以
在
上单调递增；
（2）当
时，由（1）知
在
单调递增，最多只有1 个零点；
因为
，
，
根据零点存在定理，存在唯一
使得
，
故
的零点个数为 ；
（3）整理不等式
，
设
，
求导得
，
当
时，
，故
在
单调递增，
所以
的最小值为
，
要使
恒成立，只需
,即
，
故
的取值范围为
.
53．已知
，
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)若对任意
，
恒成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
的单调递减区间是
，单调递增区间是
(2)
【分析】
【详解】（1）∵函数
的定义域是
，
．
令
，得
，解得
，
的单调递减区间是
．
令
，得
，解得
，
的单调递增区间是
．
综上，
的单调递减区间是
，单调递增区间是
．
（2）
，
恒成立，
恒成立．
，
在
上恒成立．
设
，则
．
令
，得
，
（舍去）．
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减．
∴当
时，
取得极大值，也是最大值，且
，
若
在
上恒成立，则
，
故实数
的取值范围是
．
54．已知函数
，
．
(1)求函数
的极值；
(2)若
，当
时，
恒成立，求实数
的取值范围；
【答案】(1)当
时，函数无极值；当
时，函数
的极大值为
，无极小值．
(2)
【分析】
【详解】（1）
，定义域为R，
，
当
时，
恒成立，故函数
在R 单调递增，无极值；
当
时，令
得
，
故当
时，
，函数
单调递增，
当
时，
，函数
单调递减，
所以，当
时，函数
取得极大值
，无极小值．
综上，当
时，函数无极值；当
时，函数
的极大值为
，无极小值．
（2）
，
因为
，当
时，
恒成立，
所以，当
时，
恒成立，
令
，
，
，
，
，
令
，
，
则
在
恒成立，即
在
单调递增，
故当
，即
时，
，
在
单调递增，
在
恒成立；
当
，即
时，当
时，
，
所以，存在
，使得
时，
，
单调递减，
时，
，
单
调递增，
故由
可知，
时，
，与满足
在
恒成立矛盾；
综上，当
时，
在
恒成立，即
恒成立．
重难·创新演练
设题创新:依托新颖设问、自定义规则命题，不再局限套路化求极值最值，常融合新定义条件，灵
活结合函数零点、恒成立综合设问，侧重考查学生临场阅读理解、知识迁移与数形结合的综合解题
能力。
1．【新考法】（2026·湖南·三模）当函数
的零点个数最多时，
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】令
，则
，
则
的零点个数为
根的个数，
即为
与
的交点个数，
若
的零点个数最多，则
与
的交点最多，
令
，
令
，则
或
，
令
，则
，
令
，则
，
得到
在
上单调递减，在
上单调递增，
可得
的极小值为
，
当
时，
，当
时，
，
所以
，故A 正确.
2．【新角度】（2025·26 高三上·辽宁沈阳·期中）已知正项数列
满足
，当
最大时，
的值为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
【详解】正项数列
中，
，令
，显然
，
令函数
，求导得
，
当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
因此当
时，数列
递增，当
时，数列
递减，
而
，且
，
则
，当
最大时，
的值为5.
3．【新定义】（2025·26 高二下·上海·期中）函数的凹凸性是函数的重要性质之一，函数凹凸性的定义：
函数
在区间
内可导，
是
内任一点.若曲线弧上点
处的切线（除切点外）总位
于曲线弧的下方，则称曲线弧在
内是凹的；若曲线弧上点
处的切线（除切点外）总位于曲
线弧的上方，则称曲线弧在
内是凸的.函数
在区间上为凹（凸）函数等价于
的导函数在区间
上单调递增（递减）.若
在定义域内是凹函数，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】函数
的定义域为
，由函数
在
上是凹函数，
得
在
上单调递增，令函数
，
则
，
恒成立，
令函数
，求导得
，当
时，
；当
时，
，
因此函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
，
，
所以
的最小值为
.
4．【新考法】（2026·四川遂宁·模拟预测）（多选）已知函数
，则（ ）
A．函数
的图象关于原点中心对称
B．存在
，使得
C．函数
的图象与函数
的图象没有公共点
D．函数
极值点个数为3
【答案】BC
【详解】对于A：
定义域为
，且
，
故
是偶函数，图象关于
轴对称，不关于原点中心对称，A 错误；
对于B：令
，因为
，
，
由零点存在性定理，
，使得
，即
，B 正确；
对于C：假设
与
有公共点，则
，整理得
，
即
，
由于
，且
，故等式恒不成立，方程无实根，
即两个图象没有公共点，C 正确；
对于D：
分母恒正，
导函数零点由分子
决定，
是一个根；
对任意正整数
，在区间
内，
都存在一个零点，
结合奇函数性质，
也对应无穷多个零点，故
的极值点有无穷多个，不是3 个，D 错误.
5．【新角度】（2026·云南昆明·模拟预测）（多选）若函数
有两个极值点，设这两
个极值点为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】
，
，
因为
有两个极值点
，
所以
在
上有两个不同的根，
所以方程
有两个不同的正根，
根据韦达定理得
，
，A 正确，B 错误；
因为
且
，所以
，
当
或
时，
；当
时，
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
，C 正确，D 正确．
6．（2025·26 高二下·北京朝阳·期中）已知函数
，给出以下四个结论，其中结论正确的有
______：
①
有且仅有一个零点；②
在区间
上单调递减；③
既有最小值，又有最大值；④存
在实数
，使方程
有3 个实数根.
【答案】①②④
【详解】函数
可分段表示为：
对于①，令
，即
，解得
，
所以
有且仅有一个零点
，故①正确；
对于②，当
时，
，
求导得
（仅
时取等号），
所以
在区间
上单调递减，故②正确；
对于③，当
时，
，求导得
，
则
在
上单调递减，当
，
，当
，
；
当
时，
，求导得
，
当
时，
，
上在单调递增，且
；
当
时，
，
在
上单调递减，且
，当
，
；
因此
的值域为
，故
有最小值，没有最大值，故③错误；
对于④，画出函数
的图象如图所示，
要使方程
有3 个实数根，即函数
与
有三个交点，即
时，满足条件，故④正
确.
7．【新定义】（2026·湖北·三模）已知函数
．
(1)若
存在大于零的极值，求a 的取值范围；
(2)对于函数
，若
，则称
为
的不动点．判断是否存在a，使得
的极值点同时也
是不动点，并说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，理由见解析
【分析】
【详解】（1）已知
，其定义域为
，则
，
当
时，
，
在
上单调递减，无极值；
当
时，令
得
（负根舍去），
当
时，
，则
在
单调递减，
当
时，
，则
在
单调递增，
所以
是
的极小值点，
则
，
所以
．
（2）由（1）知
时，
的极小值点为
，
假设存在
使得
的极值点同时也是不动点，即
，
则
，
令
，得
，
令
，则
，
所以
在
上单调递增，又
，
所以存在
使得
，
所以存在
使得
，满足
，
因此，存在a，使得
的极值点同时也是不动点．
8．【新载体】（2026·辽宁·模拟预测）已知函数
，
．
(1)求
在
内的单调性；
(2)若存在
，使得
，求实数
的取值范围；
【答案】(1)
在
上单调递增，在
上单调递减．
(2)
【分析】
【详解】（1）因为
，所以
，
当
时，
，
，
单调递增，
当
时，
，
，
单调递减，
所以函数
在
上单调递增，在
上单调递减．
（2）若存在
，使得
，
即存在
，使得
成立，
因为
时，
，故存在
，使得
，
令
，其中
，
则
，
且
不恒为零，故函数
在
上单调递减，
则
，故
，
所以实数
的取值范围为：
.
真题·实战演练
高频考点：导函数图像判极值、常规求极值与极值点、由极值条件求参、限定极值个数求参、区间
最值求解、最值逆向定参、零点与恒成立综合；多分布选填与解答，中档综合居多，参数讨论、数
形结合为命题热点。
1．（2025·全国二卷·高考真题）（多选）已知
是定义在R 上的奇函数，且当
时，
，则（ ）
A．
B．当
时，
C．
当且仅当
D．
是
的极大值点
【答案】ABD
【详解】对A，因为
定义在
上奇函数，则
，故A 正确；
对B，当
时，
，则
，故B 正确；
对C，
， 故C 错误；
对D，当
时，
，则
，
令
，解得
或（舍去），
当
时，
，此时
单调递增，
当
时，
，此时
单调递减，
则
是
极大值点，故D 正确；
故选：ABD.
2．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数
的定义域为
，
，则
（ ）．
A．
B．
C．
是偶函数
D．
为
的极小值点
【答案】ABC
【分析】
【详解】方法一：
因为
，
对于A，令
，
，故
正确.
对于B，令
，
，则
，故B 正确.
对于C，令
，
，则
，
令
，
又函数
的定义域为
，所以
为偶函数，故
正确，
对于D，不妨令
，显然符合题设条件，此时
无极值，故
错误.
方法二：
因为
，
对于A，令
，
，故
正确.
对于B，令
，
，则
，故B 正确.
对于C，令
，
，则
，
令
，
又函数
的定义域为
，所以
为偶函数，故
正确，
对于D，当
时，对
两边同时除以
，得到
，
故可以设
，则
，
当
肘，
，则
，
令
，得
；令
，得
；
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
因为
为偶函数，所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
显然，此时
是
的极大值点，故D 错误.
故选：
.
3．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）（多选）若函数
既有极大值也有极小值，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【详解】函数
的定义域为
，求导得
，
因为函数
既有极大值也有极小值，则函数
在
上有两个变号零点，而
，
因此方程
有两个不等的正根
，
于是
，即有
，
，
，显然
，即
，A 错误，BCD 正确.
故选：BCD
4．（2025·上海·高考真题）已知
．
(1)若
，求不等式
的解集；
(2)若函数
满足在
上存在极大值，求m 的取值范围；
【答案】(1)
(2)
且
.
【分析】
【详解】（1）因为
，故
，故
，故
，
故
即为
，
设
，则
，故
在
上为增函数，
而
即为
，故
，
故原不等式的解为
.
（2）
在
有极大值即为有极大值点.
，
若
，则
时，
，
时，
，
故
为
的极小值点，无极大值点，故舍；
若
即
，则
时，
，
时，
，
故
为
的极大值点，符合题设要求；
若
，则
时，
，
无极值点，舍；
若
即
，则
时，
，
时，
，
故
为
的极大值点，符合题设要求；
综上，
且
.
5．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数
，其中
．
(1)证明：
在区间
存在唯一的极值点和唯一的零点；
(2)设
分别为
在区间
的极值点和零点.
（i）设函数
.证明：
在区间
单调递减；
（ii）比较
与
的大小，并证明你的结论．
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）证明见解析；（ii）
，证明见解析.
【分析】
【详解】（1）由题得
，
因为
，所以
，设
，
则
在
上恒成立，所以
在
上单调递减，
，令
，
所以当
时，
，则
；当
时，
，则
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
上存在唯一极值点，
对函数
有
在
上恒成立，
所以
在
上单调递减，
所以
在
上恒成立，
又因为
，
时
，
所以
时
，
所以存在唯一
使得
，即
在
上存在唯一零点.
（2）（i）由（1）知
，则
，
，
，
则
，
，
，
即
在
上单调递减.
（ii）
，证明如下：
由（i）知：函数
在区间
上单调递减，
所以
即
，又
，
由（1）可知
在
上单调递减，
，且对任意
，
所以
.
6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，
，求
的取值范围．
【答案】(1)极小值为
，无极大值.
(2)
【分析】
【详解】（1）当
时，
，
故
，
因为
在
上为增函数，
故
在
上为增函数，而
，
故当
时，
，当
时，
，
故
在
处取极小值且极小值为
，无极大值.
（2）
，
设
，
则
，
当
时，
，故
在
上为增函数，
故
，即
，
所以
在
上为增函数，故
.
当
时，当
时，
，
故
在
上为减函数，故在
上
，
即在
上
即
为减函数，
故在
上
，不合题意，舍.
当
，此时
在
上恒成立，
同理可得在
上
恒成立，不合题意，舍；
综上，
.
【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导
数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.
7．（2023·北京·高考真题）设函数
，曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求
的值；
(2)设函数
，求
的单调区间；
(3)求
的极值点个数．
【答案】(1)
(2)
的单调递减区间为
和
，单调递增区间为
和
.
(3)3 个
【分析】
【详解】（1）因为
，所以
，
因为
在
处的切线方程为
，
所以
，
，
则
，解得
，
所以
.
（2）由（1）得
，
则
，
令
，解得
，不妨设
，
，则
，
易知
恒成立，
所以令
，解得
或
；令
，解得
或
；
所以
在
，
上单调递减，在
，
上单调递增，
即
的单调递减区间为
和
，单调递增区间为
和
.
（3）由（1）得
，
，
由（2）知
在
，
上单调递减，在
，
上单调递增，
当
时，
，
，即
所以
在
上存在唯一零点，不妨设为
，则
，
此时，当
时，
，则
单调递减；当
时，
，则
单调递增；
所以
在
上有一个极小值点；
当
时，
在
上单调递减，
则
，故
，
所以
在
上存在唯一零点，不妨设为
，则
，
此时，当
时，
，则
单调递增；当
时，
，则
单调递减；
所以
在
上有一个极大值点；
当
时，
在
上单调递增，
则
，故
，
所以
在
上存在唯一零点，不妨设为
，则
，
此时，当
时，
，则
单调递减；当
时，
，则
单调递增；
所以
在
上有一个极小值点；
当
时，
，
所以
，则
单调递增，
所以
在
上无极值点；
综上：
在
和
上各有一个极小值点，在
上有一个极大值点，共有个极值点.
【点睛】关键点睛：本题第3 小题的解题关键是判断
与
的正负情况，充分利用
的单调
性，寻找特殊点判断即可得解.
