文档文本内容
知识解构
知识点1 幂函数 知识点2 二次函数及其性质
题型破译 (含超链接）
题型
1 幂函数的概念及求值
题型
2 幂函数的图象及过定点
题型
3 幂函数的单调性和奇偶性
题型
4 利用幂函数单调性奇偶性求参数
题型
5 利用幂函数单调性解不等式
题型
6 利用幂函数比较大小
题型
7 二次函数的解析式
题型
8 二次函数的图象和性质
【方法技巧】求二次函数解析式的三个策略 【方法技巧】二次函数图象的辨析
题型
9 二次函数的实根分布
题型
10
二次函数的单调性与最值
【方法技巧】二次函数的最值类型及求解策略
题型
11
利用二次函数的单调性求参数
题型
12
利用二次函数的最值求参数
题型
1 3 二次函数的存在与恒成立问题
第03 讲 幂函数与二次函数
内容导航
命题透视·考情前瞻
——
素养，研判高考命
对标
题趋
01
命题透视·考情前瞻
素养，研判高考命
对标
题趋势
02
思维建模·脉络梳理
搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
03
知识精讲·靶向突破
拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
04
真题溯源·考向感知
溯源真
，感知高考考向
题逻辑
05
课本典例·高考素材
立足
本典例，挖掘高考素材
课
核心考点
2026 年
2025 年
2024 年
幂函数
二次函数
全国Ⅰ卷T6（5 分）
全国Ⅱ卷T6（5 分）
考情分析
幂函数与二次函数是常见的重要函数，是高考常考的热点内容，主要出现在选择题、填空题
中，难度较易.
近三年高考显示，函数较少单独考查，常与指、对数函数结合考查，包括比较指对幂的大小、
解不等式等考法，二次函数常与其他知识相结合，考查二次函数的图象与性质.
复习目标
1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.
2.掌握二次函数的图象与性质（单调性、对称性、顶点、最值等）.
思维建模·脉络梳理
——搭建知
框架，构建系
思
识
统
维
知识精讲·靶向突破
——拆解核心知
，
型技巧
识归纳题
知●识●解●构
幂函数与二次函数
知识点1 幂函数
1.定义：一般地，函数y=xα(α ∈R)的称为幂函数，其中x 是自变量，α 为常数
2.幂函数的图象
3. 幂函数的性质
（1）幂函数在（0，＋∞）上都有定义；
（2）当α＞0 时，幂函数的图象都过点 （
1 ，
1 ）
和 （
0 ，
0 ）
，且在（0，＋∞）上单调递增；
（3）当α＜0 时，幂函数的图象都过点 （
1 ，
1 ）
，且在（0，＋∞）上单调递减；
（4）当α 为奇数时，y＝xα为 奇函数 ；当α 为偶数时，y＝xα为 偶函数 .
必记结论
①幂函数的单调性
f (x)=xα{
α ＞0时，f (x)在第一象限单调递增
α ＜0时，f (x)在第一象限单调递减
②幂函数的奇偶性
f (x)=xα{
α 为整数{
α 为偶数，f (x)为偶函数
α 为奇数，f (x)为奇函数
α 为分数，设α= q
p{
p为偶数时，f (x)为非奇非偶函数
p为奇数时{
q为奇数，f (x)为奇函数
q为偶数，f (x)为偶函数
自主检测已知幂函数
的图像过点
，则该幂函数的值域是 ．
【答案】
【详解】设幂函数
，代入点
可得
，即
，
可得
，因为
，可得
，所以该幂函数的值域是
.
故答案为：
.
知识点2 二次函数及其性质
（1）二次函数
①一般式：
(
)，对称轴是
顶点是
；
②顶点式：
(
)，对称轴是
顶点是
；
③交点式：
(
)，其中（
），（
）是抛物线与x 轴的交点
（2）二次函数的性质
①函数
的图象关于直线
对称。
②
时，在对称轴 （
）左侧，
值随
值的增大而减少；
在对称轴（
）右侧；
的值随
值的增大而增大。当
时，
取得最小值
③
时，在对称轴 （
）左侧，
值随
值的增大而增大；
在对称轴（
）右侧；
的值随
值的增大而减少。当
时，
取得最大值
必记结论
二次函数在闭区间上的最值
设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，闭区间为[m，n].
当－≤m 时，最小值为f(m)，最大值为f(n).
（2）当m＜－≤时，最小值为f，最大值为f(n).
(3)当＜－≤n 时，最小值为f，最大值为f(m).
(4)当－＞n 时，最小值为f(n)，最大值为f(m).
自主检测（多选）设
，则二次函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【详解】选项A：图象开口向下，所以
，对称轴
，所以
，
又图象与y 轴交点在负半轴，所以
，此时
，符合题意，故A 正确；
选项B：图象开口向下，所以
，对称轴
，所以
，
又图象与y 轴交点在正半轴，所以
，此时
，符合题意，故B 正确；
选项C：图象开口向上，所以
，对称轴
，所以
，
又图象与y 轴交点在正半轴，所以
，此时
，不符合题意，故C 错误；
选项D：图象开口向上，所以
，对称轴
，所以
，
又图象与y 轴交点在正半轴，所以
，此时
，符合题意，故D 正确.
故选：ABD
题●型●破●译
题型1 幂函数的概念及求值
例1-1 下列函数是幂函数的是（ ）
A．y = 1
x
3
B．y =2
x
C．y =2 x
2
D．y =- x
-1
【答案】A.
【详解】由幂函数定义,形如y = x
α，α ∈R为幂函数，对A，y = 1
x
3 = x
-3，故A 正确；B，C，D 均不符合.
故选：A．
例1-2 下列函数是幂函数且在(-∞,0)是增函数的是（ ）
A．y = 1
x
B．y = x
3+1
C．y = x
-2
D．y = ❑√|x|
【答案】C.
【详解】由幂函数的概念可以排除B、D 选项，而y = 1
x 在(-∞,0)是减函数，y = x
-2在(-∞,0)是增函数，
故选：C.
例1-3 已知幂函数的图象过点
，则函数的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设幂函数的解析式为
，由于函数过点
，故
，解得
，该幂函数的解析式为
；
故选：B
【变式训练1-1】下列函数中，属于幂函数的是（ ）
A．y =(2 x)
2
B．y = ❑√x
C．y =- 1
x
D．y =2
x
【答案】B
【详解】形如y = x
α（α 为常数且α∈R）为幂函数，要求底数为变量且系数为1，
对比选项仅有B：y = ❑√x = x
1
2符合要求.
故选：B.
【变式训练1-2】下列函数既是幂函数又是奇函数的是（ ）
A．y = x
3
B．y = x
2
C．y = x
3+1
D．y = ❑√x
【答案】A
【详解】根据幂函数的定义可知：y = x
3为幂函数，
且定义域为R ，满足f (- x)=(- x)
3=- x
3=- f ( x) 为奇函数，故A 正确；
y = x
2为偶函数,故排除B 选项；
令g( x)= x
3+1，∴g(- x)=- x
3+1≠g(x)≠- g(x)，所以为非奇非偶函数，C 错误；
y = ❑√x的定义域为[0,+ ∞) ，不关于原点对称，所以y = ❑√x为非奇非偶函数，故D 错误，
故选：A．
【变式训练1-3】已知幂函数
的图象经过点
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．3
D．9
【答案】B
【详解】设
，则
即
，
故选：B．
【变式训练1-4·变考法】（2026·江苏盐城·10 月阶段检测）“
”是“
为幂
函数”的（ ）条件．
A．充要
B．必要不充分
C．既不充分也不必要 D．充分不必要
【答案】D
【详解】当
时，
，符合幂函数的形式，故充分性满足；
当
为幂函数可得
，解得
或
，
故必要性不满足，
所以“
”是“
为幂函数”的充分不必要条件.
故选：D
【变式训练1-5】已知幂函数
的图像过点
，则该幂函数的值域是 ．
【答案】
【详解】设幂函数
，代入点
可得
，即
，
可得
，因为
，可得
，所以该幂函数的值域是
.
故答案为：
.
题型2 幂函数的图象及过定点
例2-1【新思维】（多选）（2026 高三·全国·专题练习）以下关于幂函数
图像的说法，正
确的有（ ）
A．
的图像一定过原点
B．
的图像一定过点
C．
的图像可能经过第三象限
D．
的图像可能经过第四象限
【答案】BC
【详解】函数
不过原点，A 选项错误；
而
，所有幂函数
的图像一定过点
，B 选项正确；
函数
为奇函数，图像经过一、三象限，C 选项正确；
当
时，
，
的图像不可能在第四象限，D 选项错误.
故选：BC.
例2-2 函数
的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】函数图象上的特殊点（1，1），故排除A，D；由特殊点（8，2），
，可排除C．
故选B．
例2-3（2026 高三·全国·专题练习）若幂函数
与
在第一象限内的图象如图所示，则
与
的取值情况为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】当
时，幂函数
在
上单调递增，且
时，图象上凸，
．
当
时，幂函数
在
上单调递减．不妨令
，由图象得
，则
．
综上可知，
．
故选择：D.
例2-4（25-26 高三上·山西·阶段检测）已知函数
（
为常数）的图象恒过定点
，则
．
【答案】3
【详解】令
，则
，故
的图象过定点
，
故
，
．
故答案为：3．
【变式训练2-1】（25-26 高三上学期·云南文山·开学考试）函数
的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】函数
是幂函数，定义域为R，
又
，所以
为偶函数，其图象关于y 轴对称，排除AD；
由
，得函数
在
上单调递增，排除C；
且当
时，函数
的图象在
下方，选项B 符合要求.
故选：B
【变式训练2-2】函数
的图象恒过定点（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】令
，即
时，
，
图象恒过定点
．
故选：B.
【变式训练2-3·变考法】(多选)现有4 个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（ ）
A．
，
，
，
B．
，
，
，
C．
，
，
，
D．
，
，
，
【答案】AB
【详解】对于幂函数
，若函数在
上单调递增，则
，若函数在
上单调递减，则
，所以
，D 选项错误；当
时，若
的图象在
的上方，则
，若
的图象在
的下方，则
，所以
，C 选项错误；因为当
时，指数越大，图象越高，所
以
，
综上，
，AB 选项正确.
故选：AB
【变式训练2-4】已知
函数
的大致图像如图所示，则
．
【答案】
【详解】因为图像关于
轴对称，所以函数是偶函数；
又因为图像与坐标轴无交点，所以指数
为负数.综上所述，
.
故答案为：
.
【变式训练2-5】已知函数
，且
的图像恒过定点P，且P 在幂函数
的图象上，
则 ．
【答案】
【详解】当
时，
的值与
无关，且
，故
，设
将
代入
，解得
，
故
故答案为：
题型3 幂函数的单调性和奇偶性
例3-1 下列函数是偶函数，且在
上单调递增的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】对A：当
时，
单调递减，故A 错误；
对B：
的定义域为
，故
为非奇非偶函数，故B 错误；
对C：
是定义域为
的偶函数，且当
时，
，
即
在
上单调递增，故C 正确；
对D：
的定义域为
，但
，
故
不是偶函数，故D 错误.
故选：C.
例3-2（2026·山东滨州·检测）设
，则使函数
的定义域为R 且为奇函数的所有
值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
时，函数定义域不是R,不合题意；
时，函数
的定义域为R 且为奇函数，合题意，
故选A.
例3-3【新思维】（2026·山西太原·模拟预测）下了函数中，满足“
”的单调递增函
数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】A 选项：由
，
，得
，所以A 错
误；
B 选项：由
，
，得
；
又函数
是定义在
上增函数，所以B 正确；
C 选项：由
，
，得
，所以C 错误；
D 选项：函数
是定义在
上减函数，所以D 错误；
故选：B.
【变式训练3-1·变考法】下列函数中，既是偶函数，又是在区间
上单调递减的函数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】试题分析：由偶函数定义知，仅A,C 为偶函数， C.
在区间
上单调递增函数，故选
A．
故选A.
【变式训练3-2】已知函数
，则此函数是（ ）
A．偶函数，且在区间
上单调递减B．偶函数，且在区间
上单调递增
C．奇函数，且在区间
上单调递减D．奇函数，且在区间
上单调递增
【答案】C
【详解】因为函数
，定义域为
，
，所以
是奇函数，
因为
在区间
上单调递增，
，所以函数
在区间
上单调递减，
故选：C.
【变式训练3-3】幂函数
在
上单调递减，且经过点
，请写出符合条件的一个函数解
析式 ．
【答案】
或
(答案不唯一)
【详解】幂函数
在
上是减函数，设
，则
，
因为
有很多解，如
、
、
、
等均符合题意.
故答案为：
或
(答案不唯一)．
题型4 利用幂函数单调性与奇偶性求参数
例4-1 已知幂函数
在
上单调递增，则m 的值为（ ）
A．1
B．-3
C．-4
D．1 或-3
【答案】A
【详解】由题意可得
.
故选：A
例4-2【新角度】已知
，若幂函数
为奇函数，且在
上递减，则
．
【答案】
【详解】因为幂函数
在
上递减，所以
，
又幂函数
为奇函数，所以
.
故答案为：
【变式训练4-1·变考法】（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数
在
上单调递减，
则实数m 的值为（ ）
A．0 或1
B．
或1
C．1
D．0
【答案】C
【详解】由于
为幂函数，所以
，解得
或
，又函数
在
上单调递减，
所以
，即
故当
时
符合条件．
故选C.
【变式训练4-2·变考法】（25-26 高三上·河北衡水·阶段检测）已知幂函数
在
上单调递减，若正数a，b 满足
，则
的最小值为（ ）
A．16
B．12
C．8
D．4
【答案】D
【详解】因为
为幂函数，所以
，解得
或
．
因为
在
上单调递减，所以
，则
，
所以
，则
，且
，
，
所以
，
当且仅当
，即
，
时取等号，所以
的最小值为4．
【变式训练4-3·变考法】（2026·湖北武汉·模拟检测）若函数
在［－1，2］上的最大
值为4，最小值为m，且函数
在
上是增函数，则
．
【答案】
【详解】 当
时，有
，此时
，此时
为减函数，
不合题意.若
，则
，故
，检验知符合题意.
故答案为：
题型5 利用幂函数的单调性解不等式
例5-1（25-26 高三上·江苏连云港·阶段测试）已知幂函数
的图象过点
，且
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】设幂函数
，因为
的图象过点
，所以
，解得
，
所以
且
在
上是增函数，奇函数，又
，
所以
，所以
，解得
，
故选：B
例5-2（25-26 高三上·河北唐山·阶段检测）设
是幂函数，若
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为
是幂函数，所以
，解得
，所以
．
易知
是增函数.因为
，所以
，解得
．
故答案为：
.
例5-3（25-26 高三上·上海虹口·开学）已知幂函数
在
上是严格减函数，其中
．
（1）求
的值；
（2）求关于
的不等式
的解集．
【答案】（1）
（2）
【详解】（1）由已知可得
，即
，解得
或
当
，则
在
上严格减，符合条件，
当
，则
在
上严格增，不符合条件，
综上所述，
．
（2）由（1）及不等式，有
，可得
，解得
或
．
故所求解集为
．
【变式训练5-1·变题型】（原创题）已知幂函数
，则（ ）
A．
B．
的定义域为
C．
为非奇非偶函数
D．不等式
的解集为
【答案】AC
【详解】A：由幂函数
知，
，解得
，故A 正确；
B，C：
，则
的定义域为
，所以函数为非奇非偶函数，故B 错误，C 正确；
D：由
知函数在
上单调递增，
所以由
可得
，解得
，
即不等式
的解集为
，故D 错误.
故选：AC
【变式训练5-2·】若
，则满足
的
取值范围是 ．
【答案】
【详解】根据幂函数的性质，由于
，所以当
时
，当
时，
，因此
的解集为
.
故答案为：
【变式训练5-3·变考法】试用函数观点解不等式
，则该不等式的解集为 ．
【答案】
【详解】根据题意，不等式
等价于
，
令函数
，定义域为
，即解不等式
，
因为
为定义域内的增函数，
为定义域内的增函数，
所以
在定义域
内单调递增，且
，
所以对应不等式即为
，从而得
，
所以不等式
的解集为
．
故答案为：
【变式训练5-4·变题型】（25-26 高三上·辽宁·月考）已知幂函数
的图象关于原点对
称，若
，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】由题意，
，解得
或
，所以
或
，
又
的图象关于原点对称，奇函数，所以
，所以
，在
单调递减，
因为
，当
时，
恒成立，当
时，由
可得
，
综上
的取值范围是
故答案为：
题型6 利用幂函数比较大小
例6-1（2026·重庆北碚·模拟预测）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】构造指数函数
，底数
，所以
单调递减，即
；
，即
.
故选C.
例6-2【新思维】（25-26 高三上·浙江杭州·开学）已知
，那么（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】指数函数
，底数
，因此
是
上的减函数,
原不等式可改写为：
,
根据减函数性质：函数值越小，对应指数越大，得：
.
指数函数
，底数
，因此
是减函数，因为
，所以
.
幂函数
，指数
，因此
在
上是增函数.因为
，所以
所以
.
故选B.
例6-3【新角度】 (多选)若实数
，
，
满足
，则下列不等关系可能成立的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【详解】实数
，
，
满足
，
∴
，
，
如图在同一平面直角坐标系中作出函数
，
，
的函数图象，再作直线
，
变换
的值发现，
，
，
的大小关系可能为
，
，
，
，
，
，
，故
、
、
正确，
错误．
故选：
．
例6-4【新思维】（2026·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）已知点
在幂函数
的图象上，
设
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为点
在幂函数
的图象上，则
，解得
，
所以
，可得
，故
，
因为
，
，
，
且函数
在
上为增函数，
又因为
，则
，故
.
故选：C.
【变式训练6-1】已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于
，由于
在
单调递增，所以
，对于
，由于
单调递减，
故
.所以
.
故选：D
【变式训练6-2】设a＝
，b＝
，c＝
，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．a>c>b B．a>b>c C．c>a>b D．b>c>a
【答案】A
【详解】∵函数
是减函数，∴
；又函数
在
上是增函数，故
.
故选A.
【变式训练6-3】（2026·天津·一模）已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】
，
，
，
因为函数
在
上单调递增，
则
，则
，则
，则B 正确.
【变式训练6-4·变考法】若
，
，
，则正数
大小关系是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
，则
为
与
交点的横坐标，
由
，则
为
与
交点的横坐标，
由
，即
，则为
与
交点的横坐标，
作出
，
，
，
的图象如下所示，
由图可知，
.
故选：B
【变式训练6-5·变考法】已知函数
为幂函数，若
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】由
为幂函数，得
∴
，所以
，所以
，
又
，所以
，又
，所以
，
由换底公式得
，
，
所以
，
又
，所以
，得
.
又
在区间
内单调递减，所以
.
综上，
.
故选：B.
题型7 二次函数解析式
例7-1 图象是以
为顶点且过原点的二次函数
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设图象是以
为顶点的二次函数
（
）．
因为图象过原点，所以
，
，所以
．
故选：A
例7-2 已知函数
为二次函数，
的图象过点
，对称轴为
，函数
在R 上最小值为
，则
的解析式为 ．
【答案】
【详解】因为
的对称轴为
，函数
在
上最小值为
，
所以可设
，将
代入
，得
，解得
，
故
.
故答案为：
.
例7-3 二次函数
满足
，且
．
（1）求
的解析式；
（2）在区间
上，
的图象恒在
图象的上方，试确定实数
的取值范围．
【答案】（1）
（2）
．
【分析】（1）由函数
为二次函数，设出其解析式为
，然后利用题目条件确定系数，
从而求得函数
的解析式；
（2）将在区间
上，
的图象恒在
图象的上方，转化为
在
上恒成
立，即
在
上最小值大于零，即可求解.
【详解】（1）由题设
，
．又
，
，
．
（2）当
时，
的图象恒在
图象上方，
所以当
时，
恒成立，即
恒成立．
令
，对称轴为
，故函数
在
上单调递减，
当
时，
，
故
，解得
，所以实数
的取值范围为
．
方法技巧 求二次函数解析式的三个策略
（1）已知三个点的坐标，宜选用一般式.
（2）已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式.
（3）已知图象与x 轴的两交点的坐标，宜选用零点式.
【变式训练7-1】已知二次函数
满足
，且
的最大值是8，则此二次函数
的解析式为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】根据题意，由
得:
图象的对称轴为直线
，
设二次函数为
，
因
的最大值是8，所以
，当
时，
，
即二次函数
，
由
得:
，解得：
，
则二次函数
，
故选：A.
【变式训练7-2】设函数
的定义域为
，且
，当
时，
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【答案】D
【详解】由题意可得
①；
②．
令
，由①得：
，
令
，由②得
，因为
，
所以
，即
.
令
，由①得
，
解得
，所以
．
故选：D．
【变式训练7-3】二次函数
的图象经过点
，在x 轴上截得的线段长为2，且
，都有
，试确定
的解析式．
【答案】
．
【分析】根据
可得
为对称轴，即可根据对称得两根
和
，进而代入
即可求解.
【详解】因为
对任意的
恒成立，所以
的对称轴为直线
．
又
的图象在x 轴上截得的线段长为2，所以
的两根为
和
．
设
的解析式为
．又
的图象过点
，所以
，所以
．
所以
，即
．
题型8 二次函数的图象和性质
例8-1 设
，二次函数
的图象可能是
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
,二次函数
，那么可知，在A 中，a<0,b<0,c<0，不合题意；
B 中，a<0,b>0,c>0，不合题意；C 中，a>0,c<0,b>0,不合题意.
故选D.
例8-2 已知a，b，c∈R，函数f (x)＝ax2＋bx＋c.若f (0)＝f（4）>f（1），则（ ）
A．a>0，4a＋b＝0
B．a<0，4a＋b＝0
C．a>0，2a＋b＝0
D．a<0，2a＋b＝0
【答案】A
【详解】由f (0)＝f （4），得f (x)＝ax2＋bx＋c 图象的对称轴为x＝－
＝2，∴4a＋b＝0，
又f (0)>f （1），f （4）>f （1），∴f (x)先减后增，于是a>0，
故选：A.
例8-3 若函数
，
的图象关于直线
对称，则
．
【答案】6
【详解】函数
的对称轴为：
，
依题意，
且
，解得
，
，所以
.
故答案为：6
方法技巧 二次函数图象的辨析
【变式训练8-1·变考法】（25-26 高一上·湖北十堰·开学考试）如图，二次函数
的图
象与
轴的一个交点为
，对称轴为直线
．则下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．若点
是抛物线上的两点，若
，则
【答案】AB
【详解】因为二次函数的图象与
轴的一个交点为
，则
.由图象可以看出，
.
因为二次函数的对称轴为
，所以
，即
.
所以
，所以A 正确；
将
代入
中，得
，所以C 错误；
因为
，
，所以
.
所以
，即
，所以B 正确；
对于选项D，当
均在对称轴左侧，由于在对称轴左侧抛物线是单调递减的，
所以如果
，则
，所以D 错误.
故选：AB.
【变式训练8-2·变考法】关于函数
，以下表达错误的选项是（ ）
A．函数的最大值是1
B．函数图象的对称轴是直线
C．函数的单调递减区间是
D．函数图象过点
【答案】C
【详解】
，最大值是1，A 正确；对称轴是直线
，B 正确；
单调递减区间是
，故C 错误；令
的
，故
在函数图象上，故D 正确，
故选：C
【变式训练8-3·变考法】已知二次函数
的图象如图所示，则函数
和
在第一
象限的图象可能为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【详解】因为二次函数
的图象开口向上，所以
，又对称轴在
轴右侧，则
，所以
，
则在第一象限，根据幂函数的单调性可得
单调递增，
单调递减．
故选：B.
题型9 二次函数的实根分布
例9-1 已知
,
是关于
的一元二次方程
的两个实数根，且
,
，则实数
的
取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由题意可得
，
为函数
的两个零点．
因为
，
，结合二次函数图象，利用零点存在定理可得：
，即
，所以
．所以
，解得：
．
故选：C．
例9-2 关于
的方程
，求
为何值时？
（1）方程有唯一实根；
（2）方程一根大于1，一根小于1．
【答案】（1）
或
（2）
【详解】（1）令
．
当
时，方程变为
，即
，符合题意；
当
时，
，
．
所以当
或
时，方程有唯一实根．
（2）因为方程有一根大于1，一根小于1．
大致图象如图⑤，⑥．
所以必须满足
或
解得
．
所以当
时，方程有一根大于1，一根小于1．
【变式训练9-1·变考法】函数
在
上有零点，则实数
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于函数
，开口向上，对称轴为
，
令
，由题意得方程
在区间
内有根.
，
当
，即
时，
没有零点，不符合题意；
当
，即
或
时，
当
时，
，零点为
，
，不符合题意；
当
时，
，零点为
，
，符合题意；
当
，即
或
时，方程有两个不相等的根
，
由题意方程至少有一个根在区间
内.
① 若
，解得
，
此时
，故零点为0 或
，符合题意；
② 若
，解得
，同上成立；
③若
，要使函数在
有零点，
，又
，即
；
综上可得
.
故选：D.
【变式训练9-2·真题改编】已知函数
的两个零点为2，3．若函数
的两个
零点分别在区间
内，则实数m 的取值范围为 ．
【答案】
【详解】依题意，
为方程
的两根，则
，解得
，
故
，则
，
因函数
的两个零点分别在区间
内，
则
，即
，解得
，故实数m 的取值范围是
．
故答案为：
题型10 二次函数的单调性与最值
例10-1 函数
的最大值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】∵
，∴
，最大值为
．
故选：A.
例10-2（24-25 高一上·天津·阶段练习）已知函数
的单调递增区间为__________.
【答案】
【详解】函数
有意义，
，解得
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
而函数
在
上单调递减，
所以函数
的单调递增区间是
.
故答案为：
例10-3 已知函数
．
（1）当
时，求函数的最大值和最小值；
（2）求实数
的取值范围，使
在区间
上是单调函数．
【答案】（1）最小值是1，最大值是37
（2）
或
【详解】（1）当
时,
此时函数的对称轴为
；
在
上单调递减，
上单调递增
当
时，
取最小值，且最小值为
，
当
时，
取最大值，且最大值为
．
（2）
在区间
上是单调函数则函数对称轴
不在区间
内
或
，即
或
.
方法技巧 二次函数的最值类型及求解策略
（1）类型：①对称轴、区间都是固定的；②对称轴动、区间固定；③对称轴定、区间动．
（2）求解策略：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合
配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.
【变式训练10-1·变考法】函数
的单调递增区间区间为 ．
【答案】
【详解】令
，
，则
在
上递减.
在
上递减，在
上递增，
根据复合函数单调性“同增异减”原则， 当
时，由
，得
，可得其增区间，
所以函数
的单调递增区间是
.
【变式训练10-2·变考法】在函数
中，若a，b，c 成等比数列且
，则
有最
值（填“大”或“小”），且该值为 ．
【答案】 大 -3
【详解】由已知得，
，a，b，c 成等比数列，
，a<0，
所以，
有最大值，
最大值为
故答案为：大；-3.
【变式训练10-3】【新思维】（2025·湖北·模拟预测）函数
的最小值为
，此时
．
【答案】
【详解】由
所以可知当
，即
时，函数
取到最小值
，
故答案为：①
；②
.
题型11 利用二次函数的单调性求参数
例11-1 函数
(
，且
)在区间
上单调递增，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】令
，则原函数转化为
，其图象的对称轴为直线
，
若
，则
在
上单调递增，且
，因为原函数在区间
上单调递增，于是得
，解得
，与
矛盾，
若
，则
在
上单调递减，且
，因为原函数在区间
上单调递增，于是得
，解得
或
，则
，
所以实数a 的取值范围是
.
故选：B
例11-2 若函数
在区间
上不具有单调性，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】
时，
，
，
在
上单调递减，具有单调性，不符合题意；
时，
的图象为抛物线，对称轴为
，
根据题意，
在
上不具有单调性，所以
，解得
.
故答案为：
【变式训练11-1·变载体】若函数
与
在区间
上都是减函数，则
的取值范
围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于
，开口向下，对称轴为
若函数在区间
上都是减函数，则区间
在对称轴的右侧，所以可得：
；
对于
，其相当于将
的图象向左平移1 个单位，得到如下函数图像：
此时我们可以判断，当
时，则函数
在第一象限为单调递减，而
在
单调递减，
故的取值范围是
.
故选：D．
【变式训练11-2·变载体】（2026·甘肃金昌·三模）已知
，
，若函数
在
上单调递减，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】由
在
上单调递减知
；由
在
上单调递减知：
当
，即
满足题意；当
，
，所以
，
由
在
上单调递减，得
，所以
，
综上，a 的取值范围是
.
【变式训练11-3】已知函数
，若
，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】因为二次函数
的图象开口向上，对称轴直线方程为
，
则原函数在区间
上单调递减，在区间
上单调递增；
由
，
得
，即
，
两边平方后，再通过移项和平方差公式化简得
，而
，
所以
，得
．
故答案为：
.
【变式训练11-4· 变载体】（25-26 高三上· 云南保山· 开学考试）定义域为
的函数
在
单调递减，则实数k 的取值范围是 ．
【答案】
【详解】令
，
根据题意
在
上恒成立，且
在
单调递减.
若
,则
，不符合题意；
若
,则
，即
，解得
.
故答案为：
.
题型12 利用二次函数的最值求参数
例12-1（原创题）已知函数
的最大值为2027，则
的值为（ ）
A．
B．-1
C．1
D．
或-1
【答案】A
【详解】令
，
因为
单调递减，又因为函数
的最大值为2027，
则
的最小值为
，
所以
，且当
时，
，即得
，
解得
或
，所以
.
故选：A
例12-2（25-26 高三上·湖北恩施·开学考试）已知
，当
时，
的最小值是
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】
，
，
的最小值是
，
若
，即
时，
则
，解得
，符合题意；
若
，即
时，
，
，不合题意舍去.故
.
故选：D.
例12-3 已知函数
，记
是
在区间
上的最大值.
（1）证明：当
时，
；
（2）当
，
满足
，求
的最大值.
【答案】（1）详见解析；（2）.
【详解】（1）由
，得对称轴为直线
，由
，得
，故
在
上单调，∴
，当
时，由
，得
，即
，当
时，由
，得
，即
，综上，当
时，
；（2）由
得
，
，故
，
，由
，得
，当
，
时，
，且
在
上的最大值
为
，即
，∴
的最大值为..
【变式训练12-1·变考法】（2026·全国·模拟预测）已知函数
在区间
上有最大
值或最小值，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】要使函数
在区间
上有最大值或最小值，由于
开口向上，
故需函数
在区间
上有最小值，且
．
该函数图像的对称轴为直线
，所以
，解得
，
所以
，且
，即实数
的取值范围为
．
故选：B．
【变式训练12-2·变考法】已知函数
，则“b＜0”是“
的最小值与
的最小值相
等”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】由题意知
，最小值为
．
令
，则
，
当
时，
的最小值为
，所以“
”能推出“
的最小值与
的最小值相等”；
当
时，
的最小值为0，
的最小值也为0，所以“
的最小值与
的最小值
相等”不能推出“
”．
故选A．
【变式训练12-3·载体】（2026·江西赣州·二模）已知函数
在区间
上的最大值为
，在区
间
上的最大值为
．若
，则的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】设
，易得
在
上递增，在
上递减，且有两个零点
和
，
因
可由
保持
轴上方部分并将
轴下方部分沿
轴翻折得到，
如上图，
在
上递减，在
上递增，
在
上递减，在
上递增.
① 当
时，
在
的最大值
，
在
的最大值为
，矛盾；
② 当
时，
在
的最大值
，
在
的最大值为
，矛盾；
③ 当
时，
在
的最大值
，
在
的最大值为
，矛盾；
④ 当
时，
在
的最大值
，因
，
在
单调递增，最大值
，
，矛盾；
⑤ 当
时，
在
的最大值
，
，
，由图可知，此时只需令
即可，
解得
或
，所以
，
综上所述，的取值范围是
.
【变式训练12-4·真题改编】
为实数，函数
在区间
上的最大值记为
. 当
时，
的值最小.
【答案】
．
【详解】因为函数
，所以分以下几种情况对其进行讨论：
①当
时，函数
在区间
上单调递增，所以
；
②当
时，此时
，
，而
，
所以
；
③当
时，
在区间
上递增，在
上递减．当
时，
取
得最大值
；
④当
时，
在区间
上递增，当
时，
取得最
大值
，则
在
上递减，
上递增，即当
时，
的值最小．
故答案为：
．
题型13 二次函数的存在与恒成立问题
例13-1（2026·辽宁抚顺·二模）已知
是定义在
上的奇函数，且当
时，
，若
在
上恒成立，则a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为
是定义在
上的奇函数，所以由
在
上恒成立，可得
在
上恒
成立.
若
，即
，则
在
上单调递增，则
，得
.
若
，即
，则
，化简得
，得
.
若
，即
，则
在
上单调递减，则
，得
.
综上所述，a 的取值范围为
.
例13-2 已知函数
，
，若对于任一实数
，
与
的值至少有一
个为正数，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】当
时，显然成立当
时，显然不成立；
当
显然成立；当
时
，则
两根为负，结论
成立故
.
故选C.
【变式训练13-1·变考法】设函数
，命题“
，
”是假命题，则实
数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】因为命题“
，
”是假命题，所以
，
，
,因为
，所以
在
上恒成立，
函数
在
上单调递增，所以当
时，
有最小值1，
故
的最大值为2，所以
.
故选：D.
【变式训练13-2·变考法】（2026·北京·模拟预测）已知函数
若对于任意的
，都有
，那么实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】若
，即
，此时
，满足要求；
若
，则
，此时
，
故
恒成立，其中
，故
；
若
且
，即
，
此时
，对称轴为
，
若
，此时
在
上单调递增，
故只需
，即
，解得
，故
；
若
，此时
在
上单调递减，
在
上单调递增，
故
，令
，解得
，
与
取交集得
，
若
，此时
在
上单调递减，
故只需
，即
，解得
，
与
取交集得
；
综上，实数
的取值范围为
.
故选：B
【变式训练13-3】【新思维】已知
，
，若对任意的
，总存在
，使
成立，则实数
的取值范围是 ．
【答案】
【详解】
，函数的对称轴为：
，对任意的
，则
. 记
；
由题意，知
时不成立，当
时，
，在
上是增函数，
，记
.由题意，知
，
，解得
.
当
时，
，在
上是减函数，
，记
.
由题意，知
，解得
.综上所述，
.
故答案为：
.
真题溯源·考向感知
——溯源真
，感知高考考向
题逻辑
1．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数
在区间
上单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】函数
在R 上单调递增，而函数
在区间
上单调递减，
则有函数
在区间
上单调递减，因此
，解得
，
所以
的取值范围是
.
故选：D
2．（2022·天津·高考真题）设
，
，
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出
、
、的大小关系.
【详解】因为
，故
.
故选：D.
3．（2025·天津·高考真题）若
，对
，均有
恒成立，则
的
最小值为 ．
【答案】
【详解】设
，原题转化为求的最小值，
原不等式可化为对任意的
，
，
不妨代入
，得
，得
，
当
时，原不等式可化为
，
即
，
观察可知，当
时，
对
一定成立，当且仅当
取等号，
此时，
，说明
时，
均可取到，满足题意，
故
的最小值为
.
故答案为：
4．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线
与
在
上有两个不同的交点，则
的
取值范围为 ．
【答案】
【详解】令
，即
，令
则
，令
得
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
，
因为曲线
与
在
上有两个不同的交点，
所以等价于
与
有两个交点，所以
.
故答案为：
5．（2024·天津·高考真题）设
，函数
.若
恰有一个零点，则
的取
值范围为 ．
【答案】
【详解】令
，即
，
由题可得
，
当
时，
，有
，则
，不符合要求，舍去；
当
时，则
，
即函数
与函数
有唯一交点，
由
，可得
或
，
当
时，则
，则
，
即
，整理得
，
当
时，即
，即
，
当
，
或
（正值舍去），
当
时，
或
，有两解，舍去，
即当
时，
在
时有唯一解，
则当
时，
在
时需无解，
当
，且
时，
由函数
关于
对称，令
，可得
或
，
且函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
令
，即
，
故
时，
图象为双曲线
右支的
轴上方部分向右平移
所得，
由
的渐近线方程为
，
即
部分的渐近线方程为
，其斜率为
，
又
，即
在
时的斜率
，
令
，可得
或
（舍去），
且函数
在
上单调递增，
故有
，解得
，故
符合要求；
当
时，则
，
即函数
与函数
有唯一交点，
由
，可得
或
，
当
时，则
，则
，
即
，整理得
，
当
时，即
，即
，
当
，
（负值舍去）或
，
当
时，
或
，有两解，舍去，
即当
时，
在
时有唯一解，
则当
时，
在
时需无解，
当
，且
时，
由函数
关于
对称，令
，可得
或
，
且函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
同理可得：
时，
图象为双曲线
左支的
轴上方部分向左平移
所得，
部分的渐近线方程为
，其斜率为
，
又
，即
在
时的斜率
，
令
，可得
或
（舍去），
且函数
在
上单调递减，
故有
，解得
，故
符合要求；
综上所述，
.
故答案为：
.
课本典例·高考素材
——立足
本典例，挖掘高考素材
课
1．若
，且
，
，求
的值.
【答案】8
【详解】因为
，且
，
，
则
，解方程组可得
，则
，
所以
.
【点睛】已知二次函数的两个零点，既可以代入数值列方程求解系数、写出函数表达式再代入计算，也能
直接借助零点写成因式相乘形式简化计算；遇到给出零点的二次函数题目，优先选用因式形式解题，能够
大幅简化运算步骤。
2．已知函数
在
上具有单调性，求实数k 的取值范围.
【答案】
或
【详解】函数
为一元二次函数，对称轴为直线
.
当
，即
时，
在
上单调递增；
当
，即
时，
在
上单调递减.
综上可知：k 的取值范围为
或
.
【点睛】二次函数在固定区间单调的关键，是让函数对称轴落在给定区间的外侧，据此划分两种情况列式
求解取值范围，这是处理定区间动对称轴题型的通用思路。
3．利用幂函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
（1）
，
； （2）
，
.
【答案】（1）
；（2）
.
【详解】（1）设
，则
在R 上为增函数.
，
.
（2）设
，则
在
上为减函数，
，
.
【点睛】本题考查幂函数的单调性的应用，属于基础题.
4．根据单调性和奇偶性的定义证明函数
的单调性和奇偶性.
【答案】证明见详解.
【详解】证明：
的定义域为R.
任取
，且
，则
.
，且
，
，
.
，即
.
在
上为增函数.
又
，
为奇函数.
【点睛】本题考查幂函数的单调性及奇偶性的证明，属于基础题.
5．证明：幂函数
在区间
上是增函数.
【答案】证明见详解
【详解】在
上任取
，则
，
因为
，则
，
，即
.
所以幂函数
在区间
上是增函数.
【点睛】利用定义证明函数增减是标准解题范式，根式作差时借助有理化变形处理式子，再结合取值范围
判断差值正负，这套步骤是无理型幂函数单调性证明的常用方法。
6．试用描点法画出函数
的图象，求函数的定义域、值域；讨论函数的单调性、奇偶性，并证明.
【答案】图像见详解，定义域：
，值域：
，讨论见解析，证明见解析
【详解】
.
列表：
x
…
-3
-2
-1
1
2
3
…
…
1
1
…
描点，连线.图象如图所示.
定义域：
，值域：
.
在
上是增函数，在
上是减函数.
证明如下：设任意的
，且
.则
.
.
，即
，
在
上是增函数.
设任意的
，且
，则
.
，
，即
.
在
上是减函数.
是偶函数.
【点睛】本题考查幂函数的图象及性质，单调性的证明，属于中档题．
7．已知幂函数
的图象过点
，试求出此函数的解析式，并画出图象，判断奇偶性、单
调性.
【答案】
，函数的图象见解析，
既不是奇函数也不是偶函数，在
上递减.
【详解】依题意设
，则
，解得
，所以
.
函数
的图象如图，
既不是奇函数也不是偶函数，函数
在
上递减.
【点睛】已知幂函数图像经过定点时，优先使用待定系数确定解析式；依据函数定义域范围
可直接判定奇偶属性，再结合指数取值判断函数在正半轴区间的增减变化规律。
8．画出函数
的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性.
【答案】图像见详解析，偶函数，讨论见解析
【详解】
的图象如图所示，
设
的定义域为R.
，
为偶函数.
当
时，
为增函数，证明如下：
设任意的
，且
，则
.
，且
即
.
在
上为增函数.
当
时，
为减函数，证明如下：
设任意的
，且
，则
.
，且
，
即
.
在
上是减函数.
【点睛】解析式内含绝对值要先拆分成分段函数，依托定义域对称特点判定偶函数；只需论证自变量非负
区间的增减情况，再借助图像关于纵轴对称的性质，反向推导另一半区间的单调性，能大幅缩减证明步骤。
