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专题05 含参数不等式的分类讨论与不等式恒成立、能成立
问题
题型脑图·核心考法构建
考法深研·解题技能通关
题型01 含参一元二次不等式的分类讨论
解含参数的一元二次不等式的步骤
特别提醒：(1)对应方程的根优先考虑用因式分解确定，分解不开时再求判别式Δ，用求根公式计算．
(2)在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨
论需从如下三个方面进行考虑：
①关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0.
②关于不等式对应的方程根的讨论：两个不相等实数根(Δ＞0)，两个相等实数根(Δ＝0)，无实数根(Δ＜
0).
③关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2.
1．（2026 高三·全国·专题练习）解不等式
．
2．（2026 高三·天津东丽·阶段检测）已知关于x 的不等式
的解集为
.
(1)求实数a，b 的值；
(2)若
，求关于x 的不等式
的解集.
3．（2026 高三·全国·专题练习）设
.
(1)若不等式
对于一切实数
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)解关于
的不等式
.
4．（2026 高三·河北衡水·阶段检测）设
；
.若
是
的充分条件，则
实数
的取值范围是__________.
5．（2026 高三·山东青岛·期中）若关于
的不等式
的解集中恰有两个整数，则
的范围是______；
题型02 一元二次不等式在实数集上恒成立问题
(1)一般地，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)对于x∈R 恒成立的条件是一元二次不等式ax2＋bx＋c＜
0(≤0)对于x∈R 恒成立的条件是
(2)在解关于x 的不等式ax2＋bx＋c＞0(≥0)对一切x 恒成立问题时，应注意对二次项的系数进行讨论，需
研究二次项系数为0 时是否满足题意．
6．（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“
,
”为真命题，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026·甘肃张掖·模拟预测）命题
“
，使得不等式
成立”为假命题，则实数
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2026 高三·浙江衢州·期中）若关于
的不等式
的解集为
，则实数
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2026·上海宝山·模拟预测）已知
是实数，不等式
．
(1)若
，求上述关于
的不等式的解集．
(2)若上述不等式对任意实数
恒成立，求实数
的取值范围．
10．（2026·内蒙古呼伦贝尔·模拟预测）当
，
且满足
时，若
恒成立，
则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（2026·湖南·模拟预测）若对任意的正实数x、y 满足
，不等式
恒成立，则实
数m 的取值范围是（ ）
A．
B．
或
C．
或
D．
12．【多选】（2026·江西九江·模拟预测）已知不等式
对任意实数
恒成立，则实数
的可能取值为（ ）
A．
B．1
C．3
D．5
13．（2026·天津滨海新区·模拟预测）已知函数
，
，不等式
对任意的
恒成立，则实数
的取值范围为_____________．
题型03 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题
方法1：分离参数法（优先推荐，减少分类）
1.把参数单独放一侧，化为
或
；
2.恒成立最值转化口诀：
；
；
；
。
3.求区间内函数最值（二次函数看对称轴、对勾函数、基本不等式）。
方法2：二次函数区间最值法（不分离参数）
设
，区间
1.
在
恒成立
；
2.
在
恒成立
；
3.求区间最值三步：
①求对称轴
；
②判断对称轴在区间左侧、内部、右侧；
③分别计算端点/顶点函数值，确定最大、最小值。
方法3：区间全包含法（简单二次不等式）
若不等式解集为
，要求区间
全部落在解集内，则：
区间左端点
解集右边界或区间右端点
解集左边界。
14．（2026 高三·全国·专题练习）不等式
对任意
恒成立，则
的最小值是（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（2027 高三·全国·专题练习）“
，
恒成立”的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（2026 高三·江苏南通·期中）
恒成立，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
17．（2026·天津河东·模拟预测）已知二次函数
，若对于任意
，都有
成立，则实数
的取值范围是________．
18．（2026 高三·陕西渭南·期末）若不等式
对任意
恒成立，则实数a 的取值范
围是________.
19．（2026 高三·四川眉山·期末）函数
对
恒成立，则实数
的取值范围
（ ）
A．
B．
C．
D．
题型04 已知参数范围的一元二次不等式恒成立问题
1.核心判断规则：谁给了取值范围，谁做主元；求范围的量做参数。
2.一次函数区间恒成立结论：
一次函数
在
上恒大于0
；
恒小于0
。
3.适用场景：式子含双变量，其中一个变量给出有限区间，换主元后降为一次函数，大幅简化计算。
20．（2026 高三·云南红河·阶段检测）当
时，不等式
恒成立，则
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
21．（2026 高三·湖北随州·期中）若不等式
对任意
恒成立，则x 的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
22．（2026 高三·黑龙江哈尔滨·期中）若
，使得关于
的不等式
成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
23．（2026 高三·天津南开·期中）已知关于
的不等式
.
(1)是否存在实数
，使不等式对任意
恒成立，并说明理由；
(2)若不等式对于
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若存在
使不等式成立，求
的取值范围.
题型05 一元二次不等式在某区间上有解问题
等价转化口诀（与恒成立对比记忆）
设
，函数
在区间值域
1.
有解
；
2.
有解
；
3.
有解
；
4.
有解
。
两种通用解法
1.分离参数法：同恒成立，分离后找另一侧函数最值，套上面口诀；
2.补集思想（反面求解）
“
”
“
”
存在使不等式成立的反面是任意都不成立，先求无解时参数范围，再取补集，适合复杂分类。
24．（2026 高三·山西太原·期中）若存在
，使得不等式
成立，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
25．（2026 高三·湖北孝感·期中）当
时，关于
的不等式
有解，则实数
的取值范围
是（ ）
A．
B．
或
C．
D．
26．（2026 高三·天津南开·阶段检测）设
，若关于
的不等式
在
上有解，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
27．（2026 高三·福建·期中）已知存在
，使得
成立，则
的取值范围是（ ）.
A．
B．
C．
D．
28．（2026 高三·黑龙江大庆·期末）若存在
，使不等式
成立，则a 的取值范围是
______．
29．（2026 高三·全国·专题练习）若关于
的不等式
在区间
内有解，则实数
的取值范
围是______．
30．（2026 高三·江苏无锡·期中）已知存在
是不等式
一个解．若
，则实数m 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
31．（2026 高三·河南南阳·阶段检测）已知函数
(1)当
时，解不等式
，
(2)若不等式
在
上有解，求实数
的取值范围．
题型06 两个函数乘积的恒成立问题
形式：
对
恒成立
1. 核心逻辑：两个因式在定义域内全程同号，或至少一个恒为0；
2. 零点匹配关键结论：
若两二次/一次乘积恒非负，二者零点必须重合；若零点不重合，则区间内必出现一正一负，不满足恒
成立；
3. 解题步骤：
① 分别求出两个因式的零点；
② 令零点完全相等，建立参数方程；
③ 验证开口方向，保证零点两侧因式符号一致；
4. 特殊简化模型：
若其中一个因式零点为
≤
，且乘积恒0，则另一因式必有相同零点，且开口与前者相反。
32．（2026 高三·江苏苏州·阶段检测）若命题“
”是真命题，则实数a 的取值
集合为_______．
33．（2026·河南南阳·模拟预测）已知对
，关于
的不等式
恒成
立，则实数
的取值范围为_____.
34．（2026 高三·上海·期中）设
，若对任意
，都有
，则
_____．
35．【多选】（2026 高三·浙江温州·期中）对任意
，不等式
恒成立，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
36．（2026 高三·江苏盐城·期中）若不等式
对
恒成立，则
______.
