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专题六 函数与导数 微专题2 含参不等式恒（能）成立问题 一、考点透析 方向1：分离参数法解决不等式恒（能）成立问题 部分问题可利用不等式的性质恒等变形使参数与变量进行分离，只要研究 变量表达式的最值就可以解决问题．一般地，若a＞f(x)对x∈D 恒成立，则只需 a＞f(x)max；若a＜f(x)对x∈D 恒成立，则只需a＜f(x)min. 1.(2025·浙江省·月考)若f ( x)= x ln x + x 2−mx +e 2−x≥0，则实数m最大值为 ． 2.(2025·河南省·模拟)已知函数f ( x)=e x−a x 2−a，其中e为自然对数的底数，当x ≥0时， f ( x)≥(e−2)x恒成立，则实数a的取值范围为 ． 3.(2025·广西壮族自治区南宁市·模拟) 已知函数f ( x)=ae x−x +2,a∈R． (1)讨论函数f ( x)的单调性； (2)若f ( x)≥e x恒成立，求a的取值范围． 方向2：分类讨论法解决不等式恒（能）成立问题 此类问题关键是对参数分类讨论，在参数的每一段上求函数的极值或最值， 并判断是否满足题意，若不满足题意，只需找一个值或一段内的函数值不满足 题意即可.其常用的手段是因式分解、求根公式以及观察法． 1.(2025·广东省东莞市·联考)设函数f ( x)=a x 2−a−ln x，其中a∈R . (Ⅰ)讨论f ( x)的单调性； (Ⅱ)确定a的所有可能取值，使得f ( x)> 1 x −e 1−x在区间(1,+ ∞)内恒成立(e =2.718…为自 然对数的底数)． 2.(2025·云南省曲靖市·模拟)已知函数f ( x)=(1+ x) b−bx−1(b>0)． (1)当b=3时，求函数f ( x)在[−3,2]上的值域; (2)若f ( x)≥0在(−1,+ ∞)上恒成立，求实数b的取值范围． 3.(2025·山东省青岛市·模拟)设函数f ( x)=e x−ax(a∈R)． (1)当a=1时，求f ( x)的单调区间； (2)当x>0时，f ( x)⩾x 2−x +1恒成立，求a的取值范围． 方向3：双变量最值定位解决不等式恒（能）成立问题 “双变量”的恒（能）成立问题可以拆解求最值，进行等价变换，常见的拆解转换有： （1）∀x1，x2∈D，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）min＞g（x）max； （2）∀x1∈D1，∃x2∈D2，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）min＞g（x）min； （3）∃x1∈D1，∀x2∈D2，f（x1）＞g（x2）⇔f（x）max＞g（x）max. （4） , , . 1.(2025·江苏省南通市·模拟)已知函数f ( x)= ln x，g( x)=a x 2−(2a+1)x + ln x，a∈R． (1)求曲线f ( x)= ln x过点(0,1)的切线方程； (2)求函数y = f ( x) x 的最大值； (3)若存在x1∈(0,+∞),使得对任意x2∈(0,+∞)，都有f ( x1) x1 ≥g( x2)成立，求实数a的 取值范围． 2.(2025·四川省成都市·模拟)已知函数f ( x)= x 2−2a ln x +1，a∈R． (1)当a=−1时，设曲线y = f ( x)在x =1处的切线为l，求l与曲线y = f ( x)的公共点个数； (2)当a>0时，若∀x1 ，x2∈[1,e ]，|f ( x1)−f ( x2)|<e 2+1恒成立，求实数a的取值范 围． 方向4：指对同构解决不等式恒（能）成立问题 指对同构的常用形式 (1)积型aea≤b ln b ①构造形式为aea≤eln bln b，构建函数f(x)＝xex. ②构造形式为ealn ea≤b ln b，构建函数f(x)＝x ln x. ③构造形式为a＋ln a≤ln b＋ln (ln b)，构建函数f(x)＝x＋ln x. (2)商型e a a ≤b ln b ①构造形式为e a a ≤e ln b ln b，构建函数f(x)＝e x x . ②构造形式为e a ln e a ≤b ln b，构建函数f(x)＝x ln x . ③构造形式为a－ln a≤ln b－ln (ln b)，构建函数f(x)＝x－ln x. 1.(2025·云南省玉溪市·模拟)设函数f ( x)= x +e x，g( x)= x + ln x，若存在x1, x2 ，使得 f (x1)= g(x2)，则x1 e x1 −x2 的最大值为( ) A. −1 B. −2 C. −e D. −3 2.(2025· 湖北省省直辖县级行政区划· 模拟题) 已知函数f ( x)= x e −x， g( x)= ln x−x +b(b∈R)若f ( x)≥g( x)在x>0时恒成立，则b的取值范围为( ) A. (−∞,e −1+1) B. (−∞,e −1+1] C. (−∞,e −1) D. (−∞,e −1] 3.(2025·湖南省株洲市·期中)已知不等式e (1−a)x>ax + ln x在区间(0,e 2]上恒成立，则实数a 的取值范围是 方向5：同构函数解决不等式恒（能）成立问题 1.(2025·安徽省蚌埠市·模拟)已知函数f ( x)= ln(ax)+ a x ，其中a>0． (1)当a=1时，求函数f ( x)的图象在x =1处的切线方程; (2)若f ( x)≥ln a恒成立，求a的取值范围． 2.(2025·山东省菏泽市·期中)若对任意x1 ，x2 ，当0< x1< x2≤e时，( x2 x1 ) x1 x2−e a x2 e a x1 <0，则a 的取值范围为 ． 3.(2025·山西省晋城市·模拟)若关于x的不等式x 2 x>ax ln x在(0,+∞)上恒成立，则实数a的 取值范围为 ． 二、跟踪练习 1.(2025·陕西省咸阳市·模拟)若 对任意正数x恒成立，则实数a的取值 范围为 ． 2.(2025·江西省南昌市·模拟)“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将x化成x = ln e x， x =e lnx( x >0)的变形技巧.已知函数f ( x)= x ⋅e x，g( x)=−lnx x ，若f ( x1)= g( x2)=t >0， 则x1 x2e t 的最大值为 ． 3.(2025·吉林省长春市·模拟)已知函数f ( x)= x sin x +a x 2−1． (1)当a=1时，求f ( x)在x = π处的切线方程； (2)当x∈[0, π 2] 时，f ( x)≥−1恒成立，求a的取值范围. 4.(2025·湖北省·模拟)已知函数f ( x)= x−a x −2ln x(a∈R)． (1)已知f ( x)在x =3处取得极小值，求a的值; (2)对任意x ≥1，不等式x−a x −2ln x−1+a≥0恒成立，求a的取值范围． 5.(2025·吉林省松原市·模拟)已知函数f ( x)= x ln x + x 2+(a+1)x． (1)当a=1时，求函数f ( x)在x =1处的切线方程； (2)f ( x)≤x 2e x恒成立，求a的取值范围． 6.(2025·广西·模拟)已知函数f ( x)=aln x−x +1(a∈R)． (1)当a>0时，求函数f ( x)的单调区间； (2)对任意的x1, x2∈(0,1]，当x1< x2 时，都有1 4 [f (x1)−f (x2)]< x2−x1 x1 x2 ，求实数a的取 值范围．
